网络流算法(Ford-Fulkerson算法)
网络流算法——精选推荐
⽹络流算法2018-03-13 19:02:13在图论中，⽹络流（英语：Network flow）是指在⼀个每条边都有容量（capacity）的有向图分配流，使⼀条边的流量不会超过它的容量。
通常在运筹学中，有向图称为⽹络。
顶点称为节点（node）⽽边称为弧（arc）。
⼀道流必须匹配⼀个结点的进出的流量相同的限制，除⾮这是⼀个源点（source）──有较多向外的流，或是⼀个汇点（sink）──有较多向内的流。
⼀个⽹络可以⽤来模拟道路系统的交通量、管中的液体、电路中的电流或类似⼀些东西在⼀个结点的⽹络中游动的任何事物。
⼀、最⼤流最⼩割定理最⼤流最⼩割定理提供了对于⼀个⽹络流，从源点到⽬标点的最⼤的流量等于最⼩割的每⼀条边的和。
这个定理说明，当⽹络达到最⼤流时，会有⼀个割集，这个割集中的所有边都达到饱和状态。
这等价于在⽹络中再也找不到⼀个从s到t的增⼴路径。
因为只要能找到⼀条增⼴路径，这条增⼴路径肯定要经过最⼩割集中的⼀条边，否则这个割集就不能称之为割集了。
既然这个割集中所有的边都饱和了，因此也就不会存在这样的增⼴路径了。
这个定理的意义在于给我们指明了⽅向：任何算法，只要最后能达到“再也找不到⼀条增⼴路径”，就可以说明这个算法最后达到了最⼤流。
⼆、最⼤流问题在优化理论中,最⼤流问题涉及到在⼀个单源点、单汇点的⽹络流中找到⼀条最⼤的流。
最⼤流问题可以被看作是⼀个更复杂的⽹络流问题（如循环问题（circulation problem））的特殊情况,。
s-t流（从源点s到汇点t）的最⼤值等于s-t割的最⼩容量，这被称为最⼤流最⼩割定理。
下⾯举例来说明这个问题：问题描述：给定⼀个有向图G=(V,E)，把图中的边看作管道，每条边上有⼀个权值，表⽰该管道的流量上限。
给定源点s和汇点t，现在假设在s处有⼀个⽔源，t处有⼀个蓄⽔池，问从s到t的最⼤⽔流量是多少。
这个问题有如下的⼀些限制：容量限制：也就是在每条通路上的流量都不能超过其capacity。
网络流fordfulkerson算法
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Ford-Fulkerson 最大流
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这些是从结点 s 可达的结点.
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这是最优流.
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寻找任何 s-t 路径
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判定路径的容量 D
在路径中发送 D 单位的流. 更新剩余网络
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在剩余网络中没有 s-t 路径. 此流是最优的.
在路径上发送 D 单位的流.
更新剩余容量.
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寻找任何s-t 路径
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网络流——求网络最大流
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(1,4) V2 (0,+∞) V1
(2,4) V4 (4,4) V6
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(-4,2) V2 (0,+∞) V1 4 4
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V5 (3,2)
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(5,2) V2 (0,+∞) V1 2 4 4 V4 6
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V5 (3,2)
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V2 (0,+∞) V1 4 4
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(1,4)
V3
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存储结构
const maxn=100; type nodetype=record{可改进路顶点类型 可改进路顶点类型} 可改进路顶点类型 l,p:integer;{标号、检查标志 标号、 标号 检查标志} end; arctype=record{网顶点类型 网顶点类型} 网顶点类型 c,f:integer;{容量、流量 容量、 容量 流量} end; gtype=array[0..maxn,0..maxn] of arctype; ltype=array[0..maxn] of nodetype; var lt:ltype; g:gtype; n,s,t:integer;{顶点数、源点、汇点 顶点数、 顶点数 源点、汇点} f:text;
