对称性分岔理论基础(唐云著)思维导图
图形推理考试知识点大全(含思维导图)
图形推理第一节平面规律推理概述题目特征：题干给出若干个图形，要求考生通过观察找出图形之间排列的规律，选出符合规律的一项。
解题思维：（1）观察给出图形构成的特点；（2）根据特点总结图形间的规律；（3）根据规律结合选项推出答案。
确定图形构成的特点是解答图形推理的起点，具体如下：（1）图形组成元素相同，一般考查位置规律；（2）图形组成元素相似，一般考查样式规律；（3）图形组成元素不同，一般考查属性、数量及其他特殊规律。
第二节位置规律位置规律是图形推理的一个高频命题规律。
题型特征：图形元素组成完全相同常考的位置规律有三种：平移、旋转、翻转考点一：平移平移是指图形中的某一个或几个元素沿特定方向进行规律移动。
常见考法：（1）平移方向。
①直线方向：上下平移、左右平移②时针方向：顺时针平移、逆时针平移（2）平移的步长（移动几格）：恒定、递增（递减）提示：遇到平移问题，一般先判断平移的方向（怎么走），后判断平移的步长（走几步）。
考点二：旋转旋转是指图形在平面上按特定规律进行转动。
常见考法：（1）旋转的方向（怎么转）：顺时针旋转、逆时针旋转。
（2）旋转的角度（转几度）：恒定、规律变化。
考点三：翻转翻转是指图形仅痛殴平面转动无法变化得到，必须经过类似于"翻书"的动作才能得到。
常见考法：（1）翻转的方向（怎么翻）：关于横轴（x轴）进行上下翻转，或关于纵轴（y轴）进行左右翻转，或关于自身对称轴进行自身对折。
（2）翻转和旋转的区分：利用"时针法"进行判断。
第三节样式规律样式规律是图形推理的一个高频命题规律。
题型特征：图形元素组成相似，优先考虑样式规律。
常见考点：样式遍历、加减同异、黑白运算考点一：样式遍历通俗地说，遍历就是缺什么补什么，首先要求构成图形的元素在一定范围内都要出现，在此基础上要求元素出现的次数相同。
常见考法：（1）整体遍历（2）部分遍历考点二：加减同异加减同异是指两个图形经过相互加、减、去异存同、去同存异得到一个新图形。
固体物理第二章第二节 对称性和布拉维格子的分类
本节主要内容: 一、群的知识简介 二、点群和七个晶系 三、空间群和14种布拉维格子 四、点群对称性和晶体的物理性质
§2.2 对称性和布拉维格子的分类
布拉维格子是按其对称性(symmetry)来分类的：
所谓对称性是指在一定的几何操作下，物体 保持不变的特性。
对称性在物理学中是一个非常重要的概念， 它可使复杂物理现象的描述变得简单、明了。 因为对称性的本质是指系统中的一些要素是等 价的。对称性越高的系统，需要独立表征的系 统要素就越少，因而描述起来就越简单。
a31 a32 a33 0 0 1
A 1
还有：以z=0作为镜面，则有：
x x
y
y
z z
a11 a12 a13 1 0 0 Aa21 a22 a230 1 0
a31 a32 a33 0 0 1
A 1
由上可以看出，当变换是纯转动时，矩阵的行 列式等于+1；当是空间反演或镜面反射时等于1.前一种对应物体的实际运动，另一种不能靠物 体的实际运动来实现。
O
四个3次轴、三个4次轴，按八面体型分布
熊 为了表明对称面相对于旋转轴的位置，还有如下附加指标： 夫 下角标h(水平)表示垂直于旋转轴 利 符 下角标v(铅直)表示平行于旋转轴 号
下角标d(对角)表示平行于主轴且平分2次轴之间的夹角
国际符号
国际符号以不超过三个几何上的从优方向 来描述晶体的对称类型，这些方向或平行于对 称轴或垂直于对称面
我们这里要讨论的主要是晶格(或点阵)的对 称性(symmetry of lattice).
