1浮点数表示及运算
浮点数1
浮点数在计算机中用以近似表示任意某个实数。
具体的说，这个实数由一个整数或定点数（即尾数）乘以某个基数（计算机中通常是2）的整数次幂得到，这种表示方法类似于基数为10的科学记数法。
浮点计算是指浮点数参与的运算，这种运算通常伴随着因为无法精确表示而进行的近似或舍入。
一个浮点数a由两个数m和e来表示：a = m × be。
在任意一个这样的系统中，我们选择一个基数b（记数系统的基）和精度p（即使用多少位来存储）。
m（即尾数）是形如±d.ddd...ddd的p位数（每一位是一个介于0到b-1之间的整数，包括0和b-1）。
如果m的第一位是非0整数，m称作规格化的。
有一些描述使用一个单独的符号位（s 代表+或者-）来表示正负，这样m必须是正的。
e是指数。
这种设计可以在某个固定长度的存储空间内表示定点数无法表示的更大范围的数。
例如，一个指数范围为±4的4位十进制浮点数可以用来表示43210，4.321或0.0004321，但是没有足够的精度来表示432.123和43212.3（必须近似为432.1和43210）。
当然，实际使用的位数通常远大于4。
此外，浮点数表示法通常还包括一些特别的数值：+∞和−∞（正负无穷大）以及NaN（'Not a Number'）。
无穷大用于数太大而无法表示的时候，NaN则指示非法操作或者无法定义的结果。
大部份计算机采用二进制（b=2）的表示方法。
位(bit)是衡量浮点数所需存储空间的单位，通常为32位或64位，分别被叫作单精度和双精度。
有一些计算机提供更大的浮点数，例如英特尔公司的浮点运算单元Intel8087协处理器（以及其被集成进x86处理器中的后代产品）提供80位长的浮点数，用于存储浮点运算的中间结果。
还有一些系统提供128位的浮点数浮点数的表示在实际应用中，往往会使用实数，例如下面的一些十进制实数：179.2356=0.1792356x10^30.000000001=0.1x10^83155760000=0.215576x10^6很明显，上述第一个数既有整数也有小数，不能用定点数格式化直接表示，后两个数则可能超出了定点数的表示范围，所以计算机引入了类似与科学表示法来标示实数。
计算机组成原理与系统结构试验一 数据表示与运算
《计算机组成原理与系统结构》实验一数据表示和运算（1）无符号数和带符号整数的表示实验目的：通过无符号数和带符号整数之间的相互转换来理解无符号数和补码整数的表示。
实验要求：验证教材表2.2（P.28）中的关系表达式的结果，并编程得出第二章习题8(P.69)的表中结果。
实验报告：1.给出源程序（文本文件）和执行结果。
图1-1 验证教材表2.2（P.28）中的关系表达式的结果测试代码图1-2 验证教材表2.2（P.28）中的关系表达式的结果测试代码运行结果图1-3 解第二章习题8(P.69) 实验代码图1-4 第二章习题8(P.69)实验代码运行结果由上图结果得解答如下表：表1-1第二章习题8解答结果2.根据实验结果，回答下列问题。
（1）你的机器字长多少位？int型数据的位数、最小值和最大值各是多少？答：我的机器字长为32位；int型数据为32位，min = -2147483648(-231),max = 2147483647(231-1) □（注：“□”符号表示一题解答结束，以下同此约定）（2）在你的机器上，-1用int类型和unsiged int类型表示的结果分别是多少？答：结果分别为-1和429 496 729 5（232-1）. □（2）类型转换和移位操作运算实验目的：了解高级语言中数据类型的转换和移位操作结果，从而能更好地理解指令系统设计和计算机硬件设计所需满足的要求和需要考虑的问题。
实验要求：编程实现以下各种操作，并要求分别用十进制和十六进制形式打印输出操作结果。
