3、机器人运动学
第三章机器人运动学
第三章机器人运动学机器人运动学是研究机器人如何在二维或三维空间中进行运动的学科。
它涉及到机器人的轨迹规划、运动控制和路径规划等重要内容。
本章将介绍机器人运动学的基本概念和常用模型，帮助读者全面了解机器人的运动规律和控制原理。
1. 机器人运动学的基本概念机器人运动学是研究机器人位置和姿态变化的学科，包括正运动学和逆运动学两个方面。
正运动学研究机器人的末端执行器的位置和姿态如何由关节变量确定；逆运动学则研究机器人如何通过末端执行器的位置和姿态来确定关节变量的值。
机器人的运动学建模一般采用DH（Denavit-Hartenberg）参数表示方法。
DH 参数是由Denavit和Hartenberg提出的一种机器人坐标系的选择和旋转轴的确定方法。
通过定义一系列关节坐标系，建立起机器人的坐标系链，并确定各个关节的旋转轴和约定的方向，可以方便地描述机器人的运动学特性。
2. 机器人正运动学机器人正运动学是研究机器人末端执行器位置和姿态如何由关节变量确定的问题。
在机器人的正运动学中，常用的方法有几何法和代数法。
2.1 几何法几何法是一种较为直观的方法，通过对机器人各个关节坐标系的位置和旋转进行推导，得到机器人末端执行器的位置和姿态。
几何法适用于无约束和无外力干扰的情况，可以简单快速地推导出机器人的正运动学方程。
2.2 代数法代数法是一种基于运动学链的代数运算的方法，通过DH参数建立起机器人的坐标系链，并通过矩阵运算推导出机器人的正运动学方程。
代数法在机器人正运动学的推导和计算过程中更具有普适性和灵活性。
3. 机器人逆运动学机器人逆运动学是研究机器人如何通过末端执行器的位置和姿态来确定关节变量的值的问题。
机器人逆运动学在机器人运动规划和路径控制中起到重要的作用。
机器人逆运动学的求解一般采用迭代方法，通过迭代计算来逼近解析解，实现对机器人关节变量的求解。
逆运动学的求解过程中可能会出现奇异点和多解的情况，需要通过约束条件和优化方法来处理。
机器人运动学
机器人运动学随着科技的不断发展，机器人已经逐渐成为了人们生活中不可或缺的一部分。
机器人的出现不仅改变了人们生活的方方面面，还为工业、医疗等领域带来了巨大的变革。
作为机器人领域的核心技术之一，机器人运动学是机器人技术中的重要组成部分。
本文将从机器人运动学的基本概念、运动学分析、运动规划等方面进行详细的阐述。
一、机器人运动学的基本概念机器人运动学是研究机器人运动的学科，主要研究机器人的运动规律、运动学模型、运动学分析和运动规划等问题。
机器人运动学的基本概念包括机器人的自由度、坐标系、位姿等。
1. 机器人的自由度机器人的自由度是指机器人能够自由运动的方向和数量。
机器人的自由度通常是由机器人的关节数量决定的。
例如，一个具有6个关节的机器人，其自由度就是6。
机器人的自由度越大，机器人的运动能力就越强。
2. 坐标系坐标系是机器人运动学中的重要概念，用于描述机器人的位置和姿态。
机器人通常使用笛卡尔坐标系或者极坐标系来描述机器人的位置和姿态。
在机器人运动学中，通常使用基座坐标系和工具坐标系来描述机器人的运动。
3. 位姿位姿是机器人运动学中的另一个重要概念，用于描述机器人的位置和姿态。
位姿通常由位置和方向两个部分组成。
在机器人运动学中，通常使用欧拉角、四元数或旋转矩阵来描述机器人的位姿。
二、机器人运动学分析机器人运动学分析是指对机器人的运动进行分析和计算，以确定机器人的运动规律和运动学模型。
