第十讲 数值积分和微分方程数值解.
微分方程的数值解法
法，就产生了不同的有限差分法与不同的有限元法。
其它数学基础： 数理方程、数值代数、最优化理论与方法等
第一部分 常微分方程初值问题的数值解法
自然界与工程技术中的许多现象，其数学表 达式归结为常微分方程定解问题。 一些偏微分方程问题可以转化为常微分方程 问题来（近似）求解。 常微分方程的数值解法为偏微分方程的数值 解法提供了可供借鉴的思路。 常微分方程数值解法主要分为两大部分：
三 线性多步公式建立的基本思想
利用前面多步的信息计算 un k，以获得较 高精度的数值公式。
设 t n t0 nh ，u (t n ) 的近似值为 u n ,并记 f n f (t n , un )，k步线性多步方法一般形式为
0un 1un 1 k un k h( 0 f n 1 f n 1 k f n k )
2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 , x ˆ2 ) 若 4 A( x1 , x2 )C ( x1 , x2 ) B ( x 为椭圆型偏微分方程
二阶偏微分方程的基本分类方法，可以推广到含 有两个以上自变量的非线性高阶偏微分方程。
初值问题的数值方法 边值问题的数值方法
这里只介绍初值问题。
目的：建立一阶常微分方程初值问题的数值解法。 模型
du f (t , u (t )) dt u (t0 ) u0 t0 t T
设初值问题的解析解 (理论解) 用 u (t n ) 表 示，数值解法的精确解用 u n 表示。其中n=1, 2, ，t n t n 1 hn 。 常微分方程初值问题的数值解是求上述初 值问题的解u(t)在点列 t n t n 1 hn 上的近似值 u n (n 0, 1, ) 。 以下设 hn不变，记为h。
数值积分与数值微分ppt课件
a
,
x1
b
2
a
,
x2
b
,h
b
2
a
Cotes系数:
C0( 2 )
1 4
2
1
(t 1)(t 2)dt
0
6
4.5 4
C1(2)
1 2
2
t(t 2)dt
0
4 6
3.5 3
2.5
C2(2)
1 4
2
1
(t 1)tdt
0
6
2 1.5
1
求积公式:
2
Q2( f ) (b a)
n (t j)h
0
0
jn
(k
j)h
h
dt
jk
jk
h (1)nk n
(t j)dt
k!(n k)! 0 0 jn
jk
Ak
ˆ
(b
a
)
C (n) k
C
(n)称
k
为Cotes系
数
(1)nk
n
Ak
(b a)
3
I3(
f
)
b
6
a
(a2
(a
b)2
b2
)
b3
3
a3
R( , x2 ) 0
（3）当 f (x) x3时，I ( f ) b4 a4
4
I3(
f
)
b
数值积分与微分方程数值解法
数值积分与微分方程数值解法数值积分和微分方程数值解法是数值计算中的重要组成部分，在科学计算、工程分析和实际问题求解中起着不可或缺的作用。
本文将介绍数值积分的基本概念和常用方法，以及微分方程数值解法的应用和实现过程。
一、数值积分的基本概念和常用方法数值积分是求解定积分近似值的方法，通过将连续函数的积分转化为离散形式的求和，以达到近似计算的目的。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
（1）矩形法：将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间内取点，用函数在相应点处的取值近似代替该子区间内的函数值，最后将所有子区间的函数值相加得到近似积分值。
（2）梯形法：与矩形法类似，但是将每个子区间近似为一个梯形，通过计算梯形的面积来近似计算积分值。
（3）辛普森法：将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间内取三个点，根据这三个点构造出一个二次函数，并用该二次函数的积分来近似计算积分值。