（1）给定一个short型数据-12345，分别转换为int、unsigned short、unsigned int、float类型的数据；图1-5 short型数据-12345转换成其他类型测试代码图1-6 short型数据-12345转换成其他类型测试代码运行结果（2）给定一个int型数据2147483647，分别转换为short、unsigned short、unsigned int、float 类型的数据；图1-7 int型数据2147483647转换成其他类型测试代码图1-8 int型数据2147483647转换成其他类型测试代码（3）给定一个float型数据123456.789e5，转换成double型数据；图1-9 float型数据123456.789e5，转换成double型数据图1-10 float型数据123456.789e5，转换成double型数据运行结果（4）给定一个double型数据123456.789e5，转换成float型数据；图1-11 double型数据123456.789e5，转换成float型数据图1-12 double型数据123456.789e5，转换成float型数据运行结果（5）按short和unsigned short类型分别对-12345进行左移2位和右移2位操作。
浮点数的运算方法
阶码位 尾数数码位 总位数
1 1 1
8 11 15
23 52 64
32 64 80
浮点数的阶码的位数决定数的表示范围， 浮点数的阶码的位数决定数的表示范围， 阶码的位数决定数的表示范围 尾数的位数决定数的有效精度 的位数决定数的有效精度。 尾数的位数决定数的有效精度。
浮点数在计算机内的格式
X = MX * 2
负数 正数
[X]补 = X 2n+1 + X 0 ≤ X < 2n -2n ≤ X ≤ 0 0
机器数
浮点数格式：关于移码的知识 浮点数格式：关于移码的知识 移码
8 位的阶码能表示 位的阶码能表示-128~+127，当阶码为 ，当阶码为-128时，其补码表 时 示为 00000000，该浮点数的绝对值 -128,人们规定此浮点数的 ，该浮点数的绝对值<2 人们规定此浮点数的 值为零， 机器零。 值为零，若尾数不为 0 就清其为 0，并特称此值为机器零。 ，并特称此值为机器零 位数值位组成的移码, 其定义为； 一位符号位和 n 位数值位组成的移码 其定义为； [E]移 = 2n + E -2n<=E<2n 负数 正数 +127 0 -128 机器数 表示范围： 00000000 ~ 11111111 表示范围： 8 位移码表示的机器数为数的真值 向右平移了 在数轴上向右平移 在数轴上向右平移了 128 个位置
（2）尾数相除：MX/MY = 0.1011/(-0.1101) ）尾数相除： = -0.1101 (3) (4) (5) 已是规格化数 不必舍入 也不溢出 已是规格化数, 不必舍入, 最众的商 [MX]移 = 1 0110 1101， ， 即 2-2 *（-0.1101） （ ）
408计算机组成原理历年真题1-2章
知识点概括计算机系统层次结构1.计算机系统基本组成；2.计算机硬件基本组成；3.计算机系统的工作原理.计算机性能指标吞吐量、响应时间、CPI 、CPU 执行时间等.第一章计算机系统概述计算机系统层次结构由具有各类特殊功能的信息（程序）组成1. 计算机系统计算机系统计算机的实体，如主机、外设等硬件软件按任务需要编制成的各种程序用来管理整个计算机系统系统软件应用软件高级语言虚拟机器M 3汇编语言虚拟机器M 2操作系统虚拟机器机器语言实际机器M 1微指令系统微程序机器M 0冯诺依曼机语言1. 计算机系统知识点：高级语言：需要经过编译程序编译为汇编程序后，经过汇编得到机器语言；或直接由高级语言程序直接翻译成机器语言。
汇编语言：用助记符代替二进制，必须要经过汇编才能在计算机硬件上执行。
机器语言：有二进制编码组成，是计算机唯一可以直接识别和执行的语言。
1. 计算机系统1.特点•存储程序•计算机由五大部件组成•指令和数据用二进制表示•指令由操作码和地址码组成•以运算器为中心•指令和数据以同等地位存于存储器，可按地址寻访知识点：冯·诺依曼计算机1.机器字长2.运算速度CPU一次能处理数据的位数，与CPU中的寄存器位数有关主频每秒执行百万条指令MIPS每秒浮点运算次数FLOPS执行一条指令所需时钟周期数CPICPU时钟频率，时钟周期的倒数一条指令的耗时=CPI乘CPU时钟周期M G T P E Z221b=256KB213b=1KB 如3.存储容量主存容量辅存容量存储单元个数×存储字长字节数字节数80 GB如MAR MDR 容量10 816 32存放二进制信息的总位数1K = 2101K×8位64K×32位K M G T P E Z知识点概括数制与编码1.进位计数值及其数据之间的相互转换；2.定点数的编码表示.整数表示和运算1.无符号整数的表示和运算；2.