幂级数间接展开法
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初等函数的幂级数展开
f (x) a1 2a2 (x x0 ) 3a3 (x x0 )2 nan (x x0 )n1 ， f (x) 2!a2 3 2a3 (x x0 ) n (n 1)an (x x0 )n2 ，
f (x) 3!a3 n (n 1)(n 2)an (x x0 )n3 ，
lim
n
Rn
(
x)
0
，其中
Rn
(
x)
为拉格朗日余项，即
Rn (x) f (x) [a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2
an (x
x0 )n ]
f n1( ) (x
(n 1)!
x0 )n1
．
1.2 函数展开成幂级数的方法
1．直接展开法
利用泰勒或麦克劳林展开式把初等函数展开成幂级数的方法称为直接展开法．用直接展 开法将函数 f (x) 展开成 x 的幂级数的步骤如下．
x)
1 2(3
x)
1
4 1
பைடு நூலகம்
x 1 2
1
81
x
1 4
，
1
(1)n xn 1 x x2 x3
(1)n xn
(1 x 1) ，
1 x n0
1
1 x
1
(1)n
n0
(x 1)n 2n
1
x
2
1
1
，
2
1
1 x
1
(1)n
n0
(x 1)n 4n
1
x
4
1
1
，
4
1.2 函数展开成幂级数的方法
解 f (x) 的各阶导数为
f (x) m(1 x)m1 ， f (x) m(m 1)(1 x)m2 ，
f (x) 3!a3 n (n 1)(n 2)an (x x0 )n3 ，
lim
n
Rn
(
x)
0
，其中
Rn
(
x)
为拉格朗日余项，即
Rn (x) f (x) [a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2
an (x
x0 )n ]
f n1( ) (x
(n 1)!
x0 )n1
．
1.2 函数展开成幂级数的方法
1．直接展开法
利用泰勒或麦克劳林展开式把初等函数展开成幂级数的方法称为直接展开法．用直接展 开法将函数 f (x) 展开成 x 的幂级数的步骤如下．
x)
1 2(3
x)
1
4 1
பைடு நூலகம்
x 1 2
1
81
x
1 4
，
1
(1)n xn 1 x x2 x3
(1)n xn
(1 x 1) ，
1 x n0
1
1 x
1
(1)n
n0
(x 1)n 2n
1
x
2
1
1
，
2
1
1 x
1
(1)n
n0
(x 1)n 4n
1
x
4
1
1
，
4
1.2 函数展开成幂级数的方法
解 f (x) 的各阶导数为
f (x) m(1 x)m1 ， f (x) m(m 1)(1 x)m2 ，
高等数学第五节 函数幂级数展开
f(x) f(0) f(0)x f(0) x2 f(n)(0) xn
2!
n!
rn(x). ②
rn(x)f((n n 1 )(1 )x!)xn1 (0θ1).
②式称为麦克劳林公式 . 幂级数
f()0 f(0 )x f(0 )x 2 f(n )(0 )x n ,
rn(x)(n e( θx 1))!xn1 (0θ1),
且 x ≤ x x , 所以eθx ex , 因而有
rn(x)(n e x 1)!xn1(ne x1)!xn1.
注意到，对任一确定的 x 值， e x 是一个确定
的常数 . 而级数 ⑥ 是绝对收敛的，因此其一
例 1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
解 由 f(n )(x)ex(n1,2,3, ), 可以
得到
f(0 ) f(0 ) f(0 ) f(n )(0 ) 1 .
因此我们可以得到幂级数
1x1x2 1xn .
⑥
2!
n!
显然，这个幂级数的收敛区间为 (,+ ) . 至 于 数 ⑥ 是 否 f(x)以 ex为 和 ,收 函 敛 f数 (x 于 )ex, 还要考察函f(x数)ex 的麦克劳林公式中 项, 因为
所以 f(x) 1 1 1x 2x
(1xx2 xn )
1[1x(x)2 (x)n ]
2 22
2
1 2 2 2 2 21x 2 3 2 31x 2 2 n 2 n 1 11x n .
根据幂级数和的运算法则，其收敛半径应
取较小的一个，故 R = 1，因此所得幂级数的收 敛区间为 1 < x < 1 .
