第三章恒定电场
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恒定电场专题知识讲座
实际工程中，因为1很大, E1t很小。挨导体表面 旳E2t，比E2n小得多，往往能够忽视不计。所以，导 体表面旳边界条件可以为与静电场相同，其解答也 与相应旳静电场问题相同。
第三章恒定电场
14
3.3 静电比拟
电源外导电媒质中恒定电场 与无电荷区域静电场旳比较
• 两类场旳基本方程有相同旳形式 • 两类场旳基本物理量有相应关系
对于金属导体一般102 ，则
0
(
1
1
2
2
) J 1n
第三章恒定电场
10
例 3-2 已 知 铜 1=5.8107S/m, 铝
2=3.82107S/m ， 介 电 常 数 均 为
102 ，铜中旳J1=1A/m2穿过
分界面时与法线旳夹角1=45。 求：1）铝中J2旳2=？
2）分界面上=？
1450 J1
R1
电位
U ln R2
ln r
U ln R2
ln R2
U ln R2
ln
R2 r
R1
R1
R1
E
r
er
U r ln R2
er
R1
单位长度泄漏电流
J
E
U
r ln R2
er
R1
I J dS U (2r) 2 U
S
rln R2
ln R2
R1
R1
第三章恒定电场
9
3.2 .2 分界面上旳自由面电荷
dU = E1dl = J1(R0dl)
第三章恒定电场
13
载流导体外旳电场强度
E2t = E1t= J1t/1 E2n=D2n/2=/2
由导体内部电流决定 由导体表面电荷决定
NO.15-----第三章 恒定电场--
第三章 恒定电场
1
§3.5 恒定电场与静电场的比拟
3.5.1静电比拟法 静电比拟法 表 3-1 恒定电场与静电场比较
第三章 恒定电场 恒定电场与静电场比较
2
结论
1. 两个场的相同数学表达式中的场量之间有一一对应的关系;
即 E E， J ← D，φ φ， I q，σ ε
2. 两种场的电位函数定义相同, 都满足拉普拉斯方程,若处于相同的 边界条件下，根据唯一性定理, 电位函数必有相同的解. 所以两种场的等位面及电场强度分布相同,J和D矢量线的分布也相同;
12
V/m
导体表面上总的场强为
E = E + E = 0.565
2 t 2 n
V/m
电场强度与导体表面的夹角为
Et a = arctg = 19.5° En
V/m
第三章 恒定电场
13
例 3.2 设有一同心金属球, 内外球体之间均匀充满二层电导 率分别为σ1 和σ2 的导电媒质, σ1 、σ2 远小于金属球的电导率。 σ1≈σ2, 为常数。导体球及导电媒质的半径如图所示。内外球间加 有直流电压U0, 极性如图。试求两区域中恒定电场的电流、 电流 密度、电场强度及电位的分布。
φ1 = ∫
c
r
I 1 1 1 1 E1 dr + ∫ E2 dr = + c 4πσ 1 r c 4πσ 2 c b
b
I
区域②(c≤r≤b)中任一点的电位是
φ2 = ∫
b
r
1 1 E2 dr = 4πσ 1 r b I
第三章 恒定电场 例 3.3
16
一同轴电缆内导体半径为a, 外导体内半径为b, 内外
4πσab G= ba
1
§3.5 恒定电场与静电场的比拟
3.5.1静电比拟法 静电比拟法 表 3-1 恒定电场与静电场比较
第三章 恒定电场 恒定电场与静电场比较
2
结论
1. 两个场的相同数学表达式中的场量之间有一一对应的关系;
即 E E， J ← D，φ φ， I q，σ ε
2. 两种场的电位函数定义相同, 都满足拉普拉斯方程,若处于相同的 边界条件下，根据唯一性定理, 电位函数必有相同的解. 所以两种场的等位面及电场强度分布相同,J和D矢量线的分布也相同;
12
V/m
导体表面上总的场强为
E = E + E = 0.565
2 t 2 n
V/m
