3、机器人运动学
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11
机器人运动学
杆件坐标系—modified DH 连杆长度 ai 1 ：等于从 zi 1轴到 z i 轴沿着 xi 1 轴移动的距离； 关节轴线扭角 i 1：等于从 zi 1轴到 z i 轴绕着 xi 1 轴旋转的角度 关节扭角 i：等于从xi 1 轴到 xi 轴绕着 z i 轴旋转的角度 ； 连杆偏移 d i ：等于从xi 1轴到 xi 轴沿着 z i 轴移动的距离；
12
机器人运动学
杆件坐标系 Robotics Toolbox
%%%% theta d A alpha R/P sL_m(1) = Link([0 0 0 0 0], ‘standard '); % theta Z axis rotation angle % d Z direction movement distance % A X direction movement distance % alpha X axis rotation angle % R/P rotaion joint or Prismatic Joint % ‘standard’ standard DH % ‘modified’ modified DH
cos i si n i 0 0 si n cos 0 0 i i Ma Mb Mb Ma 0 0 1 di 0 0 0 1 0 0 li 1 0 cos si n 0 i i Mc Md Md Mc 0 si n i cos i 0 0 0 1 0
0
o3 x2 o2 z1 o1 z0 o0 x0
2
z3
3 关节3
y2
1 关节2
x1 关节1
15
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 x2 x3 xh z2
2 3
1、建立坐标系
③手部坐标系{h} 在S_DH杆件坐 标系下，{h}与末端 杆件坐标系{n}重合 。
0
o2
y1 o1
1
o3 oh zh z3
x1
i 1 i
T Rot zi , i Trans zi , d i
Trans xi , ai Rot xi , i
ci s i 0 0 si c i si s i ci c i 1 ci s i s i c i 0 0 ai ci ai si di 1
运动学方程：
M=f(qi)， i=1，…，n 正问题：已知qi，求M。 逆问题：已知M，求qi。
3
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 1）、建立坐标系 2）、确定参数 3）、相邻杆件的位姿矩阵 4）、建立方程 2 运动学方程的解
4
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 回顾：运动学方程的模型： M=f(qi)， i=1，…，n M——机器人手在空间的位姿
Oi Zi Xi
d
a、Trans（li-1，0，0）；
b、Rot（x，αi-1）； c、Trans（0，0，di）； d、Rot（z，θi）。
Z i-1 Oi-1
c di
li-1
θi i
αi-1
a
i-1
Xi-1
b
关节i
29
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 3、相邻杆件位姿矩阵 ② M-DH坐标系 II、单步齐次变换矩阵
10
机器人运动学
杆件坐标系—modified DH 绕轴 xi 1 旋转 i 1 ； 沿着 xi 1 轴平移 ai 1 绕轴 zi 旋转 i ； 沿着 zi 轴平移 d i ；
i 1 i
T Rot xi1,i1 Trans xi1, ai1 Rot zi ,i Trans zi , di
13
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤
1、建立坐标系
②杆件坐标系{i} S-DH坐标系： z轴与i+1关节 轴线重合。
0
2
x2 o2
关节2 关节1
3 关节3
x3 o3
z3
y1
1
z2
o1 z0
x1
o0
x0
14
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 x3 1、建立坐标系 ②杆件坐标系{i} M-DH坐标系： z轴与i关节轴线 重合。
qi——机器人各个关节变量
5
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 1、建立坐标系 ①机座坐标系{0} ②杆件坐标系{i} x2
2
x3 o3 z3
xh oh
3
Zh
i=1，2，…，n
③手部坐标系{h} 注意： 杆件编号 关节编号
0
o2 z1 o1
y2
1 关节2
关节3
x1
z0
o0
关节1
x0
6
机器人运动学
25
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 3、相邻杆件位姿矩阵 ①S-DH坐标系
cos i si n i 0 0
III、相邻杆件的位姿矩阵
si n i si n i cos i si n i cos i 0 l i cos i l i si n i di 1
1 0 0 1 a、Trans（li-1，0，0） Ma 0 0 0 0 0 1 0 cos i 1 b、Rot（x，αi-1） Mb 0 si n i 1 0 0 0 l i 1 0 0 1 0 0 1 0 si n i 1 cos i 1 0