机器人运动学分析通常涉及到逆运动学、正运动学和雅可比矩阵等内容。
1. 逆运动学逆运动学是机器人运动学分析中的重要内容，用于确定机器人关节的运动规律。
逆运动学通常包括解析解法和数值解法两种方法。
解析解法是指通过数学公式来计算机器人关节的运动规律，数值解法是指通过计算机模拟来计算机器人关节的运动规律。
2. 正运动学正运动学是机器人运动学分析中的另一个重要内容，用于确定机器人末端执行器的位置和姿态。
正运动学通常包括前向运动学和反向运动学两种方法。
第3章 机器人运动
3 齐次坐标变换 3.1齐次坐标变换 3.1齐次坐标变换 假设机器人手部拿一个钻头在 工件上实施钻孔作业，已知钻 头中心P点相对于手腕中心的 位置，求P点相对于基座的位 置。
x i o
zb kb yb jb o, ib xb P
z
k
j
y
分别在基座和手部设置为固定坐标系和动坐标系， 如图所示。
P点 相对于固定坐标系
1 4 0 −3 0 7 0 1
T中第一列的三个元素（0，1，0）T表示活动坐标系的u轴与 固定坐标系三个坐标轴之间的投影，故u轴平行于y轴；T中第 二列的三个元素（0，0，1）T表示活动坐标系的v轴与固定坐 标系三个坐标轴之间的投影，故v轴平行于z轴；T中第三列的 三个元素（1，0，0）T表示活动坐标系的w轴与固定坐标系三 个坐标轴之间的投影，故轴w平行于x轴；T中第四列的三个元 素（4，-3，7）T表示活动坐标系的原点与固定坐标系原点之 间的距离。
b
3.3.2 举例 ⋅ i i
z kb k o, xb i o xi y j y j
1 0 0 R = 0 1 0 0 0 1
所以
x0 X 0 = y0 z0
0 0 1 0 0 1 0 0
1 0 A = Trans( x0 , y0 , z0 ) = 0 0
上面所述的坐标变换每步都是相对于固定坐标系进行的，也可以 相对于动坐标系进行变换： 坐标系 {o , : u , v, w} 初始与固定坐标系 {o:x, y, z} 相重合，首先相对于固定坐标系平移
4i − 3 j + 7 k ；然后绕活动系的v轴旋转900；最后绕w轴旋转900。
变换的几何表示如图所示。这是合成变换矩阵为
机器人的运动学和动力学模型
机器人的运动学和动力学模型机器人的运动学和动力学是研究机器人运动和力学性质的重要内容。
运动学是研究机器人姿态、位移和速度之间关系的学科，动力学则是研究机器人运动过程中力的产生和作用的学科。
机器人的运动学和动力学模型可以帮助我们理解机器人的运动方式和受力情况，进而指导机器人的控制算法设计和路径规划。
一、机器人运动学模型机器人运动学模型是描述机器人运动方式和位置关系的数学表达。
机器人的运动状态可以用关节角度或末端执行器的位姿来表示。
机器人的运动学模型分为正运动学和逆运动学两种。
1. 正运动学模型正运动学模型是通过机器人关节角度或末端执行器的位姿来确定机器人的位置。
对于串联机器人，可以使用连续旋转和平移变换矩阵来描述机械臂的位置关系。
对于并联机器人，由于存在并联关节，正运动学模型比较复杂，通常需要使用迭代方法求解。
正运动学模型的求解可以通过以下几个步骤：(1) 坐标系建立：确定机器人的基坐标系和各个关节的局部坐标系。
(2) 运动方程描述：根据机器人的结构和连杆长度等参数，建立各个关节的运动方程。
(3) 正运动学求解：根据关节的角度输入，通过迭代计算，求解机器人的末端执行器的位姿。