例7
幂级数. 解
第六节 Taylor级数与函数的幂级数展开
( n ) ( z ) (a n 1) f ( n1) ( z ),
令z 0，并由此递推关系，得 f (0) 1, f '(0) a , f "(0) a(a 1),
,
f ( n ) (0) a(a 1) (a n 1),
1 n 1 n 1 ( 1) nz ,( z 1) 2 (1 z ) n 1
2、间接展开法
利用已知函数的展开式，结合幂级数的运算性质， 以求得目标函数的展开式。
例4 把 sin z 和cos z 展开为z 的幂级数。
解：
e iz e iz cos z 2 又， n n ( iz ) ( iz ) iz iz e , e n! n0 n ! n0 故 1 ( iz )n ( iz )n 1 i n ( i )n n z cos z 2 n! 2 n0 n ! n! n0
=
n0
f
(n)
(a ) ( z a )n n!
证毕
上式右端的级数称为f ( z )在点a 的Taylor级数，或 f ( n ) (a ) Taylor 展开式。cn 称为Taylor系数。 n!
若a 0，f ( z ) =
n0
+
f
( n)
(0) n z 称为f ( z )的Marclaurin级数。 n!
由于
k 2( 1) , n n i (i ) 0,
n 2k n 2k 1
故
1 2( 1)k 2 k ( 1)k 2 k z cos z z 2 k 0 (2k )! k 0 (2 k )!
令z 0，并由此递推关系，得 f (0) 1, f '(0) a , f "(0) a(a 1),
,
f ( n ) (0) a(a 1) (a n 1),
1 n 1 n 1 ( 1) nz ,( z 1) 2 (1 z ) n 1
2、间接展开法
利用已知函数的展开式，结合幂级数的运算性质， 以求得目标函数的展开式。
例4 把 sin z 和cos z 展开为z 的幂级数。
解：
e iz e iz cos z 2 又， n n ( iz ) ( iz ) iz iz e , e n! n0 n ! n0 故 1 ( iz )n ( iz )n 1 i n ( i )n n z cos z 2 n! 2 n0 n ! n! n0
=
n0
f
(n)
(a ) ( z a )n n!
证毕
上式右端的级数称为f ( z )在点a 的Taylor级数，或 f ( n ) (a ) Taylor 展开式。cn 称为Taylor系数。 n!
若a 0，f ( z ) =
n0
+
f
( n)
(0) n z 称为f ( z )的Marclaurin级数。 n!
由于
k 2( 1) , n n i (i ) 0,
n 2k n 2k 1
故
1 2( 1)k 2 k ( 1)k 2 k z cos z z 2 k 0 (2k )! k 0 (2 k )!
初等函数的幂级数展开式
将函数ln(1+x)展开成 x的幂级数 的幂级数. 展开成 的幂级数 例1* 将函数 1 , 解 因为 [ln(1 + x )]′ = 1+ x 又
1 =1−x + x2 −x3+···+(−1)nxn +··· − − 1+ x
对上式逐项积分 对上式逐项积分 ∞ x dt x − ln(1+x) = ∫ = ∑ ∫ (−1)nt ndt 0 1+ t 0 n= 0 1 2 1 3 1 n+1 n = x − x + x − L+ (−1) x +L n+1 2 3 ∞ xn = ∑ ( − 1) n−1 n n=1
n n n−1
(1+x)n=1+nx+
n( n − 1) 2 n( n − 1)L ( n − k + 1) k x x +L+ 2! n! n! − +⋅⋅⋅ +nxn−1+x n ⋅⋅⋅
? (1+x)α =
α (α − 1 ) 2 α (α − 1 ) L (α − n + 1 ) n 1+αx+ x +L x +L+ 2! n!
(0) n f ′′ ( 0 ) 2 f (n) (0) n ∑0 n ! x = f ( 0 ) + f ′( 0 ) x + 2! x + L + n ! x + L n= 称为函数 f (x)的麦克劳林级数 的麦克劳林级数. f
(n) ∞
定理2 泰勒级数在 内收敛于f 定理 f(x)在x0点的泰勒级数在UR (x0)内收敛于 (x) 在 点的泰勒级数 内收敛于 ⇔ 在UR (x0) 内, Rn(x)→0. →
高等数学第五节 函数幂级数展开-PPT文档资料
即
f ( 0 ) 2 S (x )f( 0 )f ( 0 )x x n 1 2 ! ) f(n ( 0 ) n x. n !
那么， 级数 ③ 收敛于函数 f(x) 的条件为
lim S ( x ) f ( x ) . n 1
n
注意到麦克劳林公式 ② 与麦克劳林级数 ③ 的关为泰勒公式 .
如果令 x 0 , 就得到 0
f (0 ) 2 f (n)(0 ) n f (x ) f (0 ) f (0 )x x x 2 ! n ! r ). n(x ②
( n 1 ) f ( x )n 1 r ( x ) x ( 0 θ 1 ) . n ( n 1 )!
