递推数列通项公式求法(教案设计)
常见递推数列通项公式的求法
例
已知数列 {a n }满足S n a n 2n 1, 其中S n是{a n }的前n项和, 求{a n }的 通项公式.
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2010年上学期
类型5
an1 pan f (n)( p 0, p 1)
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2010年上学期
类型3
an1 pan q( p 0, p 1)
求法 : 待定系数法.令an1 p(an ), 其中为待定系数, 化为等比数列 {an }求通项.
例3 已知数列 {an }中, 若a1 1, an1 2an
a1 = 1 练 一 练 a2 －a1 = 1 n个等式 4.已知{an}中, a1=1, a3 －a2 = 2 相加得 a4 －a3 = 3 an= 3n－1+an－1(n≥2), ••• 求通项an an－an－1 = n －1 an=( an－an－1)+(an－1－an－2)+ •••+ (a2 －a1)+ a1
常见递推数列通项公式的求法
湖南长郡卫星远程学校
制作 06
2010年上学期
S1 (n=1) a = 公式法（利用an与Sn的关系 n Sn－Sn－1(n≥2) 或利用等差、等比数列的通项公式）
1.｛an｝的前项和Sn=2n2－1，求通项an 解：当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(2n2－1) －[2(n－1)2－1] =4n－2 当n=1时, a1=1 不满足上式
求法 : 倒数法, 若p r , 则化为等差数列求 通项; 若p r , 则化为类型3求通项.
数列递推公式求通项公式的方法
数列递推公式求通项公式的方法数列是指按照一定规律排列的一组数。
而数列递推公式是指通过前一项或几项的数值，推导出数列中后一项的数值的公式。
而求解数列通项公式，即通过已知的数列的部分项求得数列的通项公式的方法，可以分为以下几种：1.列表法：通过列出数列的前几项进行观察和总结，找到数列的规律，从而推导出数列的通项公式。
这种方法常用于找出简单数列的通项公式，如等差数列和等比数列。
2.递推法：利用数列递推的性质，通过对数列进行递推推导出通项公式。
递推法常用于复杂的数列，需要将数列的前几项与后几项进行比较，找到规律并推导出通项公式。
3.数学归纳法：数学归纳法是一种利用已知的数学命题，在该命题的基础上证明该命题对任意自然数（或整数）都成立的方法。
对于数列来说，可以利用已知的数列部分项的性质，通过数学归纳法证明该数列的通项公式的正确性。
4.差分法：差分法是一种通过对数列进行差分操作，将数列变为新的数列，新数列有可能是个数列递推公式/规律更简单的数列。
然后，根据新数列的通项公式，再通过反差分操作推导出原数列的通项公式。
差分法常用于较为复杂的数列，特别适合于数列中的递推关系较为难以发现的情况。
5.比率法：比率法是一种通过比较数列的相邻项之间的比率或比值的变化规律，推导出数列的通项公式的方法。
比率法常用于等比数列或存在比率规律的数列。
需要注意的是，求解数列通项公式并不是一种机械性的计算过程，而是需要灵活运用数学知识、观察和总结数列的规律，并进行推理和证明的过程。
在实际应用中，也可能需要结合上述多种方法进行综合分析来求解数列的通项公式。
三大类递推数列通项公式的求法
三大类递推数列通项公式的求法1 一阶线性递推数列求通项问题一阶线性递推数列主要有如下几种形式： （1）1()n n x x f n +=+这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n 项和).当()f n 为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式．而当()f n 为等差数列时，则1()n n x x f n +=+为二阶等差数列，其通项公式应当为2n x an bn c =++形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是2n S an bn =+，其常数项一定为０． （2）1()n n x g n x +=这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n 项积). 当()g n 为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式．（3）1(,0,1)n+n x =qx +d q,d q q ≠≠为常数；这类数列通常可转化为1()n n x p q x p ++=+，或消去常数转化为二阶递推式211()n n n n x x q x x +++-=-.［例１］已知数列n x ｛｝中，11121(2)n n x x x n -==+≥，,求n x ｛｝的通项公式． ［解析］解法一．转化为1()n n x p q x p ++=+型递推数列．∵121(2)n n x x n -=+≥，∴112(1)(2)n n x x n -+=+≥，又112x +=，故数列｛1n x +｝是首项为２，公比为２的等比数列．∴12n n x +=，即21n n x =-．解法二．转化为211()n n n n x x q x x +++-=-型递推数列． ∵n x =2x n-1+1(n ≥2) ① ∴1n x +=2x n +1 ②②－①，得112()n n n n x x x x +--=-(n ≥2)，故｛1n n x x +-｝是首项为x 2-x 1=2，公比为２的等比数列，即11222n n n n x x -+-== ，再用累加法得21n n x =-．解法三．用迭代法．21231221212(21)12212222121n n n n n n n n x x x x x ------=+=++=++=++++=- ．当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明．［例２］已知函数1()22(1)2f x x x =-+≤≤的反函数为121(),1,()yg x x x g x ===， 321(),,(),,n n x g x x g x -== 求数列n x ｛｝的通项公式. [解析]由已知得1()1(01)2g x x x =-+≤≤，则1111,1(2)2n n x x x n -==-+≥． 