广东省揭阳市高考数学一模试卷文科

2019年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|y＝lg（x﹣2）}，B＝（﹣2，3），则A∩B＝（）A．（﹣2，2）∪（2，3）B．（﹣2，2）C．（2，3）D．[2，3）2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若，，则a＝（）A．或B．1或﹣1C．2D．﹣23．（5分）已知向量，若，则λ的值为（）A．﹣3B．C．D．34．（5分）已知函数，则f（x）（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数5．（5分）已知曲线C1：y＝sin x，C2：，则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C26．（5分）已知数列{a n}满足（n+1）a n＝na n+1（n∈N*），a2＝2，等比数列{b n}满足b1＝a1，b2＝a2，则{b n}的前6项和为（）A．﹣64B．63C．64D．1267．（5分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是（）A．第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B．第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C．这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D．无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟．8．（5分）如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，已知BC＝2，AC＝4，在△ABC 上任取一点，则此点取自正方形DEFC的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）如图，网格纸上虚线小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体上下两部分的体积比为（）A．B．C．D．10．（5分）过双曲线两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．11．（5分）已知圆锥的顶点为S，底面圆周上的两点A、B满足△SAB为等边三角形，且面积为，又知SA与圆锥底面所成的角为45°，则圆锥的表面积为（）A．B．C．D．12．（5分）已知点P在直线x+2y﹣1＝0上，点Q在直线x+2y+3＝0上，M（x0，y0）为PQ的中点，且y0＞2x0+1，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）命题“对∀x∈[﹣1，1]，x2+3x﹣1＞0”的否定是；14．（5分）在曲线f（x）＝x3﹣4x的所有切线中，斜率最小的切线方程为．15．（5分）若圆x2+y2＝1与圆x2+y2﹣6x﹣8y﹣m＝0相切，则m的值为．16．（5分）如图，给出一个直角三角形数阵，满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为，则a n4＝．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）在△ABC中，，，点D在BC上，．（1）求AD的长；（2）若△ABD的面积为，求AB的长；18．（12分）如图，在四边形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，点C在AB上，且AB⊥CD，AC＝BC＝CD＝2，现将△ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置，且PE．（1）求证：平面PBC⊥平面DEBC；（2）求三棱锥P﹣EBC的体积．19．（12分）某地种植常规稻A和杂交稻B，常规稻A的亩产稳定为500公斤，统计近年来数据得到每年常规稻A的单价比当年杂交稻B的单价高50%．统计杂交稻B的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如下；统计近10年来杂交稻B的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为（x i，y i）（i＝1，2，…10），并得到散点图如图，参考数据见下．（1）求出频率分布直方图中m的值，若各组的取值按中间值来计算，求杂交稻B的亩产平均值；（2）判断杂交稻B的单价y（单位：元/公斤）与种植亩数x（单位：万亩）是否线性相关，若相关，试根据以下统计的参考数据求出y关于x的线性回归方程；（3）调查得到明年此地杂交稻B的种植亩数预计为2万亩，估计明年常规稻A的单价，若在常规稻A和杂交稻B中选择，明年种植哪种水稻收入更高？统计参考数据：1.60，2.82，（x i））y i）＝﹣0.52，（x i）2＝0.65，附：线性回归方程，b．20．（12分）已知椭圆C：，直线（m∈R）与椭圆C交于不同的两点A、B．（1）若，求m的值；（2）试求||OA|2﹣|OB|2|（其中O为坐标原点）的最大值．21．（12分）已知函数（a＜1，e是自然对数的底，e≈2.72）（1）讨论f（x）的单调性；（2）若0＜a＜1，x0是函数f（x）的零点，f'（x）是f（x）的导函数，求证：．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝a2（a∈R，a为常数），过点P（2，1）、倾斜角为30°的直线l的参数方程满足，（t为参数）．（1）求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点（点P在A、B之间），且|PA|•|PB|＝2，求a 和||PA|﹣|PB||的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|，（1）求函数f（x）的值域；（2）若x∈[﹣2，1]时，f（x）≤3x+a，求实数a的取值范围．2019年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|y＝lg（x﹣2）}，B＝（﹣2，3），则A∩B＝（）A．（﹣2，2）∪（2，3）B．（﹣2，2）C．（2，3）D．[2，3）【解答】解：A＝{x|x＞2}；∴A∩B＝（2，3）．故选：C．2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若，，则a＝（）A．