《锐角三角函数》全章复习与巩固-- 巩固练习(提高带答案)

《锐角三角函数》全章复习与巩固--知识讲解（提高）【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确使用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数；2．能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数；3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.【知识网络】【要点梳理】要点一、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切的定义如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：(1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦. (2)cosA=，这个比叫做∠A的余弦.(3)tanA=，这个比叫做∠A的正切.要点诠释：(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2. (4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.要点诠释： 1. 函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB； cosA=sinB；同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=3.30°、45°、60∠A 30°45°60°30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.要点二、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见应用问题(1)坡度：；坡角:.(2)方位角：(3)仰角与俯角：由由，，，2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．3．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。

如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单：∵∴∵∴∵∴【典型例题】类型一、锐角三角函数1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A 的正弦值是( )．A ．扩大2倍B ．缩小2倍C ．扩大4倍D ．不变【答案】 D ；【解析】根据A sin A ∠∠=的对边斜边知sin ∠A 的值与∠A 的大小有关，与A ∠的对边斜边的比值有关．当各边长度都扩大为原来的2倍时，其A ∠的对边斜边的比值不变．故选D.【总结升华】 锐角三角函数正弦、余弦和正切反映了直角三角形中边与边的关系．举一反三：【变式1】已知，如图，ABC ∆中，CE AB ⊥，BD AC ⊥，25DEBC =，求cos A 及tan A ．【答案】易证点B 、C 、D 、E 四点共圆，△ADE ∽△ABC ，cos A=2,5ADDEAB BC == tanA=2BDAD =变式2】如图所示，已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，请你证明sin sin sin abcA B C ==．1A B 2【答案】 证明：⊙O 是△ABC 的外接圆，设圆的半径为R ，连结AO 并延长交⊙O 于点D ，连结CD ，则∠B ＝∠D ．∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°．即△ADC 为直角三角形． ∴sin sin 2AC bB D AD R ===，∴2sin bR B =． 同理可证：2sin a R A =，2sin c R C =．∴2sin sin sin a bcR A B C ===．类型二、 特殊角三角函数值的计算2．已知a ＝3，且2(4tan 45)0b -°，则以a 、b 、c 为边长的三角形面积等于( )． A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】A ；【解析】根据题意知4tan 450,130,2b bc -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩° 解得 4,5.b c =⎧⎨=⎩ 所以a ＝3，b ＝4，c ＝5，即222a b c +=，其构成的三角形为直角三角形，且∠C ＝90°，所以162S ab ==． 【总结升华】利用非负数之和等于0的性质，求出b 、c 的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，注意tan45°的值不要记错．举一反三：【变式】计算：tan 60tan 45tan 60tan 45︒-︒︒⋅︒＋2sin 60°【答案】原式2+=类型三、 解直角三角形3．