令11()2n n x p x p -+=-+=,则11322n n x x p -=--.比较系数，得23p =-.即有1212()(2)323n n x x n --=--≥．∴数列｛23n x -｝是以12133x -=为首项，12-为公比的等比数列，∴1211()332n n x --=-，故1112()323n n x -=-+．［评析］此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之． （4）1(,nn n cx x c d x d+=+为非零常数）；若取倒数,得1111n n d x c x c+=+ ，令1n n y x =，从而转化为（1）型而求之.（5）1(,1,1)n n+n x =qx +d q,d q d ≠≠为非零常数； 这类数列可变换成111n n n n x x q d d d d ++=+ ，令nnnx y d =，则转化为(1)型一阶线性递推公式. ［例３］设数列11132(*)n n n n x x x x n N +==+∈.｛｝满足：，求数列n x ｛｝的通项公式． ［解析］∵132n n n x x +=+，两边同除以12n +，得11312222n n n n x x ++=+ ．令322nnnx y = ，则有13122n n y y +=+ ．于是，得131(1)2n n y y ++=+，∴数列1n y +｛｝是以首项为37144+=，公比为32的等比数列，故1731()42n n y -+= ，即173()142n n y -=- ，从而2117323n n n x -+=- ．［例４］设10132(*)n n n x x x n N --=-∈为常数，且，求数列n x ｛｝的通项公式． ［解析］设1132(3)n n n n x p x p --+=-+ ，用1132n n n x x --=-代入，可解出15p =-． ∴35nn x -｛｝是以公比为-2，首项为00332122555x x x -=--=-１的等比数列． ∴1032(2)(2)55n n n x x --=--， 即1023(2)(2)55n n n x x -=--+03(1)2(1)2(*)5n n n n n x n N --=+-∈ ．（6）1(00,0,1)pn+n n x =cx x ,c p p >>>≠这类数列可取对数得1lg lg lg n n x x c +=+，从而转化为等差数列型递推数列. 2 可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列［例５］设数列12215521(*)333n n n n x x x x x x n N ++===-∈.｛｝满足：，，求数列n x ｛｝的通项公式． ［解析］由2152(*)33n n n x x x n N ++=-∈，可得 2111222()(*)333n n n n n n x x x x x x n N ++++=-=-∈.－设11212521333n n n n y x x y y x x +=-=-=-=，则｛｝是公比为的等比数列，且，故2(*)3n y n N =∈n （）．即12(2)3n n x x n --=≥n-1（）．用累加法得 12111221222()()()()()333n n n n n n n x x x x x x x x ------=-+-++-=+++ ， 或11221112()()()222()()1333n n n n n n n x x x x x x x x -----=-+-++-+=++++21()233[1()]2313nn -==--). ［例６］在数列12211(*)n n n n x x x x x x n N ++===+∈｛｝中，已知，，求数列n x ｛｝的通项公式．［解析］可用换元法将其转化为一阶线性递推数列．令11n n n y x a x +=-，使数列n y ｛｝是以2a 为公比的等比数列(1,a a ２待定)． 即211211()n n n n x a x a x a x +++-=-，∴212112()n n n x a a x a a x ++=+-．对照已给递推式，有121211a a a a +==-，，即21210a a x x --=、是方程的两个实根．从而1212a a a a ====∴211111(222n n n n x x x x ++++-=-) ①或211111(222n n n n x x x x ++++-=-) ②由式①得111(22n n n x x +-=；由式②得111(22nn n x x +-=．消去111((22n nn n x x +=-１，得］． ［例７］在数列12211(*)n n n n x x x x x x n N ++===-∈｛｝中，已知，，求100x ． ［解析］由21n n n x x x ++=- ①，得321n n n x x x +++=- ②．式②+式①，得3n n x x +=-，从而有63n n n x x x ++=-=．∴数列n x ｛｝是以６为其周期．故100x =4x =-1．3 特殊的n 阶递推数列［例８］已知数列n x ｛｝满足11231123(1)(2)n n x x x x x n x n -==++++-≥ ，，求n x ｛｝的通项公式． ［解析］∵123123(1)(2)n n x x x x n x n -=++++-≥ ①∴1123223(2)(3)n n x x x x n x n --=++++-≥ ② ②－①，得1(3)n n x nx n -=≥．∴1(3)nn x n n x -=≥，故有 1312213n n n n x x x n n x x x ---==-=. ，， 将这几个式子累乘，得22(1)(2)3(1)(2)3nn x n n n x n n n x x =--==--. ，或 又1211(1),11,!(2)2n n x x x x n n =⎧⎪====⎨≥⎪⎩ ，故 ．［例9］数列｛n x ｝满足21121,2n n x x x x n x =+++= ，求数列｛n x ｝的同项公式． ［解析］由212n n x x x n x +++= ①，得21211(1)(2)n n x x x n x n --+++=-≥ ②． 式①－式②，得221(1)n n n x n x n x -=--，或2221(1)(1)n n n n n x n x x n x --=-=-，故有11(2)1n n x n n x n --=≥+ . ∴12312341234,,,,112n n n n n n n n x x x x n n n n x n x n x n x n -----------====+-- ,322121,43x x x x ==. 将上面几个式子累乘，得121(1)n x x n n=+ ，即1211(2)(1)(1)n x x n n n n n ==≥++ ． ∵112x =也满足上式，∴1211(*)(1)(1)n x x n N n n n n==∈++ ．。
