平面解析几何初步深刻复习课教学活动设计

平面解析几何初步复习课教学设计（一）教材分析解析几何的主要内容为直线与圆，圆锥曲线，坐标系与参数方程。

根据课程标准要求，在必修2解析几何初步中，学生学习的最基本内容为直线与直线方程，圆与圆的方程，并初步建立空间坐标系的概念。

这一内容是对全体学生设计的，大部分学生在选修中还将进一步学习圆锥曲线，坐标系与参数方程等有关内容。

因此，本章要求学生掌握解析几何最基本的思想方法--------用代数的方法研究曲线的几何性质，并学习最基本的直线，圆的方程，并通过方程研究他们的图形性质。

这样的安排，一方面降低了解析几何的难度，多次反复又逐步提高学生对解析几何的认识，另一方面对部分在解析几何学习上有较高要求的学生，可以在选修部分拓广加强。

因此教学中，要体会必修2的4个特点①是学习立体几何与解析几何的初级阶段②仅仅是初步③是螺旋式上升的开始④.感性认识到理性认识的过渡期。

(二) 课程内容标准（教学大纲与课程标准比较）说明：在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。

这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会"数形结合"。

遵循的原则上的差异旧教材遵循的是连续性、一步到位的原则．新教材遵循了阶段性、螺旋式上行的原则(三)学情分析学生通过本章的学习，对解析几何的基本方法---坐标法有了初步认识和应用，体会了代数方法研究几何问题的优点。

但对这种方法的认识还不够深刻，不系统和全面，同时对整章涉及的知识缺乏一个整体的认识。

所以，有必要通过章节复习，把基本知识和方法总结和归纳，从整体上把握知识，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化。

在对整章知识网络的梳理构建的基础上，通过配套题目，巩固知识和方法的应用，加深对坐标法的理解和应用，体会函数与方程思想，数形结合思想，化归和转化思想等数学思想在本章的特殊地位。

（四）本章内容的基本定位第一，本部分内容是在初中学习直线基础上，利用平面直角坐标系，将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；运用代数方法研究直线与圆的几何性质及其相互位置关系，分析代数结果的几何含义，解决几何问题。

第二，用代数方法研究几何图形是解析几何的核心。

学生在初中曾经学过建立直角坐标系且初步研究过一次函数、二次函数及反比例函数的图像，这是借助几何图形来直观认识一次函数、二次函数及反比例函数的性质，即从数到形。

直线和圆是最基本的几何图形，也是学生非常熟悉的两种图形，学生已经知道如何从“形”的角度刻画它们的性质。

“解析几何初步”则主要是用代数方法刻画直线和圆，研究它们的性质，即从形到数；再利用直线与圆的方程来研究直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，即用数来研究形。

这部分内容也是学习圆锥曲线的基础，学生应熟知直线与圆的方程中参数的几何意义。

用代数方法研究直线与圆时，首先应强调确定直线与圆的几何要素，根据几何要素，用代数方法刻画直线与圆，推导出直线与圆的方程。

对于直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，也要突出几何要素。

第三，坐标系是数形结合的载体之一。

在坐标系中，平面上的点与数对可以建立一一对应关系，从而可以用方程来表示几何图形，通过方程来研究几何图形的性质。

（五）教材特色1.突出解析法基本思想——代数方法解决几何问题重视“数形结合”思想的运用——以形助数、依数识形2.过程彰现新理念在直线和圆的方程的处理上，以学生熟悉的问题（生活实例、数学问题等）为背景，按照“问题情境——数学活动——意义建构——数学理论——数学应用——反思”的顺序结构，引导学生主动参与探索，通过师生共同对问题的分析和解决，使学生感受建立坐标系，并用坐标、方程等知识来刻划点、直线、圆等图形的一般方法，逐步体会解析几何的基本思想。

3.将“圆与方程”与“直线与方程”进行类比，感受同构（方法）的特点，体验解析几何的研究程序。

（六）三维目标1.通过总结和归纳直线与直线的方程，圆与圆的方程，空间直角坐标系的知识，通过对全章知识的梳理，突出知识间的内在联系，了解解析几何的基本思想,了解用坐标法研究几何问题。

2．能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系,能用直线与圆的方程解决一些简单问题，使学生在综合运用知识解决问题的能力上提高一步。

3.能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析，探究和思考问题的能力，激发学生数学学习的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力。

（七）重点难点教学重点：解析几何解题的基本思路和解题方法的形成。

教学难点：整理形成本章知识系统和网络。

教学过程一知识回顾本章内容知识结构（幻灯片）对比知识结构，阅读课本（北师大版P100《本章小结》），学生讨论以下问题：①直线的倾斜角和斜率，需要注意什么？②直线的方程有几种形式，各自适用的范围是什么？③两直线的位置关系如何判断？④圆的方程有哪几种形式?它们各自有什么特点?⑤点与圆、直线与圆、圆与圆分别有什么样的位置关系?如何判断?设计目的：针对学生的易错点，在章节复习中作一个梳理。

同时引导学生养成一个归纳总计各章知识方法易错点的一个习惯。

二 应用示例：直线方程 直线的位置关系例1 求经过点A （-5，2），且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线的方程。