如图所示，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若1tan 5DBA ∠=，则AD 的长为( )． A ．2 B．1【思路点拨】 如何用好1tan 5DBA ∠=是解题关解，因此要设法构造直角三角形，若所求的元素不在直角三角形中，则应将它转化到直角三角形中去，转化的途径及方法很多，如可作辅助线构造直角三角形，或找已知直角三角形中的边或角替代所要求的元素等．【答案】 A ；【解析】 作DE ⊥AB 于点E ．因为△ABC 为等腰直角三角形，所以∠A ＝45°，所以AE ＝DE ．又设DE ＝x ，则AE ＝x ，由1tan 5DE DBA EB ∠==．知BE ＝5x ，所以AB ＝6x ，由勾股定理知AC 2+BC 2＝AB 2， 所以62+62＝(6x)2，x =AD2=．【总结升华】在直角三角形中，若已知两边，宜先用勾股定理求出第三边，再求锐角三角函数值；若已知一边和角，应先求另一角，再通过锐角三角函数列出含有未知元素和已知元素的等式求解．类型四 、锐角三角函数与相关知识的综合4．如图所示，直角△ABC 中，∠C ＝90°，AB＝sin B＝5，点P 为边BC 上一动点，PD ∥AB ，PD 交AC 于点D ，连接AP ， (1)求AC ，BC 的长；(2)设PC 的长为x ，△ADP 的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，并求出最大值．【思路点拨】 (1)在Rt △ABC 中，由AB＝sin BAC AB =，易得AC ＝2，再由勾股定理求BC ． (2)12ADP S AD PC =⋅△，只要把AD 用x 表示即可求出△ADP 的面积y ， 由PD ∥AB 可得PC CD BC AC =，从而求出12CD x =，则122AD x =-． 【答案与解析】(1)在Rt △ABC中，由sin B =，∴AC ＝2，由勾股定理得BC ＝4． (2)∵PD ∥AB ，∴△ABC ∽△DPC ，∴12D C A C P C B C ==．∵PC ＝x ，则2211112(2)12244y x x x x x ⎛⎫=-⨯=-+=--+ ⎪⎝⎭，∴当x ＝2时，y 有最大值，最大值是1． 【总结升华】 近几年，锐角三角函数与圆、函数、相似三角形以及方程相结合的题目在各地中考试题中出现的频率越来越大．如圆中的垂径定理，直径所对的圆周角都出现了直角或直角三角形．在函数中，在直角坐标系中求点的坐标，离不开求直角三角形两直角边的问题，相似三角形中可将有些元素进行转换或替代．举一反三：【变式】如图，设P 是矩形ABCD 的AD 边上一动点，PE AC ⊥于点E ，PF BD ⊥于F ，3AB =，4AD =．求PE PF +的值．【答案】如图，sin ∠1=.PE PA sin ∠2=.PF PD 由矩形ABCD 知∠1=∠2，则 PE=PAsin ∠1，PF=PDsin ∠2,sin ∠1=CD 3=AC 5，所以PE+PF= PAsin ∠1+ PDsin ∠2=（PA+PD ）sin ∠1=3124=55⨯类型五、三角函数与实际问题5．某乡镇中学教学楼对面是一座小山，去年“联通”公司在山顶上建了座通讯铁塔．甲、乙两位同学想测出铁塔的高度，他们用测角器作了如下操作：甲在教学楼顶A 处测得塔尖M 的仰角为α，塔座N 的仰角为β；乙在一楼B处只能望到塔尖M ，测得仰角为θ(望不到底座)，他们知道楼高AB ＝20 m ，通过查表得：tan α＝0.572 3，tan β=0.2191，tan θ＝0.7489，请你根据这几个数据，结合图形推算出铁塔高度MN 的值．【答案与解析】 如图所示，设地平线BD 、水平线AE 分别交直线MN 于D 、E ，显然AE ＝BD ，不妨设为m ，则在Rt △AEM 中，ME ＝mtan α，在Rt △AEN 中，NE ＝mtan β．∴MN ＝m(tan α－tan β)．在Rt △BDM 中，MD ＝mtan θ，而AB ＝DE ＝MD －ME ＝m(tan θ－tan α)， ∴tan tan AB m θα=-，∴(tan tan )tan tan AB MN αβθα-=-． 将AB ＝20(m)，tan α＝0.5723，tan β=0.2191，tan θ=0.7489代入得MN ＝40(m)．∴可测得铁塔的高度MN ＝40m.【总结升华】构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形问题.6．如图所示，帆船A 和帆船B 在太湖湖面上训练，O 为湖面上的一个定点，教练船静候于O 点．训练时要求A ，B 两船始终关于O 点对称．以O 为原点，建立如图所示的坐标系，x 轴，y 轴的正方向分别表示正东、正北方向．设A ，B 两船可近似看成在双曲线4y x=上运动．湖面风平浪静，双帆远影优美．训练中当教练船与A ，B 两船恰好在直线y ＝x 上时，三船同时发现湖面上有一遇险的C 船，此时教练船测得C 船在东南45°方向上，A 船测得AC 与AB 的夹角为60°，B 船也同时测得C 船的位置(假设C 船位置不再改变，A ，B ，C 三船可分别用A ，B ，C 三点表示)．