高中数学第二课时-数列的递推公式
第二课时数列的递推公式课标要求素养要求1.理解数列的递推公式是数列的表示方法的一种形式.2.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法. 通过由数列的递推公式归纳或者推导数列的通项公式，提升学生的数学运算素养和逻辑推理素养.新知探究历史上有一个有名的关于兔子的问题：假设有一对兔子(一雄一雌)，长两个月它们就算长大成年了.然后每个月都会生出1对兔子，生下来的兔子也都是长两个月就算成年，然后每个月也都会生出1对兔子.这里假设兔子不会死，且每次都是只生1对兔子.第一个月，只有1对兔子；第二个月，小兔子还没长成年，还是只有1对兔子；第三个月，兔子长成年了，同时生了1对小兔子，因此有两对兔子；第四个月，成年兔子又生了1对兔子，加上自己及上月生的小兔子，共有3对兔子；第五个月，成年兔子又生了1对兔子，第三月生的小兔子现在已经长成年了且生了1对小兔子，加上本身两只成年兔子及上月生的小兔子，共5对兔子；问题1过了一年之后，会有多少对兔子？提示 我们可以把这些兔子的数量以对为单位列出数字就能得到一组数字：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233.所以，过了一年之后，总共会有233对兔子.问题2 兔子的对数所组成的数列为1，1，2，3，5，8，13，…这个数列的第n 项a n ，第n ＋1项a n ＋1，第n ＋2项a n ＋2有何关系？ 提示 a n ＋a n ＋1＝a n ＋2.1.数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 2.数列的前n 项和(1)数列{a n }的前n 项和：把数列{a n }从第1项起到第n 项止的各项之和，称为数列{a n }的前n 项和，记作S n ，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .(2)数列的前n 项和公式：如果数列{a n }的前n 项和S n 与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n 项和公式. 3.a n 与S n 的关系式 a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.拓展深化[微判断]1.数列{a n }中，若a n ＋1＝2a n ，n ∈N *，则a 2＝2a 1.(√)2.利用a n ＋1＝2a n ，n ∈N *可以确定数列{a n }.(×) 提示 只有给出a 1的值，才可以确定数列{a n }.3.设数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝S n －S n －1.(×) 提示 a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[微训练]1.已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，则数列的第5项a 5＝________，由此归纳出{a n }的一个通项公式为________，可以求得a 8＝________.解析 ∵a 1＝3，∴a 2＝2a 1＋1＝7，a 3＝2a 2＋1＝15，a 4＝2a 3＋1＝31，a 5＝2a 4＋1＝63，∴a 5＝63.可以看出a n ＝2n ＋1－1，∴a 8＝29－1＝511. 答案 63 a n ＝2n ＋1－1 5112.设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n －3，则a n ＝________.解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－[2(n －1)－3]＝2，又a 1＝S 1＝2×1－3＝－1，故a n ＝⎩⎨⎧－1，n ＝1，2，n ≥2.答案 ⎩⎨⎧－1，n ＝1，2，n ≥2.[微思考]1.利用数列的递推公式确定一个数列，必须给出哪些条件？ 提示 (1)“基础”，即第1项(或前几项)； (2)递推关系，即递推公式.2.数列的递推公式与其通项公式有何异同？ 提示相同点不同点通项公式均可确定一个数列，求出数列中的任意一项给出n 的值，可求出数列中的第n 项a n 递推公式由前一项(或前几项)，通过一次(或多次)运算，可求出第n 项a n题型一 由数列的递推公式求数列的项【例1】 若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n ，n ∈N *，求a 2 021.解 a 2＝1＋a 11－a 1＝1＋21－2＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝1－31＋3＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝1－121＋12＝13， a 5＝1＋a 41－a 4＝1＋131－13＝2＝a 1， ∴{a n }是周期为4的数列， ∴a 2 021＝a 4×505＋1＝a 1＝2.规律方法 递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系.对于通项公式，已知n 的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律.【训练1】 (多选题)已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝－1a n ＋1，能使a n ＝3的n可以为( ) A.22 B.24 C.26D.28解析 由a 1＝3，a n ＋1＝－1a n ＋1，得a 2＝－14，a 3＝－43，a 4＝3.