北京市清华大学附属中学数学一元一次方程单元测试卷(含答案解析)
一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选(难)
1.同学们都知道,表示5与-2之差的绝对值,实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离,试探索:
(1)求=________.
(2)若,则 =________
(3)同理表示数轴上有理数x所对应的点到-1和2所对应的两点距离之和,请你找出所有符合条件的整数x,使得,这样的整数是
________(直接写答案)
【答案】(1)7
(2)7或-3
(3)-1,0,1,2.
【解析】【解答】(1)|5-(-2)|=7,
故答案为:7;
( 2 )|x-2|=5,
x-2=5或x-2=-5,
x=7或-3,
故答案为:7或-3;
( 3 )如图,
当x+1=0时x=-1,
当x-2=0时x=2,
如数轴,通过观察:-1到2之间的数有-1,0,1,2,
都满足|x+1|+|x-2|=3,这样的整数有-1,0,1,2,
故答案为: -1,0,1,2.
【分析】(1)化简符号求出式子的值;(2)根据绝对值的性质得到x-2=5或x-2=-5,求出x的值;(3)根据题意画出数轴,得到-1到2之间的整数有-1,0,1,2,得到满足方程的整数值有-1,0,1,2.
2.下列图表是2017 年某校从参加中考体育测试的九年级学生中随机调查的10 名男生跑1000 米和 10 名女生跑 800米的成绩.
(1)按规定,女生跑 800 米的时间不超过 3'24"就可以得满分.该校九年级学生有 490 人,男生比女生少 70 人.请你根据上面成绩,估计该校女生中有多少人该项测试成绩得满分? (2)假如男生 1 号和男生 10 号被分在同组测试,请分析他俩在 400 米的环形跑道测试的过程中能否相遇。若能,求出发多长时间才能相遇;若不能,说明理由.
【答案】(1)解:设男生有x人,女生有(x+70)人,
由题意得:x+x+70=490,
解得:x=210,
则女生x+70=210+70=280(人).
故女生得满分人数: (人)
(2)解:不能;
假设经过x分钟后,1号与10号在1000米跑中能首次相遇,根据题意得:
解得
又∵
∴考生1号与10号不能相遇。
【解析】【分析】(1)通过男生、女生的人数关系列出方程,得出女生的人数;(2)根据题意表达出1号跟10号的速度,两位若相遇,相减的路程为400米,得出的时间为4.8, 但是4.8分钟大于3分钟,所以两位在测试过程中不会相遇。
3.你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗?下面的解答过程会告诉你原因和方法.
(1)阅读下列材料:
问题:利用一元一次方程将化成分数.
设.
由,可知,
即.(请你体会将方程两边都乘以10起到的作用)
可解得,即.填空:将写成分数形式为________ .
(2)请仿照上述方法把小数化成分数,要求写出利用一元一次方程进行解答的过程.
【答案】(1)
(2)解:设 =m,方程两边都乘以100,可得100× =100x
由=0.7373…,可知100× =73.7373…=73+0.73
即73+x=100x
可解得x= ,
即 =
【解析】【分析】解:(1)设0.4˙=x,则4+x=10x,
∴x= .
故答案是:;
(2)理解该材料的关键在于:将循环小数扩大的倍数在于循环小数的循环节,释放一个循环节后,循环小数的大小仍不变.
4.今年夏天,我州某地区遭受罕见的水灾,“水灾无情人有情”,州里某单位给该地区某中学捐献一批饮用水和蔬菜共320件,其中饮用水比蔬菜多80件。
(1)求饮用水和蔬菜各有多少件。
(2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆,一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往受灾地区某中学。已知每辆甲型货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件,每辆乙型货车最多可装饮用水和蔬菜各20件,则该单位安排甲、乙两种货车时有几种方案?请你帮忙设计出来。
(3)在(2)的条件下,如果甲型货车每辆需付运费400元,乙型货车每辆需付运费360元。该单位应选择哪种方案可使运费最少?最少运费是多少元?
【答案】(1)解:设蔬菜有x件,根据题意得
解得:
答:蔬菜有件、饮用水有件
(2)解:设安排甲种货车a辆,根据题意得
解得:
∵a为正整数
∴或或
∴有三种方案:①甲种货车2辆,乙种货车6辆;
②甲种货车3辆,乙种货车5辆;
③甲种货车4辆,乙种货车4辆
(3)解:方案①:(元)
方案②:(元)
方案③:(元)
∵
∴选择方案①可使运费最少,最少运费是元
【解析】【分析】(1)设蔬菜有x件,根据题意列出方程,求出方程的解,即可求解;(2)设安排甲种货车a辆,根据题意列出不等式组,求出不等式组的解集,由a为正整数,得出a为2或3或4,即可求出有三种方案;
(3)分别求出三种方案的运费,即可求解.