或B．1或﹣1C．2D．﹣2【解答】解：，则ai，又，则3+（﹣a）2＝4，解得a＝±1，a的值为1或﹣1．故选：B．3．（5分）已知向量，若，则λ的值为（）A．﹣3B．C．D．3【解答】解：；∵；∴；∴λ＝﹣3．故选：A．4．（5分）已知函数，则f（x）（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数【解答】解：根据题意，f（x）＝（）x﹣2x，有f（﹣x）＝2x﹣（）x＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，又由y＝（）x在R上为减函数，y＝2x在R上为增函数，则函数f（x）＝（）x﹣2x在R 上为减函数，故选：C．5．（5分）已知曲线C1：y＝sin x，C2：，则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解答】解：曲线C1：y＝sin x，把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到y＝sin2x，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2：，故选：C．6．（5分）已知数列{a n}满足（n+1）a n＝na n+1（n∈N*），a2＝2，等比数列{b n}满足b1＝a1，b2＝a2，则{b n}的前6项和为（）A．﹣64B．63C．64D．126【解答】解：∵数列{a n}满足（n+1）a n＝na n+1（n∈N*），∴，∴数列{}为以1的常数列，∴1，∴a n＝n∴等比数列{b n}满足b1＝a1＝1，b2＝a2＝2，∴q＝2，∴{b n}的前6项和为63，故选：B．7．（5分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是（）A．第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B．第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C．这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D．无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟．【解答】解：由茎叶图的性质得：在A中，第一种生产方式的工人中，有：75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟，故A正确；在B中，第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高，故B正确；在C中，这40名工人完成任务所需时间的中位数为：80，故C正确；在D中，第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是超过80分钟．第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是不到80分钟，故D错误．故选：D．8．（5分）如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，已知BC＝2，AC＝4，在△ABC 上任取一点，则此点取自正方形DEFC的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设CD＝x，由DE∥BC则有，即，解得x，设在△ABC上任取一点，则此点取自正方形DEFC为事件A，由几何概型中的面积型得：P（A），故选：B．9．（5分）如图，网格纸上虚线小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体上下两部分的体积比为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知该几何体是下方为长方体上方为一直三棱柱的组合体，几何体的直观图如图：其上下体积比为．故选：C．10．（5分）过双曲线两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．【解答】解：将x＝±c代入双曲线的方程得，则2c，即有ac＝b2＝c2﹣a2，由e，可得：e2﹣e﹣1＝0，解得．故选：D．11．（5分）已知圆锥的顶点为S，底面圆周上的两点A、B满足△SAB为等边三角形，且面积为，又知SA与圆锥底面所成的角为45°，则圆锥的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，设圆锥母线长为l，由△SAB为等边三角形，且面积为，得•l2＝4，解得l＝4；设圆锥底面半径为r，由SA与圆锥底面所成的角为45°，得r＝4×cos45°＝2；所以圆锥的表面积为．故选：C．12．（5分）已知点P在直线x+2y﹣1＝0上，点Q在直线x+2y+3＝0上，M（x0，y0）为PQ的中点，且y0＞2x0+1，则的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：因直线x+2y﹣1＝0与x+2y+3＝0平行，故点M的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线，其方程为x+2y+1＝0，即点M（x0，y0）满足x0+2y0+1＝0，而满足不等式y0＞2x0+1的点在直线y＝2x+1的上方，易得直线x+2y+1＝0与y＝2x+1的交点为，故问题转化为求射线（不含端点）x0+2y0+1＝0（）上的点M（x0，y0）与坐标原点（0，0）连线斜率、即的取值范围，故．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）命题“对∀x∈[﹣1，1]，x2+3x﹣1＞0”的否定是∃x∈[﹣1，1]，x2+3x﹣1≤0；【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈[﹣1，1]，x2+3x﹣1≤0．故答案为∃x∈[﹣1，1]，x2+3x﹣1≤014．（5分）在曲线f（x）＝x3﹣4x的所有切线中，斜率最小的切线方程为y＝﹣4x．【解答】解：由f（x）＝x3﹣4x，得f′（x）＝3x2﹣4≥﹣4，当x＝0时取“＝”，此时切点为（0，0），则切线方程为y＝﹣4x．故答案为：y＝﹣4x．15．（5分）若圆x2+y2＝1与圆x2+y2﹣6x﹣8y﹣m＝0相切，则m的值为﹣9或11．【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣8y﹣m＝0的圆心为（3，4），半径，若两圆外切，则，解得m＝﹣9，若两圆内切，则，解得m＝11．