所以数列{a n }是周期为3的数列，故a 22＝a 28＝3. 答案 AD题型二 由递推公式求数列的通项【例2】 (1)对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n (n ≥2，n ∈N *)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，n ∈N *，求通项a n ；(2)若数列{a n }中各项均不为零，则有a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2，n ∈N *)，求通项a n .解 (1)当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)a 1＝1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1，n ∈N *. (2)当n ≥2时，a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝1×12×23×…×n －1n ＝1n . a 1＝1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ，n ∈N *.规律方法 形如a n ＋1－a n ＝f (n )的递推公式，可以利用a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n (n ≥2，n ∈N *)求通项公式；形如a n ＋1a n ＝f (n )的递推公式，可以利用a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)求通项公式.以上方法分别叫累加法和累乘法. 【训练2】 设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________.解析 法一 (累乘法)：把(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0分解因式，得[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0. ∵a n ＞0，∴a n ＋1＋a n ＞0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， ∴a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n ，∴a n a 1＝1n .又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n .法二 (迭代法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴a n ＋1＝nn ＋1a n，∴a n ＝n －1n ·a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12a 1＝1n a 1. 又∵a 1＝1，∴a n ＝1n .法三 (构造特殊数列法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴(n ＋1)a n ＋1＝na n ，∴数列{na n }是常数列， ∴na n ＝1·a 1＝1，∴a n ＝1n . 答案 1n题型三 由S n 与a n 的关系求a n【例3】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式. 解 根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 可知 S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n >1，n ∈N *)， 当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n －1）2＋12（n －1）＝2n －12， ①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12，n ∈N *.【迁移1】 把例3中数列{a n }的前n 项和改为S n ＝n 2＋12n ＋1，求数列{a n }的通项公式.解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋12n ＋1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n －1）2＋12（n －1）＋1＝2n －12.①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12＋1＝52不符合①式. ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52，n ＝1，2n －12，n ≥2，n ∈N *.【迁移2】 把例3中数列{a n }的前n 项和改为S n ＝2n －1，求数列{a n }的通项公式.解 ∵S n ＝2n －1，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝1符合上式，∴a n ＝2n －1.规律方法 已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求得a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示，不符合则分段表示.【训练3】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2＋n ＋3，求数列{a n }的通项公式. 解 ∵S n ＝2n 2＋n ＋3，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋1＋3＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋n ＋3－[2(n －1)2＋(n －1)＋3]＝4n －1. 当n ＝1时，a 1不符合上式， ∴a n ＝⎩⎨⎧6，n ＝1，4n －1，n ≥2.一、素养落地1.通过学习由数列的递推公式求数列的项或通项公式，提升逻辑推理素养和数学运算素养.2.