(1)发现C 船时，A ，B ，C 三船所在位置的坐标分别为A(________，________)，B(________，________)和C(________，________)；(2)发现C 船，三船立即停止训练，并分别从A ，O ，B 三点出发沿最短路线同时前往救援，设A ，B 两船的速度相等，教练船与A 船的速度之比为3:4，问教练船是否最先赶到?请说明理由．【思路点拨】作AD ⊥x 轴，在等腰直角三角形ADO 中． 结合点A 在4y x=上，不难求出A 点坐标，而B 与A 关于原点对称．注意到△ABC 为等边三角形，连OC ，作CH ⊥x 轴解直角三角形，求出CH 、OH 的长，即可求出点C 坐标．在求点A 、B 、C 坐标过程中，可求出AC 、OC 的长再根据两船速度比，分别用含字母的式子表示所用的时间，再比较大小．【答案与解析】(1)A(2，2)；B(-2，-2)；C(-．(2)作AD ⊥x 轴于D ，连接AC ，BC 和OC ．如图所示．∵ A 的坐标为(2，2)，∴∠AOD ＝45°，AO ＝ ∵ C 在O 的东南45°方向上，∴ ∠AOC ＝45°+45°＝90°．∵ AO ＝BO ，∴ AC ＝BC ．又∵ ∠BAC ＝60°．∴ △ABC 为正三角形，∴ AC ＝BC ＝AB ＝2AO ＝ OC ＝BC ·cos30°＝2=． 由条件设：教练船的速度为3m ，A 、B 两船的速度均为4m ．，A 、B =．∴ 教练船不是最先赶到． 【总结升华】（1）一是通过问题提供的信息，知道变量之间有什么函数关系，在这种情况下，可先设出函数的表达式，再由已知条件确定表达式中的字母系数即可；（2）从问题本身的条件中不知道变量之间是什么函数关系，在这种情况下和列方程解实际问题一样找出等量关系，把变量联系起来就得到函数的表达式.《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习（提高）一、选择题1. 计算tan 60°+2sin 45°－2cos 30°的结果是( )． A ．2 B ．12．如图所示，△ABC 中，AC ＝5，cos 2B =，3sin 5C =，则△ABC 的面积是( )A ．212 B ．12 C ．14D ．21 3．如图所示，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC B ''，则tan B '的值为( )A ．12 B ．13 C ．14 D ．4第2题图 第3题图 第4题图4．如图所示，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得∠BAD ＝30°，在C 点测得∠BCD ＝60°，又测得AC ＝50米，那么小岛B 到公路l 的距离为( )．A ．25米B ．米C 米D ．25+ 5．如图所示，将圆桶中的水倒入一个直径为40 cm ，高为55 cm 的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°．要使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为( )． A ．10 cm B ．20 cm C ．30 cm D ．35 cm6．如图所示，已知坡面的坡度1i =α为( )． A ．15° B ．20° C ．30° D ．45°第5题图 第6题图 第7题图7．如图所示，在高为2 m ，坡角为30°的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为( )．A ．4 mB ．6 mC ．．(2+8．因为1s i n 302=°，1sin 2102=-°，所以s i n 210s i n (18030)=+=-°°°°；因为sin 45=°，sin 2252=-°，所以sin 225sin(18045)sin 45=+=-°°°°，由此猜想，推理知：一般地，当α为锐角时有sin(180°+α)＝-sin α，由此可知：sin240°＝( )． A ．1-2 B ．-2 C ．-2 D ． 二、填空题9．如图，若AC 、BD 的延长线交于点E ，511CD AB =，则cos CEB ∠= ；tan CEB ∠= ． 10．如图，AD ⊥CD ，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，则AD 的长为 ；CD 的长为 .A B第9题图 第10题图 第11题图 11．如图所示，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α=________．12．如果方程2430x x -+=的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 最小的角为A ，那么tanA 的值为__ ______． 13.1sin 2α=-，则锐角α的取值范围是____ ____． 14. 在△ABC 中，AB ＝8，∠ABC ＝30°，AC ＝5，则BC ＝____ ____．15. 如图，直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为 .16. