《数学分析》第三章函数极限
数学分析第三章函数极限
第三章 函数极限教学目的：1.使学生牢固地成立起函数极限的一样概念，把握函数极限的大体性质；2.明白得并运用海涅定理与柯西准那么判定某些函数极限的存在性；和，并能熟练运用；4.明白得无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。
教学重（难）点：本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准那么的应用。
教学时数：14学时§ 1 函数极限概念 （2学时）教学目的：使学生成立起函数极限的准确概念；会用函数极限的概念证明函数极限等有关命题。
教学要求：使学生慢慢成立起函数极限的δε-概念的清楚概念。
会应用函数极限的δε-概念证明函数的有关命题，并能运用δε-语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。
教学重点：函数极限的概念。
教学难点：函数极限的δε-概念及其应用。
一、 温习：数列极限的概念、性质等 二、 教学新课： （一）时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号: 的意义,的直观意义.概念 ( 和 . )几何意义介绍邻域其中为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义．例1 验证例2 验证例3 验证证……（二）时函数的极限：由考虑时的极限引入.概念函数极限的“”概念.几何意义.用概念验证函数极限的大体思路.例4 验证例5验证例6 验证证由=为使需有为使需有于是, 倘限制 , 就有例7 验证例8 验证 ( 类似有（三）单侧极限:1．概念：单侧极限的概念及记法.几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9 验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:Th类似有:例10 证明: 极限不存在.例11 设函数在点的某邻域内单调. 假设存在, 那么有=§2 函数极限的性质（2学时）教学目的：使学生把握函数极限的大体性质。
教学要求：把握函数极限的大体性质：唯一性、局部保号性、不等式性质和有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
《数学分析》第3章 函数极限ppt课件
.
因为当 x π 时, sin x 1 x , 故对一切 x 0 ,
2
有 sin x x . 又因为 sin x, x 均是奇函数 , 故
sin x x , x R. 上式中的等号仅在 x 0 时成立.
f (x) A ,
则称 f ( x) 当 x x0 时以 A 为极限 . 记为
或者
lim f ( x) A
x x0
f ( x) A ( x x0 ).
例5 证明 lim x 1 2 1 .
x1 x 1
22
分析 对于任意正数 ,要找到 0, 当 0 | x 1 |
时, 使
x1 2 1
1
1
x1 2 2
x1 2 2 2
x1 2
x1
2 2(
x1
2) 2 2(
x1
2 )2
.
()
因 x 1 x1 ,
2 2( x 1 2)2
只要 x 1 , () 式就能成立, 故取 即可.
证 任给正数 , 取 , 当 0 x x0 时,
x1 2 1 x1 ,
x1 2 2
这就证明了
lim x 1 2 1 .
x1 x 1
22
例6
证明
lim
x x0
x2
x02 .
分析 要使
x2 x02 x x0 x x0 ,
可以先限制 x x0 1, 因为此时有 x x0 x x0 2x0 x x0 2 x0
1 2 x0 ,
所以 x2 x02 ( 1 2 x0 ) x x0 , 故只要
定理 3.1 f ( x) 定义在 的一个邻域内，则
lim f ( x) A 的充要条件是：
3-1函数极限
数学分析数学与信息科学学院罗仕乐第三章函数极限§1 函数极限概念§2 函数极限的性质§3 函数极限存在的条件§4 两个重要极限§5 无穷小量与无穷大量阶的比较3.1 函数极限关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况：一、当自变量x 的绝对值无限增大时，f (x )的变化趋势，的极限时即)(,x f x ∞→二、当自变量x 无限地接近于x 0时，f (x )的变化趋势的极限时即)(,0x f x x →.sin时的变化趋势当观察函数∞→x xx 一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数∞→x xx 一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数∞→x xx 一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数∞→x xx 一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数∞→x xx 一、自变量趋向无穷大时函数的极限问题:函数)(x f y =在∞→x 的过程中, 对应函数值)(x f 无限趋近于确定值A .;)()(任意小表示A x f A x f -ε<-.的过程表示∞→>x X x .0sin )(,无限接近于无限增大时当xx x f x =通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.定义1 如果对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在着正数X,使得对于适合不等式x X >的一切 x ,所对应的函数值)(x f 都满足不等式ε<-A x f )(,那么常数A 就叫函数)(x f 当∞→x 时的极限,记作 )()()(lim ∞→→=∞→x A x f A x f x 当或 定义""X -ε.)(,,0,0ε<->>∃>ε∀A x f X x X 恒有时使当⇔=∞→A x f x )(lim 1、定义：:.10情形+∞→x .)(,,0,0εε<->>∃>∀A x f X x X 恒有时使当:.20情形-∞→x A x f x =-∞→)(lim .)(,,0,0εε<--<>∃>∀A x f X x X 恒有时使当A x f x =+∞→)(lim 2、另两种情形:⇔=∞→A x f x )(lim :定理.)