第四讲：《二次根式》全章复习与巩固
最新人教版初中八年级下册数学【二次根式复习】教学课件
初中数学 解决问题
7．计算：( 8 2) 1 ． 2
8．已知：x 2 3 ，y 2 3 ，求代数式 x2 xy y2的值．
9．已知 a 5 1，求代数式 a2 2a 7 的值．
初中数学 解决问题
7．计算：( 8 2) 1 ． 2
解：原式= (2 2 2) 1 2 1 1．
初中数学 解决问题
1．若 3 m 为二次根式，则 m的取值范围是 m≤3 ．
2．在根式 ① ( y 1)2 ②
x③ 5
27mn ④
是
④
．（填序号）
a2 b 中，最简二次根
式
3．已知 y x 2 2 x 3 ，求 xy 的值．
8
解：∵ x 2 0,
2 x 0.
总结： 二次根式要求被开方数
初中数学 复习运算
乘法： a b = ab （a≥0，b≥0）；
反之： ab= a b（a≥0，b≥0 ）．
乘除运算
除法： a a （a≥0，b＞0 ）； bb
运算
aa 反之： （a≥0，b＞0 ）．
bb
加减运算
步骤：“一化简、二判断、三合并”； 依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
（2）∵ x 5 0, 1 x 0.
∴ -5≤x<1.
总结：转化为解不等式组.
初中数学 综合应用
例2 两个最简二次根式 a b 与 c b 相加得 6 5 ，求 a+b+c的值．
初中数学 综合应用
例2 两个最简二次根式 a b 与 c b 相加得 6 5 ，求 a+b+c的值． 解：∵ a b c b 6 5， ∴ b=5， ∴ a 5 c 5 (a c) 5 6 5. ∴ a+c=6， ∴ a+b+c=11．
【教案参考】《二次根式》全章复习与巩固
《二次根式》专题第四讲：《二次根式》全章复习与巩固一、 化简1、无条件的（所有字母取正数） 348m n ②2296x xy y ++③2(223)12-+-2、有附加条件的212a (0)a ＜ 25(03)x x -（2x+1）＜＜3、 有隐含条件的（有意义的字母的取值范围） ①22(1269x x x --+ ②31a a --4、 需要分类讨论的298m 22(1)(2)m m +-二、 因式分解（实数范围内）①44a a + ②232)6x x +③222215x x +-三、解方程（组） ①2253x x = ②236326x x ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩四、填空1、20072008(23)32)=223-x ，小数部分为y ，则32x y +=3、①20(45(5132+=-②127(23)3-⎡⎤=⎣⎦41514 1413-5、∆ABC 的三边长为a 、b 、c 22()()a b c a b c --+-=6242x x =-成立的条件是2233x x x x--=--成立的条件是7)()()()())()a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎧-==-+-=⎨+⎪=+ 哪个对？五、计算技巧：1336=-2757575=-3、25552525=--4、化简b ab b a ab a -++5、化简(ab b ab a b a ab÷-+6、已知a+b=-3,ab=1,求ab b a 的值.7、如图所示，有一块边长为1的正方形铁片，将其每个角都剪下一个小等腰三角形，使其成为每条边都相等的八边形，求这个八边形的边长，你能将其结果写成没有分母或分母不带根号的形式吗？D CB A。
第4讲二次根式及其运算(讲义)(原卷版)-2024年浙江中考数学一轮复习
第一单元 数与式第4讲 二次根式及其运算1.了解二次根式和最简二次根式的概念，知道二次根式a 中被开方数a 为非负数并且a 也是非负数.2.了解二次根式(根号下仅限于数)的加、减、乘、除运算法则并掌握二次根式的性质.3.能根据二次根式的运算法则及性质进行二次根式的加、减、乘、除和综合运算.1．二次根式的有关概念：(1)二次根式：式子 叫做二次根式．(2)最简二次根式需满足两个条件：①被开方数 ．②被开方数中 的因数或因式．（3）二次根式有意义的条件：被开方数非负2．二次根式的性质：（1）(a )2＝ (a ≥0)．（2）a 2＝ ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＞0），0（a ＝0），－a （a ＜0）.（3）ab ＝ (a ≥0，b ≥0)．（4）ab＝(a≥0，b＞0)．二次根式的双重非负性是指它的被开方数与结果均为非负数．3．二次根式的运算：(1)二次根式加减法的实质是合并同类二次根式．(2)二次根式的乘法：a·b＝(a≥0，b≥0)．(3)二次根式的除法：ab＝(a≥0，b＞0)．