5.一根长80厘米的弹簧,一端固定,如果另一端挂上物体,那么在正常情况下物体的质量每增加1千克可使弹簧增长2厘米。
(1)正常情况下,当挂着千克的物体时,弹簧的长度是多少厘米?
(2)正常情况下,当挂物体的质量为6千克时,弹簧的长度是多少厘米?
(3)正常情况下,当弹簧的长度是120厘米时,所挂物体的质量是多少千克?
(4)如果弹簧的长度超过了150厘米时,弹簧就失去弹性,问此弹簧能否挂质量为40千克的物体?为什么?
【答案】(1)解:由题意得:y=80+2x,
答:弹簧的长度是(80+2x)厘米
(2)解:∵y=80+2x,
∴当x=6时,y=80+2×6=92,
答:弹簧的长度是92厘米
(3)解:∵y=80+2x,
∴当y=120时,120=80+2x,
∴x=20,
答:所挂物体的质量是20千克。
(4)解:∵y=80+2x,
∴当x=40时,y=80+2×40=160(厘米)>150(厘米)
∴此弹簧不能挂质量为40千克的物体.
【解析】【分析】(1)由题意,物体的质量每增加1千克可使弹簧增长2厘米,于是可知物体的质量与弹簧的长度有关系.弹簧的长度=弹簧的原长+伸长的长度;弹簧伸长的长度=物体的质量×2厘米;根据这个关系可求解;
(2)把x=6代入(1)中的关系式计算即可求解;
(3)把y=120代入(1)中的关系式计算即可求解;
(4)同理可求解.
6.用“※”定义一种新运算:对于任意有理数a和b,规定a※b=ab2+2ab+a.
如:1※2=1×22+2×1×2+1=9
(1)(﹣2)※3=________;
(2)若※3=16,求a的值;
(3)若2※x=m,( x)※3=n(其中x为有理数),试比较m,n的大小.
【答案】(1)-32
(2)因为※3= ×32+2× ×3+ =8a+8,
所以8a+8=16,
解得a=1;
(3)根据题意,得m=2x2+2×2x+2=2x2+4x+2,
n= x×32+2× x×3+ x=4x,
则m﹣n=2x2+2>0,
所以m>n.
【解析】【解答】解:(1)原式=﹣2×32+2×(﹣2)×3+(﹣2)
=﹣18﹣12﹣2=﹣32,
故答案为:﹣32.
【分析】(1)根据新运算展开,再求出即可;(2)先根据新运算展开,再解一元一次方程即可;(3)先根据新运算展开,再求出m、n,即可得出答案.
7.某航空公司开展网络购机票优惠活动:凡购机票每张不超过2000元的一律八折优惠;超过2000元的,其中2000元按八折算,超过2000的部分按七折算.
(1)甲旅客购买了一张机票的原价为1500元,需付款________元;
(2)乙旅客购买了一张机票的原价为x(x>2000)元,需付款________元(用含x的代
数式表示);
(3)丙旅客因出差购买了两张机票,第一张机票实际付款1440元,第二张机票享受了七折优惠,他査看了所买机票的原价,发现两张票共节约了910元,求丙旅客第二张机票的原价和实际付款各多少元?
【答案】(1)1200
(2)0.7x+200
(3)解:第一张机票的原价为1440÷0.8=1800(元).
设丙旅客第二张机票的原价为y元,则购买两种票实际付款(1800+y-910)元,
根据题意得:1440+0.7y+200=1800+y-910,
解得:y=2500,
∴1800+y-910-1440=1950.
答:丙旅客第二张机票的原价为2500元,实际付款1950元
【解析】【解答】解:(1)1500×0.8=1200(元).
故答案为:1200.(2)根据题意得:需付款=2000×0.8+(x-2000)×0.7=0.7x+200(元).故答案为:(0.7x+200).
