黑龙江省大庆实验中学2021届高三上学期期中考试 数学(理)答案

大庆实验中学2020-2021学年度上学期期中考试高三理科数学答案
1．C 2．C 3.D 4.A 5.C 6.B 7.A 8.B 9. A 10.D 11. B 12.A 13.
)
3,1(- 14.3 15.52π 16．
23
17.（Ⅰ）3
A π
=（Ⅱ）33
解：（Ⅰ）由
2tan tan tan B b
A B c
=+及正弦定理可知，
sin 2
sin cos sin sin sin cos cos B
B B A B
C A B
∴=+
()2sin cos cos sin cos sin sin B A B B B A B C
⋅∴⋅=+，
所以2cos 1A =，又()0,A π∈，所以3
A π
=
（Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得2
1393c c =+-，
所以2
340c c --=，即()()410c c -+=，
所以4c =，从而113sin 343322ABC
S
bc A ==⨯⨯⨯= 18.(1)证明见解析；(2)60°.
解析:（1）连结PD （P A=PB （PD AB （//DE BC （BC
AB （DE AB （
又PD DE D ⋂=（AB 平面PDE （PE ⊂平面PDE （∴AB PE （
（2）法一（
平面P AB 平面ABC，平面P AB 平面ABC=AB，PD AB，PD 平面ABC （ 则DE PD,又ED AB，PD 平面AB=D （DE 平面P AB,
过D 做DF 垂直PB 与F ，连接EF ，则EF PB （∠DFE 为所求二面
角的平面角（DE=32（DF =3
2，则3DE tan DFE DF
∠=
=，故二面角的A PB E --大小为60︒
法二：
平面P AB 平面ABC，平面P AB 平面ABC=AB，PD AB，PD
平面ABC （
如图，以D 为原点建立空间直角坐标系（ B (1（0（0)（P (0（0（
)（E (0（
3
2
（0)（ PB =(1（0（3-)（PE =(0（
3
2
（3-（（ 设平面PBE 的法向量()1,,n x y z =（ 30,3
30,2
x z y z ⎧-=⎪
⎨-=⎪⎩令3z =，得()
13,2,3n =（
DE ⊥平面P AB （∴平面P AB 的法向量为()20,1,0n =（ 设二面角的A PB E --大小为，由图知，121212
1,2
n n cos cos n n n n θ⋅===
⋅（ 所以60,θ=︒即二面角的A PB E --大小为60︒. 19.（1）70.5分；（2）634人；（3）0.499 中间值 45 55 65 75 85 95
概率
0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1
∴450.1550.15650.2750.3x =⨯+⨯+⨯+⨯ 850.15950.170.5+⨯+⨯=， ∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分. （2）依题意z 服从正态分布(
)2
,N μσ，其中70.5x μ==，2
204.75D σ
ξ==，14.31σ=，∴z 服
从正态分布(
)()2
2
,70.5,14.31N N μσ
=，而
()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，∴()10.6826
84.810.15872
P z -≥=
=.∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人.
（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=.而()4,0.8413B ξ~，∴
()()4
4431410.8413P P C ξξ≤=-==-⋅ 10.5010.499=-=. 20.（1）证明见解析，21n
n a =-；（2）11202.
（1）证明：因为n ，n a ，n S 成等差数列，所以2n n S n a +=，① 所以()1112n n S n a --+-=()2n ≥.②
①－②，得1122n n n a a a -+=-，所以()1121n n a a -+=+()2n ≥. 又当1n =时，1112S a +=，所以11a =，所以112a +=， 故数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，
所以11222n n n a -+=⋅=，即21n
n a =-.
（2）根据（1）求解知，()
22log 121121n
n b n =+--=-，11b =，所以1
2n
n
b b ，
所以数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列.
又因为11a =，23a =，37a =，415a =，531a =，663a =，7127a =，8255a =，
64127b =，106211b =，107213b =，
所以()()1210012107127c c c b b b a a a ++
+=+++-+++
()()712
7212107(1213)107214
222772
2
12
-⨯+⨯⎡⎤=
-+++-=
-+⎣⎦-
2
8
1072911202=-+=.
21．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.1k
解析（（I（()()2
1ln '1x
x f x x e x -=++（ 易知()'f x 在()0e ，上为正，因此()f x 在区间()01，上为增函数，又1
2
10e
e e
f e e
-⎛⎫=
< ⎪⎝⎭
（0f I e =>（）
因此10f f I e ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
（），即()f x 在区间()01，上恰有一个零点（ 由题可知()0f x >在()1
+∞，上恒成立，即在()1+∞，上无零点， 则()f x 在()0+∞，
上存在唯一零点（ （II（设()f x 的零点为0x ，即0
000ln 0x x x e x +=（原不等式可化为ln 1x xe x k x
--≥（
令()ln 1
x xe x g x x
--=（则()ln 'x x xe x g x x
+=（由（I（可知()g x 在()00x ，上单调递减， 在()0x ，
+∞上单调递增（故只求()0g x （，设0
0x x e t =（
下面分析0
000ln 0x x x e x +
=（设00x x e t =，则00
ln x
t x =-（ 可得00
00lnx tx lnx x lnt
=-⎧⎨+=⎩，即()01ln x t t -=
若1t >，等式左负右正不相等，若1t <（等式左正右负不相等（只能1t =（
因此()0000000
ln 1ln 1x x e x x
g x x x --=
=-=，即1k 求所求（ 22. （1）S 的普通方程为：)040(042
2≥≤<=-+y x x y x ，或)0,0(≥>y x 或)0,0(≥≠y x
方程写标准式也可
S 的极坐标方程为：)2
0(cos 4π
θθρ<≤=
（不写范围扣2分）
（2）]3
,
0[π
α∈
23.（1）见证明；（2）35[,]22
-. 【详解】
解：（1
）由柯西不等式得2
2222)11x x ⎡
⎤⎛⎡⎤+≥⋅ ⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝+． ∴(
)22
2
4
3()3
x y
x y +⨯≥+，当且仅当3x y =时取等号． ∴2
2
3
34
x y +≥
； （2
）
1111()224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
，
要使得不等式
11
|2||1|a a x y
+≥-++恒成立，即可转化为|2||1|4a a -++≤， 当2a ≥时，421a -≤，可得522
a ≤≤， 当1a 2-<<时，34≤，可得1a 2-<<，
当1a ≤-时，214a -+≤，可得3
12
a -≤≤-，
∴a 的取值范围为：35
[,]22
-．。