由数列的递推公式求数列的通项公式的方法有：(1)归纳法；(2)累加法；(3)累乘法；(4)迭代法.3.利用a n 与S n 的关系求通项所应用公式为a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，注意其步骤有三：①求n ＝1时的项，即a 1；②求n ≥2时a n 的表达式；③验证a 1是否满足n ≥2时的表达式. 二、素养训练1.已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第三项是( ) A.1 B.12 C.34D.58解析 由题知a 2＝12×1＋12＝1，a 3＝12×1＋14＝34. 答案 C2.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( ) A.a n ＝a n －1＋2(n ≥2) B.a n ＝2a n －1(n ≥2)C.a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)D.a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)解析 A ，B 中没有说明某一项，无法递推；D 中a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，不合题意. 答案 C3.已知数列{a n }中，a n ＋1＝2a n 对∀n ∈N *成立，且a 3＝12，则a 1＝________. 解析 ∵a 3＝2a 2＝12，∴a 2＝6，a 2＝2a 1＝6，∴a 1＝3. 答案 34.已知数列{a n }的首项a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n (n ＝1，2，3，…)，则a 4＝________，猜想其通项公式是________.解析 ∵数列{a n }的首项a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n (n ＝1，2，3，…)，∴a 2＝a 11＋a 1＝12，同理可得a 3＝13，a 4＝14.猜想其通项公式是a n ＝1n . 答案 14 a n ＝1n5.设数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ，求a n . 解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －3(n －1)＝3，又a 1＝S 1＝3，所以a n ＝3.基础达标一、选择题1.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋（－1）na n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 5＝( )A.32B.53C.85D.23解析 由题知，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝12，a 4＝3，a 5＝23. 答案 D2.已知数列{a n }，a 2＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ，n ∈N *，则a 1＋a 3的值为( ) A.4 B.5 C.6D.8解析 由a 2＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ，n ∈N *，可得a 1＋a 2＝2，a 2＋a 3＝4，解得a 1＝1，a 3＝3，a 1＋a 3＝4. 答案 A3.已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *).若数列{a n }是常数列，则a ＝( )A.－2B.－1C.0D.(－1)n解析 ∵数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，∴a 2＝a 2－2a ＋1.∵数列{a n }是常数列，∴a ＝a 2－2a ＋1，解得a ＝－2.故选A.答案 A4.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则a 2＋a 18等于( ) A.36 B.35 C.34D.33解析 a 2＝S 2－S 1＝(22－2×2)－(12－2×1)＝1，a 18＝S 18－S 17＝182－2×18－(172－2×17)＝33，a 2＋a 18＝34. 答案 C5.设S n 为数列{a n }的前n 项和.若2S n ＝3a n －3，则a 4＝( ) A.27 B.81 C.93D.243解析 根据2S n ＝3a n －3，可得2S n ＋1＝3a n ＋1－3，两式相减得2a n ＋1＝3a n ＋1－3a n ，即a n ＋1＝3a n .当n ＝1时，2S 1＝3a 1－3，解得a 1＝3，则a 4＝3a 3＝32a 2＝33a 1＝81. 答案 B 二、填空题6.数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝a n ＋1－3，则14是{a n }的第________项.解析 a 1＝2，a 2＝a 1＋3＝5，a 3＝a 2＋3＝8，a 4＝a 3＋3＝11，a 5＝a 4＋3＝14. 答案 57.已知数列{a n }中，a 1a 2…a n ＝n 2(n ∈N *)，则a 9＝________. 解析 a 1a 2…a 8＝82，① a 1a 2…a 9＝92，② ②÷①得，a 9＝9282＝8164. 答案 81648.数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N *，2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项为________.解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1， ∴a n ≠0，∴a na n －1＝2>1，∴a n >a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝4a 8＝…＝29·a 1＝29×2＝210＝1 024. 答案 1 024 三、解答题9.