1 运动学方程建立步骤
3、相邻杆件位姿矩阵
①S-DH坐标系 II、单步齐次变换矩阵
1 0 0 1 c、Trans（li，0，0） Mc 0 0 0 0 0 1 0 cos i Md d、Rot（x，αi） 0 si n i 0 0 0 li 0 0 1 0 0 1 0 si n i cos i 0
27
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤
3、相邻杆件位姿矩阵
②M-DH坐标系 建立坐标系 {i-1}、{i}。
Z i-1 Oi-1 Xi-1 Zi Oi
Xi
i
试分析{i-1}→{i} 的变换过程！
i-1
关节i
28
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 3、相邻杆件位姿矩阵 ②M-DH坐标系 I、{i-1}→{i}变换过程
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 2、确定参数 ①杆件几何参数（不变） I、杆件长度li： αi
——两关节轴线的距离。
II、杆件扭角αi： ——两关节轴线的夹角。 i li
18
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 2、确定参数 ②关节运动参数 I、关节平移量di： li θi di i
——相邻杆件的长度
1 0 Ma 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 di 0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 1
23
b、Rot（z，θi）
cos i si n i Mb 0 0
si n i cos i 0 0
机器人运动学
关节2 关节1
关节3
z0
o0
x0
16
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤
1、建立坐标系
③手部坐标系{h} 在M-DH杆件坐 标系下，{h}建立在 手部中心，方向与 末端杆件坐标系{n} 保持一致。
0
x3
xh
o3 x2 o2 z1 o1
z0 o0 x0
2
z3
oh
3
Zh
y2
1
关节2
关节3
x1 关节1
17
αi
b
c l
i
Zi Oi
a、Trans（0，0，di）；
b、Rot（z，θi）； c、Trans（li，0，0）；
Xi
a
θi
di
Z i-1
i
d
d、Rot（x，αi）。
Oi-1
i-1
Xi-1
关节i
22
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 3、相邻杆件位姿矩阵 ①S-DH坐标系 II、单步齐次变换矩阵 a、Trans（0，0，di）
M i 1 i
si n i cos i cos i cos i si n i 0
qi si i (1 si )d i
Mi 1i f (qi ),
qi ——i关节变量
26
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 3、相邻杆件位姿矩阵 ①S-DH坐标系 注意：特例！！！
第一种： z轴与i+1关节轴线重合
第二种： z轴与i关节轴线重合
Standard DH(S-DH)
modified DH(M-DH)
8
机器人运动学
杆件坐标系—standard DH 绕轴 zi 1旋转 i ； 沿着 zi 1轴平移 d i ； 绕轴 xi 旋转 i ；
沿着 xi 轴平移 ai
0 0 0 1
24
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 3、相邻杆件位姿矩阵 ①S-DH坐标系 III、相邻杆件的位姿矩阵
0 cos i si n i 0 0 si n i cos i 0 li 0 0 1
M i 1i ( Ma Mb ) ( Mc Md ) cos i si n i 0 0 1 si n 0 cos 0 0 i i 0 0 1 d i 0 0 0 0 1 0
《机器人工学》
第三章、机器人运动学
张旭 机械楼407 xuri394@163.com
上海市智能制造及机器人重点实验室
1
机器人运动学
运动学研究的问题： 手在空间的运动与各个 关节的运动之间的关系。 正问题：
已知关节运动，
求手的运动。 逆问题： 已知手的运动， 求关节运动。
2
机器人运动学
数学模型： 手的运动→位姿变化→位姿矩阵M 关节运动→参数变化→关节变量qi，i=1，…，n
i 1 i
T Rot zi ,i Trans zi , di Trans xi , ai Rot xi ,i
9
机器人运动学
杆件坐标系—standard DH 关节扭角 i ：等于从 xi 1轴到 xi 轴绕着 zi 1轴旋转的角度 ； 连杆偏移 d i ：等于从xi 1轴到 xi 轴沿着 zi 1轴移动的距离； 连杆长度 a ：等于从 zi 1轴到 z i 轴沿着 xi 轴移动的距离； i 关节轴线扭角i ：等于从 zi 1 轴到 z i 轴绕着 xi 轴旋转的角度
在关节轴线上的距离。 II、关节回转量θi： ——相邻杆件的长度 在关节轴线上的夹角。 i-1
li-1
关节i
19
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 2、确定参数 ②关节运动参数 关节变量： li θi di i
