初中数学九年级期中河南郑州四中上期九年级期中考试数学试卷
【5套打包】郑州市初三九年级数学上期中考试测试题(解析版)
新九年级（上）数学期中考试题(答案)一、选择题（每小题4分，共30分）1．下列二次根式中，最简二次根式为（）A．B．C．D．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式）．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解：A、被开方数含分母，故A错误；B、被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，故B正确；C、被开方数中含能开得尽方的因数或因式，故C错误；D、被开方数中含能开得尽方的因数或因式，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了最简二次根式，规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．2．已知2x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据等式的性质，可得答案．解：A、两边都除以2y，得＝，故A符合题意；B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；C、两边都除以2y，得＝，故C不符合题意；D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了等式的性质，利用等式的性质是解题关键．3．下列事件中，是必然事件的是（）A．将油滴入水中，油会浮在水面上B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯C．如果a2＝b2，那么a＝bD．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．解：A、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故A符合题意；B、车辆随机到达一个路口，遇到红灯是随机事件，故B不符合题意；C、如果a2＝b2，那么a＝b是随机事件，D、掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上是随机事件，故选：A．【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求出△ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．解：根据勾股定理，AB＝＝2，BC＝＝，AC＝＝，所以△ABC的三边之比为：2：＝1：2：，A、三角形的三边分别为2，＝，＝3，三边之比为2：：3＝：：3，故A选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，＝2，三边之比为2：4：2＝1：2：，故B选项正确；C、三角形的三边分别为2，3，＝，三边之比为2：3：，故C选项错误；D、三角形的三边分别为＝，＝，4，三边之比为：：4，故D选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键．5．一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【分析】首先求出一元二次方程x2﹣4x+5＝0根的判别式，然后结合选项进行判断即可．解：∵一元二次方程x2﹣4x+5＝0，∴△＝（﹣4）2﹣4×5＝16﹣20＝﹣4＜0，即△＜0，∴一元二次方程x2﹣4x+5＝0无实数根，故选：A．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，此题难度不大．6．用配方法解方程x2﹣2x﹣8＝0，下列配方结果正确的是（）A．（x+1）2＝9B．（x+1）2＝7C．（x﹣1）2＝9D．（x﹣1）2＝7【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．解：x2﹣2x＝8，x2﹣2x+1＝9，（x﹣1）2＝9．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．7．如果代数式+有意义，那么直角坐标系中点A（a，b）的位置在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可知a、b的取值范围，再根据直角坐标系内各象限点的特征确定所在象限．解：∵代数式+有意义，∴a≥0且ab＞0，解得a＞0且b＞0．∴直角坐标系中点A（a，b）的位置在第一象限．故选：A．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．同时考查了直角坐标系内各象限点的特征．8．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝13，sin B＝，则边BC的长为（）A．7B．8C．12D．17【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，利用锐角三角函数求出AD的长，利用勾股定理再分别求出BD和CD的长即得结果．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．∵sin B＝，即＝，∴AD＝12．在Rt△ABD中，BD＝＝12．在Rt△ACD中，CD＝＝＝5．∴BC＝BD+CD＝12+5＝17．故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形，题目难度不大．构造直角三角形，充分利用∠B的正弦、AB、AC的长是解决本题的关键．9．如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC：AF＝2：3，则下列结论不正确的是（）A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形B．AD与AE的比是2：3C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2：3D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4：9【分析】本题主要考查了位似变换的定义及作图，位似变换就是特殊的相似，且位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比，因而周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．解：∵四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形；A、四边形ABCD与四边形AEFG一定是相似图形，故正确；B、AD与AG是对应边，故AD：AE＝2：3；故错误；C、四边形ABCD与四边形AEFG的相似比是2：3，故正确；D、则周长的比是2：3，面积的比是4：9，故正确．故选：B．【点评】本题主要考查了位似的定义及性质：周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．10．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y ＝的图象上，且OA ⊥OB ，cos A ＝，则k 的值为（ ）A ．﹣3B ．﹣4C ．﹣D ．﹣2【分析】过A 作AE ⊥x 轴，过B 作BF ⊥x 轴，由OA 与OB 垂直，再利用邻补角定义得到一对角互余，再由直角三角形BOF 中的两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，又一对直角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形BOF 与三角形OEA 相似，在直角三角形AOB 中，由锐角三角函数定义，根据cos ∠BAO 的值，设出AB 与OA ，利用勾股定理表示出OB ，求出OB 与OA 的比值，即为相似比，根据面积之比等于相似比的平方，求出两三角形面积之比，由A 在反比例函数y ＝上，利用反比例函数比例系数的几何意义求出三角形AOE 的面积，进而确定出BOF 的面积，再利用k 的集合意义即可求出k 的值．解：过A 作AE ⊥x 轴，过B 作BF ⊥x 轴，∵OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°，∴∠BOF +∠EOA ＝90°，∵∠BOF +∠FBO ＝90°，∴∠EOA ＝∠FBO ，∵∠BFO ＝∠OEA ＝90°，∴△BFO ∽△OEA ，在Rt △AOB 中，cos ∠BAO ＝＝， 设AB ＝，则OA ＝1，根据勾股定理得：BO ＝， ∴OB ：OA ＝：1， ∴S △BFO ：S △OEA ＝2：1，∵A 在反比例函数y ＝上，∴S △OEA ＝1，∴S＝2，△BFO则k＝﹣4．故选：B．【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）11．在Rt△ABC中，sin A＝，则∠A等于30°．【分析】根据sin30°＝解答．解：在Rt△ABC中，sin A＝，∴∠A＝30°，故答案为：30．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．12．某服装原价为100元，连续两次涨价a%，售价为121元，则a的值为10．【分析】根据该服装的原价及经两次涨价后的价格，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：根据题意得：100（1+a%）2＝121，解得：a1＝10，a2＝﹣210（舍去）．故答案为：10．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是红球．【分析】根据已知条件即可得到结论．解：∵这三种颜色的球被抽到的概率都是，∴这三种颜色的球的个数相等，∴添加的球是红球，故答案为：红球．【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率的概念是解题的关键．14．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则OD：OB＝1：2．【分析】依据BD，CE分别是边AC，AB上的中线，可得DE是△ABC的中位线，即可得到DE∥BC，DE＝BC，再根据△DOE∽△BOC，即可得到OD：OB的值．解：∵BD，CE分别是边AC，AB上的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△DOE∽△BOC，∴＝＝，故答案为：1：2．【点评】本题主要考查了三角形的重心，三角形中位线定理以及相似三角形的性质的运用，解题时注意：相似三角形的对应边成比例．15．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，则k的值是0．【分析】由于方程的一个根是0，把x＝0代入方程，求出k的值．因为方程是关于x的二次方程，所以未知数的二次项系数不能是0．解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，把x＝0代入方程，得k2﹣k＝0，解得，k1＝1，k2＝0当k＝1时，由于二次项系数k﹣1＝0，方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0不是关于x的二次方程，故k≠1．所以k的值是0．故答案为：0【点评】本题考查了一元二次方程的解法、一元二次方程的定义．解决本题的关键是解一元二次方程确定k的值，过程中容易忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个条件．16．如图，点B、C是线段AD上的点，△ABE、△BCF、△CDG都是等边三角形，且AB ＝4，BC＝6，已知△ABE与△CDG的相似比为2：5．则①CD＝10；②图中阴影部分面积为．【分析】①利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；②设AG与CF、BF分别相交于点M、N，根据等边对等角求出∠CAG＝∠CGA，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CGA＝30°，然后求出AG⊥GD，再根据相似三角形对应边成比例求出CM，从而得到MF，然后求出MN，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．①解：∵△ABE、△CDG都是等边三角形，∴△ABE∽△CDG，∴＝，即＝，解得CD＝10；②解：如图，设AG与CF、BF分别相交于点M、N，∵AC＝AB+BC＝4+6＝10，∴AC＝CG，∴∠CAG＝∠CGA，又∵∠CAG+∠CGA＝∠DCG＝60°，∴∠CGA＝30°，∴∠AGD＝∠CGA+∠CGD＝30°+60°＝90°，∴AG⊥GD，∵∠BCF＝∠D＝60°，∴CF∥DG，∴△ACM∽△ADG，∴MN⊥CF，＝，即＝，解得CM＝5，所以，MF＝CF﹣CM＝6﹣5＝1，∵∠F＝60°，∴MN＝MF＝，＝MF•MN＝×1×＝，∴S△MNF即阴影部分面积为．故答案为：10；．【点评】本题考查了相似三角线的判定与性质等边三角形的性质，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，难点在于②判断出直角三角形．三、解答题（共86分）17．（8分）计算：÷+×﹣tan60°【分析】先利用二次根式的乘除法则和特殊角的三角函数值进行计算，然后合并即可．解：原式＝+﹣×＝4+﹣＝4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18．（8分）（1）（x﹣3）2﹣49＝0（2）5x2+2x﹣1＝0【分析】（1）先变形为（x﹣3）2＝49，然后利用直接开平方法解方程；（2）利用求根公式法解方程．解：（1）（x﹣3）2＝49，x﹣3＝±7，所以x1＝10，x2＝﹣4；（2）△＝22﹣5×5×（﹣1）＝29，x＝所以x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了直接开平方法解一元二次方程．19．（8分）如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点．（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）（2）若点C坐标为（2，4），则点A'的坐标为（﹣1，0），点C′的坐标为（1，2），周长比C△A′B′C′：C△ABC＝1：2．