二元函数的全微分
证明全微分的二阶偏导数先后顺序相同
证明全微分的二阶偏导数先后顺序相同全微分是微积分中一个非常重要的概念，它描述了一个函数在某一点附近的变化情况。
对于一个二元函数，其全微分可以表示为：df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示函数f对变量x和y的偏导数，dx 和dy分别表示x和y的变化量。
那么，我们可以推导出全微分的二阶偏导数先后顺序相同的结论。
假设f(x, y)是一个二元函数，我们先对x进行微分，然后再对y进行微分。
按照全微分的定义，我们可以得到：df = ∂f/∂x * dx + (∂f/∂y * dx) * dy接下来，我们再对y进行微分，可以得到：d(df) = d(∂f/∂x * dx + (∂f/∂y * dx) * dy)= (∂²f/∂x² * dx + (∂²f/∂x∂y * dx) * dy) * dx + (∂f/∂x * dx + (∂f/∂y * dx) * dy) * dy= (∂²f/∂x² * dx² + 2∂²f/∂x∂y * dx * dy + ∂²f/∂y² * dy²) * dx + (∂f/∂x * dx + (∂f/∂y * dx) * dy) * dy通过比较上述推导的结果，我们可以发现，全微分的二阶偏导数先后顺序相同，即：∂²f/∂x² = (∂²f/∂x² * dx² + 2∂²f/∂x∂y * dx * dy + ∂²f/∂y² * dy²) / dx²∂²f/∂y² = (∂²f/∂x² * dx² + 2∂²f/∂x∂y * dx * dy + ∂²f/∂y² * dy²) / dy²由于dx和dy是无关的变量，我们可以得出结论：全微分的二阶偏导数先后顺序相同。
二元函数连续偏导数和全微分之间的关系
二元函数连续偏导数和全微分之间的关系连续偏导数和全微分是微积分中非常重要的概念，它们在数学和物理学中都有着广泛的应用。
二元函数是指一个包含两个自变量的函数，可以用来描述二维空间中的各种变化规律。
而连续偏导数和全微分则是用来描述函数的变化率和微小变化的工具，它们之间存在着密切的关系。
我们来介绍一下连续偏导数的概念。
对于一个二元函数f(x, y)，其偏导数表示其在某一方向上的变化率。
偏导数有两种常见的形式，一种是以x为自变量，y为常数的偏导数，用∂f/∂x表示；另一种是以y为自变量，x为常数的偏导数，用∂f/∂y表示。
偏导数的计算方法与求解一元函数的导数类似，只不过需要保持另一变量为常数。
如果一个函数在某一点处的偏导数存在且连续，那么我们称该函数在该点处是可微的，其偏导数就是全微分。
接下来，我们来介绍全微分的概念。
对于一个二元函数f(x, y)，其全微分df表示f 的微小变化量。
全微分df可以用其偏导数来表示，即df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy，其中dx和dy分别表示x和y的微小变化量。
全微分可以用来描述函数在任意点上的微小变化，从而可以通过积分来求解函数在某一区间上的变化量。
现在，我们来探讨连续偏导数和全微分之间的关系。
对于一个可微的二元函数f(x, y)，如果其在某一点处的偏导数存在且连续，那么在该点处就有全微分，且全微分与偏导数之间存在着紧密的联系。
具体来说，如果一个函数在某一点处有全微分，那么它在该点处的偏导数必定存在，且满足如下的关系式：df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy根据全微分的定义，我们还可以将全微分表示为函数f的一阶近似，即：这表明全微分可以被视为函数在某一点处的线性近似，从而可以用来描述函数在该点处的微小变化。
如果函数在某一点处是可微的，那么它在该点处的微小变化可以被全微分来描述，全微分与偏导数之间的关系有助于我们理解函数的变化规律。
二元函数的全微分求积
在D上具有一阶连续偏导数,则有(Qx
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
其中L是D的取正向的边界曲线 D
简要证明
仅就D即是X－型又是Y－型的情形进行证明
设D{(x y)|1(x) y 2,a x b }
因为 P y
连续 所以由二重积分的计算法有
D
为
u(x, y)
(x,y) xdy ydx (1, 0) x2 y2
0
y xdy 0 x2 y2
arc tan
y x
例7 验证 在整个xOy面内 xy^2dx+x^2ydy是某个函数的全微分
并求出一个这样的函数
解 这里P=xy^2,Q=x^2y因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续
L
xdy x2
ydx y2