( 0 ) 1 , , ( 0 ) 0 ,f f( 0 )0, f( 0 ) 1 , f
n 1 ) n ( 0 ) ( 1 ) . f(2n)( 0 )0, f(2
于是可以得到幂级数
2 n 1 1 3 15 x n x x x ( 1 ) , 3 ! 5 ! ( 2 n 1 )!
称为泰勒级数 .
二、 直接展开法
利用麦克劳林公式将函数 f(x 展开成幂级数
的方法，称为直接展开法 .
例1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
( n ) x 解 由 f ( x ) e( n 1 , 2 , 3 , ) , 可以
得到
( n ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) 1 .
( θ x ) e n 1 r ( x ) x ( 0 θ 1 ) , n ( n 1 )!
且 x≤
x θx x x , 所以 e e , 因而有
f ( 0 ) 2 S (x )f( 0 )f ( 0 )x x n 1 2 ! ) f(n ( 0 ) n x. n !
那么， 级数 ③ 收敛于函数 f(x) 的条件为
lim S ( x ) f ( x ) . n 1
n
注意到麦克劳林公式 ② 与麦克劳林级数 ③ 的关为泰勒公式 .
如果令 x 0 , 就得到 0
f (0 ) 2 f (n)(0 ) n f (x ) f (0 ) f (0 )x x x 2 ! n ! r ). n(x ②
( n 1 ) f ( x )n 1 r ( x ) x ( 0 θ 1 ) . n ( n 1 )!
( 0 ) 1 , , ( 0 ) 0 ,f f( 0 )0, f( 0 ) 1 , f
n 1 ) n ( 0 ) ( 1 ) . f(2n)( 0 )0, f(2
于是可以得到幂级数
2 n 1 1 3 15 x n x x x ( 1 ) , 3 ! 5 ! ( 2 n 1 )!
称为泰勒级数 .
二、 直接展开法
利用麦克劳林公式将函数 f(x 展开成幂级数
的方法，称为直接展开法 .
例1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
( n ) x 解 由 f ( x ) e( n 1 , 2 , 3 , ) , 可以
得到
( n ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) 1 .
( θ x ) e n 1 r ( x ) x ( 0 θ 1 ) , n ( n 1 )!
且 x≤
x θx x x , 所以 e e , 因而有
第四节函数的幂级数展开简
1.求出f (x)的各阶导数 f (x), f (x),, f (n) (x),,
2.计算 f (x0), f (x0), f (x0),, f (n) (x0),,
3.写出 f (x)在x0 处的泰勒级数
1
n0n!
f
(n)
( x0
)( x
x0
)n
4.求出上述泰勒级数的收敛区间(－R, R)，
解 由 ex 1 x 1 x2 1 xn , x (,)
2!
n!
将x 换成 x2 可得函数的幂级数展开式.
ex2 1 x2 1 x4 (1)n x2n , x (,)
2!
n!
例 求 f (x) ln x 在 x0 3 处的展开式.
泰勒级数展开的唯一性 设f (x)在 x0的某对称区间 (R x0, R x0)内可以 展开成 (x x0)的幂级数 f (x) a0 a1(x x0) a2(x x0)2 an(x x0)n ， 将上式逐阶求导，有
f (x) a1 2a2(x x0) 3a3(x x0)2 nan(x x0)n1 ， f (x) 2!a2 3 2a3(x x0) n(n 1)an(x x0)n2 ， f (x) 3!a3 n(n 1)(n 2)an (x x0)n3 ，
lim
n
Sn
(
x)
f (x)
的充分必要条件是
lim
n
rn
(
x)
0
也即当
lim
n
rn
(
x)
0
时,有
考研数学指导将函数展开为幂级数的方法
考研数学指导将函数展开为幂级数的方
法
2015年考研复习已经开始，现在正值考研初期复习，数学作为考研必考的重要科目，针对考生需求，太奇考研小编为即将考研的朋友编辑整理了“2015考研数学初期复习指导：将函数展开为幂级数的方法”，希望对广大考友有所帮助!