在晶格这个物理系统中，一种对称性是指某些 要素互相等价，而用来描述晶格的要素，无非就 是：点、线、面。而保持这些要素等价的操作---对称操作有三种：平移、旋转、镜反射。假设 在某一个操作过后，点阵保持不变，也就是每个 格点的位置都得到重复，那么这个相应的平移、 旋转或镜反射操作就叫作一个点阵对称操作。其 中的点、线、面分别叫做对称中心、对称轴、对 称面----称为对称元素
结构化学－分子的对称性
第三章分子的对称性3.1 对称操作与对称元素3.2分子点群3.3 分子的对称性和分子的物理性质对称在自然界中普遍存在。
北京天坛北京地坛在化学中，我们研究的分子、晶体等也有各种对称性。
有时会感觉这个分子对称性比那个分子高（如HF、H2O、NH3、CH4 、PF5 、SF6）。
如何表达、衡量各种对称？数学中定义了对称元素来描述这些对称。
3.1 对称操作与对称元素•对称操作：是指不改变物体内部任何两点间的距离而使物体复原或与原分子等价的操作。
•对称元素：对称操作所依据的几何元素。
•对称元素与对称操作紧密联系又有区别。
•点操作：对于分子等有限物体，在进行操作时，物体中至少有一点是不动的，这种对称操作叫点操作。
点对称操作和相应的点对称元素旋转反映操作旋映轴S n反演操作对称中心I 反映操作对称面σ旋转操作对称轴（真轴）C n 恒等操作恒等元素E对称操作对称元素符号分子中若存在一条轴线，绕此轴旋转一定角度能使分子复原或与原分子等价，就称此轴为旋转轴，符号为C n 。
1. 对称轴C n和旋转操作旋转轴的性质C n 旋转轴能生成n 个旋转操作，记为：EC C C C C C n n n n n n n n ˆˆ,ˆ,,ˆ,ˆ,ˆˆ1321=⋅⋅⋅=−m n m n b a nb n a n C C C C C ˆˆˆˆˆ22==⋅+•基转角：和C n 轴相应的基本旋转操作为Ĉn 1，它为绕轴转360˚/n 的操作，该旋转角度为基转角。
旋转角度按逆时针方向计算。
C n 旋转轴有如下性质：分子中若有多个旋转轴，轴次最高的轴一般叫主轴，其它的叫副轴。
通常将主轴取笛卡尔坐标的z轴。
旋转可以实际进行，旋转轴称为真轴。
分子中若存在一个平面，将分子两半部分互相反映而能使分子与原分子等价，则该平面就是对称面σ（镜面），这种操作就是反映。
=为奇数）（为偶数）n n E nσσˆ(ˆˆ2.对称面σ和反映操作和主轴垂直的镜面以σh 表示；通过主轴的镜面以σv 表示；通过主轴，平分副轴夹角的镜面以σd 表示。
04分子对称性精品PPT课件
y
p
s s ˆ x C ˆ z 4 ,z x ,y ,z ˆ x y z ,x ,z y ,x ,z
x
s s ˆ x C ˆ z 4 ,z x ,y ,z ˆ x y z ,x ,z y ,x ,z
记为 Cˆ n ；相应地，旋转轴也称为真轴，记为 Cn 。
H2O2 中的 C2
能使图形复原所必须转动的最小角度（ 0o 除外 ），称
为基转角 a 。
对称轴的轴次： n 360 α
一个 n 重对称轴包含 n 个对称操作，可表示为：
C n (C ˆn 1 ,C ˆn 2 , ,C ˆn i, ,C ˆn n E )
4.1 生活中的对称性
生 物 界 的 对 称 性
立方 ZnS 型晶体模型 NaCl 型晶体模型
B6H6
B5H9
4.2 对称操作与对称元素
我们在谈论生活中的对称性时，更多的是定性的，和 出于美感的。然而，当我们开始讨论分子的对称性时，必 须对分子对称性的含义具有明确的概念。
使对称概念严格、系统化，是从引进，并明确“对称 操作”的基本概念开始的。