电场强度与导体表面的夹角为
Et a = arctg = 19.5° En
V/m
第三章 恒定电场
13
例 3.2 设有一同心金属球, 内外球体之间均匀充满二层电导 率分别为σ1 和σ2 的导电媒质, σ1 、σ2 远小于金属球的电导率。 σ1≈σ2, 为常数。导体球及导电媒质的半径如图所示。内外球间加 有直流电压U0, 极性如图。试求两区域中恒定电场的电流、 电流 密度、电场强度及电位的分布。
φ1 = ∫
c
r
I 1 1 1 1 E1 dr + ∫ E2 dr = + c 4πσ 1 r c 4πσ 2 c b
b
I
区域②(c≤r≤b)中任一点的电位是
φ2 = ∫
b
r
1 1 E2 dr = 4πσ 1 r b I
第三章 恒定电场 例 3.3
16
一同轴电缆内导体半径为a, 外导体内半径为b, 内外
4πσab G= ba
电磁场导论 第3章 恒定电场课件
3.2 电源电势与局外场强
3.2.1 电源电动势
要想在导线中维持恒定电流，
必须依靠非静电力将B极板的正电
荷抵抗电场力搬到A极板。这种提
供非静电力将其它形式的能量转为
电能装置称为电源。
电源内部局外场强
Ee
fe q
恒定电流的形成
电源电动势
l Ee dl
(V )
电源电动势与有无外电路无关，是表示电源本身的特征量
则
2 0
表明，只要
1
，电流线垂直于良导体表面穿出，
2
良导体表面近似为等位面。
例3-2 已知铁1=5×106西门子/米，土壤2=102西门子/ 米，求：当铁中电流J1与表面法线的夹角1=895950时 ，土壤中电流J2与分界面法线夹角。
解: 根据电流折射定律
tan 1 tan 2
1 2
5 106 10 2
3.4.1 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟
表1 两种场所满足的基本方程和重要关系式
静电场
(=0 区域)
恒定电场 （电源外导电媒质中）
E 0 E D 0
D E
E1t E2t D1n D2n
2 0
E 0 E
J 0
J E
E1t E2t J1n J 2n
2 0
q D
电流是积分量 I S J dS
2）电流线密度
分布的面电荷在曲面上以速度v运动形成的电流
K v
Am
电流是积分量 I l ( K en )dl
en 是垂直于dl，且通过dl与曲面相切的单位矢量
工程意义： • 同轴电缆的外导体可视为电流线密度分布 • 媒质表面产生磁化电流可用电流线密度表示 • 高频电流的集肤效应可用电流线密度表示
03第三章_恒定电场(定稿2学时)
I =
∫ J ⋅ dS
S
（3.1-2）
根据上述同样的定义和推导，我们可以得到导体表面 上电流的线密度（面电流密度）J 为：
S
ρs ⋅Δl ⋅Δw ρυΔw ΔI JS = aJ = aJ = aJ s = ρυ s Δw Δt ⋅Δw Δw
（单位：安培/米） 其中，ρ s 是表面上运动电荷（载流子）的密度，
Δ t
= ρ vΔ S
(电流强度的定义：单位时间内流过某截面的电荷电量）
∴
J = ΔI
Δs
= ρv
写成矢量形式：
J = ρυ （3.1-1） ρ 此处，应特别注意， 是指载流子的体密度，在金
属导体中即是自由电子的密度，而不是导体中净电荷的 密度（下面就会讲到，导体中存在恒定电场时，净电荷 的密度恒定为零，它是单位体积中正电荷与负电荷的代 数和）。 已知 J 后，即可求出流过体积中任意一个曲面Ｓ的 电流为：
ΔI
ΔI J = ΔS
ρ
Δl
电流密度的方向规定为正电荷运动的方向。
可见，电流密度为一个矢量 J ，单位为安培／ 2。 米 体电流的面密度（体电流密度，简称电流密度）的 求解： 设某点处载流子的运动速度为 υ ，该点处的电荷体密 度为 ρ ，则在单位时间内流过面元 ΔS 的电荷为：
Δ I =