有符号整数的表示和运算.浮点数表示和运算1.浮点数的表示；2.浮点数的加/减运算.C语言中的类型转换应用运算方法和运算电路1.基本运算部件；加/减运算器；3.乘/除运算的基本原理和电路第二章数据的表示和运算数制与编码补码可表示的范围：-2的n次方~2的n次方-1补码可表示的范围：-2的n 次方~2的n 次方-1000000000000000100000010 (011111111000000010000001111111011111111011111111)…128129-0-1-128-127-127-126二进制代码无符号数对应的真值原码对应的真值补码对应的真值反码对应的真值012127 (253254255)…-125-126-127…-3-2-1…-2-1-0…+0+1+2+127…+0+1+2+127…+0+1+2+127…对有符号数：算数移位：左移移位：乘2的倍数。
c语言中float的含义
C语言中float的含义1.概述在C语言中，`f lo at`是一种基本的数据类型，用于表示浮点数（即带有小数点的数字）。
本文将介绍`f lo at`的含义、特点以及在C语言中的使用。
2. `f loat`的定义和特点`f lo at`是C语言中的浮点型数据类型之一，用于存储具有单精度的浮点数。
特点如下：-占用内存较小：`fl o at`类型占用4个字节的内存空间，用于存储32位的浮点数。
-精度有限：由于使用单精度，因此`flo a t`类型的精度相对较低，典型情况下有效位数为6-7位，精度约为10^-7。
-表达范围有限：`fl o at`类型可以表示的数值范围约为10^-38到10^38之间。
3. `f loat`的声明和初始化在C语言中，我们可以通过以下方式声明和初始化`f lo at`变量：```c ppf l oa tn um1;//声明一个名为nu m1的f lo a t变量f l oa tn um2=3.14;//声明并初始化一个名为nu m2的f lo a t变量```4. `f loat`的运算和常用操作4.1算术运算`f lo at`类型可以进行常见的算术运算，如加法、减法、乘法和除法。
示例如下：```c ppf l oa tn um1=3.5;f l oa tn um2=2.5;f l oa tr es ul t;r e su lt=n um1+nu m2;//加法运算r e su lt=n um1-nu m2;//减法运算r e su lt=n um1*nu m2;//乘法运算r e su lt=n um1/nu m2;//除法运算```4.2比较运算`f lo at`类型也可以进行比较运算，包括大于、小于、等于等关系运算符。
示例如下：```c ppf l oa tn um1=4.5;f l oa tn um2=2.5;i f(n um1>nu m2){p r in tf("nu m1大于n um2\n");}e ls ei f(nu m1<n um2){p r in tf("nu m1小于n um2\n");}e ls e{p r in tf("nu m1等于n um2\n");}```4.3强制类型转换在一些情况下，我们可能需要将`fl oa t`类型转换为其他类型，或将其他类型转换为`flo a t`类型。
为什么单精度浮点数的阶码取值范围是1-254
为什么单精度浮点数的阶码取值范围是1-254在定点数表⽰中存在的⼀个问题是，难以表⽰数值很⼤的数据和数值很⼩的数据。
例如，电⼦的质量（9×10-28克）和太阳的质量（2×1033克）相差甚远，在定点计算机中⽆法直接表⽰，因为⼩数点只能固定在某⼀个位置上，从⽽限制了数据的表⽰范围。
为了表⽰更⼤范围的数据，数学上通常采⽤科学计数法，把数据表⽰成⼀个⼩数乘以⼀个以10为底的指数。
例如，在计算机中，电⼦的质量和太阳的质量可以分别取不同的⽐例因⼦，以使其数值部分的绝对值⼩于1，即：9×10-28＝ 0.9×10-272×1033＝ 0.2×1034这⾥的⽐例因⼦10-27和1034要分别存放在机器的某个单元中，以便以后对计算结果按此⽐例增⼤。
显然，这要占⽤⼀定的存储空间和运算时间。
浮点表⽰法就是把⼀个数的有效数字和数的范围在计算机中分别予以表⽰。
这种把数的范围和精度分别表⽰的⽅法，相当于数的⼩数点位置随⽐例因⼦的不同⽽在⼀定范围内⾃由浮动，改变指数部分的数值相当于改变⼩数点的位置。
