笛卡尔的两个故事

0) 上的增函数.
所以 f ( x ) 的最小值为 f( - e) = - a e - 1 = 3,
解得 a = -
4 e
<-
1 e
(舍去
).
( iv) 当 a < -
1 e
时,
则
当 - e % x < 1 时, f ∃( x ) = a - 1 < 0, 此时
a
x
函数 f ( x ) = ax - ln( - x ) 是减函数;
这个有着如此敏 捷的数 学天才 的士 兵便
是笛卡尔. 原来笛卡尔 从学校 毕业 后, 只 有两 条路摆在他面前: 要么 为教会 服务, 要么 到军 队服役. 笛卡尔对宗教 不但没 有兴 趣, 还 有深 深的反感, 自然选择后 者. 于 是他穿 上戎 装来 到了荷兰, 才有了他的这件轶事.
这次巧遇, 对 笛卡尔产 生了很 大影响. 毕 克门打心眼 里 喜欢 这 个聪 明 的法 国 小伙 子, 他们成了一 对 忘 年交, 经常 在 一起 热 烈地 讨 论数学 问 题. 笛 卡尔 在 那 里 感到 很 愉 快, 同
笛卡 尔有 着强 烈的 求 知欲, 他 后来 回 忆 在拉夫 雷士的学习生 活时说: ! 那些被认为 是 最奇怪、最不寻常 的有关 各种学 科的 书, 凡 是 我能能搞到的, 都把它们读完了. ∀
这就 怪不 得笛 卡尔 日 后会 在 天文 学、物
理学、哲学等许多 领域, 尤其是 数学领 域里 表 现出多种才能来.
原来, 当地 正在 开 展一 项 有奖 数 学竞 赛 活动, 布告上写的就是数学竞赛题.
第二天一 早, 年 轻 的士 兵 敲响 了 这位 荷 兰学者的家门, 递上了 他的答 案. 毕 克门 漫不 经心地接过 答 卷, 才瞥 了 一眼, 便 注 意起 来, 看来小伙子是懂 数学 的. 等 到看完 全部 答案, 毕克门被震动了: 难题 全部都 解答 了, 不 但全 部正确, 而且解得简洁 明了, 有的解 法还 相当 巧妙!
一、巧遇 1617年秋天, 在 荷兰 南 部的 布 莱达 小 镇 上, 贴 出 了 一张 布 告, 人 们围 着 布 告 议 论 纷 纷. 这惊动了一个 正在街 上闲逛 的士 兵, 一 个 20左右的法 国小 伙子, 他 挤进 人群 想去 看 个 究竟. 可是他看不 懂布告 上的文 字, 只 得用 法 语向周围的人打听: ! 布告上写了些什么? ∀ 一位 学者, 当地 多特 学 院的 院 长毕 克 门 打量了一下这个 莽撞的 士兵, 开了 一个玩 笑: ! 想知道布告的 内容吗?哈, 很好, 我 可以告 诉 你, 但你以后得把你的答案告诉我. ∀
在区 间 [ - e, 0) 上 单 调 递 增, f ( x ) 的 最 小 值 为 f ( - e) = - a e - 1 < 0, 也不满足最小值是 3.
( iii) 当 -
1% e
a < 0, x &
[ - e, 0) 时, f ∃( x )
= a - 1 ∋ 0, 故函数 f ( x ) = ax - ln( - x ) 是 [ - e, x
后来, 由这 样三 条 两两 互 相垂 直 的直 线 所组成的坐 标 系, 就 被 人们 称 之为 笛 卡尔 坐 标系.
=
1=
f (x) 的最小值.
所以当 x & [ - e, 0) 时, f ( x ) > h( x ), 即 f ( x )
> g(x ) +
1 2
.
( 3) 假设存在实数 a, 使得当 x & [ - e, 0) 时,
f ( x ) = ax - ln( - x ) 有最小值是 3, 则
ห้องสมุดไป่ตู้
f ∃( x ) = a - 1 = ax - 1.