二、微分方程数值解法的应用和实现过程微分方程数值解法是对微分方程进行近似求解的方法，通过离散化微分方程来构造数值格式，然后通过数值计算来求解。
常用的微分方程数值解法包括常微分方程的欧拉法、改进欧拉法和龙格-库塔法，以及偏微分方程的有限差分法、有限元法等。
（1）常微分方程数值解法：- 欧拉法：根据微分方程的定义，将微分项近似为差分项，通过迭代逼近真实解。
- 改进欧拉法：在欧拉法的基础上，通过利用两个点的斜率来逼近解的变化率，提高精度。
- 龙格-库塔法：通过多次迭代，根据不同的权重系数计算不同阶数的近似解，提高精度。
（2）偏微分方程数值解法：- 有限差分法：将偏微分方程中的一阶和二阶导数近似为差分项，通过离散化区域和时间来构造矩阵方程组，然后通过求解线性方程组来获得数值解。
- 有限元法：将区域进行剖分，将偏微分方程转化为变分问题，通过选取适当的试函数和加权残差法来逼近真实解。
总结：数值积分和微分方程数值解法是数值计算中重要的工具，能够帮助我们处理实际问题和解决科学工程中的复杂计算。
随机微分方程的数值解
随机微分方程的数值解
随机微分方程是一种描述随机过程的数学模型，它可以用来研究随机过程的性质和行为。
随机微分方程的数值解是指使用数值计算方法求解随机微分方程的解的过程。
随机微分方程的数值解可以通过数值积分方法、数值微分方法、数值积分变分方法等多种方法进行求解。
其中，数值积分方法和数值微分方法是最常用的方法，它们可以通过数值计算方法求解随机微分方程的解。
具体来说，数值积分方法可以通过求解随机微分方程的积分方程来得到随机微分方程的数值解。
例如，对于一个二维随机微分方程du/dt=a(du/dx+dv/dy)+b(dx^2+dy^2)u，可以使用数值积分方法求解其解。
具体的数值积分方法可以是欧拉法、龙格-库塔法、辛普森法等。
数值微分方法可以通过求解随机微分方程的微分方程来得到随机微分方程的数值解。
例如，对于一个二维随机微分方程du/dt=a(du/dx+dv/dy)+b(dx^2+dy^2)u，可以使用数值微分方法求解其解。
具体的数值微分方法可以是中心差分法、前向差分法、后向差分法等。
总之，随机微分方程的数值解可以通过数值积分方法和数值微分方法
等多种方法进行求解，具体的求解方法需要根据具体的问题和应用场景来选择。
数值计算中的常微分方程求解和数值积分
数值计算中的常微分方程求解和数值积分数值计算是一门非常重要的学科，它在自然科学和工程技术领域中有着广泛的应用。
在数值计算中，常微分方程求解和数值积分是两个基础性的问题，它们的解法对于数值计算的其他问题具有重要的指导意义。
本文将就这两个问题进行探讨。
一、常微分方程求解常微分方程是描述自然界中许多过程的重要工具，它们由一个或多个未知函数及其一定数量的导数组成。
例如，牛顿第二定律和斯托克斯方程等经典物理学方程中均包含了一阶常微分方程。
近年来，生物过程的数学建模也成为常微分方程的热点研究领域，例如病毒扩散、癌症生长和人口增长等都可以用常微分方程来描述。
在解常微分方程的过程中，我们通常会使用数值方法。
常用的数值方法包括欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等。
以欧拉法为例，令 $y\left( t_0 \right) = y_0$，则在 $t_0$ 到 $t_1$ 的时间段内，有：$y_{n+1} = y_n + hf\left( t_n,y_n \right)$，其中 $y_{n+1}$ 表示 $t=T_{n+1}$ 时的函数值，$f\left( t_n,y_n \right)$ 表示 $t_n$ 时刻的导数值，$h$ 表示步长。
欧拉法是一种一阶方法，即误差的大小与步长成线性关系，因此需要选择足够小的步长以确保精度。
对于高阶常微分方程，我们通常需要将其转化为等价的一阶方程组进行求解。
