圆的标准方程引入PPT
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圆的标准方程完整ppt课件
解决与圆有关的切线问题
圆的方程可以用来求解与圆有关的切线问题，如切线方程、切点坐 标等。
圆的方程在物理问题中的应用
描述圆形运动轨迹
在物理学中，圆的方程可以用来描述物体做圆周运动时的轨迹。
计算圆形运动的物理量
利用圆的方程，可以计算物体做圆周运动时的线速度、角速度、向 心加速度等物理量。
解决与圆有关的物理问题
切线与半径垂直
切线垂直于经过切点的 半径。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相
等。
04
圆的方程在实际问题中的应用
圆的方程在几何问题中的应用
确定圆的位置和大小
通过圆的方程，可以准确地确定圆心的坐标和半径的长度，从而 确定圆的位置和大小。
判断点与圆的位置关系
利用圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、圆内或圆外，从而解 决相关的几何问题。
3
解决与圆有关的经济问题
圆的方程还可以用来解决一些与圆有关的经济问 题，如圆形区域的经济发展、圆形市场的竞争等 。
05
圆的方程与其他知识点的联系
圆的方程与直线方程的关系
直线与圆的位置关系
通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可以确定直线与 圆是相切、相交还是相离。
切线方程
当直线与圆相切时，切线的斜率与圆心和切点的连线垂直，由此 可以求出切线的方程。
根据两点间距离公式，有 $OP = sqrt{(x - a)^{2} + (y
- b)^{2}}$。
将 $OP = r$ 代入上式，得到 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
方程中参数的意义
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
圆的方程可以用来求解与圆有关的切线问题，如切线方程、切点坐 标等。
圆的方程在物理问题中的应用
描述圆形运动轨迹
在物理学中，圆的方程可以用来描述物体做圆周运动时的轨迹。
计算圆形运动的物理量
利用圆的方程，可以计算物体做圆周运动时的线速度、角速度、向 心加速度等物理量。
解决与圆有关的物理问题
切线与半径垂直
切线垂直于经过切点的 半径。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相
等。
04
圆的方程在实际问题中的应用
圆的方程在几何问题中的应用
确定圆的位置和大小
通过圆的方程，可以准确地确定圆心的坐标和半径的长度，从而 确定圆的位置和大小。
判断点与圆的位置关系
利用圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、圆内或圆外，从而解 决相关的几何问题。
3
解决与圆有关的经济问题
圆的方程还可以用来解决一些与圆有关的经济问 题，如圆形区域的经济发展、圆形市场的竞争等 。
05
圆的方程与其他知识点的联系
圆的方程与直线方程的关系
直线与圆的位置关系
通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可以确定直线与 圆是相切、相交还是相离。
切线方程
当直线与圆相切时，切线的斜率与圆心和切点的连线垂直，由此 可以求出切线的方程。
根据两点间距离公式，有 $OP = sqrt{(x - a)^{2} + (y
- b)^{2}}$。
将 $OP = r$ 代入上式，得到 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
方程中参数的意义
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
圆的标准方程 课件
【技法点拨】求圆的标准方程的两种方法 (1)几何法：根据题意直接求出圆心和半径,然后再写出圆的标 准方程. (2)待定系数法： ①设：根据题意,设所求圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2; ②列：根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组; ③解：解方程组,求出a,b,r的值,并把它们代入所设的圆的标准 方程中,就得到所求的圆的标准方程.
［2 (3)］2 ［ 3 (3)］2 5, | ON | (2 5)2 (3 2)2 34＞5, | OQ | (2 4)2 (3 7)2 20＜5,
所以点M在圆上,点N在圆外,点Q在圆内.
【互动探究】题1中,若点在圆外,则a的取值范围又是什么? 【解析】若点在圆外,则(1-a)2+(1+a)2>4,解得a2>1,即a<-1 或a>1
【探究提升】 1.对圆的标准方程的理解 (1)圆的标准方程是由两点间的距离公式推导出来的,它是圆的 定义的直观反映,是代数与几何结合的完美体现. (2)由圆的标准方程可直接写出圆的圆心和半径,反之,已知圆 的圆心和半径可以写出圆的标准方程,这一点体现了圆的标准 方程的优越性.