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD ，使点B 重合于点D ，折痕分别交边AB 、BC 于点F 、E ，若AD=2，BC=8.则(1)BE 的长为 . (2)∠CDE 的正切值为.第15题图 第16题图 三、解答题17．如图所示，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ，点M 是 AE 的中点，OM 交AC 于点D ，∠BOE ＝60°，cos C ＝12，BC＝ (1)求∠A 的度数；(2)求证：BC 是⊙O 的切线；(3)求MD 的长度．18. 如图所示，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN ，已知C 点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN 上的点A 处测得C 在A 的北偏东45°方向上，从A 向东走600米到达B 处，测得C 在点B 的北偏西60°方向上．(1)MN 是否穿过原始森林保护区?为什么?(1.732)(2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25％，则原计划完成这项工程需要多少天?19．如图所示，圆O 的直径为5，在圆O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC:CA ＝4:3，点P 在半圆弧AB 上运动(不与A 、B 重合)，过C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．(1)求证：AC ·CD ＝PC ·BC ；(2)当点P 运动到AB 弧中点时，求CD 的长；(3)当点P 运动到什么位置时，△PCD 的面积最大？并求这个最大面积S ．20. 如图所示，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ ⊥BC 于Q ，过点Q 作QR ∥BA 交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ ＝x ，QR ＝y ．(1)求点D 到BC 的距离DH 的长；(2)求y 关于x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(3)是否存在点P ，使△PQR 为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】C ；【解析】tan 60°+2sin 45°－2cos 302222-⨯==2.【答案】A ；【解析】过A 作AD ⊥BC 于D ，因为cos 2B =，所以∠B ＝45°，所以AD ＝BD ，因为3sin 5AD C AC ==，所以3535AD =⨯=，∴ BD ＝AD ＝3，所以4DC =，所以BC ＝BD+DC ＝7， 112173222ABC S BC AD ==⨯⨯= △. 3.【答案】B ；【解析】旋转后的三角形与原三角形全等，得∠B ′＝∠B ，然后将∠B 放在以BC 为斜边，直角边在网格线上的直角三角形中，∠B 的对边为1，邻边为3，tan B ′＝tanB ＝13． 4.【答案】B ；【解析】依题意知BC ＝AC ＝50米，小岛B 到公路l 的距离，就是过B 作l 的垂线，即是BE 的长，在Rt △BCE 中，sin 60BE BC =°，BE ＝BC ·sin 60°＝50=米)，因此选B ．5.【答案】D ；【解析】如图，△ABD 是等腰直角三角形，过A 点作AC ⊥BD 于C ，则∠ABC ＝45°，AC ＝BC ＝140202⨯=，则所求深度为55－20＝35(cm)．6.【答案】C ；【解析】tanBC AC α===，∴ 30α=°． 7．【答案】D ；【解析】地毯长度等于两直角边长之和，高为2 m ，宽为2tan 30=°，则地毯的总长至少为(2+m ．8．【答案】C ；【解析】sin 240°＝sin(180°+60°)＝-sin 60°＝二、填空题9．【答案】cos ∠CEB=511；tan ∠CEB=5【解析】如图，连结BC ，则∠ACB=90°，易证△ECD ∽△EBA ，∴CE CD 5=EB AB 11=，cos ∠CEB=5.11CE =EB tan ∠CEB=5BC =CE第9题答案图 第10题答案图10．【答案】5+10；10+5.【解析】过B 点分别作BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，则得BF=ED ，BE=DF. ∵在Rt △AEB 中，∠A=30°，AB=10， ∴AE=AB ·cos30°=10×=5，BE=AB ·sin30°=10×=5. 又∵在Rt △BFC 中，∠C=30°，BC=20，∴BF=BC=×20=10， CF=BC ·cos30°=20×=10.∴AD=AE+ED=5+10， CD=CF+FD=10+5.11．【解析】设AB 边与直线2l 的交点为E ，∵ 1l ∥2l ∥3l ∥4l ，且相邻两条平行直线间的距离都是1，则E 为AB 的中点，在Rt △AED 中，∠ADE ＝α，AD ＝2AE ．设AE ＝k ，则AD ＝2k ，DE =．