正比例函数的图像和性质
第1课时 正比例函数的图象及性质
【解析】（1）y=5×15x/100，
即 y 3 x x 0 .
4
y/元
（2）列表 x 0 4
6
描点 y 0 3
5 4
连线
3
2
（3）当 x 220 时，
1
y 3 220 165（元）. O
x/km 1 23 4 5 6 7 8
4
答：该汽车行驶220 km所需油费是165元．
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.正比例函数的概念和一般关系式. 2.正比例函数的简单应用. 3.正比例函数的图象和简单性质.
既然我们得出正比例函数 y kx(k 0) 的图象 是一条直线．那么在画正比例函数图象时 有没有什么简单的方法呢？
3、观察函数 y x 的图象,想一想随着x的增
大,y的值如何变化?其它三个函数的图像呢?你 发现了什么规律？
（1）正比例函数 y x 和 y 3x 中，随
着x值的增大y的值都增加了，其中哪一个增
加得更快？你能说明其中的道理吗？
（2）正比例函数
y
1 2
x
和 y 4x 中，
1、什么是一次函数？什么是正比例函数？ 若两个变量 x，y间的对应关系可以表示
成y=kx+b(k, b为常数，k≠0）的形式，则称 y是x的一次函数（linear function）.当 b=0时，y是x的正比例函数。
函数的图像：
把一个函数的自变量x与对应的因变量 y的值分别作为点的横坐标和纵坐标， 在直角坐标系内描出它的对应点，所 有这些点组成的图形叫做该函数的图 象
正比例函数的图象和性质课件
们只相交于原点。
06
CHAPTER
03
正比例函数的性质
增减性
01
02
03
增减性
正比例函数在定义域内是 单调的，即随着x的增大 （或减小），y也相应增 大（或减小）。
增减性的判断
根据斜率k的正负来判断 。当k>0时，函数为增函 数；当k<0时，函数为减 函数。
增减性的应用
在解决实际问题时，可以 利用增减性判断函数的值 域或最值。
y=-3/x
提升练习题
01
总结词
深化理解与运用
02
03
04
题目1
已知某物体的速度v与时间t的 关系为v=kt，其中k为常数。 求该物体在t=3时的速度v。
题目2
画出函数y=0.5x和y=-0.2x的 图象，并比较它们的性质。
题目3
已知某物体的位移s与时间t的 关系为s=2t^2，求该物体在
t=5时的位移s。
斜率
1 2 3
斜率定义
正比例函数y=kx（k≠0）的斜率是k。
斜率与函数图像的关系
斜率决定了函数图像的形状和倾斜程度。当k>0 时，图像从左下到右上上升；当k<0时，图像从 左上到右下下降。
斜率的应用
在解决实际问题时，可以利用斜率判断函数的单 调性和变化趋势。
截距
截距定义
正比例函数y=kx（k≠0）的截距是0。
正比例函数的图象和性 质ppt课件
CONTENTS
目录
• 正比例函数的概念 • 正比例函数的图象 • 正比例函数的性质 • 正比例函数的应用 • 练习与思考
CHAPTER
01
正比例函数的概念
正比例函数的定义
正比例函数图像及性质
布置作业
A组：必做题：函数y=-5x的图象在第 象限
内，经过点（0， ）与点（1， ），y随
着x的增大而
。
选做题：P89页，练习（1）,（2）任选一 B组：写出正比例函数的性质
1.正比例函数的定义
一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函 数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数
2.画函数图象的步骤
列表、描点、连线
例1 画出下列正比例函数的图象 （1）y＝2x；（2）y＝－2x
动动
手
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -4 -2 0 2 4 …
y=2x
例1 画出下列正比例函数的图象 （1）y＝2x；（2）y＝－2x
y 1 x 3
o1
时，它的
x
图像经过 第二、四
像限
思考3 对一般正比例函数y =kx，当k＜0时，
它的图象形状是什么？位置怎样？
当k＜0时图像是经过原点的一条直线，且经
过二、四象限
思考4 在k＜0 的情况下，图象是左低右高
还是左高右低？
当k＜0时图像从左到右下降趋势，即y随着x
的增大而减小
口答：看谁反应快
y 3x y x y 1 x y
y 3x
3
3
yx
当k>0
时，它的图
1
y1x
像 经过第
一、三象
o1
3
3xΒιβλιοθήκη 限思考1 对一般正比例函数y =kx，当k＞0时，
它的图象形状是什么？位置怎样？
当k＞0时图像是经过原点的一条直线，且经
过一、三象限
思考2 在k＞0 的情况下，图象是左低右高
还是左高右低？
正比例函数的图像与性质课件
（2）画出这个函数的图象；
解 当 t = 0 时，h = 0； 当 t =100时，h = 300. 在平面直角坐标系中描出点O(0,0)和A(100,300). 过这两点作线段OA，线段OA即函数h = 3t (0 ≤ t ≤100) 的图象，如图4-10.