【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用（1）中所画图形得出对应点坐标．解：（1）如图所示：△A ′B ′C ′即为所求；（2）若点C 坐标为（2，4），则点A '的坐标为（﹣1，0），点C ′的坐标为 （1，2）， 周长比C △A ′B ′C ′：C △ABC ＝1：2．故答案为：（﹣1，0），（1，2），1：2．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．20．（8分）全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是 ；（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出至少有一个孩子是女孩的结果数，然后根据概率公式求解．解：（1）第二个孩子是女孩的概率＝；故答案为；（2）画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3，所以至少有一个孩子是女孩的概率＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．21．（9分）如图，小王在长江边某瞭望台D处测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE ＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为多少米？（结果精确到0.1，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【分析】延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP，可得CE＝PQ＝2、CQ＝PE，由i＝，可设CQ＝4x、BQ＝3x，根据BQ2+CQ2＝BC2求得x的值，即可知DP ＝11，由AP＝，结合AB＝AP﹣BQ﹣PQ可得答案．解：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，∵CE∥AP，∴DP⊥AP，∴四边形CEPQ为矩形，∴CE＝PQ＝2（米），CQ＝PE，∵i＝，∴设CQ＝4x、BQ＝3x，由BQ2+CQ2＝BC2可得（4x）2+（3x）2＝102，解得：x＝2或x＝﹣2（舍），则CQ＝PE＝8（米），BQ＝6（米），∴DP＝DE+PE＝11（米），在Rt△ADP中，∵AP＝≈13.1（米），∴AB＝AP﹣BQ﹣PQ＝13.1﹣6﹣2＝5.1（米）．【点评】此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．22．（10分）已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE 与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．（1）求证：△ABC∽△FCD；（2）若S＝5，BC＝10，求DE的长．△FCD【分析】（1）利用D是BC边上的中点，DE⊥BC可以得到∠EBC＝∠ECB，而由AD＝AC 可以得到∠ADC＝∠ACD，再利用相似三角形的判定，就可以证明题目结论；（2）利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积，然后利用面积公式就求出了DE的长．（1）证明：∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD．∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB．∴△ABC∽△FCD；（2）解：过A作AM⊥CD，垂足为M．∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，∴＝．＝5，∵S△FCD＝20．∴S△ABC＝×BC×AM，BC＝10，又∵S△ABC∴AM＝4．又DM＝CM＝CD，DE∥AM，∴DE：AM＝BD：BM＝，∴DE＝．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，也利用了三角形的面积公式求线段的长．23．（9分）已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，关于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）＝0有两个相等实根，且3c＝a+3b（1）试判断△ABC的形状；（2）求sin A+sin B的值．【分析】（1）先把方程整理为一般式，再根据判别式的意义得到△＝4b2﹣4（c﹣a）（a+c）＝0，则a2+b2＝c2，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形形状；（2）由于a2+b2＝c2，3c＝a+3b，消去a得（3c﹣3b）2+b2＝c2，变形为（4c﹣5b）（c﹣b）＝0，则b＝c，a＝c，根据正弦的定义得sin A＝，sin B＝，所以sin A+sin B＝，然后把b＝c，a＝c代入计算即可．解：（1）方程整理为（c﹣a）x2+2bx+a+c＝0，根据题意得△＝4b2﹣4（c﹣a）（a+c）＝0，∴a2+b2＝c2，∴△ABC为直角三角形；（2）∵a2+b2＝c2，3c＝a+3b∴（3c﹣3b）2+b2＝c2，∴（4c﹣5b）（c﹣b）＝0，∴4c＝5b，即b＝c，∴a＝3c﹣3b＝c∵sin A＝，sin B＝，∴sin A+sin B＝＝＝．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了勾股定理的逆定理和锐角三角函数的定义．24．（12分）综合实践课上，某小组同学将直角三角形纸片放到横线纸上（所有横线都平行，且相邻两条平行线的距离为1），使直角三角形纸片的顶点恰巧在横线上，发现这样能求出三角形的边长．（1）如图1，已知等腰直角三角形纸片△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC，同学们通过构造直角三角形的办法求出三角形三边的长，则AB＝；（2）如图2，已知直角三角形纸片△DEF，∠DEF＝90°，EF＝2DE，求出DF的长；（3）在（2）的条件下，若橫格纸上过点E的横线与DF相交于点G，直接写出EG的长．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出AD＝CE＝3，BE＝DC＝2，进而利用勾股定理解答即可；（2）过点E作横线的垂线，交l1，l2于点M，N，根据相似三角形的判定和性质解答即可；（3）利用梯形的面积公式解答即可．解：（1）如图1，∵∠DAC+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ECB＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC与△BCE中，，∴△ADC≌△BCE，∴AD＝CE＝3，BE＝DC＝2，∴，∴AB＝＝；故答案为：（2）过点E作横线的垂线，交l1，l2于点M，N，∴∠DME＝∠EDF＝90°，∵∠DEF＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∵∠1+∠3＝90°，∴∠1＝∠2，∴△DME∽△ENF，∴，∵EF＝2DE，∴，∵ME＝2，EN＝3，∴NF＝4，DM＝1.5，根据勾股定理得DE＝2.5，EF＝5，，（3）根据（2）可得：，即，解得：EG＝2.5．【点评】此题考查三角形综合题，关键是根据全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质进行解答．25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：＝；②设AD＝x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．先推出∠ACO＝30°，∠ACD＝60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，∠DCE＝∠EDC＝30°，推出∠DBC＝∠BCD＝60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC＝BC＝2，由此即可解决问题；（3）①先表示出DN，BM，再判断出△BMD∽△DNE，即可得出结论；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC＝OA＝2，OC＝AB＝2，∠BCO＝∠BAO＝90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：∵OA＝2，OC＝2，∵tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝30°，∠ACB＝60°①如图1中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，∴∠DCE＝∠EDC＝30°，∴∠DBC＝∠BCD＝60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC＝BC＝2，在Rt△AOC中，∵∠ACO＝30°，OA＝2，∴AC＝2AO＝4，∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2＝2．∴当AD＝2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD＝CE，∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°，∴∠ABD＝∠ADB＝75°，∴AB＝AD＝2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①如图1，过点D作MN⊥AB交AB于M，交OC于N，∵A（0，2）和C（2，0），∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，设D（a，﹣a+2），∴DN＝﹣a+2，BM＝2﹣a∵∠BDE＝90°，∴∠BDM+∠NDE＝90°，∠BDM+∠DBM＝90°，∴∠DBM＝∠EDN，∵∠BMD＝∠DNE＝90°，∴△BMD∽△DNE，∴＝＝．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD＝x，∠DAH＝∠ACO＝30°，∴DH＝AD＝x，AH＝＝x，∴BH＝2﹣x，在Rt△BDH中，BD＝＝，∴DE＝BD＝•，∴矩形BDEF的面积为y＝[]2＝（x2﹣6x+12），即y＝x2﹣2x+4，∴y＝（x﹣3）2+，∵＞0，∴x＝3时，y有最小值．【点评】本题考查相似形综合题、四点共圆、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，学会构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．新九年级（上）数学期中考试题(答案)一、选择题（每小题4分，共30分）1．下列二次根式中，最简二次根式为（）A．B．C．D．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式）．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解：A、被开方数含分母，故A错误；B、被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，故B正确；C、被开方数中含能开得尽方的因数或因式，故C错误；D、被开方数中含能开得尽方的因数或因式，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了最简二次根式，规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．2．已知2x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据等式的性质，可得答案．解：A、两边都除以2y，得＝，故A符合题意；B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；C、两边都除以2y，得＝，故C不符合题意；D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了等式的性质，利用等式的性质是解题关键．3．下列事件中，是必然事件的是（）A．将油滴入水中，油会浮在水面上B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯C．如果a2＝b2，那么a＝bD．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．解：A、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故A符合题意；B、车辆随机到达一个路口，遇到红灯是随机事件，故B不符合题意；C、如果a2＝b2，那么a＝b是随机事件，D、掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上是随机事件，故选：A．【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求出△ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．解：根据勾股定理，AB＝＝2，BC＝＝，AC＝＝，所以△ABC的三边之比为：2：＝1：2：，A、三角形的三边分别为2，＝，＝3，三边之比为2：：3＝：：3，故A选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，＝2，三边之比为2：4：2＝1：2：，故B选项正确；C、三角形的三边分别为2，3，＝，三边之比为2：3：，故C选项错误；D、三角形的三边分别为＝，＝，4，三边之比为：：4，故D选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键．5．一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【分析】首先求出一元二次方程x2﹣4x+5＝0根的判别式，然后结合选项进行判断即可．解：∵一元二次方程x2﹣4x+5＝0，∴△＝（﹣4）2﹣4×5＝16﹣20＝﹣4＜0，即△＜0，∴一元二次方程x2﹣4x+5＝0无实数根，故选：A．