【分析】(1)利用需付款=原价×0.8,即可求出结论;(2)根据需付款=2000×0.8+0.7×超出2000元部分,即可求出结论;(3)根据原价=需付款÷0.8可求出第一张机票的原价,设丙旅客第二张机票的原价为y元,则购买两种票实际付款(1800+y-910)元,根据(2)的结论,即可得出关于y的一元一次方程,解之即可得出结论.
8.某服装厂计划购进某种布料做服装,已知米布料能做件上衣,米布料能做件裤子.
(1)一件上衣的用料是一条裤子用料的多少倍;
(2)这种布料是按匹购买的,每匹布料是将这种厚度为布料卷在直径为的圆柱形轴上,卷完布后的圆柱直径为D=20cm,其形状和尺寸如图所示,为使一匹布料所做的上衣和裤子刚好配成套,应分别用多少米的布料生产上衣和裤子(π取3)? (3)在(2)的条件下,一件上衣用料1米,服装厂要生产1000套,则需采购这样的布料多少匹?
【答案】(1)解:由题意可得:? 1.5.
答:一件上衣的用料是一条裤子用料的1.5倍
(2)解:一匹布的长度=100π+100.8π+101.6π+...+200π≈3×(100+100.8+101.6+...+200)=3× =56700mm=56.7m.
设应用x米的布料生产上衣,则用(56.7-x)米的布料生产裤子,根据题意得:
x=1.5 (56.7-x)
解得:x=34.02(米)≈34(米)
当x=34时,56.7-x=22.7(米)
答:应用34米的布料生产上衣,则用22.7米的布料生产裤子.
(3)解:1000÷34≈29.4≈30(匹)
答:需采购这样的布料30匹.
【解析】【分析】(1)求一件上衣的用料是一条裤子用料的多少倍,应先把各自的用料多
少表示出来.一件上衣的用料是:;一条裤子用料是:;将两个式子相除即可;(2)先求出一匹布的长度,然后根据一件上衣的用料是一条裤子用料的 1.5倍列方程求解即可;(3)由(2)可得一匹布生产衣服裤子的套数,用总套数÷一匹布生产衣服裤子的套数即可得到答案.
9.如图,线段AB=10,动点P从点A出发,以每秒1个单位的速度,沿线段AB向终点B 运动,同时,另一个动点Q从点B出发,以每秒3个单位的速度在线段AB上来回运动(从点B向点A运动,到达点A后,立即原速返回,再次到达B点后立即调头向点A运动.)当点P到达B点时,P,Q两点都停止运动.设点P的运动时间为x.
(1)当x=3时,线段PQ的长为________.
(2)当P,Q两点第一次重合时,求线段BQ的长.
(3)是否存在某一时刻,使点Q恰好落在线段AP的中点上?若存在,请求出所有满足条件的x的值;若不存在,请说明理由。
【答案】(1)2
(2)解:设x秒后P,Q第一次重合,得:x+3x=10
解得:x=2.5,
∴BQ=3x=7.5
(3)解:设x秒后,点Q恰好落在线段AP的中点上,根据题意,
①当点Q从点B出发未到点A时,0 解得x= ;②当点Q到达点A后,从A到B时,即 解得x=4; ③当点Q第一次返回到B后,从B到A时, 解得x= ; 综上所述:当x= 或x=4或x= 时,点Q恰好落在线段AP的中点上. 【解析】【解答】(1)解:根据题意,当x=3时,P、Q位置如下H所示: 此时:AP=3,BQ=3×3=9,AQ=AB-BQ=10-9=1, ∴PQ=AP-AQ=2. 【分析】(1)根据题意画出图形,由题可得AP=3,BQ=9,结合题意计算即可得出答案.(2)设x秒后P,Q第一次重合,根据题意列出方程,解之即可得出答案. (3)设x秒后,点Q恰好落在线段AP的中点上,根据题意分情况讨论:①当点Q从点B出发未到点A时,0 ③当点Q第一次返回到B后,从B到A时, 10.(阅读理解)如果点M,N在数轴上分别表示实数m,n,在数轴上M,N两点之间的距离表示为或或 . 利用数形结合思想解决下列问题:已知数轴上点A与点B的距离为12个单位长度,点A 在原点的左侧,到原点的距离为24个单位长度,点B在点A的右侧,点C表示的数与点B 表示的数互为相反数,动点P从A出发,以每秒2个单位的速度向终点C移动,设移动时间为t秒. (1)点A表示的数为________,点B表示的数为________. (2)用含t的代数式表示P到点A和点C的距离: ________, ________. (3)当点P运动到B点时,点Q从A点出发,以每秒4个单位的速度向C点运动,Q点到达C点后,立即以同样的速度返回,运动到终点A,在点Q开始运动后,P、Q两点之间的距离能否为2个单位?