做匀速运动（即速度 保持不变）的物体，走过 的路程与时间的函数关系 的图象一般是一条线段.
D.m≥1
3.下列函数(1)y=5x,(2)y=-3x,(3)y=1/2x,(4)y=-1/3x中，
(2) (4) y随x的增大而减小的是————
4. 已知正比例函数y＝（１－２m）xm2-3的图象经过 第二、四象限，求m的值。
随堂测试试
1.函数y=－7x的图象在第 二、四 象限内,
经过点(0, 而 减少 0 )与点(1, －7 . ),y随x的增大
如图,三个正比例函数的图像分 别对应的解析式是 ①y=ax② y=bx ③ y=cx,则a、b x
A.a>b>c C.b>a>c
B.c>b>a D.b>c>a
结论
正比例函数图象经过点(0,0)和点(1,k)
y
k y= kx (k＞0)
y= kx (k＜0)
y
0 1
2.正比例函数y=（m－1）x的图象经过一、
三象限，则m的取值范围是（ B ） A.m=1 B.m＞1 C.m＜1 D.m≥1
随堂练习
5.函数y=－7x的图象在第 二、四象限内,经过点(0, 0
与点(1,－7 ),y随x的增大而 减少 . 3 6.函数y= 2 x的图象在第 三、一 象限内,经过点 3 (0, ０ )与点(1, 2 ),y随x的增大而 增大 .
正比例函数的图像和性质
正比例函数的图像和性质
正比例函数是指函数的值与自变量成正比关系的函数，通常表示为y=kx，其中k为比例常数。
正比例函数的图像是一条经过原点的直线。
这是因为当自变量为0时，函数的值也为0，所以直线经过原点。
正比例函数的性质包括：
1. 随着自变量的增大，函数的值也随之增大或减小；随着自变量的减小，函数的值也随之减小或增大。
2. 自变量为0时，函数的值为0，即函数通过原点。
3. 函数的图像是一条经过原点的直线。
4. 如果k>0，则函数是递增函数；如果k<0，则函数是递减函数。
5. 函数的图像在第一象限和第三象限的部分为正值，而在第二象限和第四象限的部分为负值。
6. 正比例函数的图像是关于原点对称的，即改变自变量的正负会导致函数的正负改变。
值得注意的是，正比例函数的定义域和值域都可以是整个实数集合。
(完整版)正比例函数图像及性质
正比例函数的图像和性质知识精要1.正比例函数的图像一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k0≠）的图像是经过原点O(0,0)和点M（1，k）的一条直线。
我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx。
2.正比例函数性质精讲名题例1.若函数y=(m-1)3-mx是正比例函数，则m= ,函数的图像经过象限。
解:m=4,图像经过第一、三象限。
例2.已知y-1与2x成正比例，当x=-1时，y=5,求y与x的函数解析式。
解：∵y-1与2x成正比例∴设y-1=k·2x （k0≠）把x=-1,y=5代入，得k=-2,∴y-1=-2·2x∴y=-4x+1例3.已知y与x的正比例函数，且当x=6时y=-2(1)求出这个函数的解析式；(2)在直角坐标平面内画出这个函数的图像；(3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，求a 的值；(4)试问，点A （-6，2）关于原点对称的点B 是否也在这个图像上？解：(1) 设y=k ·x （k 0≠）当x=6时，y=-2∴-2=6k ∴31-=k ∴这个函数的解析式为x y 31-=(2) x y 31-=的定义域是一切实数，图像如图所示：(3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，∴a 314-=，∴a=-12(4)点A （-6，2）关于原点对称的点B 的坐标（6，-2），当x=6时，y=2631-=⨯- 因此，点B 也在直线x y 31-=上例4.已知点(11,y x )，(22,y x )在正比例函数y=(k-2)x 的图像上，当21x x >时，21y y <，那么k 的取值范围是多少？解：由题意，得函数y 随x 的值增大而减小，∴k-2<0,∴k<2例5.（1）已知y=ax 是经过第二、四象限的直线，且3+a 在实数范围内有意义，求a 的取值范围。