2.圆的标准方程中参数a,b,r的作用 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三个参数a,b,r,其中(a,b) 为圆心,r为半径.结合圆的定义可知,圆心(a,b)在确 定圆时起到定位作用,即影响圆的位置;而半径r在确定圆时起 到定形作用,即影响圆的大小.
3.几种常见特殊位置的圆的标准方程 (1)以原点为圆心,r为半径的圆的标准方程：x2+y2=r2. (2)圆心在x轴上,半径为r的圆的标准方程：(x-a)2+y2=r2. (3)圆心在y轴上,半径为r的圆的标准方程：x2+(y-b)2=r2. (4)圆心在x轴上且过原点的圆的标准方程： (x-a)2+y2=a2(a≠0). (5)圆心在y轴上且过原点的圆的标准方程： x2+(y-b)2=b2(b≠0).
2.4.1圆的标准方程课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
上，求此圆的标准方程．
解1：(待定系数法) 设圆C的方程为 ( x a )2 ( y b)2 r 2 ,
由已知条件可得
a b 1 0
2
2
2
(1
a
)
(1
b
)
r
， 解得a 3, b 2, r 5.
2
2
2
(2
a
)
(
2
b
)
r
∴圆心为C的圆的标准方程为( x 3)2 ( y 2)2 25.
问题1 在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，
圆就唯一确定了．
由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得
到圆的方程．
新知探究一：圆的标准方程
问题2 在平面直角坐标系中，如何确定圆的方程呢？
y
设圆心A(a,b)和圆上动点M(x,y),半径为r.
A(1,1)
x
•
B(2,-2)
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2), 且圆心C在直线 l：x －y ＋1＝0
上，求此圆的标准方程．
解3： ∵ A(1,1),B(2,-2)
3 1
2 1
线段AB的中点D( , ), k AB
3.
2 2
2 1
∴AB的垂直平分线方程为
y
l
•
A(1,1)
x
O
•
•
B(2,-2)
习题小结
圆的标准方程的两种求法
解1：(待定系数法) 设圆C的方程为 ( x a )2 ( y b)2 r 2 ,
由已知条件可得
a b 1 0
2
2
2
(1
a
)
(1
b
)
r
， 解得a 3, b 2, r 5.
2
2
2
(2
a
)
(
2
b
)
r
∴圆心为C的圆的标准方程为( x 3)2 ( y 2)2 25.
问题1 在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，
圆就唯一确定了．
由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得
到圆的方程．
新知探究一：圆的标准方程
问题2 在平面直角坐标系中，如何确定圆的方程呢？
y
设圆心A(a,b)和圆上动点M(x,y),半径为r.
A(1,1)
x
•
B(2,-2)
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2), 且圆心C在直线 l：x －y ＋1＝0
上，求此圆的标准方程．
解3： ∵ A(1,1),B(2,-2)
3 1
2 1
线段AB的中点D( , ), k AB
3.
2 2
2 1
∴AB的垂直平分线方程为
y
l
•
A(1,1)
x
O
•
•
B(2,-2)
习题小结
圆的标准方程的两种求法
圆的方程课件PPT
2．点与圆的位置关系 设点 P 到圆心的距离为 d，圆的半径为 r，则点与圆的位置有 如表所示的对应关系.
位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内
d 与 r 的关系 ___d_>_r___ ___d_＝__r__ ___d_<_r___
自主探究 探究 1：方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a，b，r∈R)表示一个圆吗？ 为什么？
解：
法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
则b5＝－0a，2＋2－b2＝r2， 3－a2＋－2－b2＝r2.
a＝4， 解得b＝0，
r＝ 5.
∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.
法二：
∵圆过 A(5,2)，B(3，－2)两点， ∴圆心一定在线段 AB 的中垂线上． AB 中垂线的方程为 y＝－12(x－4)， 令 y＝0，得 x＝4.即圆心坐标 C(4,0)， ∴r＝|CA|＝ 5－42＋2－02＝ 5， ∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.