正运动学模型的求解可以用于机器人路径规划和目标定位。
2. 逆运动学模型逆运动学模型是通过机器人末端执行器的位姿来确定机器人的关节角度。
逆运动学问题在机器人的路径规划和目标定位等任务中起着重要作用。
逆运动学求解的难点在于解的存在性和唯一性。
由于机器人的复杂结构，可能存在多个关节角度组合可以满足末端执行器的位姿要求。
解决逆运动学问题的方法有解析法和数值法两种。
解析法通常是通过代数或几何方法，直接求解关节角度，但是解析法只适用于简单的机器人结构和运动方式。
数值法是通过迭代计算的方式，根据当前位置不断改变关节角度，直到满足末端执行器的位姿要求。
数值法可以用于复杂的机器人结构和运动方式，但是求解时间较长。
二、机器人动力学模型机器人动力学模型是描述机器人运动时受到的力和力矩的模型。
机器人学第3章 机器人运动学
(3.46)
如果已知一个表示任意旋转的齐次变换，那么就能够 确定其等价欧拉角。
3.2 机械手运动方程的求解
21
3.2.2 滚、仰、偏变换解
直接从显式方程来求解用滚动、俯仰和偏转表示的变 换方程。 RPY变换各角如下：
atan2(n y , n x ) 180 atan2(n z , cn x sn y ) atan2( sa x ca y , so x co y )
0
T6 0T1 (1 )1T2 (2 )2T3 (3 )3T4 (4 )4T5 (5 )5T6 (6 )
3.1 机器人运动方向的表示
5
3.1.1 运动姿态和方向角
用横滚、俯仰和偏转角表示运动姿态 另一种常用的旋转集合是横滚（roll）、俯仰（pitch） 和偏转（yaw）。
图3.3 用横滚、俯仰和偏转表示机械手运动姿态
3.1 机器人运动方向的表示 6
3.1.1 运动姿态和方向角
对于旋转次序，规定：
1
(3.16)
3.1 机器人运动方向的表示
15
3.1.3 连杆变换矩阵及其乘积
如果机械手与参考坐标系的相对关系是由变换 Z 来 表示的，而且机械手与其端部工具的关系由变换 E 表示，那么此工具端部对参考坐标系的位置和方向 可由变换 X 表示如下：
可求得：
X ZT6 E
T6 Z 1 XE 1
(3.52)
3.2 机械手运动方程的求解
22
3.2.3 球面变换解
把求解滚、仰和偏变换方程的技术用于球面坐标表示 的运动方程。 球面变换的解为：
atan2( p y , p x ), 180 atan2(cp x sp y , p z )
第三章_机器人运动学
举例（example）
• 一个差动驱动机器人（针对图3.3所示机器人） 将滚动约束和滑动约束方程联合起来可得到式：
J1 ( s ) J C ( ) R( ) I 2 1 s 0
由于小脚轮无动力，并可在任何方向自由运动，因此可忽略第三个接触点。 其余两个轮不可操纵，因此 J1 ( s ) 和 C1 ( s ) 分别简化为
• 瞬时转动中心 ICR （instantaneous center of rotation） 在任何给定时刻，轮子必定沿着半径为 R的某个圆瞬时的运动，使得那个圆的中心 处在零运动直线上，该中心称为瞬时转动 中心。它可以位于沿零运动直线的任何地 方。
•
要使机器人运动存在一个单独的解，必须有 一个单独的ICR，即所有的零运动直线在一个单 独点相交。 • ICR的几何特性显示了机器人的活动性是机 器人运动上的独立约束数目的函数而不是轮子数 目的函数。 • 独立的滑动约束的数目可用 C1 (s ) 的秩来描述
.
.
.
.