（2）已知函数y=(2m+1)x 的值随自变量x 的值增大而增大，且函数y=(3m+1)x 的值随自变量x 的增大而减小，求m 的取值范围。
正比例函数的性质及图像
第十九章一次函数19.2 一次函数19.2.1 正比例函数第2课时正比例函数的图象与性质教学设计【探究1】用描点法画出正比例函数y = 2x的图象.练习：在同一直角坐标系中用描点法画岀正比例函数y=3x的图象.3思考：对一般正比例函数y= kx,当k> 0时，它的图象形状是怎样的？位置呢？在k>0的情况下，图象是左低右高还是左高右低？当自变量的值增大时，对应的函数值是增大还是减小？【探究2】当k v0时，正比例函数的图象特征及性质又怎样呢？请各小组画出函数y= —3x和y=—1.5x的图象，小组间进行合作研究.［师生活动］让学生在完成上述练习的基础上总结归纳岀正比例函数解析式与图象特征之间的规律：正比例函数y= kx（k是常数，k工0）的图象是一条经过原点的直线. 当k>0时，图象经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大y 也增大；当k<0时，图象经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y反而减小.正是由于正比例函数y= kx（k是常数，k工0）的图象是一条直线，我们可以称它为直线y= kx.【探究3】正比例函数的图象是一条经过坐标原点的直线，我们知道，两点确定一条直线，现在，你知道画正比例函数图象的简便方法了吗？［师生活动］教师引导学生用简便方法画正比例函数的图象.用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：(1)y = ；x; (2)y = —3x.活动实践探究交流新知让学生观察、分析、讨论、对比图象的异同：发现函数图象的性质.在多个实例的基础上,归纳得到正比例函数图象的性质，潜移默化地对学生渗透了概括、归纳、比较、分析等数学思想方法.［学生活动］学生合作探究交流得出结论：画正比例函数的图象时，只需在原点外再确定一个点，即找岀一组 满足函数解析式的对应数值即可，如（1, k ）,因为两点可以确定一条直线例 在同一直角坐标系中，画岀下列函数的图象，并对它们进行比 较.1 1(1)y = 2x ; (2)y = - 2x.图 19- 1 -［师生活动］比较两个函数图象可以看出： 两个图象都是经过坐标原点1的直线.函数y = 2x 的图象从左向右上升，经过第一、三象限，即随着x1的增大y 也增大；函数y =— -x 的图象从左向右下降，经过第二、四象 限，即随着x 的增大y 反而减小. 【应用举例】例1汽车由天津驶往相距120千米的北京，s （千米）表示汽车离开 天津的距离，t （时）表示汽车行驶的时间，s 与t 之间的关系如图19-2-7活动实践 探究 交流 新知教师引导学生用简 便方法画正比例函数的 图象，并利用此例让学 生巩固正比例函数图象 的性质.活动开放训练体现应用图19-2 - 7活动开放训练体现应用(1) 汽车用几小时可到达北京？速度是多少？(2) 汽车行驶1小时，离开天津有多远？(3) 当汽车距北京20千米时，汽车岀发了多长时间？解法一：用图象解答：(1) 从图上可以看出汽车用4个小时可到达北京.120速度=~4~ = 30(千米/时).(2) 汽车行驶1小时离开天津约为30千米.(3) 当汽车距北京20千米时，汽车出发了约3.3小时. 解法二：用解析式来解答：(1)由图象可知：s与t是正比例关系，设s= kt，当t = 4 时，s= 120，即120 = k x4，k= 30，•*s= 30t.