但这些特殊的例子能够帮助我们理解对称元素的组合原如果存在n次旋转轴c垂直的二次旋转轴c轴与轴的组合bf432对称元素组合原理22n的二个二次旋转轴c决定的平面的垂直方向上过交点有一个n次旋转一个具体的例子是我们刚刚证明了
第四章 分子对称性
目录
4.1 生活中的对称性 4.2 对称操作与对称元素 4.3 对称元素组合原理 4.4 对称性与分子的偶极矩、旋光性 4.5 分子点群
可以证明，分子或有限图形所具有的所有可能的对称类 型只有 5 种：E，Cn，s，i，Sn(In) 。
(03) 第三章 分子对称性与群论初步PPT课件
如果一个操作产生的结果和两个或多个其它操作连续作用的结果 相同，通常称这一操作为其它操作的乘积。
若 A ˆB ˆC ˆ，则 C ˆ为 称 A ˆB ˆ的乘积。 若A ˆBˆ BˆA ˆ， 则A ˆ和 称Bˆ是 可 交 换 的 。
例如H2O的对称操作。
21
E,C2,v(x)z,v(y)z E ˆC ˆ2C ˆ2E ˆC ˆ2
对应的两个原子和中心点同在一条直线上，且到中心点的距离相
iˆ 等，这一点就是对称中心i,这种操作就是反演
.
反式二氯二溴乙烷
14
H
H
Cl H
CC
Cl
HH
H Cl
Cl Pt Cl
H
Cl
FF B
O
HH F
H
iˆ2n ˆ
iˆ2n1 iˆ
15
(5)象转轴Sn与旋转反映操Sˆ作n Sˆ n
如果图形绕轴旋转一定角度后，再作垂直此轴的镜面反映， 可以产生分子的等价图形。则将该轴和镜面组合所得到的对称 元素称为象转轴。
映 .ˆ
11
按和主轴的关系对称面可分为： V面：包含主轴； h面：垂直于主轴； d面：包含主轴，且平分两个相邻的C2轴的夹角。
12
PtCl4
ˆ2n Eˆ
ˆ2n1 ˆ
13
(4) 对称中心i与反演操作 iˆ
分子中若存在一个中心点,对于分子中任何一个原子来说，
在中心点的另一侧，必能找到一个和它相对应的同类原子，互相
4
C
1 4
3
4 3
1
4
2
2 1
h
2 1
4 3
18
Sˆ nk
ˆ h
Cˆ
k n
第十二章分子的对称性课件 33页PPT文档
C2垂直于荧光屏, σh 在荧光屏上
若n为偶数,Cn轴也是C2轴,属于Cnh的分子有对称中心
C3h 群
R
R
C3垂直于荧光屏, σh 在荧光屏上
R
Cnv群：分子有一个Cn轴和n个竖直的对称面（通过Cn轴）
H2O中的C2和两个σv
C3v ：NF3
有一个Cn轴和n个C2的群:包括Dn、Dnh、Dnd
(2) 甲烷具有S4，且只有 C2与S4共轴，但C4和与之垂 直的σ并不独立存在.
CH4中的映轴S4与旋转反映操作
• 注意: C4和与之垂直的σ都不独立存在
如果一物体有一Cn轴，并且有一对称面垂 直于此轴，则此轴Cn也是一个Sn轴。
S1
任何对称面都有一个垂直于它的S1轴
S2 i
F2
F3 F1
(a)
F2
(b)
分子中的四类对称操作 及相应的对称元素如下:
转 120 o
（1）n重对称轴与对称操作
物体有1个轴线，绕此轴旋转2Π/n弧度给出与原来位
置在物理上不可分辨的构型，就称此轴为n重对称轴, 符
号为Cn . 其操作为
Cn
180°
F1
F1
C2
B
B
F2
C2
F3 F3
F2
（2）对称面与反映操作
任何通过对称中心的轴是一个S2轴
对称面
v 面：包含主轴
h 面：垂直于主轴 d 面：包含主轴且平分相邻Cn2轴夹角
两个或多个对 称操作的乘积 必定也是一个 对称操作
例如,先作二重 旋转，再对垂 直于该轴的镜 面作反映，等 于对轴与镜面 的交点作反演.