运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．■考点一二次根式的相关概念►◇典例1：（2023•恩阳区模拟）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．【变式训练】1．（2023•婺城区一模）在二次根式中，字母x的取值范围是．2．（2023•慈溪市模拟）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≤2 C．x＝2 D．x≠2■考点二二次根式的性质►◇典例2：（2022•河北）下列正确的是（）A．＝2+3 B．＝2×3 C．＝32D．＝0.7【变式训练】1．（2022•桂林）化简的结果是（）A．2B．3 C．2D．22．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则+1+|a﹣1|的化简结果是（）A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a■考点三二次根式的运算►◇典例3：（2021•西宁）计算：（+3）（﹣3）﹣（﹣1）2．【变式训练】1．（2023•娄星区校级一模）下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．2．（2022•青岛）计算（﹣）×的结果是（）深度讲练A ．B．1 C ．D．33．（2022•甘肃）计算：×﹣．4．（2023•兰州模拟）计算：．■考点四二次根式的化简求值及应用►◇典例4：（2020•金华二模）先化简，再求值：（a +）（a ﹣）﹣a（a﹣2），其中a ＝+1．【变式训练】1．（2022•瑞安市校级三模）当时，代数式（a﹣1）2﹣2a+2的值为．真题演练1．（2023•金华）要使有意义，则x的值可以是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．22．（2021•杭州）下列计算正确的是（）A．＝2 B．＝﹣2 C．＝±2 D．＝±2 3．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．4．（2021•金华模拟）代数式在实数范围内有意义时，x的取值范围为（）A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x≥﹣1且x≠0 D．x≠05．（2023•萧山区一模）已知，则实数a的值为（）A．9 B．3 C．D．±36．（2023•南湖区一模）下列各式中，正确的是（）A．（﹣3）2＝9 B．（﹣2）3＝﹣6 C．D．7．（2021•丽水模拟）若方程组，设x+y＝a2，x﹣y＝b2，则代数式的值为（）A．B．C．D．8．（2022•杭州）计算：＝；（﹣2）2＝．9．（2022•萧山区一模）计算：＝．10.（2023•青山区模拟）计算：﹣3＝．11．（2023•杭州）计算：＝．12．（2023•浙江模拟）若最简根式与是同类二次根式，则m＝．13．（2023•龙游县一模）已知：a＝（）﹣1+（﹣）0，b＝（+）（﹣），则＝．14．（2023•临汾模拟）计算：＝．15．（2023•萧山区一模）婷婷对“化简：”的解答过程如下：解：原式＝2×3＝（2×3）×（）2＝6×2＝12．试问婷婷的解答过程是否正确？若正确，请再写出一种解答过程；若有错误，请写出正确的解答过程．16．（2021•永嘉县校级模拟）计算：﹣+3+．17．（2023•舟山二模）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+＝（+）2；（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值．18．（2023•张家界）阅读下面材料：将边长分别为a，a+，a+2，a+3的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．则S2﹣S1＝（a+）2﹣a2＝[（a+）+a]•[（a+）﹣a]＝（2a+）•＝b+2a例如：当a＝1，b＝3时，S2﹣S1＝3+2根据以上材料解答下列问题：（1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝，S4﹣S3＝；（2）当a＝1，b＝3时，把边长为a+n的正方形面积记作S n+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出S n+1﹣S n等于多少吗？并证明你的猜想；（3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，t n＝S n+1﹣S n，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．。