1596年 3月 31日笛卡尔诞生于法国图朗 的一座小城 拉哈. 笛卡尔小时身体很弱, 直到 8岁时才进入 拉夫 雷士的 耶酥会 学校 并 在那里学习了 8年. 因为 体弱, 老师允 许他 可 以晚些起床. 可他 并 没有 利 用这 个 机会 睡 懒 觉, 而是在脑子里 回想学 过的知 识. 以 后他 就 养成了在床 上思 考 问 题的 习 惯. 晚 年时 他 曾 说: ! 我 喜欢 在被 窝里 静静 地独 立思 考, 许 多 数学和哲学上的好想法, 就是这样产生的. ∀
# 42#
去入睡, 使得他接连做 噩梦, 头脑久 久不 能平 静. 凌 晨, 想着 这只 悬在 半空 中的 蜘蛛, 沉 思 中的笛卡尔 豁 然 开朗: 能不 能 用两 面 墙的 交 线及墙与天 花 板 的交 线, 来 确 定它 的 空间 位 置呢?他一骨碌从床上 爬起来, 在纸 上画 了三 条互相垂直 的 直 线, 分 别表 示 两墙 面 的交 线 和墙与天花 板 的 交线. 用一 个 点表 示 空间 的 蜘蛛, 当然可以 测出 这点到 三个平 面的 距离. 这样, 蜘蛛在 空 中的 位 置就 可 以准 确 地标 出 来了. 笛卡尔写道: ! 第二天, 我 开始懂得 这惊 人发现的基本原理. ∀这就是指他得到 了建立 解析几何的线索.
当 1 < x < 0时, f ∃( x ) = a - 1 > 0, 此时函
a
x
数 f ( x ) = ax - ln( - x ) 是增函数.
所 以 f(x ) 的 最 小 值 为 f 1 = 1 a
ln -
1 a
=
3, 解得 a = - e2.
综上可知, 存 在实数 a = - e2, 使 得当 x & [ e, 0) 时, f ( x ) 有最小值 3.
(试题系江苏省如皋中学 2009 ~ 2010学 年度第一学期期中调研测试高三数学试题 )
(上接第 43 页 ) 沿着墙面爬 上爬 下, 忽而 顺 着吐 出 丝的 方 向 在空中缓缓移动.
笛卡 尔对 这只 蜘蛛 感 兴趣, 是 因为 他 这 时正思索着 用代 数 方 法来 解 决几 何 问题, 但 遇到了一个 困难, 便 是几 何 中的 点 如何 才 能 用代数中的几个数 表示出 来呢?晚上, 他心 中 充满极大的 兴奋, 带 着愉 快 而又 焦 急的 心 情
笛卡尔眼睛 一 亮, 原 来 正在 天 花板 上 爬来 爬
去的一只蜘 蛛 引 起了 他 的注 意. 这 只 蜘蛛 在
常人眼里或 许 是 平常 得 不能 再 平常 了, 它 正
忙着在天花板靠近墙角的地方结网, 它忽而 (下转第 42页 )
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高中数学教与学
2010 年
f ( x ) = - x - ln( - x ), g ( x ) = ln( - x ). -x
递增, 所以 f ( x ) 的最小值为 f ( - 1) = 1 > 0.
又因为 h∃( x ) =
ln( - x ) x2
-
1, 所以当
-
e%
x
< 0时, h∃( x ) % 0, 此时 h ( x ) 单调递减, 所以 h ( x )
的最大值为 h( - e) =
1 e
+
1 2
<
1 2
+
1 2
x
x
( i) 当 a = 0, x &
[ - e, 0) 时, f ∃( x ) = -
1 x
>
0. f ( x ) 在区间 [ - e, 0) 上单调递增, f ( x ) 的最小值
为 f ( - e) = - 1, 不满足最小值是 3.
( ii) 当 a > 0, x & [ - e, 0) 时, f ∃( x ) > 0, f ( x )
时, 他意识到自己长于 数学, 萌生出 致力 于数 学研究的念头.
二、蜘蛛
1619年笛卡尔正在 多瑙河 畔德国南 部的
一座小城
诺 伊堡的 军营. 这是他一 生的
转折点, 他终日沉迷在 深思之 中, 考 虑数 学和
哲学问题. 1619年 11月 10日, 白天, 笛卡尔生
病了, 遵照医生 的嘱咐, 躺在床 上休息. 突然,
第 1期 数学世界
高中数学教与学
笛卡尔的两个故事
梁克强 ( 湖北省京山一中, 431800)
在人类的数学 史上, 法国 的笛 卡尔 占 有 重要的位置. 他对 数学的 重大贡 献, 是 他发 现 了一种新的 数学 方 法, 把 几 何和 代 数这 两 门 独立发展的数学 学科结 合成一 门新的 独立 分 支 解析几何.
设 h(x ) =
ln( - x ) -x
+
1 2
.
因为 f ∃( x ) = - 1 - 1 = - x + 1, 所以当 - e
x
x
% x % - 1时, f ∃( x ) < 0, 此时 f ( x ) 单调递 减;
当 - 1 < x < 0时, f ∃( x ) > 0, 此时 f ( x ) 单调