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，此题难度不大．6．用配方法解方程x2﹣2x﹣8＝0，下列配方结果正确的是（）A．（x+1）2＝9B．（x+1）2＝7C．（x﹣1）2＝9D．（x﹣1）2＝7【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．解：x2﹣2x＝8，x2﹣2x+1＝9，（x﹣1）2＝9．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．7．如果代数式+有意义，那么直角坐标系中点A（a，b）的位置在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可知a、b的取值范围，再根据直角坐标系内各象限点的特征确定所在象限．解：∵代数式+有意义，∴a≥0且ab＞0，解得a＞0且b＞0．∴直角坐标系中点A（a，b）的位置在第一象限．故选：A．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．同时考查了直角坐标系内各象限点的特征．8．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝13，sin B＝，则边BC的长为（）A．7B．8C．12D．17【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，利用锐角三角函数求出AD的长，利用勾股定理再分别求出BD和CD的长即得结果．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．∵sin B＝，即＝，∴AD＝12．在Rt△ABD中，BD＝＝12．在Rt△ACD中，CD＝＝＝5．∴BC＝BD+CD＝12+5＝17．故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形，题目难度不大．构造直角三角形，充分利用∠B的正弦、AB、AC的长是解决本题的关键．9．如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC：AF＝2：3，则下列结论不正确的是（）A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形B．AD与AE的比是2：3C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2：3D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4：9【分析】本题主要考查了位似变换的定义及作图，位似变换就是特殊的相似，且位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比，因而周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．解：∵四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形；A、四边形ABCD与四边形AEFG一定是相似图形，故正确；B、AD与AG是对应边，故AD：AE＝2：3；故错误；C、四边形ABCD与四边形AEFG的相似比是2：3，故正确；D、则周长的比是2：3，面积的比是4：9，故正确．故选：B．【点评】本题主要考查了位似的定义及性质：周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．10．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB，cos A＝，则k的值为（）A．﹣3B．﹣4C．﹣D．﹣2【分析】过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，由OA与OB垂直，再利用邻补角定义得到一对角互余，再由直角三角形BOF中的两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，又一对直角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形BOF与三角形OEA 相似，在直角三角形AOB中，由锐角三角函数定义，根据cos∠BAO的值，设出AB与OA，利用勾股定理表示出OB，求出OB与OA的比值，即为相似比，根据面积之比等于相似比的平方，求出两三角形面积之比，由A在反比例函数y＝上，利用反比例函数比例系数的几何意义求出三角形AOE的面积，进而确定出BOF的面积，再利用k的集合意义即可求出k的值．解：过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠BOF+∠EOA＝90°，∵∠BOF+∠FBO＝90°，∴∠EOA＝∠FBO，∵∠BFO＝∠OEA＝90°，∴△BFO∽△OEA，。
2024年最新人教版九年级数学(上册)期中考卷及答案(各版本)
2024年最新人教版九年级数学(上册)期中考卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 若一个数的立方根是±2，则这个数是（）A. 4B. 8C. 16D. 322. 下列各数中，不是有理数的是（）A. 2B. 0.5C. 3/4D. √23. 下列等式中，正确的是（）A. 3x + 4y = 7B. 2x 3y = 5C. 4x + 5y = 9D. 5x 6y = 84. 下列各式中，正确的是（）A. a^2 + b^2 = c^2B. a^2 b^2 = c^2C. a^2 + b^2 = c^2D. a^2 b^2 = c^25. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a b)^2 = a^2 2ab +b^2 C. (a + b)^2 = a^2 2ab + b^2 D. (a b)^2 = a^2 + 2ab +b^26. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bdB. (a b)(c d) =ac ad bc + bd C. (a + b)(c d) = ac + ad bc bd D. (ab)(c + d) = ac ad + bc bd7. 下列各式中，正确的是（）A. a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 ab + b^2)B. a^3 b^3 = (a b)(a^2 + ab + b^2)C. a^3 + b^3 = (a b)(a^2 ab + b^2)D.a^3 b^3 = (a + b)(a^2 + ab + b^2)8. 下列各式中，正确的是（）A. a^4 b^4 = (a + b)(a^2 ab + b^2)B. a^4 b^4 = (a b)(a^2 + ab + b^2)C. a^4 b^4 = (a + b)(a^2 + ab + b^2)D. a^4 b^4 = (a b)(a^2 ab + b^2)9. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3B. (a b)^3 =a^3 3a^2b + 3ab^2 b^3 C. (a + b)^3 = a^3 3a^2b + 3ab^2 + b^3 D. (a b)^3 = a^3 + 3a^2b 3ab^2 b^310. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4B. (a b)^4 = a^4 4a^3b + 6a^2b^2 4ab^3 + b^4C. (a + b)^4 = a^4 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4D. (a b)^4 = a^4 + 4a^3b6a^2b^2 4ab^3 + b^4二、填空题（每题4分，共40分）11. 若一个数的平方根是±3，则这个数是_________。
-九年级上数学郑州四中学区联考期中试卷教学教材
2015-2016学年上期四中学区期中联考九年级数学试题考试时间：90分钟 满分：120分一、选择题（每小题3分，满分24分）1.方程(2)(x 3)0x -+=的解是（ ）A.2x =B.3x =C. 122,3x x =-=D.122,3x x ==-2.下列说法正确的是（ ）A.顺次连接矩形各边中点的四边形一定是矩形。
B.对角线互相垂直的四边形是菱形。
C.有一个角是直角的菱形一定是正方形。
D.平行四边形的对角线相等且互相平行。
3.已知如图：（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB 、CD 交于0点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ）A.都相似B.都不相似C.只有（1）相似D.只有（2）相似4.近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低，为了促进社会公平，国家决定大 幅增加退休人员退休金，企业退休职工李师傅2011年月退休金为1500元，2013年达到 2160元，设李师傅的月退休金从2011年到2013年年平均增长率为x ，可列方程为（ ）A.22016(1x)1500-=B.21500(1x)2160+=C.21500(1x)2160-=D.215001500(1x)1500(1x)2160++++=5.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，连接CE 并延长BA 的延长线交于点F ，若AE=2ED ， CD=3cm ，则BF 的长为（ ）A.5cmB.6cmC.8cmD.9cm6.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有（ ）A.12B.10C.9D.87.如图，在菱形ABCD 中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD 的面积是（ ） A.18 B.318 C.36 D.3368.如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点0，∠ACB 的角平分线分别交AB ，CD 于M 、 N 两点，若AM=2，则线段ON 的长为（ ）A.22B.23C.1D.26二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）9.将方程265x x -=-配方，可得方程 .10.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，若∠AOD=120°，AB=1，则AC= .11.若关于x 的一元二次方程220x kx --=有一个根是1，则另一根是 .12.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若CD=5， 则EF 的长为 .13.如图，在△ABC中，DE∥BC，23ADDB=,ADES∆=8，则四边形BDEC的面积为 .14.在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1,2,3,4，一人从中随机摸出一球记下标记后放回，再从中随机摸出一个小球记下标号，则两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是 .15.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABC沿AE折叠，当点B的对应点B´落在∠ADC的角平分线上时，则点B´到BC的距离为 .三、解答题（共8小题，满分75分）16.（8分）关于X的一元二次方程x²-x-（m+1）=0有两个不相等的实数根.（1）求m的取值范围；（2）若m为符合条件的最小整数，求此方程的根.17.（9分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在AC上，且∠EAD=∠ADE.（1）求证：△DCE∽△BCA；.（2）若AB=3，AC=4.求DE的长18.（9分）要在一块长16m，宽12m的矩形荒地上建一个花园，要求花地的面积占荒地面积的一半，图23-①，图23-②分别是小明和小红设计的两种不同方案图.小明：我设计方案如图23-①，花园四周小路宽相同；小红：我设计方案如图23-②，圆与半圆的半径相同.请你分别求出小明设计图中的道路宽及小红设计图中的半径长.（π取近似数3）图23-①图23-②19.（9分）观察下列图形的变化过程，解答以下问题：如图，在△ABC中，D为BC边上的一动点（D点不与B、C两点重合），DE∥AC交AB 于E点，DF∥AB交AC于F点.（1）试探索AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并说明理由；（2）在（1）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，为什么？20.（9分））在如图的方格中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（-2，-1）、B（-1，-3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．（1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点的坐标及△O1A1B1与△OAB的相似比；（2）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1，并写出点B的对应点B2的坐标；（3）在（2）条件下，若点M（a，b）是△OAB边上一点（不与顶点重合），写出M在△OA2B2中的对应点M2的坐标．21.（10分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售.（1）若将这种水果每斤的售价降低X元，则每天的销售量是斤（用含X的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？22.（10分）如图所示.（1）正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF=90°，连接BE、DF，将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，BE、DF具有这样的数量关系和位置关系？结合图（1）给予证明；（2）将（1）中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，且AD=kAB， AF=kAE,其他条件不变.（1）中的结论是否发生变化？结合图（2）说明理由；（3）将（2）中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，将Rt△AEF变为△AEF，且∠BAD= ∠EAF=a，其他条件不变.（2）中的结论是否发生变化？结合图（3），如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段BE、DF的数量关系，用a表示出直线BE、DF形成的锐角β.23.（11分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动，M，N分别是AD，CD的中点，连接MN，设点D运动的时间为t.（1）判断MN与AC的位置关系；（2）求点D由点A向点B匀速运动的过程中，线段MN所扫过区域的面积；（3）若△DMN是等腰三角形，求t的值.。