例如，二阶常微分方程 $y'' + q\left( t \right)y' +p\left( t \right)y = g\left( t \right)$ 可以转化为以下一阶方程组：$z_1^\prime = z_2$$z_2^\prime = -q\left( t \right)z_2 - p\left( t \right)z_1 + g\left( t\right)$其中 $y = z_1$，$y' = z_2$。
数值计算方法数值积分与微分方程数值解
数值计算方法数值积分与微分方程数值解数值计算是计算数值结果的一种方法，广泛应用于科学、工程和金融等领域。
数值计算方法涉及到估算数学问题的解，其中包括数值积分和微分方程数值解。
本文将分别介绍数值积分和微分方程数值解的基本原理和常用方法。
一、数值积分数值积分是通过数值计算方法来估计函数的积分值。
积分是数学中的重要概念，广泛应用于物理、经济等领域的问题求解中。
传统的积分计算方法，如牛顿-柯特斯公式和高斯求积法，需要解析求解被积函数，但是对于大多数函数来说，解析求解并不容易或者不可能。
数值计算方法通过离散化被积函数，将积分问题转化为求和问题，从而得到近似的积分结果。
常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则和复化求积法。
1. 梯形法则梯形法则是最简单的数值积分方法之一。
它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用梯形的面积来近似原函数的面积，最后将所有小区间的梯形面积相加得到近似积分值。
2. 辛普森法则辛普森法则是一种比梯形法则更精确的数值积分方法。
它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用一个二次多项式来近似原函数，最后将所有小区间的二次多项式积分值相加得到近似积分值。
3. 复化求积法复化求积法是一种将积分区间进一步细分的数值积分方法。
通过将积分区间划分为更多的小区间，并在每个小区间上应用辛普森法则或者其他数值积分方法，可以得到更精确的积分结果。
二、微分方程数值解微分方程是描述自然现象中变化的数学模型。
求解微分方程的解析方法并不适用于所有的情况，因此需要利用数值计算方法来估计微分方程的解。
常见的微分方程数值解方法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
1. 欧拉法欧拉法是最简单的微分方程数值解方法之一。
它通过将微分方程离散化，将微分运算近似为差分运算，从而得到微分方程的近似解。
2. 改进的欧拉法改进的欧拉法是对欧拉法的改进。
它通过使用两个不同的点来估计微分方程的解，从而得到更精确的近似解。
《微分方程的数值解》课件
谱方法：将微分方程离散化为谱方程， 然后求解
边界元法：将微分方程离散化为边界 元方程，然后求解
有限元法：将微分方程离散化为有限 元方程，然后求解
网格法：将微分方程离散化为网格方 程，然后求解
数值解法的步骤
确定微分方程的初值 和边界条件
选择合适的数值解法， 如欧拉法、龙格-库塔 法等
实解
应用：广泛应 用于工程、物 理、化学等领
域
优缺点：优点 是计算速度快， 缺点是精度较
低
非线性方程的数值解法
牛顿法：通过迭 代求解非线性方 程
拟牛顿法：通过 迭代求解非线性 方程，比牛顿法 收敛更快
割线法：通过迭代 求解非线性方程， 适用于求解单变量 非线性方程
迭代法：通过迭 代求解非线性方 程，适用于求解 多维非线性方程
05 数值解法的实现
M AT L A B 编 程 实 现
MATLAB简介： MATLAB是一种高 级编程语言，广泛 应用于科学计算、 数据分析等领域
数值解法：包括欧 拉法、龙格-库塔 法、四阶龙格-库 塔法等
MATLAB实现：使 用MATLAB编写程 序，实现数值解法 的计算
示例代码：给出 MATLAB实现数值 解法的示例代码， 并解释其含义和作 用
设定时间步长和空间 步长
计算微分方程的解， 并进行误差分析
绘制解的图形，并进 行结果分析
对比不同数值解法的 优缺点，选择最优解 法
04 常用的数值解法
欧拉方法
基本思想：将微分 方程转化为差分方 程，然后求解差分 方程