ρ ⋅Δ l ⋅Δ S
所以，许多恒定电场问题都可以化为静电场的问题 来解决。
例如，在静电场中，充满均匀介质
q C = U
ε
的两导体间的电容为：
而由高斯定律，得：
q = ∫ D ⋅ dS = ε ∫ E ⋅ dS
S S
另外， U =
∫
2
1
E ⋅ dl
工程电磁场--第3章--恒定电场的基本原理
故分界面上的自由电荷密度为
1 2 2 1 1 2 S D1 D2 ( ) J V0 1 2 2 d1 1 d 2
38
39
40
41
3.3 导电媒质分界面衔接条件
1.分界面条件
在不同导电媒质的分界面上，存在自由面电 荷，也可能存在束缚面电荷。这造成分界面两侧 场矢量不连续。场矢量的不连续性不影响积分形 式基本方程却影响微分形式的基本方程的应用， 因此必须研究场矢量的分界面条件。
E
E
31
例 3-2-1 在均匀恒定电流场中，电流密度为 1，沿 x 方向。在 x 从 0 到 1 的区域，媒质的电导率从 1 均匀增加到 2，介质常数保持 0 不变，试求自由电 荷体密度。 解：根据电流连续性，整个区域电流密度不随 x 变化，由 E
1
J ， 1 x ，得
根据电源以外恒定电场的无旋性， 可由 E 定义标量电位 ， 代入基本方程和辅助方程，得
0
29
在均匀媒质中，得电位的基本方程
0
2
电源以外空间恒定电场的电位满足拉普拉斯 方程。 电源以外空间 （包括导电媒质） 的恒定电场是 由电荷产生的库仑场，空间电场也应满足高斯通 量定理
这电荷守恒原理的微分形式。
26
对于恒定电场，电荷的分布不随时间变化，
q 0, 0。 t t
得恒定电场的电流连续性方程
J 0
J dS 0
S
上式适合于电源和电 源以外恒定电场的任何区 域。电流连续即电流密度的散度为零，说明恒定电流 场是无散场，场内任一点不产生电流密度线，也不终 止电流密度线，即电流密度线处处连续。 27
电路第三章 恒定电场
1 2 ,1 2
图3-4 电流由电导率 大的媒质流入电导率小 的媒质
18
(3)边界条件的应用 在电力工程中，为了保证设备及人 身安全，必须设置专门的金属接地装置， 图(3-5)为简单的接地棒接地装置。若其 材料为钢，则其电导率约为5×106S/m， 如取地的土壤电导率为2×10-2S/m，当 钢中电流密度δ与交界面法线的交角α1 ＝89°59′时，得α2≈3′。由此可见， 当电流从电导率高的接地体流入电导率 低的土壤时，土壤中的电流密度线几乎 完全垂直于接地体表面，这时可以近似 图3-5 电流由导体 认为接地体表面为等位面。 流入土壤
恒定电场也是由电荷引起的。与静电场有所不同，这些电荷 对观察者来说是有相对运动的。它们虽在空间有宏观的运动，但 在导电媒质中的分布情况却是不随时间而改变的。也就是场域中 各处电流密度的分布是不随时间而改变的。
2
§3-1 导电媒质中的恒定电场、局外电场
1.电源
要在导线中维持恒定电流，必须 依靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电
11
单位长度上所消耗的功率
P P0 dV E dV
2 V V 2 2U 0 lnR2 R1
R2
R1
U0 R lnR R 2RdR 2 1
2
单位长度上的绝缘电阻
U 0 ln R2 R1 R0 I 2
（3-10）
24
于是，可由已知的电压U0求出I0
代入上式得到
2 1 2U 0 I0 R3 R2 2 ln 1 ln R1 R2
2 1 U 0 1 2 21 1n lnR R lnR R R 1 2 2 1 1 3 2 2 2
第三章 恒定电场
能转为电能的装置称为电源。
3.2.2 电源电动势 (Source EMF)
图2.2.1 恒定电流的形成
电源电动势是电源本身的特征量，与外电路无关。
局外场强
fe Ee q
f e －局外力