河南九年级数学上学期期中测试卷 (测试范围：人教版九上全册)
河南九年级数学上学期期中测试卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
5．考试范围：人教版九上全册。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．点()3,2P -关于原点的对称点Q 的坐标为A ．()3,2-B ．()3,2--C ．()3,2D ．()2,3-2．下列事件中是必然发生的事件是A ．打开电视机，正播放新闻B ．通过长期努力学习，你会成为数学家C ．从一副扑克牌中任意抽取一张牌，花色是红桃D ．某校在同一年出生的有367名学生，则至少有两人的生日是同一天3．一元二次方程23610x x --=的二次项系数、一次项系数、常系数分别是A ．3，6，1B ．361-,,C ．3，-6，1D ．361--，，4．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为P ，若16CD =，6OP =，则O 的半径为A ．10B ．8C ．5D ．35．下列一元二次方程中无实数解的方程是A ．210x x +-=B ．210x +=C ．221x x -=-D ．2450x x --=6．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个．小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的数据：摸球的次数n 10020030050080010003000摸到白球的次数m 701281713024815991806摸到白球的频率m n0.700.640.570.6040.6010.5990.602并得出了四个结论，其中正确的是A ．试验1500次摸到白球的频率一定比试验800次的更接近0.6B ．从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的概率约为0.6C ．当试验次数n 为2000时，摸到白球的次数m 一定等于1200D ．这个盒子中的白球定有28个7．如图：已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点D 在半径OA 上（不与点O ，A 重合）．若∠COA ＝60°，∠CDO ＝70°，则∠ACD 的度数是A ．60°B ．50°C ．30°D ．10°8．如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是A ．3πB ．32-πC ．63πD ．32+π9．在同一平面直角坐标系中，函数22y x kx =+与(0)y kx k k =+≠的图象大致是A ．B ．C ．D ．10．二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 为常数）的图象如图所示，若y 1＋y 2＝2，则下列关于函数y 2的图象与性质描述正确的是A ．函数y 2的图象开口向上B ．函数y 2的图象与x 轴没有公共点C ．当x ＞2时，y 2随x 的增大而减小D ．当x ＝1时，函数y 2的值小于0第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．设m,n 分别为一元二次方程220200x x +-=的两个实数根，则22m m n ++=__________．12．现有两个不透明的袋子，其中一个装有标号分别为1、2的两个小球，另一个装有标号分别为2、3、4的三个小球，小球除标号外其它均相同，从两个袋子中各随机摸出1个小球，两球标号恰好相同的概率是__________．13．如图，已知圆锥的母线长为6 cm ，底面半径为3 cm ，则此圆锥侧面展开图的圆心角的度数是__________．14．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC △的直角顶点C 的坐标为(1,0)，点A 在x 轴正半轴上，且2AC =．将ABC △先绕点C 逆时针旋转90 ，再向左平移3个单位，则变换后点A 的对应点的坐标为__________．15．二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，对称轴为1x =，给出下列结论：①0abc >；②当2x >时，0y >；③30a c +>；④30a b +>，其中正确的结论有__________．三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分8分）用适当的方法解下列一元二次方程：（1）()220x x x -+-=；（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0.17．（本小题满分9分）已知二次函数y =ax 2+bx 的图象过点（6，0），（﹣2，8）．（1）求二次函数的关系式；（2）写出它的对称轴和顶点坐标．18．（本小题满分9分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）．（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的14，求t的值？（2）△PCQ的面积能否与四边形ABPQ面积相等？若能，求出t的值；若不能，说明理由．19．（本小题满分9分）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心点，按顺时针方向旋转度得到；（3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．20．（本小题满分9分）为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________；（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．21．（本小题满分10分）一家商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为_____件；（2）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？（3）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润的最大，最大值是多少.22．（本小题满分10分）如图，AB是O的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在O上，且AC=CD,120ACD∠︒＝．（1）求证：CD是O的切线；（2）若O的半径为3，求图中阴影部分的面积．23．（本小题满分11分）如图，已知直线y=-x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过y=ax2+bx+c经过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y=-12x2+x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为2时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．。
河南省郑州市二七区第四初级中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题
河南省郑州市二七区第四初级中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．．．．3．2021年5月22日，中国工程院院士袁隆平在长沙不幸逝世．这位共和国勋章获得者”的最大贡献是杂交水稻技术．2020年我国水稻种植面积4.5亿亩，其中50%左右是杂交水稻，则杂交水稻种植面积用科学记数法表示约为（）A ．4.5×108亩．2.25×108亩 4.5×109亩 2.25×109亩4．将抛物线5(3y x =-向右移动1个单位，再向下移动个单位，得到的抛物线的解析式为（A ．25(1)y x =+．25(1)6y x =+-25(3)y x =-5．如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度Q 两点距离为m 米，A ．sin m αBA．6B．8C 二、填空题三、解答题17．如图，在直角坐标系中，已知ABC 三个顶点的坐标分别为(3,3)A ，(4,0)B ，(0,2)C ．(1)请画出与ABC 关于x 轴对称的111A B C △．(2)以点O 为位似中心，将ABC 缩小为原来的12，得到222A B C △．(3)在y 轴上存在点P ，使得1OA P 的面积为6，请直接写出满足条件的点18．某中学利用班会课对全校学生进行了一次防疫知识测试活动，现从初二、初三两个年级各随机抽取了15名学生的测试成绩，得分用分成4组：A ：60≤x ＜70，B ：70≤x ＜80，C ：80≤理分析，给出了下面部分信息：(1)a ＝，b ＝；(2)通过以上数据分析，你认为哪个年级学生对防疫知识的掌握更好？请写出一条理由；(3)若初二、初三共有3000名学生，请估计此次测试成绩达到少人？19．如图，在平面直角坐标系xoy 中，平行四边形B 在y 轴上，顶点C 在反比例函数n y x=反比例函数的图像交于点()3,M m -，已知平行四边形(1)求反比例函数的表达式及m ；21．冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．某商家开始古样物销售．每个纪念品进价40元．规定销售单价不低于44发现．当销售单价定为44元时．每天可出售300个．销售单价每上涨减少10个．现商家决定提价销售．设每天销售量为y (1)求当每个纪念品的销售单价是多少元时．商家每天获利(2)将纪念品的销售单价定为多少元时．商家每天销售纪念品获得的利润大利润是多少元？22．如图，抛物线()230y ax bx a =+-≠与x 轴交于点点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)在对称轴上找一点Q ，使ACQ 的周长最小，求点(3)P 是第四象限内抛物线上的动点，求BPC △面积S 23．已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别为边（直接写出答案）。
2021-2022学年河南省郑州市九年级(上)期中数学试卷-附答案详解
2021-2022学年河南省郑州市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列方程是关于x的一元二次方程的是()A. x2−x=x2+5B. ax2+bx+c=0C. (x−3)(x−2)=2D. 3x2−2xy−3y2=02.在平行投影下，矩形的投影不可能是()A. B. C. D.3.下列说法中，错误的是()A. 全等图形一定是相似图形B. 两个等边三角形一定相似C. 两个等腰直角三角形一定相似D. 两个直角三角形一定相似4.若方程x2+kx−6=0的一个根是−3，则k的值是()A. −1B. 1C. 2D. −25.矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A. 两组对边分别平行B. 对角线平分一组对角C. 对角线互相垂直D. 对角线相等6.如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是()A. ∠ACD=∠BB. ∠ADC=∠ACBC. ADAC =CDBCD. AC2=AD⋅AB7.下列方程中，没有实数根的是()A. x2−3x=0B. x2−6x+10=0C. x2−6x+9=0D. x2=18.如图，下面方格纸中小正方形边长均相等．△ABC和△DEP的各顶点均为格点(小正方形的顶点)，若△ABC∽△PDE且两三角形不全等，则P点所在的格点为()A. P1 B. P2 C. P3D. P49.如图，矩形ABCD中，点E为BC中点，点P为线段BE上一个动点，连接AP，DP，AB=4，BC=10，当∠APD=90°时，AP的长为()A. 5B. 4√2C. 2√3D. 2√510.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的对角线OB上有P，Q两个动点，且PQ=2，已知，点A(2√3,0)，∠AOC=60°，当△CPQ周长最小时，点P的坐标为()A. (3√32,32) B. (2√3,2) C. (√3,1) D. (5√32,52)二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.若x5=y2，则x−yx=______ ．12.在一个不透明的袋子中装有5个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.75附近，则袋子中红球约有______个．13.如图，直线A l A//BB1//CC1，若AB=8，BC=4，A1B1=6，则线段B1C1的长是______ ．14.如图，已知直角坐标系中，点A(−6,3)，B(−1,−1)，以O为位似中心，按比例尺3：1把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标为______．15.如图，正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点P为边AB上一个动点，连接PE，以PE为对称轴折叠△PBE得到△PFE，点B的对应点为点F，若AB=4，当射线EF经过正方形ABCD边的中点(不包括点E)时，BP的长为______．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）16.