在这种表⽰法中，⼩数点的位置是可以浮动的，因此称为浮点表⽰法。
浮点数的⼀般表⽰形式为：⼀个⼗进制数Ｎ可以写成：N = 10e×M⼀个⼆进制数Ｎ可以写成：N = 2e×M其中，M称为浮点数的尾数，是⼀个纯⼩数；e是⽐例因⼦的指数，称为浮点数的指数，是⼀个整数。
在计算机中表⽰⼀个浮点数时，⼀是要给出尾数M，⽤⼩数形式表⽰；⼆是要给出指数e，⽤整数形式表⽰，常称为阶码。
尾数部分给出有效数字的位数，因⽽决定了浮点数的表⽰精度；阶码部分指明了⼩数点在数据中的位置，因⽽决定了浮点数的表⽰范围。
浮点数也是有符号数，带符号的浮点数的表⽰如图2-2所⽰。
215.gif其中，S为尾数的符号位，放在最⾼⼀位；E为阶码，紧跟在符号位之后，占m位；M为尾数，放在低位部分，占n位。
计算机组成原理机器数的定点与浮点、非数值数据的编码表示和数据校验码 (1)
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§2.3 机器数的定点与浮点表示
2）精度 所谓精度是指一个数所含有效数值位的位数。 一般来说机器字长越长，它所表示的数的有效位数就越多， 精度就越高：对于字长相同的定点数与浮点数来说，浮点 数虽然扩大了数的表示范围，但这正是以损失精度为代价 的，也就是数轴上各点的排列更稀疏了。
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§2.3 机器数的定点与浮点表示
三、 定点数和浮点数比较
定点数据表示简单，省硬件；浮点数据表示较麻烦， 价格较贵。从以下几个方面来比较它们性能上的主要差距。 1）数值的表示范围 假设定点数和浮点数的字长相同，浮点表示法所能表示的 数值范围将远远大于定点表示法，但是此范围指的只是数 的上下限，它们之间是一些不连续的点，而不是—段连续 的区间。 对于定点数而言，各个点在数轴上的分布是均匀的； 而对于浮点数而言，各个点在数轴上的分布是不均匀的。 越靠近数轴的原点，两个相邻的浮点数之间的距离就越近。
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§2.3 机器数的定点与浮点表示
4．浮点数的表示范围
尾数部分给出有效数字的位数，决定了浮点数的表示 精度，尾数占的位数越大，浮点数的表示精度就越高； 阶码部分指明小数点在数据中的位置，决定了浮点 数的表示范围，阶码占的位数越大，浮点数的表示范围 就越大; 通常希望数据表示的范围越大越好、精度越高越好， 但是由于计算机的存储字长是一定的，不能两者兼顾。
• --------在取回这样的浮点数到运算器执行运算时，必须先恢 复该隐藏位。
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§2.3 机器数的定点与浮点表示
4. 浮点数的表示范围(阶码用移码表示，尾数用补码表示）
Es，E1 … Em ； Ms . M1 … Mn
2[1].6 浮点运算
2.6.2 浮点乘除运算
设两个非0的规格化浮点数分别为 EA A=MA×2 B=MB× 2 E B 规格化浮点数A、B乘除运算通式为： (MA,EA)×(MB,EB)=(MA×MB,EA+EB) (MA,EA)÷(MB,EB)=(MA÷MB,EA-EB)
1.乘法步骤 两浮点数相乘，其乘积的阶码应为 相乘两数的阶码之和，其乘积的尾数应 为相乘两数的尾数之积。即： A×B=(MA×MB)×E A E B ) 2( ⑴阶码相加 两个浮点数的阶码相加，如果阶码 用补码表示，无须校正；当阶码用偏置 值为2n的移码表示时，阶码相加后要减去 一个偏移量2n。
1.浮点数加减运算步骤（续） 第⑤和⑥种情况在在定点加减运算 中称为溢出；但浮点加减运算中，只表 明此时尾数的绝对值大于1，而并非真正 的溢出。这种情况应将尾数右移以实现 规格化。这个过程称为右规。尾数每右 移一位，阶码相应加1（EC+1→EC）。 右规=Cs1⊕Cs2 右规最多只有一次。
1.浮点数加减运算步骤（续）
1.浮点数加减运算步骤（续） 当EA≠EB 时，要通过尾数的移位来 改变EA 或EB 。对阶的规则是：小阶向大 阶看齐。要使小阶的阶码增大，则相应 的尾数右移，直到两数的阶码相等为止。 每右移一位，阶码加1。 EA＞EB，则MB 右移。每右移一位， EB+1→EB，直至EA=EB为止。 EA＜EB，则MA 右移。每右移一位， EA+1→EA，直至EA=EB为止。 尾数右移后，应对尾数进行舍入。