分岔ppt
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4 霍夫型分岔
数学模型
dx
dt dy
y x[ (x2 x y[ (x2
y 2 )] y 2 )]
dt
引入极坐标
x2 y2
x cos
y
sin
求导
d
dt
(
2 )
d 1
dt
代入原方程
令正弦余弦系数 相等
dx ddyt
d
dt
d
cos cos
sin cos
2 转换键型分岔
相流
由分岔图可见，μ＜0或μ＞0都是一对鞍–结点： μ＜0时，x0=0 轴线是结点，x0= 是不稳定的； μ＞0时，x0=0 的轴线是不稳定的，x0= 是稳定结点。 由鞍点与稳定结点附近的相轨线流向，转换键型分岔的相流形 状如下图。
3 叉式分岔
数学模型
利用方程： dx x x3
二、从此点作水平线与对角线 相交，此交点横坐标即为x1；
三、再由此点作竖直线，得到 与抛物线相交时的高度x2，再 将x2移植到对角线上，找到横 坐标x2。从这里作竖直线与抛 物线相交得x3，如此反复······
1.平方映射
作图计算
平方映射 x n1 x n (1 x n ) 在 x n1 ~ x n 平面上是一条
分叉理论和方法
分叉理论和方法对于含参数的系统，当参数变化并经过某些临界值时，系统的定性性态（如平衡态和或周期运动的数目和稳定性等）会发生突然变化，这种变化称为分叉。
分叉是重要非线性现象，与其它非线性现象（如混沌、突变、分形、拟序结构等）紧密相关。
主要研究：（a）相空间中轨线的集合；（b）控制参数空间中分叉集的性态。
分叉包括两类：（a）静态分叉：讨论平衡态数目和稳定性的变化，常见有：极限点分叉（鞍结分叉）、叉形分叉、跨临界分叉、滞后分叉、孤立点分叉等；（b）动态分叉：讨论系统在相空间中轨线拓扑结构的变化，常见有：Hopf分叉、次谐和超谐分叉、概（准）周期分叉（不变环面分叉）、同异宿轨线分叉等。
分叉问题起源于力学失稳现象的研究。
18世纪中叶，D.Bernoulli和L.Euler等人研究了杆件在纵向压力下的屈曲问题。
1834年C.G.J.Jacobi在研究自引力介质的椭球形旋转液体星的平衡图形时，首次引进“分叉”术语。
1885年，Poincare提出旋转液体星平衡图形演化过程的分叉理论。
1883年，O.Reynods发现在临界雷诺数时层流转变为湍流的现象，从此开创了流动稳定性的研究。
本世纪20年代，van der Pol 和安德罗诺夫等在非线性振动研究中即已发现大量分叉现象。
本世纪70年代形成分叉的数学理论和方法。
分叉揭示系统不同运动状态之间的联系和转化，且与失稳和混沌密切相关，是非线性动力学重要组成部分。
主要应用于：非线性振动、结构力学、流体力学、非线性波、飞行器动力学、机器人动力学、化学动力学、控制、非线性电学、非线性光学、生态学、经济学、交通动力学、转子动力学等等。
主要研究方法有：(1) 奇异性方法奇异性研究可微映射的退化性和分类，首先将分叉问题化为较简单的GS范式进行识别和分类，再通过“普适开折”得到一般扰动下可能出现的所有分叉性态，随后讨论分叉图的保持性和转迁集等。
可以处理：静态分叉、Hopf分叉和退化Hopf分叉。