根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式. (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)； (2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a n n ＋1(n ∈N *)；(3)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）(n ∈N *).解 (1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9. 猜想a n ＝(n －1)2(n ∈N *).(2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42＝2，a 4＝52. 猜想a n ＝n ＋12(n ∈N *).(3)a 1＝－1，a 2＝－12，a 3＝－13，a 4＝－14. 猜想a n ＝－1n (n ∈N *).10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，求数列{a n }的通项公式. (1)S n ＝3n ＋2；(2)S n ＝n 2－n . 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2)－(3n －1＋2) ＝2·3n －1，故a n ＝⎩⎨⎧5，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.(2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－n )－[(n －1)2－(n －1)]＝2n －2，又a 1＝0满足a n ＝2n －2，故a n ＝2n －2.能力提升11.已知各项不为0的数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n (n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝________.解析 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，且各项均不为0， ∴1a n －1a n －1＝1. ∴当n ≥2时，1a n ＝1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1 ＝2＋1＋1＋1＋…＋1(n －1)个1 ＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴当n ≥2时，a n ＝1n ＋1.∵a 1＝12也符合上式，∴a n ＝1n ＋1(n ∈N *).答案1n ＋112.已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，n ∈N *，求数列的通项公式a n .解 ∵a n ＋1－a n ＝1n －1n ＋1，∴a 2－a 1＝11－12， a 3－a 2＝12－13， a 4－a 3＝13－14， …，a n －a n －1＝1n －1－1n (n ≥2)，将以上n －1个式子相加，得∴(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ， 即a n －a 1＝1－1n (n ≥2，n ∈N *).∴a n ＝a 1＋1－1n ＝－1＋1－1n ＝－1n (n ≥2，n ∈N *)， 又当n ＝1时，a 1＝－1也符合上式. ∴a n ＝－1n ，n ∈N *.创新猜想13.(多选题)已知数列{x n }满足x 1＝a ，x 2＝b ，x n ＋1＝x n －x n －1(n ≥2)，则下列结论正确的是( ) A.x 2 020＝a B.x 2 022＝a －b C.x 11＝x 2 021D.x 1＋x 2＋…＋x 2 020＝2b －a解析 x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝x 2－x 1＝b －a ，x 4＝x 3－x 2＝－a ，x 5＝x 4－x 3＝－b ，x 6＝x 5－x 4＝a －b ， x 7＝x 6－x 5＝a ＝x 1，x 8＝x 7－x 6＝b ＝x 2， ∴{x n }是周期数列，周期为6， ∴x 2 020＝x 4＝－a ，A 不正确； x 2 022＝x 6＝a －b ，B 正确； x 2 021＝x 5＝x 11，C 正确；x 1＋x 2＋…＋x 2 020＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2b －a ，D 正确. 答案 BCD14.(多选题)已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n ，a n 为偶数，3a n ＋1，a n 为奇数，若a 4＝4，则m 所有可能的取值为( ) A.4 B.5 C.21D.32解析 若a 3为奇数，则3a 3＋1＝4，a 3＝1，若a 2为奇数，则3a 2＋1＝1，a 2＝0(舍去)，若a 2为偶数，则a 22＝1，a 2＝2.若a 1为奇数，则3a 1＋1＝2，a 1＝13(舍去)， 若a 1为偶数，则a 12＝2，a 1＝4； 若a 3为偶数，则a 32＝4，a 3＝8；若a 2为奇数，则3a 2＋1＝8，a 2＝73(舍去). 若a 2为偶数，则a 22＝8，a 2＝16. 若a 1为奇数，则3a 1＋1＝16，a 1＝5. 若a 1为偶数，则a 12＝16，a 1＝32. 故m 所有可能的取值为4，5，32.答案ABD高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
由数列的递推公式求通项公式课件
2
⇒ +1 = +
3
3
3
设 =
，则
3
+1 =
即
+1
+1
，有
3+1
+1 = +
+1 − =
2 − 1 =
2 +1
3
2 +1
3
（可用累加法求出通项公式）
3 − 2 =
2 2
3
2 3
3
……,
− −1=
⇒ − 1 =
+1 + = ( + ) ⟹
+1 +
+
= ，
所以{ + }是等比数列，公比为，首项为1 +
（2）是用作差法直接构造： 由已知得 +1 = + , = −1 + ， 两式相减有