2.6 规格化浮点运算
基于已经讨论的浮点数表示方法， 这里将进一步讨论规格化浮点数的四则 运算问题，其中尾数的基值r=2。
2.6.1 浮点加减运算
设两个非0的规格化浮点数分别为： A=MA×2 E A EB B=MB× 2 规格化浮点数A、B加减运算通式为： A±B=(MA,EA)±(MB,EB)
C语言程序设计第2章-1数据类型、运算符和表达式
2、 C 语言的运算符的优先级与结合性
3、表达式：由操作数和运算符组成的序列。
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⒉ 真值: 带符号位的机器数对应的数值称为机器数的真值。 （10100011）2= -35
⒊ 无符号数:当计算机字长的所有二进位都用来表示(biǎoshì)数值时，称 为无符号数。
2.2.2 原码、反码和补码
⒈ 原码
整数 X 的原码指：其数符位 0 表示正，1 表示负，其数值部分
就是 X 的绝对值的二进制表示。
2.1 常用 的进位制 (chánɡ yònɡ)
2．1．1 二进制、八进制和十六进制(shíliùjìn zhì)数
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2．1．2十、二进制、八进制和十六进制数之间的换算
⒈ 二、八、十六进制数 → 十进制数的换算采用按权展开法。
(2AB.F)16 = 2χ162+10χ161+11χ160+15χ16-1 = 683.93 ⒉ 十进制数 → 二进制数的换算整数部分(bù fen)采用除以二取余直到商
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2.5.1 算术运算符与算术表达式
⒈ 基本的算术运算符：
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3.字符常量
字符常量是用单撇号括起来的单个字符或转义字符，
如： ‘a’， ‘9’， ‘&’， ‘\n’， ‘\’’， ‘\101’。
字符常量的值为该字符的ASCII码值，如 ‘a’值为97， ‘\n’
计算机组成原理第11-浮点数的运算1
ｘ±ｙ＝(Mｘ2Eｘ－Eｙ±Mｙ)2Eｙ， Eｘ<＝Eｙ
12/31/2023
信 息 科 学 与 工 程 学 院1
两数首先均为规格化数，进行规格化浮点数的加减运 算需经过5步完成： （1）对阶操作：低阶向高阶补齐，使阶码相等。 （2）尾数运算：阶码对齐后直接对尾数运算。 （3）结果规格化：对运算结果进行规格化处理（使补码尾 数的最高位和尾数符号相反）。如溢出则需右规；如不是 规格化时应左规。 （4）舍入操作：丢失位进行0舍1入或恒置1处理。 （5）判断溢出：判断阶码是否溢出，下溢则将运算结果置 0（机器0），上溢则中断。
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信 息 科 学 与 工 程 学 1院4
第二章 运算方法和运算器
２、乘、除法运算步骤 浮点数的乘除运算大体分为以下几个步骤：
１＞ 0 操作数检查。 ２＞ 阶码加/减操作。 ３＞ 尾数乘/除操作。 ４＞ 结果规格化 ５＞ 舍入处理。
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信 息 科 学 与 工 程 学 1院5
18 12/31/2023
信 息 科 学 与 工 程 学 1院8
第二章 运算方法和运算器
当尾数用原码表示时,舍入规则比较简单。最简便的方法,是只要尾数的最低位 为1,或移出的几位中有为1的数值位,就是最低位的值为1。 另一种是0舍1入法,即当丢失的最高位的值为1时,把这个1加到最低数值位上进 行修正,否则舍去丢失的的各位的值。 当尾数是用补码表示时,所用的舍入规则,应该与用原码表示时产生相同的处理 效果。 具体规则是：
(4) 右规
当 尾数溢出（ >1）时，需 右规 即尾数出现 01. ×× …×或 10. ×× …×时
尾数 1，阶码加 1
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