优点：简单易行， 适用于初值问题
缺点：精度较低， 稳定性较差
改进方法：改进欧 拉方法，如改进欧 拉方法、龙格-库 塔方法等
数值积分和数值微分ppt课件
5.2.2 数值微分
设函数 f(x)在[a,b]上可导，已知 f(x)在 x j 的函数 值 y j f (x j ) ( j 0,1,, n) ， a x0 x1 xn b . 如果 f(x)的解析表达式未知，问如何近似计算 f(x)在 某点 x=c 处的导数？特别是如何近似计算 f(x)在 x0, x1,, xn 的导数？
y4
未 知 函 数 f(x)
y3
已知结点
线 性 插 值 函 数 S41(x)
y2
y1
y0
y
0
x0
x1
x2
x3
x4
x
图5.9 复化梯形求积公式示意图
5.2.1 数值积分
容易求得
b a
Sn1
(
x)dx
的值为
1 n
Tn 2 j1 x j x j1 y j1 y j
(5.2.1)
如果划分 a x0 x1 xn b 将区间[a,b] n 等分，
b]为n等分，分点为 xk x0 kh k = 0, 1, 2,…, n
2）在区间 [xk, xk+1]上使用以上求积公式求得Ik 3）取和值，作为整个区间上的积分近似值。 这种求积方法称为复化求积方法。
j
值 y j f (x j ) ( j 0,1,, n) ， a x0 x1 xn b ，
5.2.2 数值微分
先考虑简化的问题：设划分 a x0 x1 x2 b 将 区间[a,b]二等分，记 h (b a) 2 ，已知 f(x)在 x j 的函
数值 y j f (x j ) (j=0,1,2). 记
L2 (x) c1(x x1)2 c2 (x x1) c3 是由结点 (x j , y j ) (j=0,1,2)确定的至多二次插值多项
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求两条曲线所围图形的面积(1)
若要求两曲线所围总面积（不管正负），则可加一条语句 >> s=trapz(abs(f-g))*dx, 在dx=0.001时，得到s = 6.47743996919702 若要求两曲线所围的f(x)>g(x)的正面积，则需要一定的技巧. ◆方法一。先求出交点x1 ，再规定积分上下限。 >> x1=fzero('exp(-(x-2).^2.*cos(pi*x))-4*cos(x-2)',1) %把积分限设定为0~x1，求出积分结果再乘以2： >> x=0:dx:x1; >> f=exp(-(x-2).^2.*cos(pi*x)); >> g=4*cos(x-2); >> s1=2*trapz(abs(f-g))*dx 在设定dx=0.001时，得到s1 = 2.30330486000857
求两条曲线所围图形的面积(2)
方法二。调用MATLAB中求面积函数quad。这里的关键是建 立一个函数文件，把e1=f(x)-g(x)>0的部分取出来。 • 利用逻辑算式(e1>0)，它在e1>0处取值为1，在e1<0处则 为零。让逻辑函数(e1>0)与e1作元素群乘法，正的e1将全 部保留，而负的e1就全部为零。因此编出子程序 exn542f.m如下： • function e = exn542f(x) • e1=exp(-(x-2).^2.*cos(pi*x))- 4*cos(x-2); • e = (e1>=0).*e1; • 将它存入工作目录下。于是求此积分的主程序语句为： • >> s2=quad('exn542f',0,4) • 得到的结果为： • s2= 2.30330244952618
115-x.^2 : 816.992188 100
80
60
40
20
0
0
2
4 16
6
8
10
MATLAB内的数值定积分函数