(lim )(lim A x f A x f x x ==-∞→+∞→且xx y sin =3、几何解释:ε-εX -X.2,)(,的带形区域内宽为为中心线直线图形完全落在以函数时或当ε==>-<A y x f y X x X x A数学分析第3.1节xxy sin =例1.0sin lim =∞→xx x 证明证xx x x sin 0sin =-Θx 1<X 1<,ε=,0>ε∀,1ε=X 取时恒有则当X x >,0sin ε<-x x .0sin lim =∞→xx x 故分析:例6. 证明01lim =∞→xx . 例2证明||1|01||)(|x x A x f =-=-<ε , 所以01lim =∞→xx . ||1|01||)(|x x A x f =-=-. ⇔∀ε>0,∃X >0,当|x |>X 时,有|f (x )-A |<ε.∞→x lim f (x )=A . ∀ε >0, 要使|f (x )-A |<ε , 只要ε1||>x . 因为∀ε >0, ∃01>=εX , 当|x |>X 时, 有 ∀ε >0, ∃01>=εX , 当|x |>X 时, 有 ∀ε >0, ∃01>=εX , 当|x |>X 时, 有例3 证明21121lim =-+∞→x x x 证|12|12321121-⋅=--+x x x ∞→x Θ故不妨设|x |＞1，而当|x |＞1时||1||2|12|x x x >-≥-|12|12321121-⋅=--+x x x ||3||123x x <<0>∀εε<--+21121x x 要使同时成立和只须ε3||1||>>x x}3,1max{ε=X 令时，便有则当X x >|||12|12321121-⋅=--+x x x ε<<||3x 21121lim =-+∞→x x n .)(,)(lim :的图形的水平渐近线是函数则直线如果定义x f y c y c x f x ===∞→数学分析第3.1节二、自变量趋向有限值时函数的极限先看一个例子的变化趋势函数时考察1)1(2)(,12--=→x x x f x 这个函数虽在x =1处无定义，但从它的图形上可见，当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时，f (x )的值无限地接近于4，我们称常数4为f (x )当x→1 时f (x )的极限。
§3.2-函数极限的性质-数学分析(华师大-四版)课件-高教社ppt-华东师大教材配套课件
lim()x xf x A→= *点击以上标题可直接前往对应内容定理3.2（唯一性）证 不妨设以及 A x f x x =→)(lim 0.)(lim 0B x f x x =→由极限的定义，对于任意的正数 ,1δ存在正数,||010时当δ<-<x x (1),2|)(|ε<-A x f ,||020时当δ<-<x x )(lim 0x f x x →存在, 则此极限唯一.若 的基本性质 A x f xx =→)(lim 0,2δ,ε后退 前进 目录 退出(2) 式均成立，.|)(||)(|||ε<-+-≤-B x f x f A B A 由ε 的任意性，推得 A = B. 这就证明了极限是唯一的.12min{,},δδδ=令(1) 式与.2|)(|ε<-B x f (2)(1),2|)(|ε<-A x f 00||,x x δ<-<当时所以定理3.3（局部有界性）证 ,1=ε取.1|)(|<-A x f .1|||)(|+<A x f 由此得,)(lim 0A x f x x =→若上在)()(0x U x f,)(0x U则存在有界.这就证明了 在某个空心邻域 上有界.),(0δx U)(x f ,0>δ存在00x x δ<-<当时，注(1) 试与数列极限的有界性定理（定理 2.3）作一 (2) 有界函数不一定存在极限； 这上并不是有界的在但.)2,0(1,11lim )3(1xx x =→说明定理中 “局部” 这两个字是关键性的.比较；定理3.4（局部保号性）则对任何正数)(A r A r -<<或使得存在,)(,0x U.)0)((0)(<-<>>r x f r x f 或.|)(|ε<-A x f .)(r A x f >->ε由此证得 有对一切,)(0x U x∈有时，当δ<-<||00x x 证 不妨设 0.A >,)0(0)(lim 0<>=→或A x f x x 若 ,0>δ存在,r A -=ε取 (0,),r A ∈对于任何定理3.5（保不等式性）)(lim )(lim 0x g x f x x x x →→与设则内有且在某邻域,)()()(0x g x f x U ≤).(lim )(lim 0x g x f x x x x →→≤证 0lim (),lim (),x x x x f x A g x B →→==设;)(ε->A x f 有时而当,||020δ<-<x x .)(ε+<B x g 分别存在正数 12,,δδ有 都存在，0,ε>则对于任意使当 010||x x δ<-<时, 满足时则当令,||0,},min{021δδδδ<-<=x x ,)()(εε+<≤<-B x g x f A所以证得是任意正数因为从而有,.2εε+<B A .B A ≤定理3.6（迫敛性）lim ()lim (),x x x x f x g x A →→==设0x 且在的某个空心).()()(x g x h x f ≤≤.)(lim 0A x h x x =→那么证 因为 00lim ()lim (),x x x x f x g x A →→==有时当,||00δ<-<x x (),A f x A εε-<<+().A g x A εε-<<+.)()()(εε+<≤≤<-A x g x h x f A 再由定理的条件，又得这就证明了 0)(x x h 在点的极限存在，并且就是 A .0,ε>所以对于任意,0>δ存在0()U x 邻域内有定理3.7（四则运算法则）;)(lim )(lim )]()([lim )1(0x g x f x g x f x x x x x x →→→±=±;)(lim )(lim )()(lim )2(000x g x f x g x f x x x x x x →→→⋅=g f g f ⋅±,在点 x 0 的极限也存在, 且都存在, ,0)(lim )3(0≠→x g x x 又若在点 x 0 的极限也存在,g f则.)(lim )(lim )()(lim 00x g x f x g x f x x x x x x →→→=并有,)(lim 0x f x x →若)(lim 0x g xx → 则§2 函数极限概的性质A x f x x =→)(lim 0范例这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理, 这就可以知道这些定理是显然的.里将证明留给读者. 