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第 三 章
恒定电场
总场强
E Ec Ee
J ( Ec Ee )
电源电动势
三种电流：
传导电流——电荷在导电媒质中的定向运动。 运动电流——带电粒子在真空中的定向运动。 位移电流——随时间变化的电场产生的假想电流。
定义：单位时间内通过某一横截面的电量。
dq I dt
A
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第 三 章
恒定电场
3.1.2 电流密度（Current Density)
1. 电流面密度 J 体电荷 以速度 v 作匀速运动形成的电流。 电流密度 电流
J dS 0
S
E dl 0
l
J 0
E 0
构成方程
J E
返 回 上 页 下 页
结论： 恒定电场是无源无旋场。
第 三 章
恒定电场
3.3.2 分界面的衔接条件（Boundary Conditions) 由
E dl 0
l
J dS 0
图2.1.5 J 与 E 之关系
简单证明： 对 J E 两边取面积分
左边 J dS I
S
S U U GU 右边 S E dS S dS l l 返 回 上 页 所以 U RI
下 页
第 三 章
恒定电场
3.1.4 焦尔定律的微分形式 (Differential Form of Joule’s Law) 导体有电流时，必伴随功率损耗，其功率体密度为
工程电磁场第三章恒定电场
第三章 恒定电场3.0 概述1 本章的主要内容(1) 导电媒质中的电流； (2) 电源电动势与局外电场；(3) 恒定电场的基本方程，分界面上的街接条件； (4) 导电媒质中恒定电场与静电场比拟； (5) 接地电阻和跨步电压2 恒定电场的知识结构图 (见PPT)3.1导电媒质中的恒定电场、局外电场一、导电媒质中的恒定电场恒定电场：由分布不随时间变化，但做恒定流动的电荷所产生的电场。
两种情况：1．导电媒质中的恒定电场2．通有恒定电流的导体周围电介质或空气中的恒定电场。
电场的性质只由净电荷密度的分布决定，而与电荷是否运动无关。
对恒定电流场和静电场，它们的场源电荷的密度都是不变的，所以，这两种场具有相同的性质，都满足相同的场源关系。
如库仑定律、高斯定理、E 的环路定理等，满足相同的边界条件，并且在相同的电位函数定义下，且有相同的电位方程。
如果恒定电流场的已知条件也是分布电荷密度ρ，那么静电场中的所有公式对恒定电流场都是成立的。
只要利用Eγδ=就可以得到相应的电流和功耗等其他量。
二、 局外场强与电动势局外场强（局外力设想为一等效场强） q FE e e =电动势 l d qF C l d E C e e⋅=⋅=⎰⎰+-+-11ε局外力将单位正电荷从电源-极搬移到电源+极所做的功。
e 与电荷数量即电流无关。
3.2 电流密度、欧姆定律、焦尔-楞次定律的微分形式1．电流密度失量（电流面密度矢量）I dtdq t q t ==∆∆→∆0lim电流强度 A 标量 对面而言 通量dS dIS I S =∆∆=→∆0lim δ 电流密度失量 A/m 2 点函数δ~某点（面元）单位时间内穿过的电荷量 穿过面S 上的电流 S d I S⋅=⎰δ电流场——电流线描述电流线密度矢量n e dl dI K = A/m2．欧姆定律的微分形式导电媒质中，由物理学知，每点的电流密度矢量 Eγδ=γ电导率 S/m 电荷的流动是电场作用的结果。
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E 0 E J 0
( 0)
E 0 E D 0
D E
J E
2 0
S
2 0
q D D dS
I
E1t E2t
D1n D2n
E1t E2t
J dS
S
J1n J 2n
2U 0
所以得到电位函数:
2U 0
U0