• 在实际工作中，用MATLAB中的定积分求面积的 函数quad和quadl可以得到比自编程序更高的精 度，因为quad函数用的是辛普生法，即把被积函 数用二次曲线逼近的算法，而quadl函数采用了更 高阶的逼近方法。它们的调用格式如下： Q = QUADL(FUN,A,B,TOL) 其中，FUN是表示被积函数的字符串， A是积分下 限，B是积分上限。TOL是规定计算的容差，其默 认值为1e-6 • 例如，键入 S = quad('-x.*x+115',0,10) 得到 S = 8.166666666666666e+002
矩形法数字积分的演示程序rsums
• MATLAB中有一个矩形法数 字积分的演示程序rsums， 可以作一个对比。键入 rsums('115-x.^2',0,10) • 就得到右图。图中表示了被 积函数的曲线和被步长分割 的小区间，并按各区间中点 的函数值构成了各个窄矩形 面积。用鼠标拖动图下方的 滑尺可以改变步长的值，图 的上方显示的是这些矩形面 积叠加的结果。
第十讲 数值积分和微分方程 数值解
一．数值定积分求面积
• 【例5-4-1】 用数值积分法求由
y x2 115
，y=0,
x=0与x=10围成的图形面积，并讨论步长和积分方法对精 度的影响。 • 解: ◆原理 用矩形法和梯形法分别求数值积分并作比较， 步长的变化用循环语句实现。MATLAB中的定积分有专门 的函数QUAD,QUADL等实现。为了弄清原理，我们先用 直接编程的方法来计算，然后再介绍定积分函数及其调用 方法。设x向量的长度取为n，即将积分区间分为n-1段， 各段长度为 xi (i 1, 2,, n 1) 。算出各点的 yi (i 1, 2,, n 1) ，则矩形法数值积分公式为：
求面积的数值积分程序exn541
for dx=[2,1,0.5,0.1] % 设不同步长 x=0:.1:10;y=-x.*x+115; % 取较密的函数样本 plot(x,y),hold on % 画出被积曲线并保持 x1=0:dx:10;y1=-x1.*x1+115; % 求取样点上的y1 % 用矩形（欧拉）法求积分，注意末尾去掉一个点 n=length(x1);s=sum(y1(1:n-1))*dx; q=trapz(y1)*dx; % 用梯形法求积分 stairs(x1,y1); % 画出欧拉法的积分区域 hold on; plot(x1,y1) ; % 画出梯形法的积分区域 [dx,s,q],pause(1), hold off; end
二．求两条曲线所围图形的面积
【例5-4-2】。设 f ( x) e( x2)
2
cos x
, g( x) 4cos( x 2)
计算区间[0,4]上两曲线所围面积。 • 解：◆原理：先画出图形， • >> dx=input('dx= ') ;x=0:dx:4; • >> f=exp(-(x-2).^2.*cos(pi*x)); • >> g=4*cos(x-2); • >> plot(x,f,x,g,':r') 得到右图。从图上看到，其 中既有f(x)>g(x)的区域，也 有f(x)>g(x)的区域，
程序exn541运行结果
程序运行的结果如下： 步长dx 矩形法解s 梯形法解q 2 910 810 1 865 815 .5 841.25 816.25 .1 821.65 816.65 • 用解析法求出的精确解为2450/3=816.6666...。 • dx=2时矩形法和梯形法的积分面积见图5-4-1.。在曲线的 切线斜率为负的情况下，矩形法的积分结果一定偏大，梯 形法是由各采样点联线包围的面积，在曲线曲率为负（上 凸）时，其积分结果一定偏小，因此精确解在这两者之间。 由这结果也能看出，在步长相同时，梯形法的精度比矩形 法高。
s yi xi
i 1
n 1
矩形和梯形定积分公式
• 梯形法的公式为：
yi yi 1 y1 yn n1 q xi yi xi 2 i 1 i 2 2
n 1
• 比较两个公式，它们之间的差别只是 0.5 yn y1 。 • 在MATLAB中，把向量中各元素叠加的命令是sum。把向 量中各元素按梯形法叠加的命令是trapz。梯形法的几何意 义是把被积分的函数的各计算点以直线相联，形成许多窄 长梯形条，然后叠加，我们把两种算法都编入同一个程序 进行比较。