0
当(0，0)属于D时，在D内取一圆周
L.x^2+y^2=r^2(r>0)
由L及l围成了一个复连通区域D 1 应用格林公式得
L
xdy ydx x2 y2
l
xdy x2
ydx y2
0,c于是
L
xdy
x2
ydx y2
xdy ydx l x2 y2
证明 L2xydx x2dy 0
证
令P=2xy
Q=x^2，则
因此 Q
x
P y
2x
2x
0
由格林公式有
L 2xydx x2dy 0dxdy 0 D
例3 计算 e y2 dxdy其中D是以O(0,0)A(1,1)B(0,1)为顶点的三
二元函数的全微分
讲授
2
2
16
10-2数项级数的审敛法（二）
10-3幂级数
讲练
讲授
2
2
17
10-3幂级数的性质
10-4函数的幂级数展开（一）
讲练
讲授
2
2
18
10-4函数的幂级数展开（二）
第10章 习 题 课
讲练
讲练
2
2
19
总复习
辅导答疑
4
20
期末考试
教师签字教研室主任签字
系部主任签字
烟台职业学院
课程教学进度计划表
11
9-3二元函数的全微分
9-4二元复合函数求导法则
讲练
讲练
２
2
12
9-4二元隐函数求导法则
9-5二元函数的极值(9.5.1)
讲授
讲练
2
2
13
9-6二重积分的概念与性质
9-7二重积分的计算(利用直角坐标)
讲练
讲练
２
2
14
第9章 习 题 课
10-1数项级数的概念
讲练
讲练
2
2
15
10-1数项级数的性质
10-2数项级数的审敛法（一）
讲练
4
9
运动会“五一”节
10
9-2偏导数
9-2偏导数(续)
讲练
讲授
2
2
说明
1．本表由任课教师根据课程教学大纲的要求，在开课前填写，一式三份，经教研室主任签字、系部主任审批后，系部、教研室和任课教师各一份。
2．认真填写下列内容
周数17周课时4课时
课堂讲授课堂讨论４课时
实习课实训课
二元函数连续偏导数和全微分之间的关系
二元函数连续偏导数和全微分之间的关系在数学分析中，函数的全微分是指在一点上所有偏导数的线性组合。
而连续偏导数则表示在某一点上偏导数的存在性和连续性。
在二元函数的情况下，函数在平面上有两个自变量，即有两个方向可导。
那么，在二元函数中，连续偏导数和全微分之间有什么关系呢？我们首先来看一下什么是二元函数。
二元函数是指有两个自变量的函数，通常用符号$f(x,y)$来表示。
在平面上，二元函数可以用一个三维坐标系来表示。
三维坐标系中，$(x,y,f(x,y))$构成了一个三维空间中的点，表示了平面上的一个点和该点处的函数值。
一般来说，二元函数在平面上的图像是一个曲面。
当我们需要对二元函数$f(x,y)$求出函数在某一点$(x_0,y_0)$的全微分时，我们可以使用以下公式：$$df = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)dx + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)dy$$接下来，我们来介绍一下连续偏导数的概念。
对于一个连续可导的二元函数$f(x,y)$，如果该函数在某一点$(x_0,y_0)$的偏导数存在，而且偏导数在该点附近是连续的，那么我们就称该函数在该点处具有连续偏导数。
方向导数是指函数$f(x,y)$在某一点$(x_0,y_0)$处沿着某一方向上的变化率。
在二元函数中，函数的方向有两个，即沿着$x$轴方向和沿着$y$轴方向。
如果我们分别计算函数$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$处沿着$x$轴方向和$y$轴方向的方向导数，那么此时该函数在$(x_0,y_0)$处的全微分就等于这两个方向导数的线性组合。
具体来说，如果函数在$(x_0,y_0)$处具有连续偏导数，那么该点处的全微分就可以用以下公式表示：其中，$u$和$v$分别表示函数沿着$x$轴和$y$轴方向上的自变量$u=x-x_0$和$v=y-y_0$。
$du$和$dv$分别表示自变量$u$和$v$在$(x_0,y_0)$处的微小增量，即$du=dx$和$dv=dy$。
隐函数所确定的二元函数在某点的全微分
一、隐函数的概念隐函数是指由一个或多个变量的函数方程来表示的函数，其中一个或多个变量的函数值不是显式给出的，而是由函数方程隐含确定。
在微积分中，隐函数常常和多元函数一起讨论，尤其是二元函数的情况。
隐函数的存在与否和对应的全微分问题是微积分中的重要问题之一。
二、二元函数的全微分全微分是微分学中的一个重要概念，它表示一个函数在某一点的线性近似。
对于二元函数而言，全微分的概念是指在给定点(x0, y0)处，函数z = f(x, y)的微分。
全微分可以表示为dz = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy。