【答案】未必表示圆，当 r≠0 时，表示圆心为(a，b)，半径 为|r|的圆；当 r＝0 时，表示一个点(a，b)．
探究 2：由圆的标准方程可以得到圆的哪些几何特征？ 【答案】由圆的标准方程可直接得到圆的圆心坐标和半径．
预习测评 1．若一圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和 半径分别是( ) A．(－1,5)， 3 B．(1，－5)， 3 C．(－1,5)，3 D．(1，－5)，3
错解：由题意可知圆心在直线 y＝2x 上，且在线段 AB 的垂直 平分线 x＝2 上，由xy＝＝22，x， 可得圆心 C(2，4)，r＝|AC|＝ 17， ∴圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝17.
选择必修 第二章 2.4.1 圆的标准方程 课件(共26张PPT)
究位置关系、距离
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
圆的标准方程-PPT课件
能力提高
1.已知A(-2,0),B(2,0),求过A,B两点的半径最小 的圆的方程.
2.求过A(2,0),半径为2的圆的圆心的轨迹方 程.
3.求过点A(-1,3),面积为49π的圆的圆心的轨 迹方程.
4.如果实数x、y满足方程(x 3)2 ( y 3)2 6,求：
(1) y 的最大值与最小值； x
(2)几何法． 通过研究已知条件，结合圆的几何性质，求得圆的基本量 (圆心坐标，半径长)，进而求得方程． 圆的常用的几何性质：①圆心到圆上的点的距离等于半径； ②圆心到圆的切线的距离等于半径；③圆的弦的垂直平分线过 圆心；④两条弦的垂直平分线的交点为圆心；⑤r2＝d2＋(2l )2， 其中 r 为圆的半径，d 为弦心距，l 为弦长．
(2)x y的最大值与最小值.
5.设点 P(x，y)是圆 x2＋(y＋4)2＝4 上任意一点，则 x－12＋y－12的最大值为________．
因为点 P(x，y)是圆 x2＋(y＋4)2＝4 上的任意一点，因此 x－12＋y－12表示点(1,1)与该圆上点的距离．
易知点(1,1)在圆 x2＋(y＋4)2＝4 外，结合右图易得 x－12＋y－12的最大值为 1－02＋1＋42＋2＝ 26＋2.
a 46 5 b 93 6
2
2
圆心坐标为（5，6）
P1(4, 9) C
P2 (6, 3)
r CP1 （4 5）2 （9 6）2 10
圆的方程为
CM 10 CN 13 10
（x 5）2 （y 6）2 10
CQ 3 10
因此点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内.
圆心：直径的中点
(5 a)2 (1 b)2 r 2
(7 a)2 (3 b)2 r 2
2-4-1圆的标准方程 课件(共28张PPT)
题型二 判断点与圆的位置关系
例 2 (1)已知圆心为点 C(－3，－4)，且圆经过原点，求该 圆的标准方程，并判断点 P1(－1，0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和 圆的位置关系．
【思路分析】 关键是找到点与圆心的距离和半径的关系．
【解析】 因为圆心是 C(－3，－4)，且圆经过原点， 所以圆的半径 r＝ （－3－0）2＋（－4－0）2＝5. 所以圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝25. 因 为 （－1＋3）2＋（0＋4）2 ＝ 4＋16 ＝ 2 5 <5 ， 所 以 P1(－1，0)在圆内； 因为 （1＋3）2＋（－1＋4）2＝5，所以 P2(1，－1)在圆上； 因为 （3＋3）2＋（－4＋4）2＝6>5，所以 P3(3，－4)在圆 外．
(2)由已知得圆心坐标为 M(2，－1)，半径 r＝12|AB|＝1，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