在下一节学过归结原则之后, 的基本性质 A x f xx =→)(lim 0的基本性质 §2 函数极限概的性质A x f xx =→)(lim 0范例arctan lim x x x→+∞πlim arctan ,2x x →+∞=因解为例1 .arctan limxxx ∞+→求002=⋅=π范例1lim 0,x x →∞=所以1=lim arctan lim x x x x →+∞→+∞⋅例 2 .1lim 0⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x 求有时又当,0<x 0>x 当,11lim )1(lim 00==-++→→x x x 由于,111x x x -≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<于是求得.11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x 解 由取整函数的性质， .1111xx x ≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-时, 有 ,111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-x x x 因此由迫敛性得 ;11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→x x x 同理得 .11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-→x x x例 3 求极限 π4lim(tan 1).x x x →-π4lim tan tan1,4x x π→==解 因为所以π4ππlim(tan 1)11 1.44x x x →-=⋅-=-例4 .)1(1lim 0>=→a a xx 求证特别又有.1111εε+<<<--NNa a ,1N=δ取,|0|0时当δ<-<x ,1111εε+<<<<--NxNa a a .1lim 0得证即=→xx a 证 ,11lim ,1lim ==∞→∞→n n nn aa 因为所以 ,,0N ∃>∀ε有时当,N n ≥,1111εε+<<<--nna a复习思考题1. lim (), lim (),x x x x f x a g x →→=设存在不存在试问02. lim (),lim (),x x u u g x u f u A →→==设这时是否必有lim (())?x x f g x A →=0lim ()()?x x f x g x →极限是否必定不存在。
数学分析 3,4,5章答案 华东师范大学
（2）若 存在，试问是否成立 ？
解：（1）证明因为 存在，设 ，则任给 ，存在 ，使得当 时，有 。此时取 ，则当 时， ，从而有 ，故有 。
（2）若若 存在， 并不一定成立。
例如
这里 存在，但 不存在，但是 则 。
3．函数极限存在的条件
1．叙述函数极限 的归结原则，并应用它证明 不存在。
所以 。
2．利用迫敛性求极限：
（1） ；（2） 。
解：（1）因为 趋于负无穷，所以当 时，
，而 ，由迫敛性定理得 。
（2）因为 趋于正无穷，所以当 时， 。而 ， 。由迫敛性定理得 。
3．设 ， ，证明：
（1） ；
（2） ；
（3） 。
证明：（1）因为 ，则对任给的 ，存在 ，当 时， 。 ，则对任给的 ，存在 ，当 时， 。对已给定的 ，取 ，当 时， 与 同时成立。当 时，
，对 ，存在 ，使得当 时，有 ，于是取 ，则当 ，即在 内有 。
8．求下列极限（其中 皆为正整数）：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） 。
解：（1） 。
（2） 。
（3）由于
。由极限的四则运算法则，有
。
（4）由于 ，
。
（5）由于 ，当 时， 或 。对于两种形式，均有 ，由迫敛性定理得 。
解归结原则：设函数 为定义在 上的函数，则 存在的充要条件是：对任何含于 且趋于正无穷的数列 ，极限 都存在且相等。
证明由于 在 上有定义，设 ，则显然有 且 ，
但 ，有归结原则知 不存在。
2．设 为定义在 上的增（减）函数。证明： 存在的充要条件是 在 上有上（下）界。
证明只证一种情况即可。
《数学分析》第三章 函数极限-12页word资料
第三章 函数极限 （计划课时：1 4 时）P42—68§1 函数极限概念 （ 4时 ）一、∞→x 时函数的极限： 1. 以+∞→x 时xx f 1)(=和arctgx x g =)(为例引入. 2. 介绍符号: +∞→x ,+∞→x ,+∞→x 的意义,)(lim x f 的直观意义. 3.函数极限的“M-ε”定义(A x f x =+∞→)(lim ,A x f x =-∞→)(lim ,A x f x =∞→)(lim ). 4. 几何意义: 介绍邻域{}M x x U >=+∞)(,{}M x x U -<=-∞)(,{}M x x U >=∞)(其中M 为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义．5. 函数在∞与∞+,∞-极限的关系: Th1 .)()( )(A f f A f =+∞=-∞⇔=∞例1验证.01lim=∞→xx 证明格式：0>∀ε（不妨设 <<ε0□）（不妨设>x □或>x □，<x □）要使-A x f )(ε， 只须>x □（∞→x ）或>x □（+∞→x ），<x □（-∞→x ）. 于是0>∀ε,=∃M □0>，当>x M （或>x M ，<x M -）时，有ε＜ □ - □.根据函数极限的“M -ε”定义知∞→x lim □ = □（或+∞→x lim □ = □，-∞→x lim □ = □）.例2 验证：1）2lim π=+∞→arctgx x ； 2）2lim π-=-∞→arctgx x .例3 验证.222lim 22=-+∞→x xx x证 . 422 2 4 24 222 2423222x xx x x x x x x x x x =-+-+=--+>>……6. ε的正值性, 任意性与确定性, ε以小为贵.7. M 的存在性与非唯一性,对M 只要求存在,在乎其大的一面.二．0x x →时函数)(x f 的极限：1. 由 ⎩⎨⎧=≠+=.2,0,2 ,12)(x x x x f 考虑2→x 时的极限引入. 2. 函数极限的“δε-”定义. 3. 几何意义.4. 用定义验证函数极限的基本思路.