人教版八年级数学下册《二次根式》全章复习与巩固知识讲解与练习(提高教学版)
第1讲 《二次根式》全章复习【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】知识点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）；（2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2a =（0a ≥），如2221122););)33x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a . （32a a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42a 2)a 的异同a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a ，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2.3. 最简二次根式1）被开方数是整数或整式；2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.. 知识点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则：类型 法则 逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法0,0)a b=≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=（2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.. 2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.(13=+-=【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2).举一反三： 【变式】已知，求的值.2.（2016•柘城县校级一模）把1a a --中根号外的因式移到根号内的结果是( ).A ．a -B ．a -C ．a --D ．a举一反三：【变式】（2014春•团风县校级期中）已知x 为奇数，且=，求•．3. 实数,,a b c 在数轴上对应的点如图：化简22()1()a c c b a b c -+-++-+.举一反三：【变式】∆ABC 的三边长为a 、b 、c ，则22()()a b c a b c ---+-= . 类型二、二次根式的运算 4．（2015•昆山市一模）计算 （1）（2）．举一反三：【变式】计算5.已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，化简6.若0x >___________x xy xy y xy yx xy+-=+-.举一反三：【变式】当22211221123a a a aaa a a-+-+=---+时，求的值.《二次根式》全章复习与巩固一.选择题1．x是怎样的实数时，212xx--在实数范围内有意义（）.A.122x x>≠且 B.122x x≥≠±且 C.122x x≠≠±且 D.122x x≥≠且2．若，则( ).A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤33．已知443253x<<+-，那么满足上述条件的整数x的个数是（）.A．4 B. 5 C. 6 D. 74．若x＜0，则的结果是( ).A．0 B．-2 C．0或-2 D．25．5220,x y x y-++=-若则的值是( ).A．-7 B．-5 C．3 D．76．（2016春•东莞市校级期中）已知，则=（）A． B．﹣ C． D．7．小明的作业本上有以下四题：①；②；③；④.做错的题是( ).A．① B．②C．③ D．④8．()2220,a a a a ≥--时，和相比较，下面四个选项中正确的是（ ）.A.()222a a a =-≥- B. ()222a a a >->-C. ()222a a a <-<- D. ()222a a a ->=-二.填空题 9. 计算＝___________.10. 若的整数部分是a ，小数部分是b ，则___________. 11．比较大小①______；②___.（用>或<填空）12. 已知最简根式232a b a b -+-+-2a+b-1与b-2a 是同类根式，则b aa b +的值为___________.13．