如果能,请求出此时点P表示的数;如果不能,请说明理由. 【答案】(1); (2)2t; (3)解:设点Q运动了m秒,则m秒后点P表示的数是 . 当,m秒后点Q表示的数是,则 ,解得或7, 当m=5时,-12+2m=-2, 当m=7时,-12+2m=2, ∴此时P表示的是或2; 当时,m秒后点Q表示的数是, 则, 解得, 当m= 时,-12+2m= , 当m= 时,-12+2m= , 此时点P表示的数是 . 答:P、Q两点之间的距离能为2,此时点P点Q表示的数分别是,2, . 【解析】【解答】解:设A表示的数为x,设B表示的数是y. , ∴ 又 故答案为:; . ( 2 )由题意可知:秒后点P表示的数是,点A表示数, 点C表示数12 , . 故答案为:2t;。 【分析】(1)因为点A在原点左侧且到原点的距离为24个单位长度,所以点A表示数?24;点B在点A右侧且与点A的距离为12个单位长度,故点B表示:?24+12=?12;(2)因为点P从点A出发,以每秒运动2两个单位长度的速度向终点C运动,则t秒后点P表示数?24+2t(0≤t≤18,令?24+2t=12,则t=18时点P运动到点C),而点A表示数?24,点C表示数12,根据两点间的距离公式即可表示出PA,PC的长; (3)以点Q作为参考,则点P可理解为从点B出发,设点Q运动了m秒,那么m秒后点Q表示的数是?24+4m,点P表示的数是?12+2m,再分两种情况讨论:①点Q运动到 点C之前;②点Q运动到点C之后根据两点间的距离公式列出方程求解即可解决问题。 11.如图,已知数轴上点A表示的数为6,B是数轴上一点,且AB=10.动点P从点O出发,以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,设运动时间为t(t>0)秒. (1)写出数轴上点B表示的数;当t=3时,OP=________ (2)动点R从点B出发,以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,若点P,R同时出发,问点R运动多少秒时追上点P? (3)动点R从点B出发,以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,若点P,R同时出发,问点R运动多少秒时PR相距2个单位长度? 【答案】(1)18 (2)解:设点R运动x秒时,在点C处追上点P,则OC=6x,BC=8x,∵BC-OC=OB,∴8x-6x=4,解得:x=2,∴点R运动2秒时,在点C处追上点P (3)解:设点R运动x秒时,PR=2.分两种情况:一种情况是当点R在点P的左侧时,8x=4+6x-2即x=1;另一种情况是当点R在点P的右侧时,8x=4+6x+2即x=3. 【解析】【解答】(1)解:OB=AB-OA=10-6=4,所以数轴上点B表示的数是-4,OP=3×6=18 【分析】(1)先求出OB的长,即得点B表示的数;利用路程=速度×时间,可求出OP的长. (2)设点R运动x秒时,可得OC=6x,BC=8x,由BC-OC=OB列出方程,求出x的值即可. (3)设点R运动x秒时,PR=2.分两种情况:①当点R在点P的左侧时,②当点R在点P的右侧时,分别求出x的值即可. 12.如图是一种数值的运算程序. (1)当n=2时,a=________;当n=-2时,a=________. (2)当n≠0时,若a=0,求n的值; (3)当n≠0时,是否存在n的值,使a=10n?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)1;3 (2)解:由图可知:a=-n, ∵a=0, ∴-n=0, 化简得:n(n-1)=0, ∴n=0或n=1, 又∵n≠0, ∴n=1. (3)解:由图可知:a=-n, ∵a=10n, ∴-n=10n, 化简得:n(n-21)=0, ∴n=0或n=21, 又∵n≠0, ∴n=21. 【解析】【解答】解:(1)由图可知a=-n, ∵n=2, ∴a=-2=1, 又∵n=-2, ∴a=-(-2)=3, 故答案为:1,3. 【分析】(1)根据图可知a=-n,将n=2、n=-2分别代入即可求得a值. (2)由图可知:a=-n,将a=0代入,解方程求得n值,再由n≠0可得出答案.(3)由图可知:a=-n,将a=10n代入,解方程求得n值,再由n≠0可得出答案.