杭州学军中学2020学年第一学期高一数学单元检测)
2019-2020学年浙江省杭州市学军中学西溪校区高一(上)期中数学试卷(PDF版 含答案)
2
2
则
f
(x)
( 1)|x|
1
( 1 ) x 2
1,
x 0
，则
f
(x)
在 [0
， )
上为减函数，
2
2x 1, x 0
又由 a f (log0.5 3) f (log2 3) ， b f (log2.5 3) ， c f (2m) f (0) ，且 0 log2.5 3 log2 3 ，
1) 2
，(a
0
且a
1)
的图象可能是 (
)
A．
B．
C．
D．
5．若函数 f (x2 1) 的定义域为[1 ，1] ，则 f (lgx) 的定义域为 ( )
A． [1 ，1]
B．[1， 2]
C．[10 ，100]
D．[0 ， lg2]
6．已知函数 f (x) 为奇函数， g(x) 为偶函数，且 2x1 f (x) g(x) ，则 g （1） (
20．已知函数
f
(x)
loga (1
x
2
)(a 1
0且a
1)
．
（Ⅰ）判断函数 f (x) 的奇偶性并说明理由；
（Ⅱ）当 0 a 1 时，判断函数 f (x) 在 (1, ) 上的单调性，并利用单调性的定义证明；
（Ⅲ）是否存在实数 a ，使得当 f (x) 的定义域为 [m ，n] 时，值域为 [1 loga n ，1 loga m] ？
而函数 f (x) lnx4 的定义域为非零实数集， g(x) 4ln x 的定义域为正实数集合，故它们不
是同一个函数；
浙江省杭州市学军中学(西溪校区)2019_2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
19.已知函数f（x）=log2（4x+b•2x+2），g（x）=x．
（Ⅰ）当b=-3时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若对于任意x≥1，都有f（x）＞g（x）成立，求实数b的取值范围．
20.已知函数f（x）=loga（1-）（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；
进行补集、交集的运算即可．
考查描述法、区间的定义，以及补集、交集的运算．
2.【答案】B
【解析】解：相同的函数必须具有相同的定义域、值域、对应关系，
而函数f（x）=lnx4的定义域为非零实数集，g（x）=4lnx的定义域为正实数集合，故它们不是同一个函数；
函数f（x）=x2和函数g（x）==x2，具有相同的定义域、值域、对应关系，故它们是同一个函数；
∴10≤x≤100，
故选：C．
由函数f（x2+1）的定义域为[-1，1]，求出其值域，即f（lgx）的值域，从而求出其定义域．
本题考查了函数的定义域，值域问题，是一道基础题．
6.【答案】C
【解析】解：∵函数f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且2x+1=f（x）+g（x），
∴f（1）+g（1）=21+1=4，①
本题考查函数的最值求法，注意运用分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：设幂函数为f（x）=xα，
∵f（x）的图象经过点（8，2），
∴f（8）=8α=2，
即23α=2，
则3α=，则α=，
则f（x）=x=，
则f（）==，
故答案为：
根据幂函数的定义，利用待定系数法求出函数的解析式，然后代入求值即可．
【优质文档】人教A版2019-2020学年浙江省杭州市学军中学高一第一学期(上)期末数学试卷含解析
则 a， b，c 的大小关系 c＞ a＞ b， 故选： D．
6．已知 sin α +cosα＝ ，α∈（ 0，π），则
＝（
）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
【分析】把已知等式两边平方，求得 sin αcos α，进一步得到 sin α﹣ cos α的值，联立 求得 sin α， cos α，得到 tan α，代入得答案．
若
，则 ? ＝ 1× x+2×（﹣ 3）＝ 0，x＝ 6．
故答案为：﹣ ， 6．
12．函数 f （ x）＝
的定义域为 [2 ， +∞） ．
【分析】解关于对数函数的不等式，求出 解：由题意得： log 2x≥ 1， 解得： x≥ 2， ∴函数 f （ x）的定义域是 [2 ， +∞）． 故答案为： [2 ， +∞）．
当 x≥ 1 时，可知函数 y 是递增函数，可得 y≥ 1+
当 x≤ 1 时，可得 y﹣ x＝
≥ 0，
两边平方， ∵ y﹣ x≥0，
即 y＞1；
∴（ y﹣x） 2＝
，
可得： x2﹣2xy+y2＝ x2﹣ 2x+3，（ y≠ 1）
∴x＝
≤1．得 y∈ R．
由 y﹣ x＝y﹣
＝
≥ 0，
∵ y＞ 1． ∴ y2﹣ 2y+3≥ 0 可得： y∈ R 综上可得 y＞ 1．
）
A．
B．﹣
C．﹣
D．
【分析】 利用任意角的三角函数的定义求得 cos α的值，再利用诱导公式， 求得 sin（ + α）的值． 解：∵角α的终边与单位圆交于点 P（﹣ ， ），∴ x＝﹣ ，y＝ ，r ＝ | OP| ＝ 1，∴
2020学年高一数学上期中考试试卷(上交)
20.已知
f
x
a 2x1 1
2x1 a
a
0 为奇函数.