若m ＜0，则＝___________.14.已知实数a 满足20102011a a a -+-=，则22010a -＝____________.15．已知数,,a b c 在数轴上的位置如图所示：则22()a a c c b b -++---＝__________. 16．（2015•黔西南州）已知x=，则x 2+x+1= ．三.解答题17． 计算： (1) ()ab bab a ab--÷+ (2)18.（2016春•巢湖市校级月考）已知x=，y=，求代数式2x 2﹣4xy+2y 2的值．19已知：20.（2015•蓬溪县校级模拟）如图，面积为48cm2的正方形四个角是面积为3cm2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的底面边长和高分别是多少？（精确到0.1）。
九年级数学上册 二次根式全章复习教案 新人教版
课时9二次根式全章复习教案教学三维目标知识与技能1、理解二次根式的概念。
最简二次根式的定义2、使学生会通过合并同类二次根式，进行二次根式的加减法。
3、合并同类二次根式，进行二次根式的加减法。
4、使学生复习和巩固二次根式的除法运算法则以及将分母有理化的方法，会用它熟练地进行简单的二次根式的乘除法运算。
5、使学生复习和巩固利用乘法公式化简某些二次根式的混合运算6、使学生会进行有关二次根式的简单的加减、乘除法混合运算。
过程与方法使学生通过二次根式的加减，乘除进一步了解归类的思想方法。
培养学生的运算能力。
情感态度价值观使学生通过同类二次根式的各类计算，培养从特殊中找出一般，从个性中找出共性的对立统一观点的数学思想方法。
教学重点最简二次根式的化简。
会求出二次根号下的一次式中字母的取值范围。
二次根式2a 性质以及运用。
理解并掌握积的算术平方根的性质二次根式的除法运算法则的运算以及将分母有理化的方法。
教学难点最简二次根式的识别使学生复习和巩固有关二次根式的简单的加、减、乘混合运算。
培养学生的运算能力。
分母有理化。
教具学具小黑板、实物投影、PPT等本节课预习作业题1、x 是怎样的实数时，式子在实数范围内有意义？(1)3-x； (2)2)1(+x； (3)11-x2、设 x 为任意实数，下面的化简对吗？如果不对，应怎样改正？(1) xx=2； (2)24xx=； (3)36xx=3、化简：(1)2)37(-； (2)－2)615(； (3)2)14.3(π-；（4）648t (t ＜0) 4、计算：（1）2710⨯（2） 15 45÷2125、计算： (1) 545161322-+；(2) )7581()3125.0(--- 教学设计： 教学 环节教学活动过程 思考与调整活动内容师生行为“15分钟温故、自学、群学”环节学生可举手回答、老师做点评 回忆、熟悉掌握几条公式()()02≥=a a a aa =2（任何实数()0,0≥≥⋅=b a b a ab 推论：()0,02≥≥=y x y x y x()0,0≥≥=b a ba ba化简：（1）12； （2）211；（3）b a 245； （4）x3xy ； （5）2)1514(- ； （6）n m 281；(m ＜0) （７）2)732.13(-（８）)()(2n m n m <- （９）)5(25102-<++m m m ； （10）)1523(63-；1、教师课前检查了解学生完成复习作业情况。
九年级数学上册 二次根式的复习课件 苏科版
➢灵活运用
7 、 已 知 x 3 1 ,求 x 2 2 x 3 的 值 .
8、 如 果 a32b0,求 16的 值 . ab
9 、 已 知 m 是 2 的 小 数 部 分 ,求 m 2m 1 2 2 的 值 .
5
4
2 108 3 1 32；
25 2
3( a2)( a2)；4( x 3)2
5
8 2
525
1 2
15.
➢灵活运用
5 、 在 A B C 中 ， C = 9 0 O ， A C =1 0 c m ， A B =3 4 c m 求 B C 长 .
6、物体自由下落，开始落下时物体的高度hm
与落到地面所用的时间ts之间有系t h.
2 x26x93x；
3 xx1 x x1；4 3x 3x.
x1 x1
➢复习巩固
3、化简：
(1) 72a3； (2) 252 242；
3
b； 3a3
4
7； 12
5
5 2； 52
6 a a2b 4ab2 4b3 (2b a)
a 2b
a
➢复习巩固
4、计算 1 4 4 • 3 5 ( 3 10)；
➢知识点回顾
1、什么叫二次根式？ 2、二次根式有哪些性质？ 3、最简二次根式有哪些条件？ 4、什么叫同类二次根式？ 5、二次根式的运算？
➢复习巩固
1、x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x6；
(2) 23x；
3 x2 6； 4 x1.