(1)请你用公式法解方程：2x2−4x−1=0；(2)请你用因式分解法解方程：x2−3x+2=0．17.2021年7月20日8时至17时，郑州市出现大暴雨，局部特大暴雨，郑州市区出现大面积积水，积水退去后，小明和小亮所在的社区为了做好排涝工作，特招募社区抗涝志愿工作者．小明和小亮决定报名参加，根据规定，志愿者会被随机分到A(淤泥清理)，B(垃圾搬运)，C(街道冲洗)，D(消毒灭杀)其中一组．(1)小明被分到A组的概率为______；(2)请利用画树状图或列表的方法求小明和小亮被分到同一组的概率．18.小红站在校园围墙EF外的C点恰好看到校内树AB的顶端A，小红的眼睛D、围墙的顶端E和树的顶端A在一条直线上，已知CD=1.5m，EF=2.5m，CF=4m，BF= 25m，求树AB的高度．19.把边长为1厘米的10个相同正方体摆成如图的形状．(1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图；(2)直接写出该几何体的表面积为______cm2；(3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加______个小正方体．20.已知：关于x的一元二次方程(m−2)x2−(m+2)x+4=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)如果m为正整数，且方程的两个根为不相等的正整数，求m的值．21.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，直线MN经过C点垂直于AB，垂足为D．(1)求证：△ADC∽△BDC；(2)若直线MN从图1的位置绕M点逆时针旋转，如图2，设旋转的角度为α(0<α<180°)，作AP⊥MN，垂足为P，BQ⊥MN，垂足为Q．①当α的度数为______时，点A，P，B，Q构成的四边形为平行四边形；②当α的度数为______时，点A，P，B，Q构成的四边形为矩形．22.如图，矩形ABCD中，长AB和宽AD的长度分别是方程x2−18x+80=0的两个根，点E为AD上一个动点，将△CDE沿CE折叠得到△CFE，点D的对应点为F．(1)求AB与CD的长；(2)当点F恰好落在AB边上时，①求DE的长；②动点M从点F出发沿FC向C点匀速运动，速度为每秒2个单位长度，同时动点N以每秒1个单位长度的速度从C点出发，沿CB匀速向B点运动，当点M到达C点时，两点同时停止运动，设运动时间为t，若以M，N，C为顶点的三角形与△AEF相似时，求t的值．23.(1)如图1，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，点E为AB上一点，以BE为直角边，点E为直角顶点逆时针作等腰直角三角形EBD，连接CE并延=______．一，长交AD于点F，则∠CFA的度数为______，CEAD(2)如图2，在(1)的条件下，若点E为平面内任意一点，以BE为直角边，点E为直角顶点逆时针作等腰直角三角形EBD，连接CE并延长交直线AD于点F，则(1)中的结论是否成立？请说明理由．(3)在(2)的条件下，若CE=2，请直接写出BD的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A.方程整理得−x=5，是一元一次方程，故此选项不符合题意；B.当a=0时，该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C.是一元二次方程，故此选项符合题意；D.方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．故选：C．根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数最高次数为2次，这样的整式方程为一元二次方程，即可做出判断．此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解本题的关键．2.【答案】A【解析】解：在平行投影下，矩形的投影可能是直线、矩形、平行四边形，不可能是直角梯形，故选：A．根据平行投影得出矩形的投影图形解答即可．此题考查平行投影问题，关键是根据平行投影得出矩形的投影图形解答．3.【答案】D【解析】解：A、全等图形一定是相似图形，正确，不合题意；B、两个等边三角形一定相似，正确，不合题意；C、两个等腰直角三角形一定相似，正确，不合题意；D、两个直角三角形不一定相似，原说法错误，故此选项符合题意．故选：D．直接利用相似图形的定义得出答案．此题主要考查了相似图形，正确掌握相似图形的定义是解题关键．4.【答案】B【解析】解：把x=−3代入方程x2+kx−6=0得：9−3k−6=0，解得：k=1，故选：B．把x=−3代入方程得出9−3k−6=0，求出k的值即可．本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能理解方程的解的定义是解此题的关键．5.【答案】D【解析】解：A.因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的两组对边分别平行，故A不符合题意；B.菱形的对角线平分对角，而矩形不是，故B不符合题意；C.菱形的对角线对角线互相垂直，而矩形不是，故C不符合题意；D.矩形的对角线相等，而菱形不是，故D符合题意；故选：D．利用矩形与菱形的性质即可解答本题．本题考查了矩形与菱形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形与菱形的性质．6.【答案】C【解析】解：A、当∠ACD=∠B时，再由∠A=∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；B、当∠ADC=∠ACB时，再由∠A=∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；C、当ADAC =CDBC时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；D、当AC2=AD⋅AB时，即ACAB =ADAC，再由∠A=∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；故选：C．直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．7.【答案】B【解析】解：A.此方程根的判别式△=(−3)2−4×1×0=9>0，有两个不相等的实数根，不符合题意；B.此方程根的判别式△=(−6)2−4×1×10=−4<0，没有实数根，符合题意；C.此方程根的判别式△=(−6)2−4×1×9=0，有两个相等的实数根，不符合题意；D.此方程根的判别式△=02−4×1×(−1)=4>0，有两个不相等的实数根，不符合题意；故选：B．分别计算每个方程根的判别式的值，从而得出答案．本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac 有如下关系：①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△<0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据对应边成比例夹角相等两三角形相似即可判断．【解答】解：如图，连接EP4．∵AB=2，BC=1，DE=2，P4D=4，∴ABDP4=BCDE=12，∵∠ABC=∠D=90°，∴△ABC∽△P4DE(不全等)，故选：D．9.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，AD=BC=10，AB=CD=4，设BP=x，则CP=10−x，在Rt△ABP中，AP2=AB2+BP2=16+x2，在Rt△DCP中，DP2=CP2+DC2=16+(10−x)2，∵∠APD=90°，在Rt△APD中，AD2=AP2+DP2，100=16+x2+16+(10−x)2，解得：x1=2，x2=8，∵点E为BC中点，点P为线段BE上一个动点，∴BP=2，∴AP=√42+22=2√5．故选：D．先根据矩形的性质求出矩形各边的长，设BP=x，再根据勾股定理求出AP即可．本题考查矩形的性质和勾股定理的应用，关键是对知识的掌握和运用．10.【答案】B【解析】解：如图，作CD//PQ，CD=PQ，连接DP，AC交OB于E，则四边形CQPD是平行四边形，∴CQ=PD，∵四边形OABC是菱形，∴CP=AP，∴CP+CQ+PQ=AP+DP+2，则连接AD交OB于P′，此时AP+DP的最小值为AD的长，∵∠AOC=60°，四边形OABC是菱形，∠ABC=30°，∠ACB=∠ABC=∠AOC=60°，AC⊥OB，∴∠CBO=12∵CD//OB，∴∠DCB=∠CBO=30°，过点B作BH⊥x轴于H，∵点A(2√3,0)，∴OA=AB=2√3，∴BH=3，∵∠DCB=30°，∴点D的横坐标为√3+√3=2√3，纵坐标为3+1=4，∴D(2√3,4)，∵OB//CD，点E为AC的中点，∴点P′为AD的中点，∴P′(2√3,2)，故选：B．作CD//PQ，CD=PQ，连接DP，AC交OB于E，由平行四边形和菱形的性质得CQ=PD，CP=AP，要使△CPQ周长最小，只要AP+DP的最小，即为A、D、P三点共线，然后利用含30°角的直角三角形的性质求出点D的坐标即可解决问题．本题主要考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，轴对称−最短路线问题，坐标与图形的性质等知识，找到周长最小时点P的位置是解题的关键．11.【答案】35【解析】解：∵x5=y2，∴yx =25，∴x−yx =1−yx=1−25=35．故答案为：35．根据比例的性质得出yx =25，再把要求的式子化成1−yx，然后代值计算即可得出答案．此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键，是一道基础题．12.【答案】15【解析】解：设袋中红球有x个，根据题意，得：xx+5=0.75，解得：x=15，经检验：x=15是分式方程的解，所以袋中红球有15个，故答案为：15．根据口袋中有3个白球和若干个红球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等是解决问题的关键．13.【答案】3【解析】解：∵A l A//BB1//CC1，∴B1C1A1B1=BCAB，∵AB=8，BC=4，A1B1=6，∴B1C1=3．根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，利用比例的基本性质即可得解．考查了平行线分线段成比例定理，明确线段之间的对应关系．14.【答案】(−2,1)或(2,−1)【解析】解：当点A′在第二象限时，A′(−2,1)，当点A′在第四象限时，A′(2,−1)．故答案为：(−2,1)或(2,−1)．利用位似变换的性质分两种情形求解即可．本题考查位似变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题．15.【答案】2或2√2−2【解析】解：∵点P为边AB上一个动点，∴EF只能经过AD或AB的中点，①当EF过AD中点G时，如图：∵AG=BE=2，AG//BE，∠B=90°，∴四边形ABEG是矩形，∴∠BEG=90°，∵以PE为对称轴折叠△PBE得到△PFE，∴∠BEP=∠FEP=45°，∴△BPE是等腰直角三角形，∴BP =BE =2；②当EF 过AB 中点H 时，如图：∵BE =BH =2，∠B =90°，∴HE =√BE 2+BH 2=2√2，∵以PE 为对称轴折叠△PBE 得到△PFE ，∴EF =BE =2，∴HF =HE −EF =2√2−2，设BP =x ，则PF =x ，HP =2−x ，在Rt △HPF 中，HF 2+PF 2=HP 2，∴(2√2−2)2+x 2=(2−x)2，解得x =2√2−2，∴BP =2√2−2．故答案为：2或2√2−2．EF 不能经过CD 的中点，分两种情况：①当EF 过AD 中点G 时，可得四边形ABEG 是矩形，又以PE 为对称轴折叠△PBE 得到△PFE ，可证△BPE 是等腰直角三角形，故B P =BE =2；②当EF 过AB 中点H 时，可得HE =√BE 2+BH 2=2√2，HF =HE −EF =2√2−2，设BP =x ，则PF =x ，HP =2−x ，由勾股定理可得BP =2√2−2(也可由等腰直角三角形推得BP =2√2−2)．本题考查正方形中的折叠问题，解题的关键是分类讨论，分别画出图形，利用翻折的性质解决问题．16.【答案】解：(1)∵2x 2−4x −1=0，∴a =2，b =−4，c =−1，∴△=16+8=24，∴x =−b±√b 2−4ac 2a =4±√244=2±√62， x 1=2+√62或x 2=2−√62(2)∵x 2−3x +2=0，∴(x−1)(x−2)=0，∴x−1=0或x−2=0，∴x1=1或x2=2．【解析】(1)根据公式法即可求出答案．(2)根据因式分解法即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．17.【答案】14【解析】解：(1)小明被分到A组的概率为14；故答案为：14；(2)根据题意，画树状图如下：由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小明和小亮被分到同一组的结果有4种，则小明和小亮被分到同一组的概率是416=14．(1)根据概率公式直接得出答案；(2)根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，小明和小亮被分到同一组的结果数为4，再根据概率公式求解可得．此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18.【答案】解：如图，过点D作DN⊥AB于N，交EF于点M，由题意知，MN=FB=25m，DM= CF=4m，NB=MF=DC=1.5m，则EM=1．∵EM//AN，∴△DEM∽△DAN．∴EMAN =DMDN．∴AN=EM⋅DNDM =1×(25+4)4=7.25(m)．∴AB=AN+NB=7.25+1.5=8.75(m)．所以树AB的高度为8.75m．【解析】如图，过点D作DN⊥AB于N，交EF于点M，构造相似三角形△DEM∽△DAN，结合相似三角形的性质求得相关线段的长度．本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．19.【答案】324【解析】解：(1)这个几何体三个视图如图所示：(2)(6+6+6)×2+2=38(cm2).故该几何体的表面积为32cm2．故答案为：32；(3)这个几何体的左视图和俯视图不变，在俯视图上，标上该位置放小立方体的个数(+后面的数是可以增加的数)，因此最多可以再添加4个小正方体．