（Ⅰ）求实数 a 的值；
（Ⅱ）判断函数 f (x) 的单调性，并解不等式 0 f x2 x 3 . 10
21. 荷兰阿斯麦尔公司（ASML）是全球高端光刻机霸主，最新的 EUV(极紫外光源)具备 7nm
工艺。芯片是手机中重要部件，除此以外还有如液晶屏、电池等配件。如果某工厂一条手机
（
）
B． f 2 f 1 f 4
C． f 4 f 2 f 1
D． f 4 f 1 f 2
6.已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x) f (2 x), f (x) f (x) 0 ，且在[0，1]上有
f (x) ( 1 )x ，则 f (2020.5) 4
A． 1 16
答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.） 18．化简求值：
（Ⅰ） 2 3 3 1.5 6 12
解：=6
（Ⅱ）
log3
7
log3
21
log
2 3
7
1 log7
3
解：=0
8分
8
19．已知函数 f (x) 8 3x 的定义域为 A，函数 g(x) x2 4x 1, x [0,3] 的值域为
（Ⅰ）求 L(x) 的函数表达式；
（Ⅱ）当投入的生产成本为多少时，这条生产线获得的利润最大？最大利润是多少？
22. 已知函数 f (x) ax2 bx c ，当 x 1 时， f (x) 1 恒成立. （Ⅰ）若 a 1, b c 0 ，求实数 b 的取值范围； （Ⅱ）证明： a b c 3 ，并找出一组{a, b, c} ，使得等号成立.
浙江省杭州市学军中学19-20学年高一上学期期末数学试卷 (含答案解析)
浙江省杭州市学军中学19-20学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.设集合A={x|y=1√2−x}，B={−1,0，1，2，3}，则(∁R A)∩B=()A. {2}B. {−1,0，1，2}C. {2,3}D. {−1,0，1}2.已知函数f(x)的定义域为(−1,1)，则函数g(x)=f(x2)+f(x−1)的定义域为()A. (−2,0)B. (−2,2)C. (0,2)D. (−12,0)3.已知角α的终边与单位圆交于点M(−√32,12)，则sinα的值是()A. ±12B. 12C. −12D. −√324.函数f(x)=e x−e−xx2的图象大致为()A. B.C. D.5.已知a=log2e，b=ln2，c=log1213，则a，b，c的大小关系为()A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b6.已知sinα+cosα=15，α∈(0,π)，则tanα=()A. −34B. −43C. −34或−43D. 34或437.如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF的中点，则AG⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 23AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13AB⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 34AB⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗+23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 8. 已知向量a ⃗ =(2,1)，|a ⃗ +b ⃗ |=4，a ⃗ ⋅b ⃗ =1，则|b ⃗ |=( )A. 2B. 3C. 6D. 129. 将函数的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A. 在[π12,7π12]上单调递减 B. 在[π12,7π12]上单调递增 C. 在[−π6,π3]上单调递减D. 在[−π6,π3]上单调递增10. 函数y =√x 2+1的值域是( )A. [0,+∞)B. [1,+∞)C. (0,+∞)D. (1,+∞)二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11. 已知a ⃗ =(1,2),b ⃗ =(2,m ),若a ⃗ ⊥b ⃗ ,则m =_______． 12. 函数f(x)=√log 2(x −1)的定义域是________． 13. 已知cos (α−π6)+sinα=4√35，则sin (α+7π6)=__________．14. 已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，AC =6，BC =7，AB =8，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 15. 若函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[−23π,23π]上单调递增，则ω的最大值为______ ． 16. 定义在(0,π2)上的函数y =6cosx 的图象与y =5tanx 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y =sinx 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．17. 若函数y =3x 2−ax +5在[−1,1]上是单调函数，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共5小题，共42.0分） 18. 计算下列各式：(1)10lg3−√10log 41+2log 26； (2)22+log 23+32−log 39．19. (Ⅰ)已知：sinθ=−45，求tanθ的值；(Ⅱ)已知：tanθ=2，求1−2cos 2θsinθ⋅cosθ的值．20. 在△ABC 中，AC =√2，AB =√3+1，∠BAC =45°，点P 满足：BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0)，AP =√22．(1)求BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； (2)求实数λ的值．21. 