将函数展开成幂级数的方法主要有两种：直接展开法和间接展开法。
直接展开法指的是：利用泰勒级数的定义及泰勒级数收敛的充要条件，将函数在某个区间直接展开成指定点的泰勒级数的方法。
间接展开法指的是：通过一定运算将函数转化为其他函数，进而利用新函数的幂级数展开式将原来函数展开为幂级数的方法。
所用运算主要是加法运算，数乘运算，(逐项)积分运算和(逐项)求导运算。
常见函数的麦克劳林级数展开式为：
下面举例帮大家巩固以上知识点：。
函数展开成幂级数
函数展开成 幂级数的方法
1. 直接展开法
把函数 f (x) 展开成 x 的幂级数的步骤:
第一步 求出 f (x) , f (x) , , f (n) (x) , ,
第二步 求出 f (0) , f (0) , f (0) , , f (n) (0) , ,
第三步 写出幂级数
f (n) (0) xn ,并求出收敛半径 R .
n2 n 1
x (1)n1(2n 1) xn (1 x 1) .
n2 n(n 1)
例
将函数
sin
x
展开成
x
π 4
的幂级数.
解
sin x
sin
π 4
x
π 4
sin
π 4
cos
x
π 4
1 2(1
x)
1 2(3
x)
1
1
,
4 1
x 1 2
8 1
x
1 4
将 1 (1)n xn 中的 x分别换成 x 1 和 x 1 ,
1 x n0
24
可得
1
4
1
x
1 2
1 4
n0
(1)n 2n
n1 n
例 把函数 f (x) (1 x) ln(1 x) 展开成 x 的幂级数.
解
f (x) (1 x)
(1)n1 xn
n1 n
(1)n1 xn
1. 直接展开法
把函数 f (x) 展开成 x 的幂级数的步骤:
第一步 求出 f (x) , f (x) , , f (n) (x) , ,
第二步 求出 f (0) , f (0) , f (0) , , f (n) (0) , ,
第三步 写出幂级数
f (n) (0) xn ,并求出收敛半径 R .
n2 n 1
x (1)n1(2n 1) xn (1 x 1) .
n2 n(n 1)
例
将函数
sin
x
展开成
x
π 4
的幂级数.
解
sin x
sin
π 4
x
π 4
sin
π 4
cos
x
π 4
1 2(1
x)
1 2(3
x)
1
1
,
4 1
x 1 2
8 1
x
1 4
将 1 (1)n xn 中的 x分别换成 x 1 和 x 1 ,
1 x n0
24
可得
1
4
1
x
1 2
1 4
n0
(1)n 2n
n1 n
例 把函数 f (x) (1 x) ln(1 x) 展开成 x 的幂级数.
解
f (x) (1 x)
(1)n1 xn
n1 n
(1)n1 xn
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常用的函数展开式有:
1
xn 1 x x2 xn , | x | 1
1 x n0
ex xn 1 x x2 xn , | x |
n0 n!
2!
n!
sin x (1)n
x 2n1
n0
(2n 1)!
x x3 x5 (1)n x2n1 , | x |
3! 5!
(2n 1)!
则
4
arctan1
1
1 3
1 5
(1)n1
1 2n
1
.
THANK YOU
微积分Ⅱ
CalculusⅡ
第十章 无穷级数
§10.1 无穷级数的概念 §10.2 无穷级数的基本性质 §10.3 数项级数的敛散性判别法 §10.4 函数项级数与幂级数 §10.5 函数的幂级数展开
幂级数间接展开法
利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算法则(四则 法则, 逐项求导逐项求积),将所给函数展成幂级数。
例
将函数 f ( x ) e x 2 展开成 x 的幂级数.
解：
由 e x x n 1 x x 2 x n , | x |
n0 n!
2!
n!
知 ex2 x2n 1 x2 x4 x2n , | x |
n0 n!
2!
n!
例
将函数
f
(x)
1
1 x
2
展开成
n0 2n 1
n0 2n 1
当 x 1 时,
(1)n 收敛。
n0 2n 1
所以， arctan x (1)n x2n1, x [1,1] n0 2n 1
例
证明
41 2n
1
.
证：由 arctan x (1)n x , 2n1 x [1,1] n0 2n 1
令 x 1,
x
的幂级数.
解： 由
1
(1)n xn , | x | 1
1 x n0
知
f (x)
1 1 x2
n0
(1)n x2n , |
x2
| 1
即 | x | 1
例 将函数 f ( x ) arctan x 展开成 x 的幂级数.
解： f (x)
1 1 x2
n0
(1)n x2n ,
x (1,1)
，两边积分得
x
f (x) f (0) f (x)dx
x
(1)n x2ndx
(1)n x2n1
0
n0 0
n0 2n 1
因 f (0) 0, 所以
f ( x) arctan x (1)n x , 2n1 x (1,1) n0 2n 1
当 x 1 时，
(1)n (1)2n1 (1)n1 收敛；