例4 验证 .lim 0C C xx=→ 例5验证 .lim 00x x xx =→ 例6 验证 .512372933lim 2233=+--+-→x x x x x x证 由,3≠x 512)3( )12()3( )3( 512372933 2223----+=-+--+-x x x x x x x x x = .12395125395 5121232---≤---=--+x x x x x x x x 为使 ,11635615595≤+-≤+-=-x x x 需有 ;13<-x 为使 ,1325562 12>--≥+-=-x x x 需有 .23<-x于是, 倘限制 130<-<x , 就有512372933223-+--+-x x x x x 12395---≤x x x ΛΛ .3111311-=-≤x x 证明格式：0>∀ε（不妨设 <<ε0□）（不妨设<-0x x □或>-0x x □，<-0x x □,则□<<x □）要使-A x f )(ε， 只须<-0x x □（0x x →）或<-<00x x □（00+→x x ），<-<x x 00□（00-→x x ）.于是0>∀ε,=∃δ□0>，当δ<-<00x x （或δ<-<00x x ，δ<-<x x 00）时，有: ε＜ □ - □.根据函数极限的“δε-”定义知0lim x x → □ = □（或00lim +→x x □ = □，00lim -→x x□ = □）.例7 验证 ). 1 ( ,11lim 02020<-=-→x x x xx 例8 验证 .sin sin lim 00x x x x =→ ( 类似有 ) .cos cos lim 00x x xx =→5. ε的正值性, 任意性与确定性, ε以小为贵.6. δ的存在性与非唯一性,对δ只要求存在,在乎其小的一面.7. A x f x x =→)(lim 0存在并不意味着)(x f 在0x 有定义,即就是有定义也并不意味着)(0x f A =(如例6). 例9 证明 1lim 0=→x x a )1(>a .三.单侧极限:1. 定义： 单侧极限的定义及记法.2.几何意义:介绍半邻域},0 {),(δδ<-≤=+a x x a Y =-),(δa Y ],(a a δ-). , (),( ), , (),( 0a a a a a a δδδδ-=+=-+Y Y 然后介绍)(lim 0x f x x +→等的几何意义.例9 验证 .01lim 21=--→x x证 考虑使 2221ε<-x的ΛΛ .δ3. 单侧极限与双侧极限的关系:Th2 .)0()0( )(lim 000A x f x f A x f xx =-=+⇔=→ 例10 证明: 极限 x x sgn lim 0→不存在. 例11设函数)(x f 在点0x 的某邻域内单调. 若)(lim 0x f xx →存在, 则有)(lim 0x f x x →=).(0x fEx [1]P47 1—7.§2 函数极限的性质（ 2时 ）我们引进了六种极限: ),(lim ),(lim ),(lim x f x f x f x x x ∞→-∞→+∞→ )(lim 0x f x x →,)0( ),0(00-+x f x f .以下以极限)(lim 0x f xx →为例讨论性质. 均给出证明或简证.一.函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.1. 唯一性:2. 局部有界性:3. 局部保号性:4.单调性( 不等式性质 ):Th 4 若)(lim 0x f x x →和)(lim 0x g xx →都存在, 且存在点0x 的空心邻域),(00δ'x Y , 使),(00δ'∈∀x x Y 都有 ),()(⇒≤x g x f )(lim 0x f x x →).(lim 0x g x x →≤证 设)(lim 0x f x x →=.)(lim ,0B x g A xx =→ ( 现证对,0>∀ε 有.2ε+<B a ) .2 ,)()( ),,( ,0 ,000εεεδδε+<⇒+<≤<-⇒∈∀>∃>∀B A B x g x f A x x Y註: 若在Th 4的条件中, 改“)()(x g x f ≤”为“)()(x g x f <”,未必就有.B A <以 0 ,1)( ,1)(02=≡+=x x g x x f 举例说明.5.迫敛性( 双逼原理 ):例1 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x 1lim 0. 6.四则运算性质: ( 只证“+”和“⨯”) Ex [1]P51 5——7.二． 利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：;cos cos lim ,sin sin lim ,lim ,lim 0000x x x x x x C C xx x x x x x x====→→→→ .2lim ,01lim π±==±∞→∞→arctgx x x x （ 注意前四个极限中极限就是函数值 ）这些极限可作为公式用.通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1 ).1(lim 4-→xtgx x π( 利用极限224sin sin lim 4==→ππx x 和.22cos lim 4=→x x π ) 例2 ) 1 ( . 1311lim 31-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-→x x x例3 .523735lim 233+++-∞→x x x x x 註:关于x 的有理分式当∞→x 时的极限.例4 .11lim 1071--→x x x [ 利用公式).1)(1(121++++-=---a a a a a n n n Λ ]例5 .2122lim221-+-+-→x x x x x例6 .53132lim 22++++∞→x x x x例7 .23)102sin(lim254xx x x x --+∞→例8 .11lim31--→x x x例9 .1111lim3-+-+→x x x例10已知 .316lim23B x Ax x =--+→ 求 A 和.BEx [1]P51 1——4.补充题: 已知.74lim 222-=-++→B x B Ax x x 求A 和.B (.320,316=-=B A ) §3 函数极限存在的条件（ 2时 ）本节介绍函数极限存在的两个充要条件. 仍以极限)(lim 0x f x x →为例.一、Heine 归并原则 —— 函数极限与数列极限的关系：Th 1 设函数f 在点0x 的某空心邻域)(00x Y 内有定义.则极限)(lim 0x f x x →存在⇔对任何)(00x x n Y ∈且)(lim ,0n n n x f x x ∞→→都存在且相等. ( 证 )Heine 归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具. 对单侧极限,还可加强为}{n x 单调趋于0x . 参阅[1]P70.