已知函数f(x)=1+2√3sinxcosx −2sin 2x ，x ∈R ．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若把f(x)向右平移π6个单位得到函数g(x)，求g(x)在区间[−π2,0]上的最小值和最大值．22.设g(x)=x2−mx+1．(1)若恒成立，求实数m的取值范围；(2)若m>1,解关于x的不等式g(x)>x−m+1.-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查不等式的求解及集合的混合运算，属于基础题．根据题意解出集合A 、B ，再根据补集及交集的定义直接计算即可． 解：由题意得，A ={x|x <2}，， ，故选C ．2.答案：C解析：解：∵函数f(x)的定义域为(−1,1)， ∴{−1<x2<1−1<x −1<1， 解得：0<x <2， 故选：C ．根据函数的定义域得到关于x 的不等式组，解出即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查不等式问题，是一道基础题．3.答案：B解析：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值． 解：角α的终边与单位圆交于点M(−√32,12)，∴x =−√32，y =12，r =|OP|=1， 则，故选B .4.答案：B解析：本题考查函数的图象的识别和判断，考查函数的奇偶性，属于中档题． 判断函数的奇偶性，再用特殊值进行排除即可． 解：函数定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称， ∵f(−x)=e −x −e x (−x )2=−e x −e −xx 2=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除A ， 当x =1时，f(1)=e −1e >0，排除D ， 当x →+∞时，f(x)→+∞，排除C ， 故选B ．5.答案：D解析：本题考查了指数函数及其性质和对数函数及其性质，属于基础题． 解：，，∴c >a >b ， 故选D ．6.答案：B解析：本题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题． 对所给关系式两边平方，结合同角三角函数的基本关系式求出sinαcosα的值，联立求出sinα和cosα的值，从而求出tanα的值．解：由sinα+cosα=15两边平方得：sin 2α+cos 2α+2sinαcosα=125， 即sinαcosα=−1225<0， 因为α∈(0,π)，所以，由{sinα+cosα=15sinαcosα=−1225，解得{sinα=45cosα=−35，所以tanα=sinαcosα=−43， 故选B ．7.答案：C解析：建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示，列出方程组，即可求出AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 中的x 与y 的值．本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，也考查了数形结合的解题思想，是基础题目． 解：建立平面直角坐标系，如图所示；矩形ABCD 中，AB =2AD ，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，G 为EF 中点， 设B(2,0)，则D(0,1)，E(2,12)，F(1,1)， ∴G(32,34)； ∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,34)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)， 设AG⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则(32,34)=(2x,y)， 即{2x =32y =34，解得x =34，y =34； ∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：C ．解析：解：∵|a⃗+b⃗ |=4，∴a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =16，∴5+|b⃗ |2+2=16，∴|b⃗ |=3故选：B．将|a⃗+b⃗ |=4两边平方可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．9.答案：B解析：本题考查函数图象的平移及正弦函数的性质，属于一般题．直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，即可求解单调区间．解：把函数y=3sin(2x+π3)的图象向右平移π2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2(x−π2)+π3]=3sin(2x−2π3)，当函数递增时，由−π2+2kπ≤2x−2π3≤π2+2kπ，，得，取k=0，得π12≤x≤7π12，∴平移后所得图象对应的函数在区间[π12,7π12]上单调递增．故选B．10.答案：B解析：解：函数y=√x2+1可知：√x2+1≥1，即y≥1．所以函数的值域为：[1,+∞)．故选B．通过函数的解析式，直接得到函数的值域即可．本题考查函数的值域的求法，基本知识的考查．解析：本题考查平面向量垂直的坐标表示，属于基础题．由平面向量垂直，得到a⃗·b⃗ =0，进而得到m的方程，解得m的值．解：∵a⃗=(1,2),b⃗ =(2,m)，a⃗⊥b⃗ ，则a⃗·b⃗ =0，∴1×2+2m=0，∴m=−1．故答案为−1．12.答案：[2,+∞)解析：根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．解：要使函数由意义，则log2(x−1)≥0，x−1≥1，x≥2，故答案为[2,+∞)．13.答案：−45解析：本题主要考查两角和与差的正余弦公式和诱导公式的应用，属于基础题．解：因为cos(α−π6)+sinα=√3(12cosα+√32sinα)=√3sin(π6+α)=4√35，所以sin(π6+α)=45，又sin(α+7π6)=−sin(π6+α)=−45，故答案为−45．