(1) 汽车4小时可达到北京，速度为30千米/时.(2) 当t= 1 时，s= 30X1 = 30(千米).10(3) 当s= 100 时，100= 30t，t= 3 (时).3以上两种方法比较，用图象法解题直观，用解析式解题准确，各有优点.【拓展提升】ty图19-2-8例2观察图象比较大小：(1) k1__ =_k2；(2) k3__<.__k4；(3) 比较k1，k2，k3，k4的大小，并用不等号连接.[答案：k1< k2< k3< k4]变式训练1.当k>0时，正比例函数y= kx的图象大致是(A )A B C D图19-2-92.已知正比例函数y = (3k- 1)x，y随着x的增大而增大，则k的取值范围是(D )1 1A.k< 0B.k> 0C.k< 3D.k >3应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力.1•知识的综合与拓展，提高应考能力.2.进一步使学生巩固正比例函数的性质使学生体验数形结合思想的运用过程.。
人教版八年级数学下册19.2.1正比例函数正比例函数的图象和性质课件
学习难点：会运用正比例函数的性质
练习 在同一坐标系中用描点法画 3、在k＞0 的情况下，图象是左低右高还是左高右低？当自变量x的值增大时，对应的函数值y怎样变化？
3、在k＞0 的情况下，图象是左低右高还是左高右低？当自变量x的值增大时，对应的函数值y怎样变化？
下列图像哪个可能是函数y=-8x的图像（ ）
19.2.1正比例函数（第2课时）
正比例函数的图象和性质
• 学习目标：会画正比例函数的图象，知道 和运用正比例函数的性质.
• 学习重点：正比例函数的图象和性质 • 学习难点：会运用正比例函数的性质
和运1用正.什比例函么数的是性质正. 比例函数？请你写出两个具体的正比
一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数
我们把正比例函数y=kx的图象叫做直线y=kx；
例函数. 学习重点：正比例函数的图象和性质
1正比例函数（第2课时）
3、在k＞0 的情况下，图象是左低右高还是左高右低？当自变量x的值增大时，对应的函数值y怎样变化？
一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函 观察图像，思考以下问题：
下列图像哪个可能是函数y=-8x的图像（ ）
3.正比例函数研究过程中，你感受最深的是什么？
的增大而增大，则k的取值范围 （ ）．
A．k＜0
B．k≤0
C．k＞0
D．k≥0
3.下列图像哪个可能是函数y=-8x的图像（ ）
A
B
C
D
1.本节课，我们研究了什么，得到了哪些成果？ 2.正比例函数的图象及性质怎样？
1）正比例函数y=kx的图象是一条经过原点的直线；我们把正 比例函数y=kx的图象叫做直线y=kx； 2）当k>0时，它的图象从左向右上升，经过第一、三象限，y 随x的增大而增大； 3） 当k<0时，它的图象从左向右下降，经过第二、四象限，y 随x的增大而减小
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正比例函数的图像和性质教学设计
一、教学目标
1、知识目标：
（1）探究正比例函数的图像特征，正确画出正比例函数图像；
（2）理解正比例函数的性质；
（3）结合图相对简单实际问题中的函数关系进行分析。
2、能力目标：
（1）通过对正比例函数图像特征的观察和分析，促进学生有感性思维向理性思维的发展，提高学生的逻辑思维能力；（2）通过对于正比例函数性质的讨论，增强学生数形结合的观念；体会由“特殊”到“一般”的数学思想方法，提到他们的概括能力、抽象能力、语言表达能力。
3、情感目标
（1）结合描点作图及观察图像培养学生认真细心严谨的学习态度和习惯。
（2）培养学生积极参与数学活动，勇于探索的数学现象和规律，形成良好的质疑和独立思考的习惯。