+1 − = ( − −1 )
所以+1 − 是公比为的等比数列
由数列的递推公式求通项公式
递推公式：
如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，
那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
例如：等差数列递推公式：+1 = + 或 −1 + +1 = 2
+1
等比数列递推公式：
=
已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具
例3. 在数列{ }中，1 = 1，当 ≥ 2时，有 = 3−1 + 2，求{ }的通项公式。
解法1：设 + = 3(−1 + )，即有 = 3−1 + 2
高中数学教案《由递推公式求通项公式
高中数学教案《由递推公式求通项公式》一、教学目标：1. 理解递推公式的概念，掌握递推公式的求解方法。
2. 能够运用递推公式求解简单的数列通项公式。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 递推公式的定义和性质。
2. 递推公式的求解方法。
3. 运用递推公式求解数列通项公式。
三、教学重点与难点：1. 重点：递推公式的求解方法，数列通项公式的求解。
2. 难点：递推公式的灵活运用，解决复杂问题。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究递推公式的求解方法。
2. 通过案例分析，让学生掌握递推公式在求解数列通项公式中的应用。
3. 利用数形结合的方法，帮助学生直观地理解递推公式的性质。
五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾数列的相关知识，为新课的学习做好铺垫。
2. 递推公式的定义与性质：讲解递推公式的定义，引导学生理解递推公式的性质。
3. 递推公式的求解方法：介绍递推公式的求解方法，引导学生掌握求解技巧。
4. 数列通项公式的求解：讲解如何运用递推公式求解数列通项公式，引导学生独立解决问题。
5. 案例分析：分析典型例题，让学生加深对递推公式的理解和运用。
6. 练习与拓展：布置练习题，巩固所学知识，引导学生运用递推公式解决实际问题。
8. 作业布置：布置适量作业，让学生巩固所学知识。
9. 课后辅导：针对学生在作业中遇到的问题进行辅导，提高学生的解题能力。
10. 教学评价：对学生的学习情况进行评价，为下一步教学提供参考。
六、教学评价：1. 学生能够准确理解递推公式的概念及其在数列中的作用。
2. 学生能够运用不同的方法解决递推公式的问题，并正确求解通项公式。
3. 学生能够分析问题，将实际问题转化为数学问题，并运用递推公式解决。
4. 学生能够通过案例分析，理解递推公式在不同情境下的应用。
5. 学生能够独立完成课后作业，并对遇到的问题进行自主思考和解决。
七、教学拓展：1. 探讨递推公式在其他数学领域的应用，如组合数学、图论等。
高中数学必修5《由数列的递推公式求数列的通项公式》教学设计
《数列通项公式的方法》教学设计一、教学内容的地位和作用在高考中数列部分是必考内容，近四年的高考中，2010、2011年在17题的位置考查了数列的解答题，2012、2013年均考查了2—3道数列的小题，数列部分在高考中所占分值均在10—15分之间，可以说高考对于数列的考查是重点且难度不大，是高考中容易得分的部分。
而不论是选择题或填空题中对基础知识的检验，还是解答题中与数列知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键。
二教学目标：知识与技能：1、要求理解数列通项公式的意义,掌握等差、等比数列的通项公式的求法； 2、掌握并能熟练应用数列通项公式的常用求法:公式法、累加法、累乘法、由和求通项以及加数构造等比的方法。
过程与方法：通过对例题的求解引导学生从中归纳相应的方法，明确不同的方法适用不同的前提、形式，使学生形成解决数列通项公式的通法。
情感态度与价值观：感受知识的产生过程，通过方法的归纳，形成事物及知识间联系与区别的哲学观点。
三、教学重难点：重点：数列通项公式的常见求法难点：加数构造等比的方法的归纳和应用，以及针对形式的不同恰当选择通项公式的求法。
四、教学手段与方法教学采用导学案教学模式，启发、引导、归纳的方法。
突出学生的主体地位，充分发挥学生的学习自主性，教师引导学生分析例题及变式，并由学生归纳得到相应方法适用的形式特点，从而形成解决该类问题的通法，多媒体辅助教学，规范学生的答题过程。
五、教学过程（一）考情分析2012、2013年均考查了2—3道数列的小题，数列部分在高考中所占分值均在10—15分之间，可以说高考对于数列的考查是重点且难度不大，是高考中容易得分的部分。
而不论是选择题或填空题中对基础知识的检验，还是解答题中与数列知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键。
设计意图：使学生明确本节教学的重要性，并为本章的复习打下良好的思想基础。
（二）基础知识梳理1、数列{}n a的常用表示方法：，。
“anan1=f（n）（n∈n）”型递推数列通项求法
2014年第3期·高中数学教学·特级教师专栏·“a n +a n+1=f （n ）（n ∈N +）”型递推数列通项求法武汉市第一中学王少华求递推数列的通项公式是高中数学教学中的一个长期被关注的热点问题，因为它不仅能让学生领会数学的化归思想和方法，强化对基础知识、基本技能的理解和掌握，特别是对等差数列、等比数列的定义和前n 项和公式的本质的内涵和外延的认识，而且能有效地培养学生观察能力、发散思维能力。
本文根据教学实践对a n +a n +1=f （n ）（n ∈N +）”型递推数列的通项公式进行探讨，并根据f （n ）的特点给出几种常用方法：方法1：由a n +a n +1=f （n ）变形为a n +1g （n +1）=-a ·a n g （n ）+b ，设b n +1=a n g （n ），得b n +1=-a ·b n +b ，然后利用待定系数法转化为等比数列求出其通项。
方法2：由a n +a n +1=f （n ）变形得：a n +1（-1）n +1-a n（-1）n +1=f （n ）（-1）n +1，设b n =a n （-1）n +1，得b n +1-b n =f （n ）（-1）n +1，然后根据f （n ）（-1）n +1的特点利用累加法求出其通项。