解析：解：作OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ， ∵⊙O 中，OD ⊥AB ， ∴AD =12AB ，cos∠OAD =|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 因此，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠OAD =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=32 同理可得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=18 ∴AO⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =18−32=−14 故答案为：−14作OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，由垂径定理得D 、E 分别为AB 、AE 的中点，利用三角函数在直角三角形中的定义，可得cos∠OAD =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，由向量数量积的定义得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=32，同理可得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=18，而AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，展开后代入前面的数据即可得到AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．本题给出三角形的外接圆的圆心为0，在已知三边长的情况下求AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，着重考查了圆中垂直于弦的直径性质、三角函数在直角三角形中的定义和向量数量积公式及其性质等知识，属于中档题．15.答案：34解析：本题考查正弦函数的单调增区间.由题意可得2πω≥2[2π3−(−2π3)]，即2πω≥8π3，解得ω的范围，可得ω的最大值，属于基本知识的考查．解析：函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[−23π,23π]上单调递增，2πω≥2[2π3−(−2π3)]，即2πω≥8π3，解得ω≤34， 故ω的最大值等于34， 故答案为：34．16.答案：23解析：本题考查三角函数的图象、数形结合思想．先将求P1P2的长转化为求sin x的值，再由x满足6cosx=5tanx可求出sin x的值，从而得到答案．解：线段P1P2的长即为sin x的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，即6cosx=5sinxcosx ，化为6sin2x+5sinx−6=0，解得sinx=23.线段P1P2的长为23故答案为23．17.答案：解析：本题考查二次函数及函数的单调性，是基础题．由二次函数的单调性，分类讨论求解即可．解：因为y=3x2−ax+5的对称轴为x=a6，若函数y=3x2−ax+5在[−1,1]上是单调递增，则a6≤−1，即a≤−6，若函数y=3x2−ax+5在[−1,1]上是单调递减，则a 6≥1，即a ≥6，综上所述，a 的取值范围为a ≥6或a ≤−6， 故答案为． 18.答案：解：(1)10lg3−√10log 41+2log 26=3−0+6=9．．解析：本题考查对数的概念．属于基础题．根据对数和指数的运算法则即可得到结果．19.答案：解：(Ⅰ)∵sinθ=−45<0，∴θ为第三或第四象限角．当θ为第三象限角时，cosθ=−√1−sin 2θ=−35，∴tanθ=sinθcosθ=43．当θ为第四象限角时，cosθ=√1−sin 2θ=35，∴tanθ=sinθcosθ=−43．综上所述，tanθ=43或−43；(Ⅱ)∵tanθ=2，∴1−2cos 2θsinθ⋅cosθ=sin 2θ+cos 2θ−2cos 2θsinθcosθ=sin 2θ−cos 2θsinθcosθ=tan 2θ−1tanθ=22−12=32． 解析：(Ⅰ)由sinθ分类求出cosθ，再由商的关系求解；(Ⅱ)化弦为切，代入tanθ的值得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．20.答案：解：(1)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos135°=√2(√3+1)×(−√22)=√3+1， (2)∵BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵λ>0，∴λ=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC |=12．解析：(1)根据向量的数量积的运算即可求出；(2)根据向量的加减的几何意义得到即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可求出答案． 本题考查了向量的数量积的运算和向量的加减的几何意义，属于基础题．21.答案：解：(1)f(x)=1+2√3sinxcosx −2sin 2x ，=√3sin2x +cos2x =2sin(2x +π6)，令2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，得kπ−π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，可得函数f(x)的单调增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k ∈Z ；令2kπ+π2≤2x +π6≤2kπ+3π2，k ∈Z ， 得kπ+π6≤x ≤kπ+2π3，k ∈Z ，可得函数f(x)的单调减区间为[kπ+π6,kπ+2π3]，k ∈Z ； (2)若把函数f(x)的图像向右平移π6个单位，得到函数g(x)=2sin[2(x −π6)+π6]=2sin(2x −π6)的图像，∵x ∈[−π2,0]，∴2x −π6∈[−7π6,−π6]，∴g(x)=2sin(2x −π6)∈[−2,1]． 