电场强度为:
式中
e 为
1 E grad e r 1 2U 0 2U 0 U 0 e e r r
方向单位矢量。
电流密度为:
2 U 0 J E e r
2.库仑电场 Eq
3.恒定电流场：是恒定电场作用 在导电媒质中所引起的电荷流动 的物理过程。 4.电源的电动势
图3-1 蓄电池内的电场
B
A
E0 dl
（3-2）
3.2 导电媒质中的电流 3.2.1电流强度－概念回顾
单位时间内通过某一横截面的电量，简称为电流。
I dq dt A
R2
E
U0
R2
R1
EdR
R ln 2 2 R1
J E
L
U0
R ln R2 R`1
R0
J ds
2
0
JRd
介质内电流密度
2 U 0 R ln 2 R`1
介质单位长度的电流
2 U R2 2 2 U 2 0 0 P E dV d dR V R1 0 R2 R ln R2 ln R`1 R`1 介质单位长度消耗的功率
1 1 d 2 d 2 r r r r r 2 d 2 dz 2
2
图3-8 例3-3图 由边界条件
0
直接积分得: C1 C2 时, U 0 时， 0 2
1 d 2 2 0 2 r d
可确定出待定常数为: C2 U 0 C1
表明 1 导体表面是一条电流线。
E2 n 0 E1n J1n
1
0
D2 n D1n 2 E 2n
表明 2
导体与理想介质分界面上必有恒定（动
态平衡下的）面电荷分布。
E1t E2t
表明 3 电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表面非等位面。 若 1 （理想导体），导体内部电场为零， 电流分布在导体表面，导体不损耗能量。 导体周围介质中的电场
两极板间还存在库仑电场，是有两 极板上的电荷激发的。
当局外电场大于库仑电场，局外电 场将从负极板推移正电荷至正极板。
若局外电场等于库仑电场，则保持 平衡。
图3-1a 蓄电池内的电场
导电媒质中的恒定电场
1.局外电场强度 E0
E0 lim
q0
F dF q dq
(3-1)
E2 E2t ex E2ne y
载流导体表面的电场
例3-2
同轴电缆其内导体外半径为R1，填充有两种非理想电介质，介质分界面的半径为
R2，它们的电容率分别为ε1和ε2 ，电导率分别为γ1和γ2，外导体的内半径为R3。 设内外导体间加电压U0，试求两介质中的电场强度及介质分界面的自由电荷密度。 解： 设介质内半径为R的单位长度的柱面上，流过的电流为I0
2 1 J1n 2 1
上式说明，媒质分界面上一般存在自由电荷，该电荷是建立恒定电流场 过程中积累在分界面处的。
c）
( 1 0) 媒质2是理想介质 ( 2 0) 情况。 媒质1是导体，
2 0 J2 0
J 2n J1n 0
J1
R2 R R3
2 1 U 0 1 2 21 J 1 n R3 R2 2 1 ln ln 2 1 R2 R1 R2
3.5 由基本方程出发
恒定电场的边值问题
E 0 E J 0 ( E) E 2 0
l
E dl 0
斯托克斯定理
( E ) dS 0
s
E 0
恒定电场是无旋场。
3. 恒定电场（电源外）的基本方程
s
J dS 0
J 0 E 0
J E
e
E dl 0
• 恒定电场是无源无旋场。
3.4 分界面的衔接条件
E dl 0 E1t E 2t L J dS 0 J1n J 2 n S
恒定电流的形成
例3.1 圆柱形电容器内导体的半径为R1，外导体的半径为R2，其间电介质并非理想的
绝缘介质，其电容率为ε，电导率为γ，若于内导体至外导体间施以恒定电压U0。 求单位长度上流过介质的电流及功率消耗。
解： 设内导体上单位长度的电荷为τ
E
2 R
R1
U0 R R ln 2 R`1
I
R2
通过薄钢片截面的电流:
I J dS பைடு நூலகம்
S
R1