故答案为：﹣9或﹣11．16．（5分）如图，给出一个直角三角形数阵，满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为，则a n4＝．【解答】解：a n4位于第n行第4列，且第一列的公差为，每一行的公比均为，由等差数列的通项公式知第n行第一个数为，故．故答案为：三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）在△ABC中，，，点D在BC上，．（1）求AD的长；（2）若△ABD的面积为，求AB的长；【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵，且0＜∠ADC＜π，∴，…（2分）正弦定理有，得；…（5分）（2）∵，…（6分）∵，∴，得BD＝2，…（8分）又∵，…（9分）由余弦定理得，∴AB＝3．…（12分）18．（12分）如图，在四边形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，点C在AB上，且AB⊥CD，AC＝BC＝CD＝2，现将△ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置，且PE．（1）求证：平面PBC⊥平面DEBC；（2）求三棱锥P﹣EBC的体积．【解答】证明：（1）∵AB⊥BE，AB⊥CD，∴BE∥CD，∵AC⊥CD，∴PC⊥CD，∴PC⊥BE，又BC⊥BE，PC∩BC＝C，∴EB⊥平面PBC，又∵EB⊂平面DEBC，∴平面PBC⊥平面DEBC．解：（2）解法1：∵AB∥DE，结合CD∥EB得BE＝CD＝2，由（1）知EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，由PE得，∴△PBC为等边三角形，∴，∴三棱锥P﹣EBC的体积．解法2：∵AB∥DE，结合CD∥EB得BE＝CD＝2，由（1）知EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，由PE，得，∴△PBC为等边三角形，取BC的中点O，连结OP，则，∵PO⊥BC，∴PO⊥平面EBCD，∴三棱锥P﹣EBC的体积．19．（12分）某地种植常规稻A和杂交稻B，常规稻A的亩产稳定为500公斤，统计近年来数据得到每年常规稻A的单价比当年杂交稻B的单价高50%．统计杂交稻B的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如下；统计近10年来杂交稻B的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为（x i，y i）（i＝1，2，…10），并得到散点图如图，参考数据见下．（1）求出频率分布直方图中m的值，若各组的取值按中间值来计算，求杂交稻B的亩产平均值；（2）判断杂交稻B的单价y（单位：元/公斤）与种植亩数x（单位：万亩）是否线性相关，若相关，试根据以下统计的参考数据求出y关于x的线性回归方程；（3）调查得到明年此地杂交稻B的种植亩数预计为2万亩，估计明年常规稻A的单价，若在常规稻A和杂交稻B中选择，明年种植哪种水稻收入更高？统计参考数据：1.60，2.82，（x i））y i）＝﹣0.52，（x i）2＝0.65，附：线性回归方程，b．【解答】解：（1）由m×30+0.01×20+0.02×20+0.025×10＝1，解得m＝0.005．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）过程一：杂交稻B的亩产平均值为：[（730+790+800）×0.005+（740+780）×0.01+（750+770）×0.02+760×0.025]×10＝116+152+304+190＝762．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）过程二：设杂交稻B的亩产数据为n个，则杂交稻B的亩产平均值为：116+152+304+190＝762．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）因为散点图中各点大致分布在一条直线附近，所以可以判断杂交稻B的单价y与种植亩数x线性相关，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）由题目提供的数据得：，由得，所以线性回归方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（3）明年杂交稻B的单价估计为元/公斤，明年常规稻A的单价估计为2.50×（1+50%）＝3.75元/公斤；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）明年常规稻A的每亩平均收入估计为500×3.75＝1875元/亩，明年杂交稻B的每亩平均收入估计为762×2.50＝1905元/亩，因1905＞1875，所以明年选择种杂交稻B收入更高．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12分）已知椭圆C：，直线（m∈R）与椭圆C交于不同的两点A、B．（1）若，求m的值；（2）试求||OA|2﹣|OB|2|（其中O为坐标原点）的最大值．【解答】解：（1）由消去y并整理得，∵直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，∴，即﹣2＜m＜2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，即，解得．（2）∵|OA|2﹣|OB|2，又，∴||OA|2﹣|OB|2|∵，∴||OA|2﹣|OB|2|，即||OA|2﹣|OB|2|的最大值为1．（当且仅当时，取得最大值）21．（12分）已知函数（a＜1，e是自然对数的底，e≈2.72）（1）讨论f（x）的单调性；（2）若0＜a＜1，x0是函数f（x）的零点，f'（x）是f（x）的导函数，求证：．