故g(x)在区间[−π2,0]上的最小值为−2，最大值为1．解析：本题主要考查三角函数的化简及函数y =Asin(ωx +φ)的图象性质和最值，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．(1)利用二倍角公式和辅助角公式，化简函数f(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f(x)的单调区间；(2)利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，由x 的范围求出ωx +φ的范围，即可利用正弦函数的性质求出g(x)的范围．22.答案：解：(1)由题意，若g(x)≥0对任意x >0恒成立，即为x2−mx+1≥0对x>0恒成立，即m≤x+1x在x>0恒成立，转化为求x+1x在x>0时的最小值，因为x+1x≥2，当且仅当x=1时取“=”，所以m≤2．(2)不等式可化为x2−(m+1)x+m>0，分解因式可得(x−m)(x−1)>0，由m>1可得，x<1或x>m，所以不等式的解集为(−∞,1)∪(m,+∞)．解析：本题考查一元二次不等式的解法和不等式恒成立问题，涉及基本不等式求最值，属于基础题．(1)问题可化为m≤x+1x 在x>0恒成立，由基本不等式求出x+1x在x>0时的最小值即可；(2)不等式可化为(x−m)(x−1)>0，由m>1可得不等式的解集．。
2019-2020学年浙江省杭州市学军中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年浙江省杭州市学军中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1≤x ＜2} B ．{x |0＜x ＜2}C ．{x |0＜x ≤1}D ．{x |0＜x ＜1}【答案】A【解析】利用交集定义直接求解． 【详解】由集合{}|02A x x =<<，{}|1B x x =≥，所以{}|12A B x x =≤<I . 故选：A. 【点睛】本题考查交集的求法，交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 2．已知函数f （x ）的定义域为（﹣1，1），则函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的定义域为（ ） A ．（0，2） B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（﹣1，1）【答案】B【解析】由题意可得112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，由此求得x 的范围，即为所求. 【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()1,1-，则对于函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，应有112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，解得12x <<，故()g x 的定义域为()1,2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的定义域的定义，求函数的定义域，属于基础题． 3．若角α的终边与单位圆交于点P （35-，45），则sin （2π+α）＝（ ）A ．35B ．35-C ．45-D ．45【答案】B【解析】利用任意角的三角函数的定义求得cos α的值，再利用诱导公式，即可得到结论. 【详解】因为角α的终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由三角函数的定义知3cos 5α=-， 所以3sin cos 25παα⎛⎫+==-⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．4．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴Q 为奇函数，舍去A,1(1)0f e e -=->∴Q 舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>Q ，所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．5．已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：2log 1a e =>，()21ln 20,1log b e ==∈，12221log log 3log 3c e ==>， 据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 6．已知sinα+cosα12=，α∈（0，π），则11tan tan αα+=-（ ） A．7 B．7-C．3D．3-【答案】B【解析】将等式两边平方，得32sin cos 4αα=-，再利用完全平方公式得sin cos 2αα-=. 【详解】由1sin cos 2αα+=，平方得()21sin cos 12sin cos 4αααα+=+=，即32sin cos 4αα=-，又()0,απ∈，则sin 0α>，cos 0α<，所以()237sin cos 12sin cos 144αααα-=-=+=，即7sin cos 2αα-=， 所以1tan sin cos 71tan cos sin αααααα++==---. 故选：B. 【点睛】本题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题.7．在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，AB ⊥AD ，点P 满足AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r，且x +2y＝1，点M 在矩形ABCD 内（包含边）运动，且AM AP λ=u u u u r u u u r，则λ的最大值等于（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】利用矩形建立坐标系，把所给向量条件转化为坐标关系，结合点在矩形内，利用横纵坐标满足的条件列不等式，求得范围. 