2 U 0 2 U 0h R2 hdr ln r R1
因此电极之间的电阻:
课后作业：P93： 3-10 3-11
最后，代入已知数据求得数字解答:
3 60 10 2 5 106 4 103 ln 30 103 1.13 10 4
U0 R R2 I 2h ln R1
R
3.6 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟
3.6.1 静电比拟 实例：一面积为S 的平板电容器，如果两板间电压为U，就能够求 得其中的电场强度E，电位函数 ，电位移矢量D 以及极板电荷q的表 达式。
U
d
0
E dl Ed
E U d D E U d
表2 静电场 ( 0)
两种场对应物理量
E E
D J I
q
导电媒质中恒定电场（电源外）
两种场各物理量所满足的方程一样，若边界条件也相同，那么，通过 对一个场的求解或实验研究，利用对应量关系便可得到另一个场的解。
2
3.3 恒定电场的积分形式定理
1. J 的散度 电荷守恒定律
q SJ dS t
t
在恒定电场中 q 0
J dS 0
S
散度定理
J dV 0
V
J 0
2. E的旋度
电流连续性原理：恒定电场是一个无源场，电 流线是连续的。
取积分路径不经过电源
例3-3 厚度为h=4mm的薄钢片，其形状、尺寸、电极位置、电极上的电位 如图3-8所示，若钢的电导率为5×106S/m，R1=30mm， R2＝60mm，求电 极之间的电阻。 解 通过电位函数 满足拉普拉斯方程来求解。 坐标 若选用圆柱坐标系，可以看出 仅与 有关，而与r、z坐标无关，因此所满足的拉普 拉斯方程不含对r、z的偏导数项，简化为 ：
I 是通量,并不反映电流在每一点的流动情况。
3.2.2 恒定电场的基本物理量——电流密度
电流密度是一个矢量，在各向同性线性导电媒
质中，它与电场强度方向一致。 1.体电流密度
电荷在某一体积内流动所形成的电流。
J lim
电流
i di S 0 S ds
A m2
I J dS
S
2. 面电流密度 电荷在一个几何曲面上流动所形成的电流。 i di J s lim Am l 0 l dl 电流
I J1 0 2R I J2 0 2R
R1 R R2 R2 R R3
I0 2
E1 E2
2 1R 2 2 R I0
I0
R1 R R2 R2 R R3
I0 2 1 2U 0 R R 2 ln 2 1 ln 3 R1 R2
J E
常数
得
2 0
分界面衔接条件
拉普拉斯方程
1 2 1 1 2 2
n n
很多恒定电场问题的解决，都可以归结为一定条件下，求出拉普拉斯方程的解 答（边值问题）。无旋无源的场又称之为调和场。 恒定电场中是否存在泊松方程？ 要考虑局外电场存在的情况。
+τ
U 0 EdR
R1
R3
2 ln
R2 R 1 ln 3 R1 R2
1 2
E1
2U 0
R3 R2 ln ln 1 2 R R R 1 2
R1 R R2
, E2
1U 0
R3 R2 ln ln 1 2 R R R 1 2
U
d
0
E dl Ed
E U d J E U d
I J dS JS
s
d
x
E dl
I
US
d
图3-9 平板电容器电介质中 的电场
3.6 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟
3.6.2 静电与恒定电场的对应关系
表1 静电场 两种场所满足的基本方程和重要关系式 导电媒质中恒定电场（电源外）
恒定电场的知识结构框图
基本物理量
J
欧姆定律
J 的散度
基本方程
E 的旋度
边界条件
边值问题
电位
一般解法
电导与接地电阻
特殊解（静电比拟）
3.1 导电媒质中的恒定电场、局外电场 3.1.1恒定电场
( 0)
E 0 E D 0
D E
J E
2 0
S
2 0
q D D dS
I
E1t E2t