例1 证明函数极限的双逼原理.例2 证明.01sinlim 0≠→xx例3 证明xx 1sin lim 0→不存在.Th 2 设函数)(x f 在点0x 的某空心右邻域)(0x U ο+有定义.则A x f x x =+→)(lim 0⇔对任何以0x 为极限的递减数列{}⊂n x )(0x U ο+,有A x f n n =∞→)(lim . Th 3 设函数)(x f 为定义在)(0x U ο+上的单调有界函数.则)(lim 0x f x x +→存在. 二、Cauchy 准则:Th3 (Cauchy 准则)设函数)(x f 在点0x 的某空心邻域),(00δ'x Y 内有定义.则)(lim 0x f x x →存在∈'''∀'<>∃>∀⇔x x , ),(0 ,0 δδδε),(00δx Y ,.)()( ε<''-'⇒x f x f证 )⇒)⇐ ( 利用Heine 归并原则 )Cauchy 准则的否定: )(lim 0x f x x →不存在的充要条件.例4 用Cauchy 准则证明极限xx 1sin lim 0→不存在.证 取 .21 ,1πππ+=''='n x n x例5设在 [) , ∞+a 上函数)(x f ↘. 则极限)(lim x f x +∞→存在)( x f ⇔在[) , ∞+a 上有界. ( 简证, 留为作业 ). Ex [1]P55 1——4.§4 两个重要极限（ 2时 ）一． .1sin lim0=→x x x （证） （同理有 ,1sin lim 0=→x x x .11sin lim =∞→n n n ）例1 .sin lim x xx -→ππ例2 20cos 1lim xxx -→. 例3 .3sin 5sin lim 0x xx →例4 .arcsin lim 0xxx →例5 证明极限 xx x sin lim→不存在.二. .11lim e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→ .) 1 (lim 10e x x x =+→证 对 ,1+<≤n x n 有 ,1111111nx n +≤+<++⇒ ΛΛ ,11111111+⎪⎭⎫⎝⎛+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛++n xnn x n例6 ,1lim xx x k ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→ 特别当 21 ,1=-=k k 等.例7 .) 21 (lim 1xx x +→例8 .) sin 31 (lim csc 0x x x -→例9 nn n n ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→2111limEx [1]P58 1——4.§5 无穷小量与无穷大量 阶的比较（2时 ）一、无穷小量:1. 定义. 记法.2.无穷小的性质:性质1 (无穷小的和差积) 性质2 (无穷小与有界量的积)例1 ).53sin(1lim232+++∞→n n n n n 3. 无穷小与极限的关系:Th 1 =-⇔=→A x f A x f x x )( )(lim 0. , ) 1 (0x x →ο ( 证 )二、无穷小的阶: 设0x x →时 ). 1 ()( ), 1 ()(οο==x g x f1． 高阶（或低阶）无穷小： 2． 同阶无穷小： 3．等价:Th 2 ( 等价关系的传递性 ).等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3 ( 等价无穷小替换法则 ) .几组常用等价无穷小: 设.0→x 以x 作为基本无穷小, 有等价关系:当0→x 时,x sin ～x , tgx ～x , 1-x a ～x , )1ln(x +～x , x arcsin ～x ,arctgx ～x , x cos 1-～22x , 11-+n x ～nx , n x )1(+～nx . 再加上∞→n 时 (或 ∞→x 时)n 的(或x 的)有理分式(分子次数小于分母次数)的等价无穷小.其中有些等价关系的证明以后陆续进行.例3 求xarctgx x 4sin lim0→. 例4 .sin sin lim 30x x tgx x -→ 三. 无穷大量:1. 定义:例5 验证+∞=→201limx x . 例6 验证∞=-→3lim 3x x x . 2. 性质:性质1 同号无穷大的和是无穷大.性质2 无穷大与无穷大的积是无穷大.性质3 与无界量的关系.无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果. 3. 无穷小与无穷大的关系:无穷大的倒数是无穷小, 非零无穷小的倒数是无穷大.四、曲线的渐近线：1. 定义：2. 结论：⑴若∞=→)(lim 0x f x x ,则直线0x x =为曲线)(x f y =的垂直渐近线.⑵若c x f x =∞→)(lim ,则直线c y =为曲线)(x f y =的水平渐近线. ⑶若,)(lima xx f x =∞→b ax x f x =-∞→})([lim ,则直线b ax y +=为曲线)(x f y =的斜渐近线. 注：0x x →可换为-→0x x ,+→0x x ;∞→x 可换为-∞→x ,-∞→x . 例7 求曲线32)(23-+=x x x x f 的渐近线. Ex [1]P66 1—6.希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：：1、世事忙忙如水流，休将名利挂心头。
数学分析第三章极限与函数的连续性01
a (1 n )n 1 nn ... nn nn
因此
n
a
1
n
a n
对任意给定的 0 ，不妨设 n N 时，有 n a 1 a
1
，取
N
a
，则当
最后设
n 0 a 1 。这时存在
b 1
使
a
1 b
，因此
n a 1 n 1 1 1 n b 1 n b
2.定义中 必须具有任意性：这样才能保证 xn 与 a 的无限接近，
但为表明渐近过程的不同阶段， 又具有相对固定性。即 的任意性
是通过无限多个相对固定性表现出来的。 这就是任意与固定的辨证关系。
3. 的某个函数也可有同样作用。
4. 定义中，自然数 N 不是唯一的。若存在 N0 满足要求， 则比 N0 大的
b 1
这就证明了
lim
n
xn
yn
ab
iii)
由
lim
n
yn
b0
，根据推论3.2，存在 N1 ，当 n N1时，有
b yn 2 0 从而当 n N1 时，有
xn a bxn ayn b xn a a yn b
yn b
yn b
1 b2
“当 n 无限增大时，xn 无限接近于a ”是什么意思?