x 2、下列等式中，字母应分别满足什么条件？
1 a2 a；
二次根式全章复习与巩固(基础)知识讲解1(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质1.二次根式等式子，都形如(0)a a≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02叫做二次根式.要点诠释：二次根式a有意义的条件是0a≥，即只有被开方数0a≥时，式子a才是二次根式，a才有意义.2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2=（0a ≥），如22212;;3x ===（0x ≥）.（2）a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 一定有意义.（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a ，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2. 3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.，与. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则：类型 法则 逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥ 积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法=(0,0)a aa b b b≥>商的算术平方根化简公式：(0,0)a aa b b b=≥> 要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如a b c d ac bd ⋅=.（2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(4)(9)49-⨯-≠-⨯-. 2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-. 【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． 当________3x -在实数范围内有意义.【答案】x ≥3.【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥a .举一反三 【变式】①242x x =-成立的条件是 . ②2233x x x x--=--成立的条件是 .【答案】① x ≤0；(2422x x x x ==-∴≤0.)② 2≤3x <.(20,30,x x -->∴≥2≤3x <)2．当0≤x <1时，化简21x x +-的结果是__________.【答案】 1.【解析】因为x ≥0，所以2x =x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-，所以21x x +-=x +1-x =1.【总结升华】利用二次根式的性质化简二次根式，即2a =a ，同时联系绝对值的意义正确解答. 举一反三【变式】已知0a <，化简二次根式3a b -的正确结果是（ ）.A.aab --B. a ab -C.a abD.a ab -【答案】A.3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）. A.14 B. 48 C.a bD. 44a +【答案】A.【解析】选项B ：48=43；选项C ：有分母；选项D ：44a +=21a +，所以选A.【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式； （2）被开方数中不含能开方的因式或因数. 类型二、二次根式的运算4．下列计算错误的是（ ）. A. 14772= B. 60523= C. 9258a a a =D.3223=【答案】 D.【解析】选项A ： 14714727772⨯=⨯=⨯⨯= 故正确；选项B ：605605123423÷=÷==⨯=，故正确； 选项C925358a a a a a +=+=故正确；选项D ：32222-= 故错误.【总结升华】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，属于基础性考题. 举一反三【变式】计算：48(54453)833-+⨯ 【答案】243610-.5.化简20102011(32)(32)+⋅-.【答案与解析】201020102010=(32)(32)(32)(32)(32)(32)1(32)3 2.+⋅-⋅-⎡⎤=+⋅-⋅-⎣⎦=⋅-=-原式【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.6已知2231,12x x x x =-+求.【答案与解析】2231,1=30,(1)133331=33x x x xx x x =+∴->∴=--+==原式当时，原式【总结升华】 化简求值时要注意x 的取值范围，如果未确定要注意分类讨论. 举一反三【变式】已知a b +=-3, ab =1,求abb a +的值.【答案】∵a b +=-3,ab =1，∴<0a ,<0b11++)=-=3a b b a ab∴原式.。
二次根式单元复习与巩固人教新课标
二次根式单元复习与巩固一、知识框图二、目标认知学习目标1.理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由；2.了解最简二次根式的概念；3.理解并掌握下列结论：(1)；(2)；(3)；4.掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算；5.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.学习重点1．二次根式(a≥0)的内涵．(a≥0)是一个非负数；；及其运用；2．二次根式乘除法的规定及其运用；3．最简二次根式的概念；4．二次根式的加减运算．学习难点1．对(a≥0)是一个非负数的理解；对等式及的理解及应用；2．二次根式的乘法、除法的条件限制；3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．三、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.