故答案为：4．(1)根据主视图、左视图、俯视图的画法画出相应的图形即可；(2)三视图的面积和的2倍，再加上被挡住的面即可；(3)利用俯视图，在相应的位置上增加小立方体，使左视图和俯视图不变，直至最多．本题考查作图−三视图，主视图、左视图、俯视图实际上就是从正面、左面、上面对该几何体的正投影所得到的图形．20.【答案】(1)证明：由一元二次方程得m−2≠0，Δ=(m+2)2−4(m−2)=m2+4m−4m+8=m2+4≥0，∴方程总有两个实数根；(2)解：(m−2)x2−(m+2)x+4=0，即[(m−2)x−4](x−1)=0，解得：x1=4，x2=1．m−3∵方程的两个根为不相等的正整数，∴m=4或5．【解析】(1)计算判别式的值得到Δ=(m+2)2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；(2)利用分解因式法解一元二次方程，可得出方程的解，根据方程的两个根为不相等的正整数结合m为正整数，即可求出m的值．本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；(2)利用因式分解法求出原方程的解．21.【答案】30°90°【解析】(1)证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A=90°−∠ACD=∠DCB，∴△ADC∽△BDC．(2)解：①如图2，四边形APBQ是平行四边形，作CE⊥AB于点E，则CE所在直线就是直线MN开始的位置，∵AP⊥MN，BQ⊥MN，∴AP//BQ，∴∠DAP=∠DBQ，∠DPA=∠DQB，∵AP=BQ，∴△DAP≌△DBQ(ASA)，∴AD=BD，∵∠ACB=90°，AB=AD，∴CD=12∵∠BAC=60°，∴∠ACD=∠BAC=60°，∵∠AEC=90°，∴∠ACE=30°，∴α=∠DCE=60°−30°=30°，故答案为：30°．②如图2，四边形APQB是矩形，则∠ABQ=90°，作CE⊥AB于点E，则CE所在直线就是直线MN开始的位置，∵BQ⊥MN，∴∠EBQ=∠BQC=∠CEB=90°，∴四边形CEBQ是矩形，∴α=∠ECQ=90°，故答案为：90°．(1)由CD⊥AB，∠ACB=90°可证明∠ADC=∠CDB=90°，∠A=∠DCB，则△ADC∽△BDC；(2)①作CE⊥AB于点E，则CE所在直线就是直线MN开始的位置，四边形APBQ是平行四边形，则AP=BQ，可证明△DAP≌△DBQ，得AD=BD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证明CD=AD，∠ACD=∠BAC=60°，可求出旋转角的度数；②作CE⊥AB于点E，则CE所在直线就是直线MN开始的位置，四边形APQB是矩形，则∠ABQ=90°，可证明四边形CEBQ是矩形，求出旋转角的度数．此题考查相似三角形的判定、平行四边形的判定、矩形的判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、旋转的性质等知识，此题综合性较强，是很好的练习题．22.【答案】解：(1)∵长AB和宽AD的长度分别是方程x2−18x+80=0的两个根，可得(x−10)(x−8)=0，解得：x1=10，x2=8，即AB=10，AD=8；(2)①由折叠可得，CF=CD=AB=10，而BC=AD=8，∴BF=6，∴AF=10−6=4，设DE=EF=x，则AE=8−x，在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，∴(8−x)2+42=x2，解得：x=5，∴DE=5；②∵∠EFA+∠BFC=90°，∠BCF+∠BFC=90°，∴∠EFA=∠BCF，由①可得，AE=3，AF=4，EF=5，∵CN=t，FM=2t，∴MC=10−2t，a：当∠MNC=∠EAF=90°时，△AEF∽△NMC，∴CNAF =CMEF，即t4=10−2t5，解得：t=4013；b：当∠NMC=∠EAF=90°时，△AEF∽△MNC，∴CMAF =CNEF，即10−2t 4=t 5，解得：t =257，综上所述，当t =4013或257时，以M ，N ，C 为顶点的三角形与△AEF 相似．【解析】(1)解一元二次方程即可求解； (2)①根据折叠的性质得出AF ，进而利用直角三角形的性质解答即可；②根据相似三角形的判定和性质解答即可．此题考查相似三角形的综合题，关键是根据矩形的性质和勾股定理以及相似三角形的判定和性质解答．23.【答案】45° √22【解析】解：(1)如图1中，∵△ACB ，△BDE 都是等腰直角三角形，∴AB =√2BC ，BD =√2BE ，∠ABC =∠DBE =45°，∴CBAB =BEBD =√22， ∴△CBE∽△ABD ，∴EC AD =BC AB =√22，∠ECB =∠BAD ，∵∠CEB =∠AEF ，∴∠AFE =∠CBE =45°，故答案为：45°，√22；(2)如图2中，结论成立．理由：设AB交CF于点J．∵△ACB，△BDE都是等腰直角三角形，∴AB=√2BC，BD=√2BE，∠ABC=∠DBE=45°，∴CBAB =BEBD=√22，∠CBE=∠ABD，∴△CBE∽△ABD，∴ECAD =BCAB=√22，∠ECB=∠BAD，∵∠CJB=∠AJF，∴∠AFE=∠CBE=45°，(3)如图3中，∵CE=2，CB=4，∴4−2≤BE≤2+4，∴2≤BE≤6，∵BD=√2BE，∴2√2≤BD≤6√2．(1)证明△CBE∽△ABD，可得结论；(2)结论不变，证明△CBE∽△ABD，可得结论；(3)求出BE的取值范围，可得结论．本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．。
河南省郑州市2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷[含答案]
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2024-2025学年上期九年级期中考试数学试题考试范围：九年级上册考试时间：100分钟，试卷满分：120分一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯首次提出了关于一元二次方程的概念．下列关于x 的方程中，是一元二次方程的为（ ）A ．210x x+=B ． 20x xy -=C ． 221x x +=D ． 20ax bx +=（a 、b 为常数）2．“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖．如图所示.下列图形是“斗”的俯视图的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知线段a 、b 、c ，作线段x ，使b ：a ＝x ：c ，则正确的作法是（ ）A ．B ．C ．D ．4．将标有“最”“美”“河”“南”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字可以组成“河南”的概率是（ ）A ．13B ．14C ．16D ．185．若把方程2410x x --=化为2()x m n +=的形式，则n 的值是（ ）A ．5B ．2C ．2-D ．5-6．如图，已知矩形ABCD 中，E 为BC 边上一点，DF AE ^于点F ，且6AB =，12AD =，10AE =，则DF 的长为（ ）A ．5B ．113C ．365D ．87．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m ，宽为22m ．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为2520m ，求车道的宽度（单位：m ）．设停车场内车道的宽度为m x ，根据题意所列方程为（ ）A ．(402)(22)520x x --=B ．(40)(22)520x x --=C ．(40)(222)520x x --=D ．(40)(22)520x x -+=8．下列给出的条件不能得出ABD ACB ∽△△的是（ ）A ．AD BDAB BC=B ．ABD ACB Ð=ÐC ．2AB AD AC=×D ．ADB ABCÐ=Ð9．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则D 点坐标为（ ）A ．1,22æöç÷èøB ．1,13æöç÷èøC ．()1,2D ．1,24æöç÷èø10．如图（1），正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点P 为OC 的中点，点M 为边BC 上的一个动点，连接OM ，过点O 作OM 的垂线交CD 于点N ，点M 从点B 出发匀速运动到点C ，设BM x =，PN y =，y 随x 变化的图象如图（2）所示，图中m 的值为（ ）A B ．1C D ．2二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11．若1x =是关于x 的一元二次方程260x mx +-=的一个根，则m 的值为 ．12．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB CD =、EF GH =；然后摆放成如图②四边形；将直角尺紧靠窗框的一个角（如图③）调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是形，根据的数学原理是：．13．如图，四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝48°，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，则∠DHO ＝ 度．14．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是线段AB 上一点，连结AC DE 、交于点F ．若23AE EB =，则ADF AEF S S =△△ ．15．如图，在矩形纸片ABCD中，2AD AB ==，点P 是AB 的中点，点Q 是BC 边上的一个动点，将PBQ V 沿PQ 所在直线翻折，得到PEQ V ，连接DE CE ，，则当DEC V 是以DE 为腰的等腰三角形时，BQ 的长是 ．三、解答题（共8小题，共75分）16．解方程：(1)2630x x -+=；(2)23210x x --=．17．在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n 1002003005008001000摸到黑球的次数m 65118189310482602摸到黑球的频m na0.590.630.620.6030.602(1)当n 很大时，摸到黑球的频率将会趋近 （精确到0.1）；(2)某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率．18．一张矩形纸ABCD ，将点B 翻折到对角线AC 上的点M 处，折痕CE 交AB 于点E ．将点D 翻折到对角线AC 上的点H 处，折痕AF 交DC 于点F ，折叠出四边形AECF ．（1）求证：AF //CE ；（2）当∠BAC ＝ 度时，四边形AECF 是菱形？说明理由．19．已知关于x 的一元二次方程210x ax a -+-=．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根1x 、2x 满足123x x -=，求a 的值；20．2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个．若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？21．求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．要求：①根据给出的△ABC 及线段A 'B ′，∠A ′（∠A ′=∠A ），以线段A ′B ′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A 'B ′C ′，使得△A 'B ′C ′∽△ABC ，不写作法，保留作图痕迹；②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．22．一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱AB 的高度，设计了以下三个方案：方案一：在操场上点C 处放一面平面镜，从点C 处后退1m 到点D 处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A 点的像；再将平面镜向后移动4m （即4m FC =）放在F 处．从点F 处向后退1.5m 到点H 处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A 点的像，测得的眼睛距地面的高度ED 、GH 为1.5m ，已知点B ，C ，D ，F ，H 在同一水平线上，且GH FH ^，ED CD ^，AB BH^（平面镜的大小忽略不计）．方案二：利用标杆CD 测量灯柱的高度，已知标杆CD 高1.5m ，测得2m DE =，2.5m CE =．方案三：利用自制三角板的边CE 保持水平，并且边CE 与点M 在同一直线上，已知两条边0.4m CE =，0.2m EF =，测得边CE 离地面距离0.3m DC =．三种方案中， 方案不可行，请根据可行的方案求出灯柱的高度．23．在ABC V 中，AB AC =，BAC a Ð=，点D 为线段CA 延长线上一动点，连接DB ，将线段DB 绕点D 逆时针旋转，旋转角为a ，得到线段DE ，连接BE ，CE ．(1)如图1，当60a =°时，ADCE的值是______；DCE Ð的度数为______°；(2)如图2，当90a =°时，请写出ADCE的值和DCE Ð的度数，并就图2的情形说明理由；(3)如图3，当120a =°时，若8AB =，7BD =，请直接写出点E 到CD 的距离．1．C【分析】本题考查一元二次方程的识别，形如20ax bx c ++=（其中a 、b 、c 为常数且0a ¹）的方程叫作一元二次方程，由此逐项判断即可．【详解】解：A ．关于x 的方程210x x+=不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；B ．20x xy -=，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；C ．221x x +=是一元二次方程，符合题意．D ．20ax bx +=（a 、b 为常数），当0a =时，不是一元二次方程，不符合题意；故选：C ．