活动：学生阅读题目，思考解法，教师引导学生注意分两种情形讨论。

解：（1）当横截距、纵截距都是零时，设所求直线方程为y=kx ，将点A （-5，2）代入方程，得k=-52，此时，直线的方程为y=-52x ，即2x+5y=0。

（2）当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为a x 2+ay =1， 将点A （-5，2）代入方程，得a=--21，此时，直线的方程为x+2y+1=0。

综上所述，所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0。

基础自测：1、已知两直线a 1x+b 1y+1=0和a 2x+b 2y+1=0都通过点P(2,3)，求经过两点Q 1(a 1,b 1)，Q 2(a 2,b 2),的直线方程。

2、.直线经过点P （3，2）且与x 、 y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，求直线的方程。

3、求经过点P （2，3），且被两平行直线3x+4y-7=0和 3x+4y+8=0截得的线段为32的直线方程。

答案：1.2x+3y+1=0设计目的：引导学生体会定义解题，充分考虑直线的方程，方程的直线的内涵。

2．6x +4y =1即2x+3y-12=0 设计目的：△OAB 的面积与截距有关，自然联想导直线方程的截距式。

3．x-7y+19=0或7x+y-17=0设计目的：利用平行线间的距离与线段长之间的数字特征，设出斜率，巧妙构造方程。

例2正方形的中心为点C（-1，0），一条边所在的直线方程为x+3y-5=0，求其它三边所在的直线方程。

活动：学生分析正方形的几何性质，讨论由性质引发的直线方程特征，结合直线位置关系中的平行与垂直，引导学生思考待定系数法。

解：设与直线x+3y-5=0平行的正方形的另一边所在直线方程为x+3y+c1=0, ∵C到直线x+3y-5=0的距离得c1=7或c1=-5（即是已知条件中的直线）∴正方形的一条边是x+3y+7=0设与直线x+3y-5=0垂直的正方形的另一边所在直线方程为3x-y+ c2 =0,得c2=9或c2=-3直线与圆，圆与圆位置关系问题例3求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点A（5，2），B（3，-2）的圆的方程。

活动：学生阅读题目,理解题意,相互交流或讨论,教师引导学生考虑解题的方法,注意总结,因为条件与圆心有关系,因此可设圆的标准方程,利用圆心在直线2x-y-3=0上,同时也在线段AB 的垂直平分线上,由两直线的交点得出圆心坐标,再由两点间的距离公式得出圆的半径,从而得到方程.解:方法一:设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2=r 2,由已知条件得⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=-+-=--.)2()3(,)2()5(,032222222r b a r b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===.10,1,2r b a 所以圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2=10.方法二:因为圆过点A(5,2)和点B(3,-2),所以圆心在线段AB 的垂直平分线上,线段AB 的垂直平分线方程为y=-21(x-4).设所求圆的圆心C 的坐标为(a,b),则有⎪⎩⎪⎨⎧--==--).4(21,032a b b a 解得⎩⎨⎧==.1,2b a 所以圆心C(2,1),r=|CA|=10)12()25(22=-+-所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2=10.点评:本题介绍了几何法求圆的标准方程,利用圆心在弦的垂直平分线上或者利用两圆相切时连心线过切点,可得圆心满足的一条直线方程,结合其他条件可确定圆心,由两点间的距离公式得出圆的半径,从而得到圆的标准方程.其实求圆的标准方程,就是求圆的圆心和半径,有时借助于弦心距、圆半径之间的关系计算,可大大简化计算的过程与难度.如果用待定系数法求圆的方程,则需要三个独立的条件,“选标准,定参数”是解题的基本方法,其中选标准是根据已知条件选择恰当的圆的方程形式,进而确定其中三个参数.基础自测：圆：x 2+y 2-4x+6y=0和圆：x 2+y 2-6x=0交于A 、B 两点,则AB 的垂直平分线的方程是( )A.x+y+3=0B.2x-y-5=0C.3x-y-9=0D.4x-3y+7=0答案：C设计目的：由平面几何知识知AB 的垂直平分线就是连心线所在直线。

例4已知圆22:(1)(2)25,C x y -+-=直线:(21)(1)740()l m x m y m m R +++--=∈求证：不论m 取什么值，直线l 与圆恒相交；求直线l 被圆C 截得线段的最短长度，以及此时直线l 的方程。

活动：学生审题,请大家独立思考,多想些办法,教师提示学生注意结论中直线与圆的位置关系，抓住位置的本质内容，展开联想，分析讨论，然后师生共同总结解题方法.解：（1）证明：由直线:(21)(1)740()l m x m y m m R +++--=∈得：m(2x+y-7)+(x+y-4)=0解 ⎩⎨⎧=-+=-+.04072y x y x 得：⎩⎨⎧==.13y x∴直线l 恒过定点P （3，1）∵PO<5, ∴P （3，1）在圆内。

∴不论m 取什么值，直线l 与圆恒交于两点。

（2）从（1）结论可知直线l 恒过定点P （3，1）且于此点的圆C 的半径垂直时，l 被圆截得的弦长AB 最短,由垂径定理知|AB|=54222=-oP R又k om k 1=-1, ∴2112=++-m m ，得43-=m ，代入直线l 方程 ∴所求直线为2x-y-5=0点评：不要一味地体现用代数方法来研究来几何问题，对于直线和圆这两种具有丰富几何性质的图形，有时利用几何方法，数形结合，能方便地解决相应的几何问题和代数问题。