（1）
• 其次，计算在YR 方向的贡献
由于没有一个轮子可以提供侧向运动， 所以沿YR 方向的速度总是零。 • 最后，计算旋转角速度分量。可独立的计 算各轮的贡献，且只要简单相加即可。 . .
r 1 r 2 1 2 2l 2l
（2）
ห้องสมุดไป่ตู้
• 联合式（1）和式（2）得到差动驱动机器人的 运动学模型如式（3）所示：
x I y
• 为了根据分量的移动描述机器人的移动， 需要将全局参考架下的移动映射到局部参 考框架下的运动。该运动可由正交旋转矩 阵来完成：
举例（example）
机器人 运动学
机器人运动学机器人运动学机器人运动学是研究机器人运动规律和运动控制的学科。
它是机器人技术的重要组成部分，对于机器人的设计、控制和应用具有重要意义。
机器人运动学主要研究机器人在空间中的运动规律，包括位置、速度和加速度等。
通过研究机器人的运动学特性，可以实现对机器人的精确控制和规划。
机器人运动学主要包括正运动学和逆运动学两个方面。
正运动学是指根据机器人关节的位置和长度，求解机器人末端执行器的位置。
它通过解析几何、向量运算和矩阵变换等数学方法，将机器人关节的位置参数转化为末端执行器的位置参数，从而实现对机器人的位置控制。
逆运动学是指根据机器人末端执行器的位置，求解机器人关节的位置和长度。
逆运动学是机器人运动学的核心内容，也是机器人控制的关键问题之一。
通过逆运动学，可以实现对机器人末端执行器的精确控制，从而实现机器人在空间中的精确定位和定向。
机器人运动学的研究还包括机器人的姿态和轨迹规划。
姿态是指机器人在空间中的朝向和姿势，轨迹是指机器人在运动过程中的路径和速度。
通过研究机器人的姿态和轨迹规划，可以实现机器人在复杂环境中的灵活运动和避障控制。
机器人运动学的应用非常广泛。
在工业领域，机器人运动学被应用于自动化生产线的控制和优化，实现了生产效率的提高和生产成本的降低。
在医疗领域，机器人运动学被应用于手术机器人的控制和操作，实现了微创手术和精确手术的目标。
在军事领域，机器人运动学被应用于无人飞机和无人车辆的控制和导航，实现了作战效能的提高和战场风险的降低。
机器人运动学的发展离不开先进的传感器和控制技术的支持。
传感器可以实时感知机器人的位置和环境信息，控制技术可以根据机器人的位置和运动规律，实现对机器人的精确控制和运动规划。
总结起来，机器人运动学是研究机器人运动规律和运动控制的学科，主要包括正运动学、逆运动学、姿态和轨迹规划等内容。
机器人运动学的研究和应用对于机器人技术的发展和应用具有重要意义，将为我们创造更多的便利和机会。
机器人运动学
R3
Z
三个平移自由度 T1, T2, T3
三个旋转自由度 R1, R2, R3
T3
T1
T2
Y R2
X
2019/3/31
R1
2.2 刚体位姿描述
方位描述
第三章
机器人运动学
利用固定于物体的坐标系描述方位 (orientation)。方位又称为姿 态 (pose)。
在刚体 B上设置直角坐标系 {B} ，利用与 {B} 的坐标轴平行 的三个单位矢量表示B的姿态。
A
p R ( x , ) p
B
zB
zA
Bp
P
yB
{A}
1 0 R ( x , ) 0 c 0 s
c R ( y , ) 0 s 0 s 1 0 , 0 c
0 s c
s c 0 0 0 1
2019/3/31
i A iB A jB r11 r12
第三章
机器人运动学
2.2 刚体位姿描述
位置与姿态的表示 相对于参考坐标系{A}，坐标系{B}的原点位置和坐标轴的 方位可以由位置矢量和旋转矩阵描述。刚体B在参考坐标 系{A}中的位姿利用坐标系{B}描述。
{ B}
当表示位置时 当表示方位时
zA
iB
jB
A
kA 坐标系{B}的三个单位主矢量在坐标系{A}中的描述：
pBo
kB
yA
{ A iB , A jB , A k B }
坐标系{B}相对于坐标系{A}的姿态描述：
A B
O
R { iB , jB , k B }
A A A
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T Rot zi , i Trans zi , d i
Trans xi , ai Rot xi , i
ci s i 0 0 si c i si s i ci c i 1 ci s i s i c i 0 0 ai ci ai si di 1
在关节轴线上的距离。 II、关节回转量θi： ——相邻杆件的长度 在关节轴线上的夹角。 i-1
li-1
关节i
19