【详解】 建立如图坐标系：则()2,0AB =uu u r，()0,4AD =u u u r ，()()()2,00,42,4AP xAB yAD x y x y ∴=+=+=u u u r u u u r u u u r， ()2,4AM AP x y λλλ∴==u u u u r u u u r，因M 在矩形ABCD 内， 所以022044x y λλ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即246x y λλ+≤，所以()23x y λ+≤，又21x y +=，所以3λ≤，即λ的最大值为3. 故选：C. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，不等式性质等基础知识，属于基础题．8．平面向量a r ，b r 满足，2()30a a b -⋅-=rr r ，2b =r ，则a b -r r 最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据题意设向量()0,2b =r ，(),a x y =r，将方程转化为圆的方程，再利用两点间的距离即可得到结论. 【详解】由题意，设向量()0,2b =r ，(),a x y =r ，则()222ax y =+r，2a b y ⋅=r r，因()230a a b -⋅-=r r r ，即，22230x y y +--=，所以：()2214x y +-=，即向量a r的轨迹是以()0,1为圆心，2r =的圆，又(),2a b x y -=-r r，所以a b -=r r (),x y 与点()0,2之间的距离，又点(),x y 满足()2214x y +-=，所以23a b -==r r.故选：C. 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，将向量的模转化为两点之间的距离是关键，属于中档题.9．将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 【答案】A【解析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可. 【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令1k =可得一个单调递增区间为：35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 函数的单调递减区间满足：()322222k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令1k =可得一个单调递减区间为：57,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．函数y x = ）．A ．()1,+∞B ．)+∞C ．)+∞D ．)1⎡+∞⎣【答案】A【解析】函数y x =，可得y x -=，两边平方，即可求解． 【详解】解：函数y x x =+R ．当1x …时，可知函数y 是递增函数，可得1y +…当1x „时，可得0y x -=， 两边平方， 0y x -Q …，即1y >； 22()y x ∴-=，可得：222223x xy y x x -+=-+，(1)y ≠23122y x y -∴=-„．得y R ∈．由2232302(1)22y y y y x y y y --+-=-=--…， 1y >Q ．2230y y ∴-+… 可得：y R ∈ 综上可得1y >．∴函数y x =(1)+∞．故选：A ． 【点睛】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．二、填空题11．已知向量()12a =r ，，()3b x =-r ，，若满足a b r P r ，则x ＝_____，若满足a b⊥r r ，则x ＝_____． 【答案】32-6 【解析】根据平面向量共线与垂直的坐标表示，分别列方程求出x 的值. 【详解】因向量()1,2a =r，(),3b x =-r ，若//a b r r，则()1320x ⨯--=，解得32x =-， 若a b ⊥r r，则()230x +⨯-=，解得6x =.故答案为：32-，6. 【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示与应用问题，属于基础题.12．函数()f x =________． 【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域. 详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题. 13．若5sin()=613πα-，则cos()3πα+=________________ 【答案】513【解析】根据题意cos cos 326πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，然后根据诱导公式对上式进行变形即可得到cos sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求得答案 【详解】5sin 613Q πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5cos cos sin 326613ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 故答案为513【点睛】本题是一道有关三角函数的题目，解答本题的关键是掌握诱导公式，属于基础题。
2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模数学试卷-学生用卷
