应力与应变分析

最大剪应力(maximun shear stress)：
通常规定：
1 2 3
则有最大剪应力：
max

1 3 2
或者： 其中：
且有：
max max{ 12 , 23 , 31 }
12


1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2
, 23



2
3 2
,31


3
1 2
12 23 31 0
§ 1.8 应变速度张量
设某一瞬间起dt时间内，产生位移增量
dUi，则应有dUi=Vidt。其中Vi为相应位移
速度。代入增量应变张量，有：
d ij

1 2 xi
(V jdt)
x j

(Vi
dt
)



1 Vi 2 x j

Vi xi
dt
§ 1.5 应变与位移关系方程
§ 1.5.1 几何方程 § 1.5.2 变形连续方程
§ 1.6 点的应变状态
指围绕该点截取的无限小单元体的各棱长及棱间 夹角的变化情况。
可表示为张量形式：
ij xxy
.
y
.
.

xz yz z
( i, j = x, y, z )
表示对某瞬时之前的应变的积分
应力可以进行分解Sn n、n（n—normal,法向）
某截面（外法线方向为n）上的应力：
全应力(stress) 正应力(normal sress) 剪应力(shear stress)
Sn n n n x y z n x y z
或者
Snn
ijlil j ijli
应力与应变分析
§ 1.1应力与点的应力状态 § 1.2点的应力状态分析 § 1.3应力张量的分解与几何表示 § 1.4应力平衡微分方程 § 1.5应变与位移关系方程 § 1.6点的应变状态 § 1.7应变增量 § 1.8应变速度张量 § 1.9主应变图与变形程度表示
§ 1.1 应力与点的应力状态
外力(load)与内力(internal force) 外力P：施加在变形体 上的外部载荷。 内力Q：变形体抗衡外 力机械作用的体现。
(i, j x, y, z)

x
x
xy
y
xz
z
0
即 （不计体力）

yx
x
y
y
yz
z
0


zx
zy
z
0
x
y
z
物理意义：表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态 的关系。对弹性变形和塑性变形均适用。
§ 1.2.3 八面体应力与等效应力
即主应力空间的｛111｝等倾面上的应力。
这组截面的方向余弦为：
lx ly lz
1 3
54o44'
正应力
8

1 3
(1

2
3)

1 3
I1
剪应力
8

1 3
(1 2 )2 ( 2 3)2 ( 3 1)2
应变张量（strain tensor）也可进行与应力张 量类似的分析。
§ 1.7 应变增量
全量应变与增量应变的概念 前面所讨论的应变是反映单元体在某一变 形过程终了时的变形大小，称作全量应变 增量应变张量
d ij

1 2 xi
(dU j )
x j
(dUi )

e

2 2(1 )
(
(1 2 )2 (2 3)2 (3 1)2
（——泊松比）
对于塑性变形：
e
2( 3
(1 2 )2 (2 3)2 (3 1)2
真实应力和真实应变含义：
tr p(t) A(t)
表示某瞬时的应力值
tr ln(lt l0 )
3 I1 2 I2 I3 0
( 3 I1 2 I2 I3 0)
( 1)( 2)( 3) 0
§ 1.2.2 主剪应力和最大剪应力
主剪应力(principal shear stress)：极值剪应力（不为零） 平面上作用的剪应力。主应力空间的｛110｝面族。

n
Sn2


2 n
（求和约定的缩写形式）
§ 1.2 点的应力状态分析
§ 1.2.1主应力及应力张量不变数 § 1.2.2主剪应力和最大剪应力 § 1.2.3八面体应力与等效应力
§ 1.2.1 主应力及应力张量不变数
设想并证明主应力平面（其上只有正应力，剪应力 均为零）的存在，可得应力特征方程：
令 即为应变速率张量 ij

1

Vi
2 x j

V j xi

§ 1.9 主应变图与变形程度表示
主变形图是定性判断塑性变形类型的图示方法。 主变形图只可能有三种形式
变形程度表示
绝对变形量 ——指工件变形前后主轴方向上尺寸
的变化量 相对变形
——指绝对变形量与原始尺寸的比值， 常称为形变率 真实变形量
差异性：
概念：应力 研究面元ds上力的集度 应变 研究线元dl的变化情况
内部关系：应力—应力平衡微分方程 应变—应变连续（协调）方程 弹性变形：相容方程
塑性变形：体积不变条件
等效关系： 等效应力—弹性变形和塑性变形表达式相同
等效应变—弹性变形和塑性变形表达式不相同
对于弹性变形：

.x'
xy

' y

xz yz



m
1 0
0 1
0 0
.
. z .
.

' z

0 0 1

' x
x
m,

' y
y
m

' z
z
m
§ 1.4 应力平衡微分方程
直角坐标下的应力平衡微分方程*
ij 0 i
总应力
P8

2 8


2 8
八面体上的正应力与塑性变形无关，剪应力与塑性变形有
关。
§ 1.3 应力张量的分解与几何表示
ij


' ij
ij m
(i,j=x,y,z)
其中
m

1 3
(
x

y

z
)
即平均应力，
为柯氏符号。
即
x xy

.
y

xz yz

——即变形前后尺寸比值的自然对数
应力应变分析的相似性与差异性
相似性：张量表示、张量分析、张量关系相似

ij
(i,
j

x,
y,
z)

1,2,3

I1,
I2,
I3

max
,8,8


' ij
,
m
ij (i, j x, y, z) 1,2,3 J1, J2, J3 max , 8,8 i'j ,m
应力（stress）
应力S是内力的集度 内力和应力均为向量
lim P
S A0 A
应力的单位：1Pa=1N/m2 =1.0197kgf/mm2
1MPa=106 N/m2
应力是某点A的坐标的函数，即受力体内不同点 的应力不同。
应力是某点A在坐标系中的方向余弦的函数，即 同一点不同方位的截面上的应力是不同的。