∴ sin sin5AE ADE ED α=∠===．12．【答案】13或4； 【解析】由2430x x -+=得x 1＝1，x 2＝3．①当1，3为直角边时，则tan A ＝13；②当3= tan4A ==． 13．【答案】0＜α≤30°； 【解析】由题意知1sin 02α-≥，故sin α≤12，即sin α≤sin 30°，由正弦函数是增函数．知0＜α≤30°．14．【答案】3或3；【解析】因△ABC 的形状不是唯一的，当△ABC 是锐角三角形时，如图所示，作AH⊥BC 于H ，在Rt △ABH 中．AH ＝AB ·sin ∠ABC ＝8×sin30°＝4，BH =在Rt △AHC 中，HC 3=．∴ BC ＝3．当△ABC 是钝角三角形时，如图所示，同上可求得BC ＝3．15．【答案】2；【解析】连接CA 并延长到圆上一点D ，∵CD 为直径，∴∠COD=∠yOx=90°， ∵直径为10的⊙A 经过点C （0，5）和点O （0，0），∴CD=10，CO=5，∴DO=B=∠CDO ，∴∠OBC 的余弦值为∠CDO 的余弦值，∴cos ∠OBC=cos ∠． 16．【答案】（1）BE=5；（2）tan ∠CDE=【解析】（1）由题意得△BFE ≌△DFE ，∴DE=BE.又∵在△BDE 中，∠DBE=45°， ∴∠BDE=∠DBE=45°，即DE ⊥BC.∵在等腰梯形ABCD 中，AD=2，BC=8， ∴EC=(BC-AD)=3，BE=5.(2)由(1)得DE=BE=5， 在△DEC 中，∠DEC=90°，DE=5，EC=3， ∴tan ∠CDE==. 三、解答题17.【答案与解析】(1)∵∠BOE ＝60°，∴∠A ＝12∠BOE ＝30°．(2)在△ABC 中，∵cos C ＝12，∴∠C ＝60°， 又∵∠A ＝30°，∴∠ABC ＝90°，∠ABC ＝90°，∴AB ⊥BC ，∴ BC 是⊙O 的切线．(3)∵点M 是 AE 的中点，∴OM ⊥AE ，在Rt △ABC 中，∵BC ＝AB ＝BCtan 60°＝6=，∴OA ＝32AB =，∴OD ＝12OA ＝32，∴MD ＝32． 18.【答案与解析】 (1)过C 点作CH ⊥AB 于H ．设CH ⊥AB ．由已知有∠EAC ＝45°，∠FBC ＝60°，则∠CAH ＝45°，∠CBA ＝30°．在Rt △ACH 中，AH ＝CH ＝x ，在Rt △HBC 中，tan ∠HBC ＝CH HB ．∴tan 30CH HB ===°，∵AH+HB ＝AB，∴600x =，解得x =≈220(米)＞200(米)．∴ MN 不会穿过森林保护区． (2)设原计划完成这项工程需要y 天，则实际完成工程需要(y-5)天．根据题意得：11(125%)5y y=+⨯-，解得：y ＝25．经检验知：y ＝25是原方程的根．答：原计划完成这项工程需要25天．19.【答案与解析】(1)∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°．又∵ PC ⊥CD ，∴ ∠PCD ＝90°．而∠CAB ＝∠CPD ，∴△ABC ∽△PDC ．∴AC BC CP CD=．∴AC ·CD ＝PC ·BC ． (2)当点P 运动到AB 弧中点时，过点B 作BE ⊥PC 于点E ．∵P 是 AB 中点，∴∠PCB ＝45°，CE ＝BE＝2BC = 又∠CAB ＝∠CPB ，∴tan ∠CPB ＝tan ∠CAB ＝43．∴3tan 422BE PE BC CPB ⎛⎫=== ⎪ ⎪∠⎝⎭． 从而PC ＝PE+EC．由(1)得CD＝43PC =(3)当点P 在 AB 上运动时，12PCD S PC CD = △． 由(1)可知，CD ＝43PC ．∴223PCD S PC =△．故PC 最大时，PCD S △取得最大值； 而PC 为直径时最大，∴PCD S △的最大； ∴PCD S △的最大值2250533S =⨯=． 20.【答案与解析】(1)∵∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，∴BC ＝10．∵点D 为AB 中点，∴BD ＝12AB ＝3．∵∠DHB ＝∠A ＝90°，∠B ＝∠B ． ∴△BHD ∽△BAC ，∴DH BD AC BC =，∴3128105BD DH AC BC ==⨯= ． (2)∵QR ∥AB ，∴△RQC ∽△ABC ，∴RQ QC AB BC =，∴10610y x -=，即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+． (3)存在，分三种情况：①当PQ ＝PR 时，过点P 作PM ⊥QR 于M ，如图所示，则QM ＝RM ． 123∵∠1+∠2＝90°．∠C+∠2＝90°，∴∠1＝∠C ．∴84cos1cos105C∠===，∴45QMQP=，∴1425QRDH=，∴1364251255x⎛⎫-+⎪⎝⎭=，∴185x=．②当PQ＝RQ时，如图28—46所示，则有312655x-+=，∴x＝6．③当PR＝QR时，则R为PQ中垂线上的点，如图所示．于是点R为EC的中点，∴11224CR CE AC===．∵tanQR BACCR CA==，∴366528x-+=，∴152x=．综上所述，当x为185或6或152时，△PQR为等腰三角形．。