2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第1题4分已知集合A={1,2,4}，B={0,2,4}，则A∪B=（）．A. {2,4}B. {0,1,2,4}C. {0,1,2,2,4}D. {x|0⩽x⩽4}2、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第2题4分双曲线x 24−y29=1的实轴长为（）．A. 2B. 3C. 4D. 63、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第3题4分已知圆C:(x−1)2+y2=1，直线l过点(0,1)且倾斜角为θ，则“θ=0”是“直线l与圆C相切”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第4题4分若复数a+3i1+2i（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数．则实数a的值为（）．A. 4B. 3C. 6D. −65、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第5题4分2020~2021学年10月陕西咸阳武功县高三上学期月考理科第10题5分2019~2020学年陕西西安未央区西安中学高二下学期期末理科第8题5分2019~2020学年9月安徽合肥包河区合肥市第一中学高三上学期月考文科第9题5分2019~2020学年5月重庆沙坪坝区重庆市第一中学高三下学期月考文科第9题5分，则y=f(x)的图象大致为（）．已知函数f(x)=1x−lnx−1A.B.C.D.6、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第6题4分设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是（）．A. 若l//α，m//α，则l//mB. 若l//α，m ⊥l ，则m ⊥αC. 若l ⊥α，m ⊥l ，则m//αD. 若l ⊥α，m ⊥α，则l//m7、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第7题4分2019年湖南长沙开福区长沙市第一中学高三一模理科第8题5分2019~2020学年广东深圳南山区深圳市第二高级中学高二上学期段考（三）第9题5分 2020~2021学年辽宁沈阳高二下学期期末（五校协作体）第4题5分2018~2019学年黑龙江哈尔滨南岗区哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期中理科第5题5分 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为（ ）．A. 1.5尺B. 2.5尺C. 3.5尺D. 4.5尺8、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第8题4分设a →， b →，c →为平面向量．|a →|=|b →|=a →⋅b →=2，若(2c →−a →)⋅(c →−b →)=0，则c →⋅b →的最大值是（ ）．A. √7+√3B. 52+√3C. 174D. 949、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第9题4分定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(−x)，且当x∈[0,1]时，f(x)=2x−cosx，则下列结论正确的是（）．A. f(20192)<f(20203)<f(2018)B. f(2018)<f(20203)<f(20192)C. f(2018)<f(20192)<f(20203)D. f(20203)<f(20192)<f(2018)10、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第10题4分设等差数列{a n}的前n项和为S n，且对任意n∈N∗，都有|S n+2020|⩾|S n|．则下列命题不一定成立的是（）．A. |S2020|⩽|S2021|B. |S2021|⩽|S2022|C. |a1010|⩽|a1011|D. |a1011|⩽|a1012|二、填空题（本大题共7小题，共36分）11、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第11题6分已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=3，D(X)=2，则p=，P(X=1)=．12、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第12题6分2020~2021学年浙江杭州西湖区杭州师范大学附属中学高二上学期期中第14题6分已知实数x，y满足约束条件{x+y−2⩾0 x−y−2⩽02x−y−2⩾0，则z=x+2y的最小值为；y+1x的取值范围是．13、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第13题6分若将函数f(x)=x7表示为f(x)=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+⋯+a7(x−1)7，其中a0，a1，a2，⋯，a7为实数，则a3=．a0+a2+a4+a6=．14、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第14题6分已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+√3asinC=b+c，则A=，又若b=2，a=x，△ABC有两解，则实数x的取值范围是．15、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第15题4分已知抛物线y2=4x，过点A(1,2)作直线l交抛物线于另一点B，Q是线段AB的中点，过Q作与y轴垂直的直线l1．交抛物线于点C，若点P满足QC→=CP→，则|OP|的最小值是．16、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第16题4分2020~2021学年广东深圳南山区深圳实验学校高二下学期段考（一）第16题5分将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有种不同的放法．17、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第17题4分已知三棱锥A−BCD的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，AD=2，∠BAC=90°，若球O的表面积为29π，则三棱锥A−BCD的侧面积的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第18题14分设函数f(x)=cos(2x+π6)−cos(2x−3π2)+a的最小值是−1．