【解答】解：（1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）设（x＞0），由和在（0，+∞）上单调递增，由x＞0得，可知g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（1）＝0，所以当x∈（0，1）时，g（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g（x）＞0，①当a≤0时，x﹣a＞0，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）②当0＜a＜1时，由f'（x）＝0得x＝a或x＝1，当x∈（0，a）时，x﹣a＜0，g（x）＜0，f'（x）＞0；当x∈（a，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）综上所述：当a≤0时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当0＜a＜1时，f（x）在（0，a）单调递增，在（a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）方法一（分析法）：当0＜a＜1时，由（1）知f（x）在（0，1]上的最大值为f（a），可知f（a）＝﹣e a﹣1+alna﹣a＜0，所以f（x）在（0，1]上无零点．若x0是函数f（x）的零点，则x0＞1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∵，由y＝x﹣a和在（1，+∞）上单调递增，且、x﹣a＞0，设h（x）＝f'（x），则，由x＞1得，，所以h'（x）＞0，可知f'（x）在（1，+∞）上单调递增，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）要证，只需证，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）由（1）知f（x）在（1，+∞）上单调递增，只需证，又f（x0）＝0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）只需证且f（3）＞0.，由，，得，又，所以；f（3）＝（2﹣a）e2+aln3﹣3，由2﹣a＞1得f（3）＞e2+aln3﹣3＞0，综上所述，得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）方法二（综合法）：当0＜a＜1时，由（1）知f（x）在（0，1]上的最大值为f（a），可知f（a）＝﹣e a﹣1+alna﹣a＜0，所以f（x）在（0，1]上无零点．若x0是函数f（x）的零点，则x0＞1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）而，由，，得，又，所以；f（3）＝（2﹣a）e2+aln3﹣3，由2﹣a＞1得f（3）＞e2+aln3﹣3＞0，所以，又f（x0）＝0，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）由（1）知f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）而，由y＝x﹣a和在（1，+∞）上单调递增，且、x﹣a＞0，可知f'（x）在（1，+∞）上单调递增，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）所以，得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝a2（a∈R，a为常数），过点P（2，1）、倾斜角为30°的直线l的参数方程满足，（t为参数）．（1）求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点（点P在A、B之间），且|PA|•|PB|＝2，求a 和||PA|﹣|PB||的值．【解答】解：（1）由ρ2cos2θ＝a2得ρ2（cos2θ﹣sin2θ）＝a2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得x2﹣y2＝a2，∴C的普通方程为x2﹣y2＝a2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵过点P（2，1）、倾斜角为30°的直线l的普通方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）由得∴直线l的参数方程为（t为参数）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）将代入x2﹣y2＝a2，得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）依题意知则上方程的根t1、t2就是交点A、B对应的参数，∵，由参数t的几何意义知|PA|•|PB|＝|t1|•|t2|＝|t1•t2|，得|t1•t2|＝2，∵点P在A、B之间，∴t1•t2＜0，∴t1•t2＝﹣2，即2（3﹣a2）＝﹣2，解得a2＝4（满足△＞0），∴a＝±2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵||PA|﹣|PB||＝||t1|﹣|t2||＝|t1+t2|，又，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|，（1）求函数f（x）的值域；（2）若x∈[﹣2，1]时，f（x）≤3x+a，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）法一：|f（x）|＝||x+1|﹣|x﹣1||≤|（x+1）﹣（x﹣1）|＝2，∴﹣2≤f（x）≤2，f（x）的值域为[﹣2，2]；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）法二：，得﹣2≤f（x）≤2，∴f（x）的值域为[﹣2，2]；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由f（x）≤3x+a得a≥|x+1|﹣|x﹣1|﹣3x，由x∈[﹣2，1]得x﹣1≤0，∴a≥|x+1|+x﹣1﹣3x＝|x+1|﹣2x﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）设g（x）＝|x+1|﹣2x﹣1（﹣2≤x≤1），①当﹣2≤x≤﹣1时，x+1≤0，g（x）＝﹣（x+1）﹣2x﹣1＝﹣3x﹣2，∴g（x）max＝g（﹣2）＝4；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）②当﹣1＜x≤1时，x+1＞0，g（x）＝x+1﹣2x﹣1＝﹣x，∴g（x）＜g（﹣1）＝1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）综上知，g（x）max＝4，由a≥g（x）恒成立，得a≥4，即a的取值范围是[4，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）。