di——平移关节；
θi——回转关节。
qi si i (1 si )d i
1, i为转动关节 si 0, i为移动关节
1 运动学方程建立步骤 1、建立坐标系 ①机座坐标系{0} 建立原则：
z轴垂直，
x轴水平， 方向指向手部所在平面。 o0 z0 x0
7
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 1、建立坐标系 ②杆件坐标系{i}，i=1，2，…，n 建立原则：
z轴与关节轴线重合， x轴与两关节轴线的距离
重合，方向指向下一个杆件。 杆件坐标系有两种：
i-1
li-1
关节i
20
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 3、相邻杆件位姿矩阵 ①S-DH坐标系 建立坐标系
Zi
{i-1}、{i}。
Oi
Xi
i
试分析{i-1}→{i} 的变换过程!
i-1
Oi-1
Z i-1
Xi-1
关节i
21Hale Waihona Puke Baidu
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 3、相邻杆件位姿矩阵 ①S-DH坐标系 I、{i-1}→{i}变换过程
i 1 i
T Rot xi 1 , i 1 Trans xi 1 , ai 1
Rot zi ,i Trans zi , di
si 0 ai 1 ci s c c c s d s i i 1 i 1 i i 1 i i 1 si s i 1 ci s i 1 c i 1 di c i 1 0 0 1 0
cos i si n i 0 0 si n i cos i cos i cos i si n i 0
si n i si n i cos i si n i cos i 0
l i cos i l i si n i di 1
机器人运动学
杆件坐标系—modified DH 连杆长度 ai 1 ：等于从 zi 1轴到 z i 轴沿着 xi 1 轴移动的距离； 关节轴线扭角 i 1：等于从 zi 1轴到 z i 轴绕着 xi 1 轴旋转的角度 关节扭角 i：等于从xi 1 轴到 xi 轴绕着 z i 轴旋转的角度 ； 连杆偏移 d i ：等于从xi 1轴到 xi 轴沿着 z i 轴移动的距离；
12
机器人运动学
杆件坐标系 Robotics Toolbox
%%%% theta d A alpha R/P sL_m(1) = Link([0 0 0 0 0], ‘standard '); % theta Z axis rotation angle % d Z direction movement distance % A X direction movement distance % alpha X axis rotation angle % R/P rotaion joint or Prismatic Joint % ‘standard’ standard DH % ‘modified’ modified DH
cos i si n i 0 0 si n cos 0 0 i i Ma Mb Mb Ma 0 0 1 di 0 0 0 1 0 0 li 1 0 cos si n 0 i i Mc Md Md Mc 0 si n i cos i 0 0 0 1 0
0
o3 x2 o2 z1 o1 z0 o0 x0
2
z3
3 关节3
y2
1 关节2
x1 关节1
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机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 x2 x3 xh z2
2 3
1、建立坐标系
③手部坐标系{h} 在S_DH杆件坐 标系下，{h}与末端 杆件坐标系{n}重合 。
0
o2
y1 o1
1
o3 oh zh z3
x1
i 1 i
T Rot zi , i Trans zi , d i
Trans xi , ai Rot xi , i
ci s i 0 0 si c i si s i ci c i 1 ci s i s i c i 0 0 ai ci ai si di 1
运动学方程：
M=f(qi)， i=1，…，n 正问题：已知qi，求M。 逆问题：已知M，求qi。
3
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 1）、建立坐标系 2）、确定参数 3）、相邻杆件的位姿矩阵 4）、建立方程 2 运动学方程的解
4
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 回顾：运动学方程的模型： M=f(qi)， i=1，…，n M——机器人手在空间的位姿
Oi Zi Xi
d
a、Trans（li-1，0，0）；
b、Rot（x，αi-1）； c、Trans（0，0，di）； d、Rot（z，θi）。
Z i-1 Oi-1
c di
li-1
θi i
αi-1
a
i-1
Xi-1
b
关节i
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机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 3、相邻杆件位姿矩阵 ② M-DH坐标系 II、单步齐次变换矩阵