以数列
1
n
为例：当 n
1
无限增大时，
n
无限接近于0
只要n足够大
(充分大)
1
与0可以任意接近，要多近有多近
n
数学分析(华东师大)第三章函数极限
第 三 章 函 数 极 限§1 函数极限概念一 x 趋于∞时函数的极限设函数 f 定义在 [ a , + ∞ ) 上 , 类 似于 数列情 形 , 我们 研究 当自变 量 x 趋 于 + ∞时 , 对应的函数值能否无 限地 接近 于某 个定 数 A .例如 , 对 于 函数 f ( x ) =1x, 从图象上可见 , 当 x 无限增大时 , 函数值无限 地接近 于 0; 而对 于函 数 g ( x) = arctan x , 则当 x 趋于 + ∞时函数值无限地接近于 π2 .我们称这 两个函数 当 x趋于 + ∞时有极限 .一般地 , 当 x 趋于 + ∞时函数极限的精确定义如下 :定义 1 设 f 为定义在 [ a , + ∞ ) 上的函数 , A 为定数 .若对任给的 ε> 0 , 存 在正数 M ( ≥ a) , 使得当 x > M 时有f ( x ) - A < ε,则称函数 f 当 x 趋于 + ∞时以 A 为极限 , 记作lim x → + ∞f ( x ) = A 或 f ( x ) → A ( x → + ∞ ) .在定义 1 中正数 M 的作用与数列 极限 定义 中的 N 相类似 , 表 明 x 充分 大 的程度 ; 但这里所考虑的是比 M 大的所有 实 数 x , 而不仅仅是正 整数 n .因 此 , 当 x → + ∞ 时函数 f 以 A 为极限意 味着 : A 的任 意小 邻 域内必含有 f 在 + ∞的某邻 域内的全 部函 数 值 .定义 1 的几何意义如图 3 - 1 所示 , 对 任 给的 ε> 0 , 在坐标平面上平行于 x 轴的两 条 直线 y = A + ε与 y = A - ε, 围成 以直 线 y =图 3 - 1A 为中心线、宽为 2ε的带形区域 ; 定义中的“当 x > M 时 有 | f ( x ) - A | < ε”表 示 : 在直线 x = M 的右方 , 曲线 y = f ( x) 全部落在这个带形区域之内 .如果正数 ε给得小一点 , 即当带形区域更窄一点 , 那么 直线 x = M 一般 要往 右平移 ; 但 无 论带形区域如何窄 , 总存在这样的正数 M , 使得曲线 y = f ( x ) 在直线 x = M 的§1 函数极限概念 43右边部分全部落在这更窄的带形区域内 .现设 f 为定义在 U( - ∞ ) 或 U ( ∞ ) 上的 函数 , 当 x → - ∞ 或 x →∞ 时 , 若 函数值 f ( x ) 能无限地接近某定数 A , 则称 f 当 x → - ∞或 x → ∞时 以 A 为 极 限 , 分别记作lim x → - ∞ lim x → ∞f ( x ) = A 或 f ( x ) → A ( x → - ∞ ) ;f ( x) = A 或 f ( x) → A ( x → ∞ ) .这两种函数极限的精确定义与 定义 1 相 仿 , 只 须把 定义 1 中 的“ x > M ”分别 改 为“ x < - M ”或“ | x | > M ”即可 .读者不难证明 : 若 f 为定义在 U ( ∞ ) 上的函数 , 则lim x → ∞f ( x) = A ! lim x → + ∞f ( x ) = lim x → - ∞f ( x ) = A .( 1)例 1 证明 lim 1= 0 .x → ∞x证 任给 ε> 0 , 取 M = 1ε, 则当 | x | > M 时有所以 l im 1= 0 .1 1 x - 0 =x<1 M= ε, x → ∞x例 2 证明 : 1) limarctan x = - π; 2) lim arctan x = π. x → - ∞证 任给 ε> 0 , 由于2x → + ∞2arctan x --π 2< ε( 2)等价于 - ε-π < arctan x < ε- π, 而此不等式的左半部分对任 何 x 都 成立 , 所 2 2以只要考察其右半部分 x 的变化范围 .为此 , 先限制 ε< π, 则有2x < tan ε - π 2 = - tan π2 - ε .故对任给的正数 ε <π 2 , 只须 取 M = tan π- ε , 则 当 x < - M 时 便有 ( 2) 2式成立 .这就证明了 1 ) .类似地可证 2 ) .注 由结论 (1 ) 可知 , 当 x →∞时 arctan x 不存在极限 .二 x 趋于 x 0 时函数的极限设 f 为定义在点x0 的某个空心邻域U°( x0 ) 内的函数.现在讨论当x 趋于x0 ( x≠x0 ) 时, 对应的函数值能否趋于某个定数 A .这类函数极限的精确定义如下:2 044第三章 函 数 极 限定义 2 ( 函 数 极 限 的 ε - δ 定 义 ) 设 函 数 f 在 点 x 0 的 某 个 空 心 邻 域 U °( x 0 ;δ′) 内有定义 , A 为定数 .若对任给 的 ε> 0 , 存在正数 δ( < δ′) , 使得当 0 < | x - x 0 | < δ时有f ( x ) - A < ε, 则称函数 f 当 x 趋于 x 0 时以 A 为极限 , 记作lim x → xf ( x) = A 或 f ( x) → A ( x → x 0 ) .下面我们举例说明如何应 用 ε- δ定义 来验 证 这种 类型 的函 数极 限 .请 读 者特别注意以下各例中 δ的值是怎样确定的 .