在实际应用中，全微分对于描述多变量函数的变化率和近似计算非常重要。
三、隐函数所确定的二元函数在某点的全微分在微积分中，当一个隐函数所确定的二元函数在某一点具有连续的偏导数时，该点附近的函数近似可以使用全微分来表示。
具体地，设有方程F(x, y) = 0确定一个隐函数y = f(x)，如果该函数在点(x0, y0)处具有连续的偏导数，即F(x0, y0) = 0且F对x、y的偏导数存在且连续，则在该点附近，隐函数所确定的二元函数在该点的全微分可以表示为dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy，其中z = f(x, y)。
四、深度解析对于隐函数所确定的二元函数在某点的全微分问题，需要进行深入的数学分析。
需要使用偏导数的概念来表示隐函数的导数。
需要利用隐函数定理来确定隐函数的存在性和可微性，进而确定全微分的存在性。
需要利用全微分的概念来描述隐函数在某点的局部近似行为。
通过这一深入解析，可以更好地理解隐函数的性质和全微分的作用。
五、个人观点在我看来，隐函数和全微分是微积分中非常有趣且重要的概念。
隐函数的存在与否关系到多元函数的表示和理解，而全微分则可以帮助我们更好地理解函数在某一点的局部变化。
对于隐函数所确定的二元函数在某点的全微分问题，我认为深入理解其数学原理并进行具体的应用是非常有益的。
二元函数连续偏导数和全微分之间的关系
二元函数连续偏导数和全微分之间的关系假设有一个二元函数f(x,y)，其中x和y分别是自变量。
函数f(x,y)的偏导数表示了函数在某一点沿着x轴或y轴方向的变化率。
偏导数可以分为两种情况，分别是对x求偏导数和对y求偏导数，分别记作∂f/∂x和∂f/∂y。
先来看一下对于一元函数的情况，假设有一个函数y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量。
在微积分中，我们知道，函数f(x)在某一点a处的局部线性近似可以用一个一阶泰勒展开式表示：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)其中f'(a)表示f(x)在点a处的导数。
这个近似式表示了函数f(x)在点a处的值和x 的变化之间的关系。
当x接近于a时，这个近似式逐渐接近于f(x)的实际值。
对于二元函数f(x,y)，我们可以类似地定义一个与一元函数的情况类似的近似式。
这个近似式被称为全微分(differential)，表示了函数f(x,y)在某一点(a,b)处的值和自变量x和y的变化之间的关系。
全微分表示为：df=f_x dx+f_y dy其中f_x表示f(x,y)对x的偏导数，f_y表示f(x,y)对y的偏导数，dx和dy分别表示x和y的变化量。
全微分表示了函数f(x,y)在点(a,b)处的值和自变量x和y的微小变化之间的关系。
当我们需要考虑自变量同时发生微小变化时，全微分可以帮助我们计算出函数f(x,y)的实际变化量。
根据全微分的定义，我们可以得出以下结论：1. 如果函数f(x,y)在点(a,b)处可微分，则在该点的偏导数存在且连续。
2. 如果函数f(x,y)的偏导数在点(a,b)处存在且连续，则函数在该点可微分。
这个结论告诉我们，二元函数的可微分性与其偏导数的连续性密切相关。
当函数在某一点可微分时，其偏导数存在且连续；反之，若函数的偏导数在某一点存在且连续，则函数在该点可微分。
全微分也可以用来估计函数在某一点的变化量。
假设有一个函数f(x,y)，在某一点(a,b)附近，x和y发生微小变化dx和dy。
5.2 二元函数的偏导数与全微分ppt课件
z ， f ， x x x0 x x x0
f
x
(
x0
,
y0
)
或Байду номын сангаас
Z
x
(
x0
,
y0
)
y y0
y y0
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0, y0 )处对 y
的偏导数， 为
lim f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 )
y0
y
记为 z y
， f x x0 y
，
x x0
f
y
(
x0
定理 3（可微的必要条件） 如果函数z f (x, y) 在点(x, y)可微分，则该函数在点(x, y)的偏导数 z 、 z 必存在，且函数z f (x, y)在点(x, y)的全 x y 微分为
dz z x z y． x y
最新课件
上页 下页 返回 22
§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例3 求 r x2y2z2 的偏导数 .