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机器人运动学
杆件坐标系—modified DH 绕轴 xi 1 旋转 i 1 ； 沿着 xi 1 轴平移 ai 1 绕轴 zi 旋转 i ； 沿着 zi 轴平移 d i ；
i 1 i
T Rot xi1,i1 Trans xi1, ai1 Rot zi ,i Trans zi , di
13
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤
1、建立坐标系
②杆件坐标系{i} S-DH坐标系： z轴与i+1关节 轴线重合。
0
2
x2 o2
关节2 关节1
3 关节3
x3 o3
z3
y1
1
z2
o1 z0
x1
o0
x0
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机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 x3 1、建立坐标系 ②杆件坐标系{i} M-DH坐标系： z轴与i关节轴线 重合。
qi——机器人各个关节变量
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机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 1、建立坐标系 ①机座坐标系{0} ②杆件坐标系{i} x2
2
x3 o3 z3
xh oh
3
Zh
i=1，2，…，n
③手部坐标系{h} 注意： 杆件编号 关节编号
0
o2 z1 o1
y2
1 关节2
关节3
x1
z0
o0
关节1
x0
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机器人运动学
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机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 3、相邻杆件位姿矩阵 ①S-DH坐标系
cos i si n i 0 0
III、相邻杆件的位姿矩阵
si n i si n i cos i si n i cos i 0 l i cos i l i si n i di 1
1 0 0 1 a、Trans（li-1，0，0） Ma 0 0 0 0 0 1 0 cos i 1 b、Rot（x，αi-1） Mb 0 si n i 1 0 0 0 l i 1 0 0 1 0 0 1 0 si n i 1 cos i 1 0
1 运动学方程建立步骤
3、相邻杆件位姿矩阵
①S-DH坐标系 II、单步齐次变换矩阵
1 0 0 1 c、Trans（li，0，0） Mc 0 0 0 0 0 1 0 cos i Md d、Rot（x，αi） 0 si n i 0 0 0 li 0 0 1 0 0 1 0 si n i cos i 0
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机器人运动学
1 运动学方程建立步骤
3、相邻杆件位姿矩阵
②M-DH坐标系 建立坐标系 {i-1}、{i}。
Z i-1 Oi-1 Xi-1 Zi Oi
Xi
i
试分析{i-1}→{i} 的变换过程！
i-1
关节i
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机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 3、相邻杆件位姿矩阵 ②M-DH坐标系 I、{i-1}→{i}变换过程
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 2、确定参数 ①杆件几何参数（不变） I、杆件长度li： αi
——两关节轴线的距离。
II、杆件扭角αi： ——两关节轴线的夹角。 i li
18
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 2、确定参数 ②关节运动参数 I、关节平移量di： li θi di i
——相邻杆件的长度
1 0 Ma 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 di 0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 1
23
b、Rot（z，θi）
cos i si n i Mb 0 0
si n i cos i 0 0
机器人运动学
关节2 关节1
关节3
z0
o0
x0
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机器人运动学
1 运动学方程建立步骤
1、建立坐标系
③手部坐标系{h} 在M-DH杆件坐 标系下，{h}建立在 手部中心，方向与 末端杆件坐标系{n} 保持一致。
0
x3
xh
o3 x2 o2 z1 o1
z0 o0 x0
2
z3
oh
3
Zh
y2
1
关节2
关节3
x1 关节1
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αi
b
c l
i
Zi Oi
a、Trans（0，0，di）；
b、Rot（z，θi）； c、Trans（li，0，0）；
Xi
a
θi