例 3 设 f ( x) = x- 4 , 证明lim f ( x) = 4 .x - 2证 由于当 x ≠ 2 时 ,2x → 2 f ( x) - 4 =x - 4x - 2- 4 = x + 2 - 4 = x - 2 ,故对给定的 ε> 0 , 只要取 δ= ε, 则当 0 < | x - 2 | < δ时 有 | f ( x ) - 4 | < ε .这 就 证明了lim f ( x ) = 4 .x → 2例 4 证明 : 1) lim sin x = sin x 0 ; 2 ) lim cos x = cos x 0 .x → xx → x证 先建立一个不等式 : 当 0 < x < π时有2sin x < x < tan x . ( 3)事实上 , 在如图 3 - 2 的单位圆内 , 当 0 < x < π时 , 显 然2有S △ O A D < S 扇 形 O A D < S △ O AB ,1 2 sin x < 12 x < 1 2 tan x , 由此立得(3 ) 式 . 图 3 - 2又当 x ≥π时有 sin x ≤1 < x , 故对一切 x > 0 都有2sin x < x; 当 x < 0 时 , 由 sin ( - x) < - x 得 - sin x < - x .综上 , 我 们又得到 不 等式sin x ≤ x , x ∈ R ,( 4)其中等号仅当 x = 0 时成立 .现证 1) . 由 ( 4) 式得sin x - sin x 0 = 2 cosx + x 02sinx - x 0≤ x - x .2对任给的 ε> 0 , 只要取 δ= ε, 则当 0 < | x - x 0 | < δ时 , 就有sin x - sin x 0< ε .即0 1 - x 2 -1 - x 0 2或 等 § 1 函数极限概念 45所以 lim sin x = sin x 0 . 2) 的证明留给读者作为练习。
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第三章 函数极限 （计划课时：1 4 时）P42—68§1 函数极限概念 （ 4时 ）一、∞→x 时函数的极限：1. 以+∞→x 时xx f 1)(=和arctgx x g =)(为例引入.2. 介绍符号: +∞→x ,+∞→x ,+∞→x 的意义,)(lim x f 的直观意义.3.函数极限的“M-ε”定义(A x f x =+∞→)(lim ,A x f x =-∞→)(lim ,A x f x =∞→)(lim ). 4. 几何意义: 介绍邻域{}M x x U >=+∞)(,{}M x x U -<=-∞)(,{}M x x U >=∞)(其中M 为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义．5. 函数在∞与∞+,∞-极限的关系: Th1 .)()( )(A f f A f =+∞=-∞⇔=∞例1验证.01lim =∞→xx证明格式：0>∀ε（不妨设 <<ε0□）（不妨设>x □或>x □，<x □） 要使-A x f )(ε， 只须>x □（∞→x ）或>x □（+∞→x ），<x □（-∞→x ）. 于是0>∀ε,=∃M □0>，当>x M （或>x M ，<x M -）时，有ε＜ □ - □.根据函数极限的“M -ε”定义知∞→x lim □ = □（或+∞→x lim □ = □，-∞→x lim □ = □）.例2 验证：1）2lim π=+∞→arctgx x ； 2）2lim π-=-∞→arctgx x .例3 验证.222lim 22=-+∞→x xx x证 . 422 2 4 24 222 2423222x xx x x x x x x x x x =-+-+=--+>>……6. 的正值性, 任意性与确定性, ε以小为贵.7. M 的存在性与非唯一性,对M 只要求存在,在乎其大的一面.二．0x x →时函数)(x f 的极限：1. 由 ⎩⎨⎧=≠+=.2,0,2 ,12)(x x x x f 考虑2→x 时的极限引入. 2. 函数极限的“δε-”定义. 3. 几何意义.4. 用定义验证函数极限的基本思路.例4 验证 .limC C xx =→ 例5验证 .lim 00x x xx =→ 例6 验证 .512372933lim 2233=+--+-→x x x x x x 证 由,3≠x 512)3( )12()3( )3( 5123729332223----+=-+--+-x x x x x x x x x =.12395125395 512123 2---≤---=--+x x x x x x x x 为使 ,11635615595≤+-≤+-=-x x x 需有 ;13<-x为使 ,1325562 12>--≥+-=-x x x 需有 .23<-x于是, 倘限制 130<-<x , 就有512372933 223-+--+-x x x x x 12395---≤x x x .3111311-=-≤x x 证明格式：0>∀ε（不妨设 <<ε0□）（不妨设<-0x x □或>-0x x □，<-0x x □,则□<<x □）要使-A x f )(ε， 只须<-0x x □（0x x →）或<-<00x x □（00+→x x ），<-<x x 00□（00-→x x ）.于是0>∀ε,=∃δ□0>，当δ<-<00x x （或δ<-<00x x ，δ<-<x x 00）时，有: ε＜ □ - □.根据函数极限的“δε-”定义知0lim x x → □ = □（或0lim +→x x □ = □，0lim -→x x □ = □）.