解 r
2x
x
x 2 x2 y2 z2 r
r y , y r
r z .
z r最新课件
上页 下页 返回 7
§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例4 已知理想气体的状态方程 pVRT
(R 为常数) , 求证:
p V T 1 V T p
证 p RT , V
y 2u 2(x2( x2 y 2)y 2)y2 2y(x x 2 2 y y2 2 )2.
2u 2u x2 y2 最0新. 课件
上页 下页 返回 17
§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例8 证明函数 u1,r x2y2z2满足 r
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4
9
运动会“五一”节
10
9-2偏导数
9-2偏导数(续)
讲练
讲授
2
2
说明
1．本表由任课教师根据课程教学大纲的要求，在开课前填写，一式三份，经教研室主任签字、系部主任审批后，系部、教研室和任课教师各一份。
2．认真填写下列内容
周数17周课时4课时
课堂讲授课堂讨论４课时
实习课实训课
习题课8课时测验
总计68课时
（2007—2008学年第二学期）
专业
年级07（对口）
课程应用高等数学
教师
二00八年三月六日
周
次
授课内容
（填写清楚章节及题目）
授课形式
课时
其他
1
6—1定积分的概念
6—2定积分的性质
讲练
讲练
2
2
2
6—3牛顿—莱布尼兹公式法
6—4定积分的换元积分法
讲练
讲授
2
2
3
6—4定积分的分部积分法
6-5广义积分（无穷区间上的广义积分）
讲授
讲授
2
2
4பைடு நூலகம்
6-6定积分的应用(平面图形的面积)
第6章 习 题 课
讲授
讲练
2
2
5
值周
6
7-1微分方程基本概念
7-2一阶微分方程（删齐次）
讲授
讲练
2
2
7
7-3可降阶的高阶微分方程(7.3.1, 7.3.2)
7-4二阶常系数齐次线性微分方程
讲练
讲练
2
2
8
第7章 习 题 课
9-1二元函数的概念（9.1.2）
讲授
讲授
2
2
16
10-2数项级数的审敛法（二）
10-3幂级数
讲练
讲授
2
2
17
10-3幂级数的性质
10-4函数的幂级数展开（一）
讲练
讲授
2
2
18
10-4函数的幂级数展开（二）
第10章 习 题 课
讲练
讲练
2
2
19
总复习
辅导答疑
4
20
期末考试
教师签字教研室主任签字
系部主任签字
烟台职业学院
课程教学进度计划表
11
9-3二元函数的全微分
9-4二元复合函数求导法则
讲练
讲练
２
2
12
9-4二元隐函数求导法则
9-5二元函数的极值(9.5.1)
讲授
讲练
2
2
13
9-6二重积分的概念与性质
9-7二重积分的计算(利用直角坐标)
讲练
讲练
２
2
14
第9章 习 题 课
10-1数项级数的概念
讲练
讲练
2
2
15
10-1数项级数的性质
10-2数项级数的审敛法（一）