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 2、确定参数 ②关节运动参数 关节变量： li θi di i
di——平移关节；
θi——回转关节。
qi si i (1 si )d i
1, i为转动关节 si 0, i为移动关节
关节2 关节1
关节3
z0
o0
x0
16
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤
1、建立坐标系
③手部坐标系{h} 在M-DH杆件坐 标系下，{h}建立在 手部中心，方向与 末端杆件坐标系{n} 保持一致。
0
Байду номын сангаасx3
xh
o3 x2 o2 z1 o1
z0 o0 x0
2
z3
oh
3
Zh
y2
1
关节2
关节3
x1 关节1
17
0
o3 x2 o2 z1 o1 z0 o0 x0
2
z3
3 关节3
y2
1 关节2
x1 关节1
15
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 x2 x3 xh z2
2 3
1、建立坐标系
③手部坐标系{h} 在S_DH杆件坐 标系下，{h}与末端 杆件坐标系{n}重合 。
0
o2
y1 o1
1
o3 oh zh z3
x1
Oi Zi Xi
d
a、Trans（li-1，0，0）；
b、Rot（x，αi-1）； c、Trans（0，0，di）； d、Rot（z，θi）。
Z i-1 Oi-1
c di
li-1
θi i
αi-1
a
i-1
Xi-1
b
关节i
29
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 3、相邻杆件位姿矩阵 ② M-DH坐标系 II、单步齐次变换矩阵
i 1 i
T Rot zi ,i Trans zi , di Trans xi , ai Rot xi ,i
9
机器人运动学
杆件坐标系—standard DH 关节扭角 i ：等于从 xi 1轴到 xi 轴绕着 zi 1轴旋转的角度 ； 连杆偏移 d i ：等于从xi 1轴到 xi 轴沿着 zi 1轴移动的距离； 连杆长度 a ：等于从 zi 1轴到 z i 轴沿着 xi 轴移动的距离； i 关节轴线扭角i ：等于从 zi 1 轴到 z i 轴绕着 xi 轴旋转的角度
i 1 i
T Rot xi 1 , i 1 Trans xi 1 , ai 1
Rot zi ,i Trans zi , di
si 0 ai 1 ci s c c c s d s i i 1 i 1 i i 1 i i 1 si s i 1 ci s i 1 c i 1 di c i 1 0 0 1 0
1 运动学方程建立步骤 1、建立坐标系 ①机座坐标系{0} 建立原则：
z轴垂直，
x轴水平， 方向指向手部所在平面。 o0 z0 x0
7
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 1、建立坐标系 ②杆件坐标系{i}，i=1，2，…，n 建立原则：
z轴与关节轴线重合， x轴与两关节轴线的距离
重合，方向指向下一个杆件。 杆件坐标系有两种：
13
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤
1、建立坐标系
②杆件坐标系{i} S-DH坐标系： z轴与i+1关节 轴线重合。
0
2
x2 o2
关节2 关节1
3 关节3
x3 o3
z3
y1
1
z2
o1 z0
x1
o0
x0
14
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 x3 1、建立坐标系 ②杆件坐标系{i} M-DH坐标系： z轴与i关节轴线 重合。
11
机器人运动学
杆件坐标系—modified DH 连杆长度 ai 1 ：等于从 zi 1轴到 z i 轴沿着 xi 1 轴移动的距离； 关节轴线扭角 i 1：等于从 zi 1轴到 z i 轴绕着 xi 1 轴旋转的角度 关节扭角 i：等于从xi 1 轴到 xi 轴绕着 z i 轴旋转的角度 ； 连杆偏移 d i ：等于从xi 1轴到 xi 轴沿着 z i 轴移动的距离；
i-1
li-1
关节i
20
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 3、相邻杆件位姿矩阵 ①S-DH坐标系 建立坐标系
Zi
{i-1}、{i}。
Oi
Xi
i
试分析{i-1}→{i} 的变换过程!