二、教学重点：
1、正比例函数图像的画法和性质
2、理解正比例函数意义及解析式特点
三、教学难点：
发现及归纳正比例函数的性质
四、教学方法：探索归纳，启发式讲练结合
五、教学用具：粉笔、黑板
六、教学过程：
（一）复习、巩固旧知识师：上一节课我们已经学习了正比例函数的定义，以及它的表达式，大概回忆一下，好，大家共同回忆。
生：一般的，形如y=kx（k不等于零，k为常数）的函数，叫做正比例函数。
师：好，很棒啊。
那么同学们还知道k和x满足什么条件的时候才是正比例函数。
生：k不为零，x的次数为一次。
师：好，现在我们已经知道了正比例函数的解析式，今天我们就来探究它的图像以及它有什么样的性质。
师：同学们回忆画函数图像的步骤的一般步骤。
生：列表、描点、连线师：好，那老师给同学们在黑板上示范一下如何画函数图像。
（在黑板上写，画出y=x的函数图像，在画图中要注意x取值的任意性，平面直角坐标系的三要素）师：好，现在老师已经画完了y=x 的函数图像，请同学来再画y=-x,y=2x的函数图像，并看看这些函数图像它的形状是不是一样。
下面同学画y=3x,y=-3x的函数图像。
师：看黑板，这些函数图像画的对不对，现在同学们观察函数图
像的形状，看看有什么特别的地方？生：都是一条直线。
师：同学们再观察自己画的图像，看看他们有啥共同点，除了是一条直线外。
生：过原点。
师：非常好，现在同学们思考几个问题:
（1）看看，每组直线分布的特点，就是在平面直角坐标系中是如何
分布的?还有就是它的分布和k 值有啥关系。
2）对其中的某一个正比例函数图像当x 的值增大时，y 的值有何变
化？当x 的值变小呢？你从中得到什么规律？在表格中可以很容易的看出来
师生共同探讨：（1）当k>0时，即x与y同号，点（x,y）在第一或第三象限；若k<0即x与y异号。
性质2：当k>0 时，函数图像经过第一、三象限；当k<0 时，函数图像经过第二、四象限。
在表格中可以比较直观的看出来y 随着x 的增大而增大，函数图像的趋势左高右低，在图像中是比较直观的。
师生共同探讨：
预案1:当x取-3, -2, -1, 0,1,2,3观察对应函数值的变化，发现：当k>0时，x在逐渐增大时，y也在增大，图像左低右高；当k<0 时，x当在逐渐增大时，y在减小。
左高右低。
预案2:当k>0时，若x1<x2，则有kx1<kx2,即y1<y2y随x的增大而增大；当k<0时，若x1<x2，则有kx1>kx2即y1>y2, y随x的增大而减小。
性质3: k>0时，y随x的增大而增大；k<0时，y随x的增大而减小。
板书正比例函数y=kx的图像和性质
1、图像：正比例函数y=kx的图像是经过原点的一条直线；
2、性质：当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
三）例题讲解，理解新知
1、正比例函数y=-3x 则y的值随x的值增大而（），经过（）象限
2、已知正比例函数y=（1-2a）x,如果y的值随着x的增大而减小，那
么a 的取值范围是什么？
3、正比例函数y=（k-2）x，如果y的值随着x的增大而增大，那么k
的取值范围是（）
四）练习巩固，运用新知
1、如果正比例函数图像y=kx的图像经过第一、三象限，那么k 满足
什么条件？
2、如果y=kx的图像经过第二、四象限，那么y=-kx经过第几象限？
3、正比例函数y= (k-2) x,如果y的值随着x的值增大而增大, 那么k
的取值范围是什么？
七：师生小结，升华新知
这节课我们共同探索，学习了什么？老师引导学生复习正比例函数的图像和性质。
八：本课总结
引导学生回顾本节课所学的知识及数学思想方法。
1、本节课所学的主要内容：
( 1)正比例函数的表达式；
( 2)正比例函数的图像特点；
( 3)正比例函数的性质；
2、本节课主要用到的思想方法：
数形结合思想、建立模型
九:作业布置
P26 练习( 1)、( 2)。