2．D【分析】根据三视图解答即可．本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的作法是解题的关键．【详解】解：“斗”的俯视图是，故选D ．3．B【分析】把已知比例式化为等积式，再根据平行线分线段成比例先写出比例式，再化为等积式，比较后可得结论.【详解】解：Q b ：a ＝x ：c ，,ax bc \=由平行线分线段成比例可得：选项A ：,b ac x= 可得：,ac bx = 故A 不符合题意；选项B ：,b ax c= 可得：,ax bc = 故B 符合题意；选项C ：,b xc a= 可得：,ab cx = 故C 不符合题意；选项D ：,a xb c= 可得：,ac bx = 故D 不符合题意；故选：B【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握“平行线分线段成比例，把比例式化为等积式”是解题的关键.4．D【分析】本题主要考查等可能情形下的概率计算，能够准确地用画出树状图或列举法表示出所有等可能的结果是解题的关键．先根据题意列举出所有等可能的结果，再利用概率公式进行计算即可．【详解】从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球等可能的结果如下：最美河南最最最最美最河最南美最美美美河美南河最河美河河河河南南最南美南河南南南一共16种结果，其中摸到的球上的汉字可以组成“河南”的结果有2种，∴摸到的球上的汉字可以组成“河南”的概率是21168=，故选D ．5．A【分析】根据配方法求解即可．【详解】解：将2410x x --=配方得，2(2)5x -=，则5n =，故选A ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．6．C【分析】通过证明ADF EAB V V ∽，可得DF ADAB AE=，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90B Ð=°，AD BC ∥，∴DAE AEB ÐÐ=，∵DF AF ^，∴90DFA B ÐÐ==°，∴ADF EAB V V ∽，∴DF ADAB AE =，∴12610DF =，∴DF =365，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．7．B【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，将两个停车位合在一起，可以得到一个大的长方形，用含x 的式子表示出该长方形的长和宽，根据停车位的占地面积为2520m 列方程即可．【详解】解：设停车场内车道的宽度为m x ，将两个停车位合在一起，则长为()40m x -，宽为()22m x -，因此(40)(22)520x x --=，故选B ．8．A【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似成为解答本题的关键．【详解】解：A. A A Ð=Ð，AD BDAB BC=，不是夹对应角的两边对应成比例，不能得到ABD ACB ∽△△，故符合题意；B.A A Ð=Ð，ABD ACB Ð=Ð，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到ABD ACB ∽△△，故不符合题意；C.A A Ð=Ð，2AB AD AC =×即AB ACAD AB=，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可以得到ABD ACB ∽△△，故不符合题意；D.A A Ð=Ð，ADB ABC Ð=Ð，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到ABD ACB ∽△△，故不符合题意；故选A ．9．C【分析】根据位似图形的性质结合相似比得出AD 的长和//AD BG ，得到OAD OBG ∽△△，得出AO 的长，进而求出D 点坐标．【详解】解：∵正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13，∴13AD BG =，//AD BG ，∵6BG =，∴2AB AD ==，∵//AD BG ，∴OAD OBG ∽△△，∴13==OA AD OB BG ，即123==++OA OA OA AB OA ，解得：1OA =，∴D 点坐标为()1,2．故选：C ．【点睛】本题考查的是位似变换以及相似三角形的判定与性质．正确得出OA 的长是解题的关键．10．B【分析】当点M 与点B 重合时，可得m PN CP ==；当点M 与点C 重合时，可得PN PD ==．在Rt POD V 中，求解CP 即可．【详解】解：当点M 与点B 重合时，如图：∵四边形ABCD 是正方形∴AC BD^此时，点N 与点C 重合m PN CP\==当点M 与点C 重合时，如图：∵四边形ABCD 是正方形∴,AC BD OD OC^=此时，点N 与点D 重合结合图2可知：PN PD ==设OD OC a==∵点P 为OC 的中点12OP CP a \==在Rt POD V 中，2222221,2PD OP OD a a æö=+=+ç÷èø解得：122,2a a ==-（舍去）∴1CP =，即1m =故选：B 【点睛】本题考查了正方形的性质、函数图象．由动点的特殊位置入手是解题关键．11．5【分析】：把1x =代入方程260x mx +-= ，求出关于m 的方程的解即可．【详解】把1x =代入方程260x mx +-= ，得160m +-=，解得5m =．故答案为：5．【点睛】本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12． 矩 有一个角是直角的平行四边形是矩形【分析】本题考查的是平行四边形和矩形的判定，根据两组对边相等的四边形是平行四边形和有一个角是直角的平行四边形是矩形，作答即可．【详解】因为AB CD =、EF GH =，所以窗框是平行四边形，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，即有一个角是直角的平行四边形是矩形．故答案为：矩，有一个角是直角的平行四边形是矩形．13．24【分析】由菱形的性质可得OD ＝OB ，∠COD ＝90°，由直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，可得OH ＝12BD ＝OB ，可得∠OHB ＝∠OBH ，由余角的性质可得∠DHO ＝∠DCO ，即可求解．【详解】【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴OD ＝OB ，∠COD ＝90°，∠DAB ＝∠DCB ＝48°，∵DH ⊥AB ，∴OH ＝12BD ＝OB ，∴∠OHB ＝∠OBH ，又∵AB ∥CD ，∴∠OBH ＝∠ODC ，在Rt △COD 中，∠ODC +∠DCO ＝90°，在Rt △DHB 中，∠DHO +∠OHB ＝90°，∴∠DHO ＝∠DCO ＝12∠DCB ＝24°，故答案为：24．【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，余角的性质，是几何综合题，判断出OH 是BD 的一半，和∠DHO ＝∠DCO 是解决本题的关键．14．52【分析】四边形ABCD 是平行四边形，则,AB CD AB CD =P ，可证明EAF DCF V V ∽，得到DF CD AB EF AE AE==，由23AE EB =进一步即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,AEF CDF EAF DCF Ð=ÐÐ=Ð，∴EAF DCF V V ∽，∴DF CD AB EF AE AE ==,∵23AE EB =，∴52AB AE =，∴52ADF AEF S DF AB S EF AE ===△△．故答案为：52【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明EAF DCF V V ∽是解题的关键．151【分析】存在两种情况：当DE DC =，连接DP DQ ，，勾股定理求得DP 的长，可判断P ，E ，D 三点共线，根据勾股定理即可得到结论；当DE EC =，证明BPEQ 是正方形，可得到结论．【详解】解：①当DE DC =时，如图1，连接DP DQ ，，∵点P 是AB的中点，2AB AD ==，ABCD 是矩形，∴901A AP PB Ð=°==，，∴3DP ===，∵将PBQ V 沿PQ 所在直线翻折，得到PEQ V ，∴1PE PB ==，∵2DE DC AB ===，∴123PE DE +=+=，∴点P ，E ，D 三点共线，∵90B DCB Ð=Ð=°，∴90DEQ DCQ Ð=Ð=°，设BQ x =，则QE x CQ x ==，，在Rt DEQ △和Rt DCQ △中，根据勾股定理得：22222DQ DE EQ DC CQ =+=+，∴()222222x x +=+，解得：x =，∴BQ =②当DE EC =时，如图2，∵DE EC =，∴点E 在线段CD 的垂直平分线上，∴点E 在线段AB 的垂直平分线上，∵点P 是AB 的中点，∴EP 是AB 的垂直平分线，∴90BPE Ð=°，∵将PBQ V 沿PQ 所在直线翻折，得到PEQ V ，∴90B PEQ PB PE Ð=Ð=°=，，∴四边形BPEQ 是正方形，∴1BQ PB ==，综上所述：BQ 或1．1．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．16．(1)1233x x ==；(2)113x =-，21x =．【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）根据配方法解一元二次方程即可；（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）2630x x -+=，2696x x -+=，∴()236x -=，即3x -=解得：1233x x ==；（2）23210x x --=，∴()()3110x x +-=，解得：113x =-，21x =．17．(1)0.6；(2)12【分析】本题考查了频率估计概率，列表法求概率；（1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值求解即可；（2）根据列表法，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】（1）当n 很大时，摸到黑球的频率将会趋近0.6，故答案为：0.6；（2）列表如下：黑白白白黑（白，黑）（白，黑）（白，黑）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）由表知，共有12种等可能结果，其中随机摸出的两个球颜色不同的有6种结果，所以随机摸出的两个球颜色不同的概率为61 122=18．（1）见解析；（2）30，理由见解析．【分析】（1）证出∠HAF＝∠MCE，即可得出AF//CE；（2）证出四边形AECF是平行四边形，再证出AF＝CF，即可得出四边形AECF是菱形．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD//BC，∴∠DAC＝∠BCA，由翻折知，∠DAF＝∠HAF＝12∠DAC，∠BCE＝∠MCE＝12∠BCA，∴∠HAF＝∠MCE，∴AF//CE；（2）解：当∠BAC＝30°时四边形AECF为菱形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BAD＝90°，AB//CD，由（1）得：AF//CE，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠BAC＝30°，∴∠DAC＝60°．∴∠ACD＝30°，由折叠的性质得∠DAF＝∠HAF＝30°，∴∠HAF＝∠ACD，∴AF＝CF，∴四边形AECF是菱形；故答案为：30．【点睛】本题考查矩形的性质、平行线的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．19．(1)见解析(2)5a =或1a =-【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是利用一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系．（1）根据根的判别式24b ac D =-，即可判断；（2）利用根与系数关系求出12x x +，12x x ×，即()2212121249x x x x x x -=+-=，从而列出关于a 的方程，解出即得出结果．【详解】（1）证明：∵()()()222414420a a a a a =---=-+=-³V ，\该方程总有两个实数根；（2）解：Q 方程的两个实数根1x ，2x ，由根与系数关系可知，12x x a +=，121x x a ×=-，123x x -=Q 2129x x \-=()()2212121249x x x x x x \-=+-=，∴24(1)9a a \--=即2(2)9a -=，23a \-=或23a -=-，∴5a =或1a =-．20．40元【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设售价应定为x 元，由商场计划一周的利润达到8000元，列出方程，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．【详解】解：设售价应定为x 元，由题意可得：()()1002050030800010x x éù---=êúëû，整理得：210024000x x -+=，解得：140x =，260x =，∵更大优惠让利消费者，∴40x =，答：售价应定为40元．21．（1）作图见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）作∠A 'B 'C =∠ABC ，即可得到△A 'B ′C ′；（2）依据D 是AB 的中点，D '是A 'B '的中点，即可得到A D AB AD AB ¢¢¢¢=，根据△ABC ∽△A 'B 'C '，即可得到A B A C AB AC ¢¢¢¢=，∠A '=∠A ，进而得出△A 'C 'D '∽△ACD ，可得C D A C k CD AC¢¢¢¢==．【详解】（1）如图所示，△A 'B ′C ′即为所求；（2）已知，如图，△ABC ∽△A 'B 'C '，A B B C A C AB BC AC¢¢¢¢¢¢===k ，D 是AB 的中点，D '是A 'B '的中点，求证：C D CD ¢¢=k ．