；2.；3.；4. 积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.6.若，则.知识点二、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2) 注意知道每一步运算的算理；(3) 乘法公式的推广：2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算(1) 对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2) 二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.四、规律方法指导怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1) 加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.例如，没有必要先对进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，，通过约分达到化简目的；(2) 多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.如：，利用了平方差公式.所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.五、经典例题精析类型一、二次根式的概念与性质1．x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)；(2)；(3).思路点拨：本题考查二次根式的意义.解：(1) 要使在实数范围内有意义，则必有∴当时，在实数范围内有意义；(2) 要使在实数范围内有意义，则必有∴当时，在实数范围内有意义；(3) 要使在实数范围内有意义，则必有∴当时，在实数范围内有意义.举一反三【变式1】已知，求的值.解：根据二次根式的意义有将代入已知等式得2．根据下列条件，求字母x的取值范围：(1)；(2).思路点拨：二次根式重要性质的运用.解：(1)(2)举一反三【变式1】把根号外的因式移到根号内，得() A．B．C．D．思路点拨：逆用二次根式的性质.解：由二次根式的意义知x＜0，则，所以答案选C.3.在实数范围内因式分解.(1)；(2).思路点拨：逆用二次根式的性质.解：(1)(2)举一反三【变式1】化简得( )A.2B.-4x-4C.-2D.4x-4思路点拨：二次根式的性质和的运用.注意隐含条件.解：由题意知，，所以答案选A.类型二、二次根式的混合运算4．计算：(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：(1)计算时首先把各个二次根式化为最简二次根式，再用整式的运算法则运算；(2)如果可以约分化简或者乘方化为有理数，那么可以先运算再化简；(3)除法不能直接约分化简的，应将除法转化为乘法；(4)适当可以借用乘法公式化简运算过程.解：(1)原式=；(2)原式=；(3)原式=(4)原式=总结升华：二次根式的混合运算要注意运算顺序，运算法则的使用及注意结果要化成最简形式.举一反三【变式1】计算思路点拨：第一项分母有理化，第二项化为最简二次根式，第三项用化简，然后合并同类二次根式.解：【变式2】计算：(1)(2)思路点拨：利用乘法公式，平方差公式和完全平方公式.解：(1)原式(2)原式总结升华：灵活运用计算法则可以大大简化运算过程.【变式3】先观察下列分母有理化：，从计算结果中找出规律，再利用这一规律计算下列式子的值：.思路点拨：由已知可以猜想一般规律：来进行化简，把第一个括号内的每一项都分母有理化，然后合并同类二次根式.解：总结升华：分母有理化时要注意利用分式的基本性质，把分子和分母同时乘以分母的有理化因式. 类型三、二次根式的化简求值5.已知a、b、c为△ABC的三边长，化简思路点拨：利用三角形任意两边之和大于第三边和进行化简.解：∵a、b、c为△ABC的三边长，∴原式类型四、二次根式的比较大小6.比较大小.(1)与；(2)与；(3)与；(4)与；(5)与.思路点拨：第(1)题可借助比较被开方数或采用平方法加以比较；第(2)题可以分母有理化之后再比较；第(3)题可利用作差法来比较；第(4)题可利用求商法来比较；第(5)题可借助倒数来比较.解：(1)方法一：，而方法二：，又；(2)(3)(4)(5)又，且总结升华：要注意观察两个二次根式的特点，选择灵活简便的方法.类型五、二次根式的综合应用7．某人用一架不等臂天平称一块铁a的质量，把铁块放在天平左盘时，称得它的质量为300克；把铁块放在天平右盘时，称得它的质量为900克，利用所学知识，求这块铁的实际质量.(保留到个位)解：设这块铁的实际质量为x克，天平的左、右臂的长分别为m，n.铁块放在天平左盘时，铁块放在天平右盘时，上下两式相乘，得解得答：这块铁的实际质量约为520克.8．已知：如图，每个小方格的边长都为1，则点C到线段AB所在直线的距离等于多少？解：链接AC、BC，AB的长为，设AB边上的高为h，则即点C到线段AB所在直线的距离等于.总结升华：对于此类问题，要注意勾股定理的应用.注意结合图形发现解决问题的办法，即利用数形结合的思想.。
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《二次根式》专题
第四讲：《二次根式》全章复习与巩固
北京四中 郭伦
一、 化简
1、无条件的（所有字母取正数）
2、有附加条件的
0)a ＜ 5(03)x x -＜＜
3、 有隐含条件的（有意义的字母的取值范围）
①2+ ②-
4、 需要分类讨论的
二、 因式分解（实数范围内）
①4a +
②2x x +
③2
215x +-
三、解方程（组）
①3x =
②==
四、填空
1
、20072008(22)=
2
x ，小数部分为y ，则32x y +=
3
、①20=
②1(2-⎤-=⎦
4
5、∆ABC 的三边长为a 、b 、c
=
6
2x =-成立的条件是
=成立的条件是
7
(a b a b ⎧-==-=⎨= 哪个对？
五、计算技巧：
1
=
2
=
3
、
=
4、化简
b ab b a ab a -++
5
、化简
6、已知a+b=-3,ab=1,求
a
b b a +的值.
7、如图所示，有一块边长为1的正方形铁片，将其每个角都剪下一个小等腰三角形，使其成为每条边都相等的八边形，求这个八边形的边长，你能将其结果写成没有分母或分母不带根号的形式吗？
D
C
B A。