方法3：由a n +a n +1=f （n ），a n+1+a n +2=f （n +1），两式相减得a n+2-a n =f （n +1）-f （n ），然后根据f （n +1）-f （n ）的特点分别求出数列奇数项和偶数项的通项。
方法4：由a n +a n +1=f （n ）利用待定系数法变形为a n +1+g （n +1）=-[a n +g （n ）]，设b n =a n +g （n ），得b n +1=-b n .然后转化为等比数列求出其通项。
例：已知数列{a n }中，a 1=5，a 2=2，a n +a n +1=7×3n -1，求出它的通项公式。
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递推数列通项公式的求法
彭山一中 郑昌建
一、课题：常见递推数列通项公式的求法
二、教学目标
1、知识与技能：
会根据递推公式求出数列中的项，并能运用累加、累乘、待定系数等方法求数列的通项公式。
2、过程与方法：
①复习回顾所学过的通项公式的求法，对比递推公式与通项公式区别认识到由递推公式求通项公式的重要性，引出课题。
②对比等差数列的推导总结出累加法的试用题型。
③学生分组讨论完成累乘法及待定系数法的相关题型。
3、情感态度与价值观：
①通过对数列的递推公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；
②通过对数列递推公式问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯；
③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。
三、教学重点：根据数列的递推关系式求通项公式。
四、教学难点：解题过程中方法的正确选择。
五、教学课型，课时：复习课 1课时
六、教学手段：多媒体课件，黑板，粉笔
七、教学方法： 激励——讨论——发现——归纳——总结
八、教学过程
（一）复习回顾：
1、通项公式的定义及其重要作用
2、学过的通项公式的几种求法
3、区别递推公式与通项公式，从而引入课题
（二）新知探究：
问题1:已知数列}{n a ，1a =1，1n a +=n a +2，求n a ?
变式： 已知数列}{n a ，1a =1，1n a +=n a +2n ，求n a ?
活动：通过分析发现形式类似等差数列，故想到用累加法去求解。
教师引导学生细致讲解整个解题过程。
解：由条件知：n a a n n 21=-+
分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，
即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a
)1(2)2(232222-⨯+-⨯+⨯+⨯+=n n
所以[]2)1(22)1(1-⨯+-=-n n a a n 由
1a =1，12+-=∴n n a n 练习： 已知数列}{n a ，1a =1，n n n a a 2
11=-+，求n a ? 总结：类型1：)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
问题2： 已知数列{a n }满足)(,2,111*+∈==N n a a a n n ，求{a n }的通项公式。
变式：若条件变为)(,21*+∈=N n a a n n n
方法归纳：利用累乘法求数列通项
活动：类比类型1推导过程，让学生分组讨论研究相关解题方案。
解：1342312-•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•••n n
a a a a a a a a 1
2212222--⋅⋅=n n
即)1()2(2112-+-+++=n n n a a
练习： 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。
总结：类型2型如 用累乘法求解
问题3： 已知数列{a n }满足)(,12,111*+∈+==N n a a a n n ，求{a n }的通项公式。
发现：)1(21,112111+=+++=+++n n n n a a a a 即
令b n =a n +1,则b n+1=a n+1+1 即21=+n n b b )
(1n f a a n n ⋅=+222n
n n a -=∴2=++∴
+11n 1n a a
故{b n }是以b 1=2为首项,2为公比的等比数列, 变式：)(,64,311*+∈-==N n a a a n n ，求{a n }的通项公式。
总结：类型3型如a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0）递推式均可通过待定系数法对常数q 分解法：设a 1+n +k=p （a n +k ）与原式比较系数可得pk －k =q ，即k=1-p q ，从而得等比数列{a n +k }。
问题4： 已知数列{a n }满足111,
111=-=-n n a a a ，求{a n }的通项公式
总结：类型4 型如
变式：
思考： 九、课堂小结： （1）定义法： （2）累加（乘）法：
（3）构造法： 十、作业布置：试卷
十一、板书设计：
问题1 问题3 小结 问题2 问题4 作业
1
22-==∴n n n n a b 即114:2,4n n n a a a a +==+变式n
n a a a n 441:1++＝取倒数41a 1a 1:n 1n ++＝即41a 1a 1:n 1n =-+即43+n =∴n a 13
4+=∴n a n ),,(1均不为零r q p r qa pa a n n n +=
+.3,,,:求通项则化为类型若则化为等差数列求通项若倒数法求法r p r p ≠=.}{,12,1,}{111的通项公式求中已知数列n n n n n a S S S a a +==--.}{),(,22,1}{)1(11的通项公式求数列中在数列n n n n n a N n a a a a *+∈+=={}求数列的通项公式。
且中在数列)2(24,2)2(11≥+==-n a a a a n n n n 常数常数如==---1n 1n a a :n n a ；a )(a )(a :1n 1n n f a ；n f a n n ==---如）q p p 0,1,0(≠≠≠）q pa n 通常用待定系数法构造形如(a :1n +=-。