D1n D2n
E1t E2t
J dS
S
J1n J 2n
2U 0
所以得到电位函数:
2U 0
U0
电场强度为:
式中
e 为
1 E grad e r 1 2U 0 2U 0 U 0 e e r r
方向单位矢量。
电流密度为:
2 U 0 J E e r
2.库仑电场 Eq
3.恒定电流场：是恒定电场作用 在导电媒质中所引起的电荷流动 的物理过程。 4.电源的电动势
图3-1 蓄电池内的电场
B
A
E0 dl
（3-2）
3.2 导电媒质中的电流 3.2.1电流强度－概念回顾
单位时间内通过某一横截面的电量，简称为电流。
I dq dt A
R2
E
U0
R2
R1
EdR
R ln 2 2 R1
J E
L
U0
R ln R2 R`1
R0
J ds
2
0
JRd
介质内电流密度
2 U 0 R ln 2 R`1
介质单位长度的电流
2 U R2 2 2 U 2 0 0 P E dV d dR V R1 0 R2 R ln R2 ln R`1 R`1 介质单位长度消耗的功率
1 1 d 2 d 2 r r r r r 2 d 2 dz 2
2
图3-8 例3-3图 由边界条件
0
直接积分得: C1 C2 时, U 0 时， 0 2
1 d 2 2 0 2 r d
可确定出待定常数为: C2 U 0 C1
表明 1 导体表面是一条电流线。
E2 n 0 E1n J1n
1
0
D2 n D1n 2 E 2n
表明 2
导体与理想介质分界面上必有恒定（动
态平衡下的）面电荷分布。
E1t E2t
表明 3 电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表面非等位面。 若 1 （理想导体），导体内部电场为零， 电流分布在导体表面，导体不损耗能量。 导体周围介质中的电场
两极板间还存在库仑电场，是有两 极板上的电荷激发的。
当局外电场大于库仑电场，局外电 场将从负极板推移正电荷至正极板。
若局外电场等于库仑电场，则保持 平衡。
图3-1a 蓄电池内的电场
导电媒质中的恒定电场
1.局外电场强度 E0
E0 lim
q0
F dF q dq
(3-1)
E2 E2t ex E2ne y
载流导体表面的电场
例3-2
同轴电缆其内导体外半径为R1，填充有两种非理想电介质，介质分界面的半径为
R2，它们的电容率分别为ε1和ε2 ，电导率分别为γ1和γ2，外导体的内半径为R3。 设内外导体间加电压U0，试求两介质中的电场强度及介质分界面的自由电荷密度。 解： 设介质内半径为R的单位长度的柱面上，流过的电流为I0
2 1 J1n 2 1
上式说明，媒质分界面上一般存在自由电荷，该电荷是建立恒定电流场 过程中积累在分界面处的。
c）
( 1 0) 媒质2是理想介质 ( 2 0) 情况。 媒质1是导体，
2 0 J2 0
J 2n J1n 0
J1
R2 R R3
2 1 U 0 1 2 21 J 1 n R3 R2 2 1 ln ln 2 1 R2 R1 R2
3.5 由基本方程出发
恒定电场的边值问题
E 0 E J 0 ( E) E 2 0
l
E dl 0
斯托克斯定理
( E ) dS 0
s
E 0
恒定电场是无旋场。
3. 恒定电场（电源外）的基本方程
s
J dS 0
J 0 E 0
J E
e
E dl 0
• 恒定电场是无源无旋场。
3.4 分界面的衔接条件
E dl 0 E1t E 2t L J dS 0 J1n J 2 n S
恒定电流的形成
例3.1 圆柱形电容器内导体的半径为R1，外导体的半径为R2，其间电介质并非理想的
绝缘介质，其电容率为ε，电导率为γ，若于内导体至外导体间施以恒定电压U0。 求单位长度上流过介质的电流及功率消耗。
解： 设内导体上单位长度的电荷为τ
E
2 R
R1
U0 R R ln 2 R`1