i-1
Oi-1
Z i-1
Xi-1
关节i
21
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 3、相邻杆件位姿矩阵 ①S-DH坐标系 I、{i-1}→{i}变换过程
运动学方程：
M=f(qi)， i=1，…，n 正问题：已知qi，求M。 逆问题：已知M，求qi。
3
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 1）、建立坐标系 2）、确定参数 3）、相邻杆件的位姿矩阵 4）、建立方程 2 运动学方程的解
4
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 回顾：运动学方程的模型： M=f(qi)， i=1，…，n M——机器人手在空间的位姿
1 0 Ma 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 di 0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 1
23
b、Rot（z，θi）
cos i si n i Mb 0 0
si n i cos i 0 0
机器人运动学
cos i si n i 0 0 si n cos 0 0 i i Ma Mb Mb Ma 0 0 1 di 0 0 0 1 0 0 li 1 0 cos si n 0 i i Mc Md Md Mc 0 si n i cos i 0 0 0 1 0
27
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤
3、相邻杆件位姿矩阵
②M-DH坐标系 建立坐标系 {i-1}、{i}。
Z i-1 Oi-1 Xi-1 Zi Oi
Xi
i
试分析{i-1}→{i} 的变换过程！
i-1
关节i
28
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 3、相邻杆件位姿矩阵 ②M-DH坐标系 I、{i-1}→{i}变换过程
αi
b
c l
i
Zi Oi
a、Trans（0，0，di）；
b、Rot（z，θi）； c、Trans（li，0，0）；
Xi
a
θi
di
Z i-1
i
d
d、Rot（x，αi）。
Oi-1
i-1
Xi-1
关节i
22
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 3、相邻杆件位姿矩阵 ①S-DH坐标系 II、单步齐次变换矩阵 a、Trans（0，0，di）
1 0 0 1 a、Trans（li-1，0，0） Ma 0 0 0 0 0 1 0 cos i 1 b、Rot（x，αi-1） Mb 0 si n i 1 0 0 0 l i 1 0 0 1 0 0 1 0 si n i 1 cos i 1 0
《机器人工学》
第三章、机器人运动学
张旭 机械楼407 xuri394@
上海市智能制造及机器人重点实验室
1
机器人运动学
运动学研究的问题： 手在空间的运动与各个 关节的运动之间的关系。 正问题：
已知关节运动，
求手的运动。 逆问题： 已知手的运动， 求关节运动。
2
机器人运动学
数学模型： 手的运动→位姿变化→位姿矩阵M 关节运动→参数变化→关节变量qi，i=1，…，n
qi——机器人各个关节变量
5
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 1、建立坐标系 ①机座坐标系{0} ②杆件坐标系{i} x2
2
x3 o3 z3
xh oh
3
Zh
i=1，2，…，n
③手部坐标系{h} 注意： 杆件编号 关节编号
0
o2 z1 o1
y2
1 关节2
关节3
x1
z0
o0
关节1
x0
6
机器人运动学
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 2、确定参数 ①杆件几何参数（不变） I、杆件长度li： αi
——两关节轴线的距离。
II、杆件扭角αi： ——两关节轴线的夹角。 i li
18
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 2、确定参数 ②关节运动参数 I、关节平移量di： li θi di i
——相邻杆件的长度
第一种： z轴与i+1关节轴线重合
第二种： z轴与i关节轴线重合
Standard DH(S-DH)
modified DH(M-DH)
8
机器人运动学
杆件坐标系—standard DH 绕轴 zi 1旋转 i ； 沿着 zi 1轴平移 d i ； 绕轴 xi 旋转 i ；