增广后的F
Ford-Fulkerson算法
1、Ford-Fulkerson 算法 算法描述： STEP0：置初始可行流。
STEP1：构造原网络的残量网络，在残量网络中找s －t 有向路。
如果没有，算法得到最大流结束。
否则继续下一步。
STEP2：依据残量网络中的s －t 有向路写出对应到原网络中的s －t 增广路。
对于增广路中的前向弧，置s(e) ←u(e)- f(e)。
对于反向弧，置s(e) ←f （e ）。
STEP3：计算crement=min{s （e 1），s （e 2），…，s （e k ）}；STEP4：对于增广路中的前向弧，令f(e) ←f(e)＋crement ；对于其中的反向弧，令f(e)←f(e)-crement ，转STEP1。
这里f 代表弧上的当前流量，s 表示弧上可增广的量。
在STEP2的残量网络中，寻找s －t 有向路的算法有两种，DFS 和BFS ，即深度优先和宽度优先算法。
算法的时间复杂度为O(mnU)。
其中m 为弧的数目，U 为弧上容量的最大上界，是伪多项式算法。
邻接表表示图，空间复杂度为O(n+m)。
DFS 和BFS 的比较例子：图4.8.6假设M 是弧上的最大容量，且是一个非常大的整数，DFS 算法的最坏情况会选择S －>A －>B －>T 和S －>B －>A －>T 进行增广，增广的次数为2M ，这个问题用BFS 算法，沿S －>A －>T 和S －>B －>T 增广两次就可以完成。
见图4.8.6。
2、最大容量增广路算法Ford-Fulkerson 算法每次只是在所有增广路中随机地找一条增广路进行增广，因此增广的次数可能很多。
如果每次都找到一条可增广的容量最大的增广路，则总的增广次数应当减少，这样的算法称为最大容量增广路算法。
最大容量增广路算法寻找增广路的步骤如下：STEP0：将s 点可增广值maxf 标记为一个非常大的数，其他节点的maxf 值为0，所有节点标记为未扩展。
图的知识点总结归纳
图的知识点总结归纳图是计算机科学中常用的数据结构之一，它由节点和边组成。
在图论中，图被用于描述各种实际问题，如社交网络、路线规划、电子电路等。
本文将对图的基本概念、表示方法、遍历算法和常见应用进行总结和归纳。
一、基本概念1. 节点（Vertex）：图中最基本的元素，也称为顶点。
每个节点可以有零个或多个与之相连的边。
2. 边（Edge）：连接节点的线段，表示节点之间的关系。
边可以有方向，即有向边，也可以无方向，即无向边。
3. 路径（Path）：通过一系列节点和边依次连接起来的序列，用于描述节点间的连通性。
4. 路径长度（Path Length）：路径上经过的边的数量。
若路径上没有重复节点，则路径长度即为路径经过的节点数量减一。
5. 环（Cycle）：起点和终点相同的路径，也称为回路。
6. 连通图（Connected Graph）：图中任意两个节点之间都存在路径的图。
7. 强连通图（Strongly Connected Graph）：有向图中，任意两个节点之间都存在双向路径的图。
8. 网络（Network）：带有权值的图，边上的权值代表节点间的相关程度或距离。
二、表示方法1. 邻接矩阵（Adjacency Matrix）：使用二维数组来表示节点之间的关系。
矩阵中的元素表示边的存在与否，可以是布尔值或权值。
2. 邻接表（Adjacency List）：使用链表等数据结构来表示每个节点相邻节点的集合。
每个节点存储一个指向相邻节点的指针。
三、遍历算法1. 深度优先搜索（Depth First Search，DFS）：从起始节点开始，不断沿着一条路径探索直到无法继续，然后回溯到前一个节点继续探索其他路径。
2. 广度优先搜索（Breadth First Search，BFS）：从起始节点开始，逐层遍历相邻节点，保证先访问离起始节点近的节点。
四、常见应用1. 最短路径算法：用于寻找两个节点之间路径长度最短的算法，如迪杰斯特拉算法（Dijkstra's Algorithm）和弗洛伊德算法（Floyd's Algorithm）。
运筹学最大流问题例题
运筹学最大流问题例题一、问题描述在运筹学领域，最大流问题是一种重要的网络流问题，其目标是在给定有向图中，找到从源点到汇点的最大流量。
求解最大流问题可以应用于许多实际场景，比如物流调度、电力网络分配等。
二、问题分析最大流问题可以通过使用流网络模型来求解。
流网络由一组有向边和节点组成，其中每条边都带有一个容量值，代表该边所能通过的最大流量。
流量值表示通过该边的实际流量。
为了求解最大流问题，我们需要使用网络流算法，其中最著名的算法是Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。
这些算法通过不断寻找增广路径来增加流量，直到无法找到增广路径为止。
三、问题实例为了更好地理解最大流问题，以下是一个具体的例子：假设有一个物流网络，由多个节点和边构成。
每条边都带有一个容量值，表示该边所能通过的最大流量。
网络中有一个源点和一个汇点，我们需要找到从源点到汇点的最大流量。