(3)方法一：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴（ （2－－2a－）a2）＋2（＋－（3－－5b－）b2）＝2r＝2，r2， a－2b－3＝0，
即aa22－ ＋44aa＋ ＋bb22＋ ＋61b0＋ b＋132＝ 9＝r2r，2， ②
要点 3 几种特殊位置的圆的标准方程
条件
方程形式
(x－a)2＋(y－ 过原点，圆心(a，b)，半径 r＝ a2＋b2
b)2＝a2＋b2
圆心在原点，即 a＝0，b＝0，半径 为 r，r>0
x2＋y2＝r2
圆心在 x 轴上，即 b＝0，半径为 r， (x－a)2＋y2＝r2
r>0
圆心在 y 轴上，即 a＝0，半径为 r， x2＋(y－b)2＝r2
(2)已知 A(1，2)，B(0，1)，C(7，－6)，D(4，3)，判断这四 点是否在同一个圆上．
圆的标准方程 圆的一般方程 教学课件(共39张PPT)高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
(, )
r
由两点间的距离公式得
x
a
2
y b
2
r，
(, )
O
将上式两边平方得 x a
2
y b
2
r 2 .①
x
思考一下
以方程①的解为坐标点一定在圆 C 上吗？
设以方程①的任意解 x, y 为坐标的点记为点 Q ，
因为 x, y 是方程①的解，代入方程①可得： x a 2 y b 2 r 2
10
D +3E
20
4 D+2 E
F050ຫໍສະໝຸດ 5D 5EF0
解得 D
F
2, E
0
4, F
2
2
x
+
y
故所求圆的方程为
20 ，
2x
4y
20
0.
例 5：讨论方程 x +y
2
2
x 3
解： 将原方程组整理为 1 2 x2
当
2
y2 表示的是什么图形？
1 y2
2
0，
6x 9
1 时，方程（1）是一元一次方程 6x 9
思考交流
对于点 Px0 , y0 和圆 C : x a 2 y b 2 r 2 ，由圆的标准方程的概念，可知点 P
在圆 C 上的充要条件是 x0 a2 y0 b2 r 2 .
2
2
当点 P 不在圆 C 上时，一定有 x0 a y0 b r 2 ，此时，存在以下两种情况：
PC r
x0 a 2 y0 b2
r
x0 a y0 b r 2
圆的标准方程ppt课件
_____5______．
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .
圆的标准方程公开课一等奖课件
标准方程推导过程
设圆上任意一点 $P(x, y)$，则 $P$ 到圆心 $O(a, b)$ 的距离 $|PO|$ 应等 于半径 $r$。
由于 $|PO| = r$， 则有 $sqrt{(x a)^{2} + (y b)^{2}} = r$。
以圆心为原点，建 立平面直角坐标系 。
根据两点间距离公 式，有 $|PO| = sqrt{(x - a)^{2} + (y - b)^{2}}$。
实际生活中应用举例
建筑设计
在建筑设计中，圆形结构经常被用来增加建筑物的稳定性 和美感。例如，圆拱门、圆顶建筑等都是利用圆的性质进 行设计的。
交通运输
在交通运输领域，圆的性质也经常被应用。例如，车轮的 形状是圆形，这是因为圆形车轮在滚动时能够保持平稳， 并且减少与地面的摩擦。
自然科学
在自然科学中，圆也是一个重要的概念。例如，行星绕太 阳运动的轨道是椭圆形的，而太阳位于椭圆的一个焦点上 。这种运动轨迹可以近似地看作是一个圆。
相切条件
两圆心之间的距离等于两圆半径之和或两圆半径之差。
切点求解
通过解两圆方程和两圆心连线方程联立得到的方程组，可以得到切点的坐标。
两圆相离条件及距离计算
相离条件
两圆心之间的距离大于两圆半径之和或小于两圆半径之差。
距离计算
两圆心之间的距离可以通过两点间距离公式计算得到。
06
实际应用举例与课堂互动 环节
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学生自主思考并提问环节
提问1
为什么车轮要做成圆形的？而不 是方形或者其他形状？
提问2
在建筑设计中，为什么经常使用圆 形结构？它们有什么优势？
提问3
行星绕太阳运动的轨道为什么是椭 圆形的？这与圆的性质有什么关系 ？