证明：∵D 是AB 的中点，D '是A 'B '的中点，∴AD =12AB ，A 'D '=12A 'B '，∴1212A B A D A B AD AB AB ¢¢¢¢¢¢==，∵△ABC ∽△A 'B 'C '，∴A B A C AB AC ¢¢¢¢=，∠A '=∠A ，∵A D A C AD AC¢¢¢¢=，∠A '=∠A ，∴△A 'C 'D '∽△ACD ，∴C D A C CD AC¢¢¢¢==k ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，主要利用了相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例的性质，以及两三角形相似的判定方法，要注意文字叙述性命题的证明格式．22．二、三，12米【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据相似三角形的知识可知方案二中ABE V 缺少边长的条件，故方案二不可行，根据光的反射角相等，以及90EDC ABC Ð=Ð=°，进而证明ABC EDC V V ∽，同理可得ABF GHF △∽△，根据方案一的数据计算即可【详解】解：相似三角形的知识可知方案二中ABE V 缺少边长的条件，故方案二不可行，方案三中AMC V 缺少边长的条件，故方案三不可行，故答案为：二，三选方案一,ECD ACB EDC ABC Ð=ÐÐ=ÐQ ，ABC EDC \V V ∽，AB BC ED CD\=，∵1CD =，1.5 1.51BC ED BC AB BC CD ´\===，设BC x =，则 1.5AB x =，同理可得ABF GHF △∽△，AB BF GH FH=，1.5,4, 1.5, 1.5AB x BF BC CF x GH FH ==+=+==Q ，1.541.5 1.5x x +\=，解得8x =．1.512AB x ==米．23．(1)160(2)45AD DCE CE =Ð=°，理由见解析【分析】（1）当60a =°时，ABC V 和BDE V 为等边三角形，证明ABD CBE V V ≌即可求解；（2）当60a =°时，ABC V 和BDE V 为等腰直角三角形，证明ABD CBE ∽△△即可求解；（3）过点A 作AH BC ^于H ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转，旋转角为120°，得到线段DE ，连接BE ，CE ．过点B 作BM AC ^于点E ，过点E 作EN AC ^于点N ，则点E 到CD 的距离就是EN 的长度，分两种情况进行讨论，当当D 在线段AM 上时或当D 在线段AM 延长线上时，类似（2）构造相似三角形求解即可．【详解】（1）解：当60a =°时，∵AB AC =，∴ABC V 为等边三角形，∴AB BC =，60ABC ACB Ð=Ð=°，120BAD Ð=°，由旋转的性质可得：60BDE Ð=°，BD ED =，∴BDE V 为等边三角形，∴BD BE =，60EBD Ð=°，∴60DBE ABC Ð=Ð=°，∴DBA EBCÐ=Ð在ABD △和CBE △中DB EB DBA EBCAB BC =ìïÐ=Ðíï=î∴ABD CBEV V ≌∴=AD CE ，120BAD BCE Ð=Ð=°，∴1AD CE=，60DCE BCE ACB Ð=Ð-Ð=°．故答案为：1，60；（2）解：45AD DCE CE =Ð=°，理由如下：当90a =°时，∵AB AC =，∴ABC V 为等腰直角三角形，∴AB BC =，45ABC ACB Ð=Ð=°，90BAD Ð=°，由旋转的性质可得：90BDE Ð=°，BD ED =，∴BDE V 为等腰直角三角形，∴BD BE =45EBD Ð=°，∴45DBE ABC Ð=Ð=°，∴DBA EBC Ð=Ð，又AB BD BC BE ==∴ABD CBE∽△△∴AD AB CE BC ===90BAD BCE Ð=Ð=°，∴45DCE BCE ACB Ð=Ð-Ð=°；（3）解：过点A 作AH BC ^于H ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转，旋转角为120°，得到线段DE ，连接BE ，CE ．过点B 作BM AC ^于点E ，过点E 作EN AC ^于点N ，则点E 到CD 的距离就是EN 的长度，当D 在线段AM 上时，如下图：由题意可得：8AB AC ==∵120a =°，∴60MAB Ð=°，30ABC ACB Ð=Ð=°，2BC BH =，∴4AH =，BH =∴AB BC =，同理BD BE =30EBD Ð=°，∴AB BD BC BE ==EBD ABC Ð=Ð，∴ABD CBE Ð=Ð，∴ABD CBE ∽△△，∴AD AB CE BC =，60BAD BCE Ð=Ð=°，∴CE ，30ECN ECB ACB Ð=Ð-Ð=°，在Rt ABM V 中，8AB =，60MAB Ð=°，∴4AM =，=BM在Rt BDM V 中，=BM 7BD =，∴1MD =，∴3AD AM DM =-=，∴ CE =∵30ECN Ð=°，EN AC ^，∴12EN EC =当D 在线段AM 延长线上，如下图：同理：CE =，30ECN Ð=°，5AD AM DM =+=，∴CE ∴12EN EC =综上所述：点E 到CD 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，综合性比较强，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．。
河南省郑州市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题
河南省郑州市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、填空题
18
GF
腰三角形的周长及面积．
17．2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有_________人；
（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为_________；
（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
18．如图，ABC V 三个顶点的坐标分别为()()()123123A B C ，
，，，，，以原点O 为位似中心，将ABC V 放大为原来的2倍得A B C '''V ．
(1)在图中第一象限内画出符合要求的A B C '''V ，不要求写画法；
(2)计算A B C '''V 和ABC V 的面积．
19．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时
刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB 的影长OC 为16米，
OA 的影长OD 为20米，
BC。
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2008-2009学年上期九年级期中考
试
数学试卷
试卷说明：
1、本试卷共4页，三个大题23个小题，满分
2、答卷前将密封线内的项目填写清楚。
一、选择题（每小题3分,共18分）
1
1. 1. -（- ）的倒数的相反数是（
2 120
分,
考试时间90分钟。
、填空题（每小题3分，共27 分）
1
C. 「一
2 2..下列图案中，不是中心对称图形的是（
A 3.下列函数中,
1 A. y =—
x
B C
y随x的增大而减小的是（
2
y 二
x
D
)
3
C. y 八(x 0)
x
4
y ( x ：： 0)
x
4.北京市申办2008年奥运会，得到了全国人民的热情支持.据统计，某日北京申奥网站的
防问人次为201949，用四舍五入法取近似值保留两位有效数字，得（）
5 6 5 6
A. 2.0 105
B. 2.0 106 c. 2 105D. 0.2 106
5.下列三视图所对应的直观图是（
）
6.如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿M —；A— B —M的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点M的距离y与时间x之间关系的函数图象是（）7 .函数y二 * 一1的自变量x的取值范围是___________________ .
x_1
2 2 2
8 .分解因式：a - 4a b = ______________________________ .
9. 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、
CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD 还应满
足的一个条件是。
10. 如图，在同一直角坐标系
中，抛物线y二ax2• bx • c的图象
与两坐标轴分别交于 A （-1 , 0）、点B （3, 0）和点C （0，—3）,
一次函数的图象与抛物线交于B、C两点；
（1）当自变量x 时，两函数的函数值都随x的增大而增大;
（2）当自变量____________ 时，一次函数值大于二次函数值；
（3）当自变量_________ 时，两函数的函数值都小于0;
11. 如图所示是重叠的两个直角三角形.将其中一个直角三角形沿
BC方向平移得到△ DE F .如果AB = 8cm , BE二4cm ,
（第10题
图）
D
DH -3cm，则图中阴影部分面积为cm2. B
12. 如图，在已建立直角坐标系的4X 4正方形方格纸中，△ ABC
是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点
P、A、B为顶点的三角形与△ ABC相似（全等除外），则格点P的坐标
是________________ .
13. 在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红
球只有3个.每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱.通过
大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%,那么
可以推算出a大约是__________
14•按如下规律摆放三角形:
△
△
△ △△△
△
△
△
△
△
△
△△ △△△△△△
（第11题
图）
（第12题
图）
（1）（2）⑶
则第（4）堆三角形的个数为_______________ ；第（门）堆三角形的个数为_______________
座号
程x 2 3x 0的根.
(2)(本小题 6分)计算：-23
2^ .18 tan45：-(4sin60： 1)0-|2-3、.2| .
17. （6分）如图，等腰△ ABC 和等腰△ ADE 的顶角/ BAC 2 DAE=30 , △ ACE 可以看作是厶 ABD 经过什么图形变换得到的？说明理由
.
（第17题图）
15 .在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（1, 2）,将0A 绕原点O 按顺时针方向旋转 90得
到0A •，则点A •的坐标是 ___________ 三、解答题 16. （ 1）（本小题6分）先化简，再求值： a 2
-4 1
2 ； ? _ T~ - 4a 十 4 2 - a
2
—2— ，其中，a 是方 a-2a
2
18.（8分）从-1,0,1这三个数中任取两个不同的数作为二次函数 y= x • bx • c 中的b 、c 的
值，
（1 ）二次函数y = x 2 • bx • c 的表达式一共有多少种不同的情况； （用列表法或树状图
来表示）
（2）求二次函数y = x 2・bx ，c 的图象一定经过原点的概率是多少 .
19. （9分）.某校为了解全校2000名学生的课外阅读情况，在全校范围内随机调查了
50名学生, 得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，
将结果绘制成频数分布直方图
（如图所示）
（1）这50名学生在这一天课外阅读所用时间的众数和中位数各是多少？ （2）这50名学生在这一天平均每人的课外阅读所用时间是多少? （3）请你根据以上调查，估计全校学生中在这一天课外阅读所用时间在
1.0小时以上（含1.0
小时）的有多少人？
人数
（人）
20. （9分）如图，河流的两岸a、b互相平行，C、D是河岸a上间隔50米的电线杆，某人在河岸b的A处测得/ DAB = 30°,然后沿河岸走了100米到达B处，测得/ CBF = 60°,
求河流的宽度（结果精确到个位）•参考值：.2 = 1.414; ... 3 =1.732.21. （10分）某校八年级举行英语演讲比赛，派了两位老师去学校附近的超市购买笔记本作为
奖品.经过了解得知，该超市的A、B两种笔记本的价格分别是12元和8元，他们准备购买这
两种笔记本共30本.
（1）如果他们计划用300元购买奖品，那么能买这两种笔记本各多少本？
（2）两位老师根据演讲比赛的设奖情况，决定所购买的A种笔记本的数量要少于B种笔记本数
2 1
量的，但又不少于B种笔记本数量的，如果设他们买A种笔记本n本,买这两种笔记本共花
3 3
费w元.
①请写出w（元）关于n（本）的函数关系式，并求出自变量n的取值范围；
②请你帮他们计算，购买这两种笔记本各多少时,花费最少，此时的花费是多少元
？
22. ( 10分)如图，已知△ ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F,使EF=AE，连结AF、BE和CF。
(1)请在图中找出一对全等三角形，用符号“也”表示，并加以证明。
(2) 判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。
(3) 若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积。
23. (11分)如图，抛物线y = x2・bx・c与x轴相交于点A(-1,0) , B(3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设(1)中的抛物线上有一个动点P,当点P在该抛物线上滑动到什么位置时；满足
S FAB二8,并求出此时P点的坐标；
(3)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△ QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.
(第22题图)
座号
命题范围：二次函数以前章节内容
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