I
R2
通过薄钢片截面的电流:
I J dS பைடு நூலகம்
S
R1
2 U 0 2 U 0h R2 hdr ln r R1
因此电极之间的电阻:
课后作业：P93： 3-10 3-11
最后，代入已知数据求得数字解答:
3 60 10 2 5 106 4 103 ln 30 103 1.13 10 4
U0 R R2 I 2h ln R1
R
3.6 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟
3.6.1 静电比拟 实例：一面积为S 的平板电容器，如果两板间电压为U，就能够求 得其中的电场强度E，电位函数 ，电位移矢量D 以及极板电荷q的表 达式。
U
d
0
E dl Ed
E U d D E U d
表2 静电场 ( 0)
两种场对应物理量
E E
D J I
q
导电媒质中恒定电场（电源外）
两种场各物理量所满足的方程一样，若边界条件也相同，那么，通过 对一个场的求解或实验研究，利用对应量关系便可得到另一个场的解。
2
3.3 恒定电场的积分形式定理
1. J 的散度 电荷守恒定律
q SJ dS t
t
在恒定电场中 q 0
J dS 0
S
散度定理
J dV 0
V
J 0
2. E的旋度
电流连续性原理：恒定电场是一个无源场，电 流线是连续的。
取积分路径不经过电源
例3-3 厚度为h=4mm的薄钢片，其形状、尺寸、电极位置、电极上的电位 如图3-8所示，若钢的电导率为5×106S/m，R1=30mm， R2＝60mm，求电 极之间的电阻。 解 通过电位函数 满足拉普拉斯方程来求解。 坐标 若选用圆柱坐标系，可以看出 仅与 有关，而与r、z坐标无关，因此所满足的拉普 拉斯方程不含对r、z的偏导数项，简化为 ：
I 是通量,并不反映电流在每一点的流动情况。
3.2.2 恒定电场的基本物理量——电流密度
电流密度是一个矢量，在各向同性线性导电媒
质中，它与电场强度方向一致。 1.体电流密度
电荷在某一体积内流动所形成的电流。
J lim
电流
i di S 0 S ds
A m2
I J dS
S
2. 面电流密度 电荷在一个几何曲面上流动所形成的电流。 i di J s lim Am l 0 l dl 电流
I J1 0 2R I J2 0 2R
R1 R R2 R2 R R3
I0 2
E1 E2
2 1R 2 2 R I0
I0
R1 R R2 R2 R R3
I0 2 1 2U 0 R R 2 ln 2 1 ln 3 R1 R2
J E
常数
得
2 0
分界面衔接条件
拉普拉斯方程
1 2 1 1 2 2
n n
很多恒定电场问题的解决，都可以归结为一定条件下，求出拉普拉斯方程的解 答（边值问题）。无旋无源的场又称之为调和场。 恒定电场中是否存在泊松方程？ 要考虑局外电场存在的情况。
+τ
U 0 EdR
R1
R3
2 ln
R2 R 1 ln 3 R1 R2
1 2
E1
2U 0
R3 R2 ln ln 1 2 R R R 1 2
R1 R R2
, E2
1U 0
R3 R2 ln ln 1 2 R R R 1 2
U
d
0
E dl Ed
E U d J E U d
I J dS JS
s
d
x
E dl
I
US
d
图3-9 平板电容器电介质中 的电场
3.6 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟
3.6.2 静电与恒定电场的对应关系
表1 静电场 两种场所满足的基本方程和重要关系式 导电媒质中恒定电场（电源外）
恒定电场的知识结构框图
基本物理量
J
欧姆定律
J 的散度
基本方程
E 的旋度
边界条件
边值问题
电位
一般解法
电导与接地电阻
特殊解（静电比拟）
3.1 导电媒质中的恒定电场、局外电场 3.1.1恒定电场