(1) 求a的值及f(x)的对称中心．(2) 将函数f(x)图象的横坐标压缩为原来的一半（纵坐标不变），再向右平移π12个单位，得到g(x)的图象．若g(x)⩾−12，求x的取值范围．19、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第19题15分如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1B1=A1C1=2，CC1=2√3，∠BAC=120°．O为线段B1C1的中点，P为线段CC1上一动点（异于点C、C1)．Q为线段BC上一动点，且QP⊥OP：(1) 求证：平面A1PQ⊥平面A1OP．(2) 若BO//PQ，求直线OP与平面A1PQ所成角的正弦值．20、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第20题15分已知数列{a n}满足a1=2，a2=10，a n+2=a n+1+2a n，n∈N∗．(1) 证明：数列{a n+a n+1}是等比数列．(2) 求数列{a n}的通项公式．(3) 证明：1a1+1a2+⋯+1a n<34．21、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第21题15分已知M:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2√3，点P(0,2)关于直线y=−x的对称点在椭圆M上．(1) 求椭圆M的方程．(2) 如图，椭圆M的上、下顶点分别为A，B，过点P的直线l与椭圆M相交于两个不同的点C，D．①求△COD面积的取值范围．②当AD与BC相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．22、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第22题15分已知实数a⩾−1，设f(x)=(x+a)lnx，x>0．(1) 若a=−1，有两个不同实数x1，x2满足|f′(x1)|=|f′(x2)|，求证：x1+x2>2．(2) 若存在实数1e <c<4e2，使得|f(x)|=c有四个不同的实数根，求a的取值范围．1 、【答案】 B;2 、【答案】 C;3 、【答案】 A;4 、【答案】 D;5 、【答案】 A;6 、【答案】 D;7 、【答案】 B;8 、【答案】 B;9 、【答案】 C;10 、【答案】 C;11 、【答案】13;256 2187;12 、【答案】2;[12,2);13 、【答案】35;64;14 、【答案】π3;(√3,2);15 、【答案】√22;16 、【答案】535;17 、【答案】5√2+254;18 、【答案】 (1) 0，(−π6+kπ2,0)，k∈Z．;(2) x∈[kπ2−π24,7π24+kπ2]，k∈Z．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 2√1919．;20 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) a n=2n+1+2⋅(−1)n．;(3) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) x24+y2=1．;(2)①4√1t −4t2∈(0,1]．②是，12．;22 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 0<a<1e2．;。
2024-2025学年第一学期杭州学军中学新高一分班考 数学卷(含答案)
学军中学新高一分班考数学卷一、选择题：本大题有8个小题，每小题3分，共24分。
1. 下列四个命题：①平分弦的直径垂直于弦；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧。
其中真命题的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 如图，在2014年的体育中年高考中，某校6名学生的体育成绩统计如图，则这组数据的众数、中位数、方差依次是（）A. 28，28，1B. 28，27.5，3C. 28，28，3D. 28，27.5，13. 已知方程组{3x−2y=3a−42x−3y=2a−1的解满足x＞y，则a的取值范围是（）A. a＞1B. a＜1C. a＞5D. a＜54. 如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使BD=2DC，连接AC，tanB=53，则tan∠CAD的值是（）A. 33B. 35C. 13D. 155. 如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，∠ACB=90°，四边形DEFG、GHIJ均为正方形，点E在AC上，点I在BC上，J为边DG的中点，则GH的长为（）A. 1921B. 1 C. 6077D. 1802596. 如图，正方形OABC的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点A，C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且BP⊥PQ，BP=PQ，当点P从点C运动到点O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（）A. 线段B. 圆弧C. 抛物线的一部分D. 不同于以上的不规则曲线7. 如图，以点M（-5，0）为圆心，4为半径的圆与x轴交于A,B两点，P是☉M上异于A，B的一动点，直线PA，PB分别交y轴于点C，D，以CD为直径的☉N与x轴交于点E，F则EF的长为（）A. 42B. 43C. 6D. 随P点位置而变化8. 已知二次函数图象的对称轴为x=1，且过点A（3，0）与B（0，1.5），则下列说法中正确的是（）①当0≤x≤22+1时，函数有最大值2；②当0≤x≤22+1时，函数有最小值-2；③P是第一象限内抛物线上的一个动点，则△PAB面积的最大值为32；④对于非零实数m，当x>1+1m 时，y都随着x 的增大而减小。