节点和边的关系如下：源点 -> A: 容量为5源点 -> B: 容量为3A -> C: 容量为2A -> D: 容量为4B -> C: 容量为2B -> E: 容量为3C -> 汇点: 容量为4D -> 汇点: 容量为5E -> 汇点: 容量为3根据以上描述，我们可以通过使用Ford-Fulkerson算法来求解最大流问题。
算法的基本步骤如下：1. 初始化流网络，将所有边上的流量设为0。
2. 寻找增广路径：通过深度优先搜索或广度优先搜索，寻找从源点到汇点的一条路径，使得路径上的边上仍有剩余容量。
3. 计算路径上的最小容量值，即可通过的最大流量。
4. 更新路径上的边的流量，即增加最小容量值。
5. 重复步骤2-4，直到无法找到增广路径为止。
6. 最后，计算源点流出的总流量，即为最大流量。
通过以上例子，我们可以清楚地了解最大流问题的基本思想和求解步骤。
在实际应用中，可以根据具体情况使用不同的网络流算法来求解最大流问题。
常见算法
A*搜索算法评价函数：F = G + H*G已知的到达某点g的距离*H从g达到目标点的估计距离1，把起始格添加到开启列表。
2，重复如下的工作：a) 寻找开启列表中F值最低的格子。
我们称它为当前格。
b) 把它切换到关闭列表。
c) 对相邻的格中的每一个？* 如果它不可通过或者已经在关闭列表中，略过它。
否侧继续。
* 如果它不在开启列表中，把它添加进去。
把当前格作为这一格的父节点。
记录这一格的F,G和H值。
* 如果它已经在开启列表中，用G值为参考检查新的路径是否更好。
更低的G值意味着更好的路径。
如果是这样，就把这一格的父节点改成当前格，并且重新计算这一格的G和F值。
如果你保持你的开启列表按F值排序，改变之后你可能需要重新对开启列表排序。
d) 停止，当你* 把目标格添加进了关闭列表，这时候路径被找到，或者* 没有找到目标格，开启列表已经空了。
这时候，路径不存在。
3.保存路径。
从目标格开始，沿着每一格的父节点移动直到回到起始格。
这就是你的路径。
计算时还需考虑多源同时搜索，CPU耗时。
方法有采用二差堆、分层搜索（宏观密度小，微观密度大）。
二分查找二分查找又称折半查找，优点是比较次数少，查找速度快，平均性能好；其缺点是要求待查表为有序表，且插入删除困难。
因此，折半查找方法适用于不经常变动而查找频繁的有序列表。
首先，假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。
重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。
分支界定算法1、基本思想分枝定界法是一个用途十分广泛的算法，运用这种算法的技巧性很强，不同类型的问题解法也各不相同。
分支定界法的基本思想是对有约束条件的最优化问题的所有可行解（数目有限）空间进行搜索。
数据结构中的最小割算法解析
数据结构中的最小割算法解析最小割算法是一种用于在图中找到最小割（最小割是指将图分成两个部分，使得两部分之间的边集权重之和最小）的有效方法。
在数据结构领域，最小割算法是一种重要的算法，被广泛应用于网络流问题、图像分割和社交网络分析等领域。
本文将详细解析最小割算法的原理、应用场景和具体实现。
一、最小割算法原理最小割算法的核心原理基于网络流的概念和图的割。
在图论中，网络流是指在一个带有容量限制的图中，从源节点到汇节点的流量传输问题。
而割是将图中的顶点分为两个不相交的集合，并将这两个集合分别称为源集合和汇集合，边的权重被称为割的容量。
最小割算法通过寻找图中的割，使得割的容量最小来达到最小割的目标。
最小割算法有多种具体实现方法，其中最著名的算法是Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。
Ford-Fulkerson算法通过不断寻找增广路径，即从源节点到汇节点的一条路径，使得路径上的边容量可以增加，从而提高流量。
而Edmonds-Karp算法则通过BFS（广度优先搜索）寻找增广路径，具有更高的效率。
二、最小割算法的应用场景最小割算法在实际应用中有广泛的应用场景，主要包括以下几个方面：1. 网络流问题：最小割算法被广泛应用于网络流问题中，如最大流问题、最小费用最大流问题和最大权闭合子图问题等。
通过寻找最小割，可以在网络中找到最大的流量或最小的流量。
2. 图像分割：最小割算法可以将图像分割为多个区域，从而实现图像语义分割、边缘检测和目标识别等应用。
3. 社交网络分析：最小割算法可以应用于社交网络中的群体发现、社区发现和信息传播等领域。
通过寻找最小割，可以将社交网络分割为不同的社区，从而更好地理解和分析社交网络的结构和特征。
三、最小割算法的具体实现最小割算法的具体实现与选择的算法密切相关。
在这里，我们以Ford-Fulkerson算法为例进行介绍。
1. Ford-Fulkerson算法：a. 初始化流量网络，设置初始流量为0。
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判定路径的容量 D
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这是最优流.
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15.082 和 6.855J
最大流问题的Ford-Fulkerson 增广路 径算法
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