di
Z i-1
i
d
d、Rot（x，αi）。
Oi-1
i-1
Xi-1
关节i
22
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 3、相邻杆件位姿矩阵 ①S-DH坐标系 II、单步齐次变换矩阵 a、Trans（0，0，di）
M i 1 i
si n i cos i cos i cos i si n i 0
qi si i (1 si )d i
Mi 1i f (qi ),
qi ——i关节变量
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机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 3、相邻杆件位姿矩阵 ①S-DH坐标系 注意：特例！！！
第一种： z轴与i+1关节轴线重合
第二种： z轴与i关节轴线重合
Standard DH(S-DH)
modified DH(M-DH)
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机器人运动学
杆件坐标系—standard DH 绕轴 zi 1旋转 i ； 沿着 zi 1轴平移 d i ； 绕轴 xi 旋转 i ；
沿着 xi 轴平移 ai
0 0 0 1
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机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 3、相邻杆件位姿矩阵 ①S-DH坐标系 III、相邻杆件的位姿矩阵
0 cos i si n i 0 0 si n i cos i 0 li 0 0 1
M i 1i ( Ma Mb ) ( Mc Md ) cos i si n i 0 0 1 si n 0 cos 0 0 i i 0 0 1 d i 0 0 0 0 1 0
《机器人工学》
第三章、机器人运动学
张旭 机械楼407 xuri394@163.com
上海市智能制造及机器人重点实验室
1
机器人运动学
运动学研究的问题： 手在空间的运动与各个 关节的运动之间的关系。 正问题：
已知关节运动，
求手的运动。 逆问题： 已知手的运动， 求关节运动。
2
机器人运动学
数学模型： 手的运动→位姿变化→位姿矩阵M 关节运动→参数变化→关节变量qi，i=1，…，n
i 1 i
T Rot zi ,i Trans zi , di Trans xi , ai Rot xi ,i
9
机器人运动学
杆件坐标系—standard DH 关节扭角 i ：等于从 xi 1轴到 xi 轴绕着 zi 1轴旋转的角度 ； 连杆偏移 d i ：等于从xi 1轴到 xi 轴沿着 zi 1轴移动的距离； 连杆长度 a ：等于从 zi 1轴到 z i 轴沿着 xi 轴移动的距离； i 关节轴线扭角i ：等于从 zi 1 轴到 z i 轴绕着 xi 轴旋转的角度
在关节轴线上的距离。 II、关节回转量θi： ——相邻杆件的长度 在关节轴线上的夹角。 i-1
li-1
关节i
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机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 2、确定参数 ②关节运动参数 关节变量： li θi di i
di——平移关节；
θi——回转关节。
qi si i (1 si )d i
1, i为转动关节 si 0, i为移动关节
1 运动学方程建立步骤 1、建立坐标系 ①机座坐标系{0} 建立原则：
z轴垂直，
x轴水平， 方向指向手部所在平面。 o0 z0 x0
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机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 1、建立坐标系 ②杆件坐标系{i}，i=1，2，…，n 建立原则：
z轴与关节轴线重合， x轴与两关节轴线的距离
重合，方向指向下一个杆件。 杆件坐标系有两种：
i-1
li-1
关节i
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机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 3、相邻杆件位姿矩阵 ①S-DH坐标系 建立坐标系
Zi
{i-1}、{i}。
Oi
Xi
i
试分析{i-1}→{i} 的变换过程!
i-1
Oi-1
Z i-1
Xi-1
关节i
21Hale Waihona Puke Baidu
机器人运动学
1 运动学方程建立步骤 3、相邻杆件位姿矩阵 ①S-DH坐标系 I、{i-1}→{i}变换过程
i 1 i
T Rot xi 1 , i 1 Trans xi 1 , ai 1
Rot zi ,i Trans zi , di
si 0 ai 1 ci s c c c s d s i i 1 i 1 i i 1 i i 1 si s i 1 ci s i 1 c i 1 di c i 1 0 0 1 0
cos i si n i 0 0 si n i cos i cos i cos i si n i 0
si n i si n i cos i si n i cos i 0
l i cos i l i si n i di 1