例7 验证 ). 1 ( ,11lim 02020<-=-→x x x xx 例8 验证 .sin sin lim 00x x x x =→ ( 类似有 ) .cos cos lim 00x x xx =→5. 的正值性, 任意性与确定性, ε以小为贵.6. δ的存在性与非唯一性,对δ只要求存在,在乎其小的一面.7. A x f xx =→)(lim 0存在并不意味着)(x f 在0x 有定义,即就是有定义也并不意味着)(0x f A =(如例6).例9 证明 1lim 0=→x x a )1(>a . 三.单侧极限:1. 定义： 单侧极限的定义及记法.2.几何意义:介绍半邻域},0 {),(δδ<-≤=+a x x a =-),(δa ],(a a δ-). , (),( ), , (),( 0a a a a a a δδδδ-=+=-+ 然后介绍)(lim 0x f x x +→等的几何意义.例9 验证 .01lim 21=--→x x证 考虑使 2221ε<-x的 .δ3. 单侧极限与双侧极限的关系:Th2 .)0()0( )(lim 000A x f x f A x f xx =-=+⇔=→ 例10 证明: 极限 x x sgn lim 0→不存在. 例11设函数)(x f 在点0x 的某邻域内单调. 若)(lim 0x f xx →存在, 则有)(lim 0x f x x →=).(0x fEx [1]P47 1—7.§2 函数极限的性质（ 2时 ）我们引进了六种极限: ),(lim ),(lim ),(lim x f x f x f x x x ∞→-∞→+∞→ )(lim 0x f x x →,)0( ),0(00-+x f x f .以下以极限)(lim 0x f xx →为例讨论性质. 均给出证明或简证.一.函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.1.唯一性: 2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性( 不等式性质 ):Th 4 若)(lim 0x f x x →和)(lim 0x g xx →都存在, 且存在点0x 的空心邻域),(00δ'x , 使),(00δ'∈∀x x 都有 ),()(⇒≤x g x f )(lim 0x f x x →).(lim 0x g x x →≤证 设)(lim 0x f x x →=.)(lim ,0B x g A xx =→ ( 现证对,0>∀ε 有.2ε+<B a ) .2 ,)()( ),,( ,0 ,000εεεδδε+<⇒+<≤<-⇒∈∀>∃>∀B A B x g x f A x x註: 若在Th 4的条件中, 改“)()(x g x f ≤”为“)()(x g x f <”,未必就有.B A <以 0 ,1)( ,1)(02=≡+=x x g x x f 举例说明.5.迫敛性( 双逼原理 ):例1 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x 1lim 0. 6. 四则运算性质: ( 只证“+”和“⨯”)Ex [1]P51 5——7.二． 利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：;cos cos lim ,sin sin lim ,lim ,lim 0000x x x x x x C C x x x x x x x x ====→→→→.2lim ,01lim π±==±∞→∞→arctgx x x x （ 注意前四个极限中极限就是函数值 ）这些极限可作为公式用.通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1 ).1(lim 4-→xtgx x π( 利用极限224sin sin lim 4==→ππx x 和.22cos lim 4=→x x π ) 例2 ) 1 ( . 1311 lim 31-⎪⎭⎫⎝⎛+-+-→x x x例3 .523735lim233+++-∞→x x x x x 註:关于x 的有理分式当∞→x 时的极限.例4 .11lim 1071--→x x x [ 利用公式).1)(1(121++++-=---a a a a a n n n ] 例5 .2122lim221-+-+-→x x x x x例6 .53132lim22++++∞→x x x x例7 .23)102sin(lim254xx x x x --+∞→例8 .11lim31--→x x x例9 .1111lim3-+-+→x x x例10已知 .316lim23B x Ax x =--+→ 求 A 和.BEx [1]P51 1——4.补充题: 已知.74lim 222-=-++→B x B Ax x x 求A 和.B(.320,316=-=B A )§3 函数极限存在的条件（ 2时 ）本节介绍函数极限存在的两个充要条件. 仍以极限)(lim 0x f xx →为例.一、Heine 归并原则 —— 函数极限与数列极限的关系：Th 1 设函数f 在点0x 的某空心邻域)(00x 内有定义.则极限)(lim 0x f xx →存在⇔对任何)(00x x n ∈且)(lim ,0n n n x f x x ∞→→都存在且相等. ( 证 )Heine 归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具. 对单侧极限,还可加强为}{n x 单调趋于0x . 参阅[1]P70.例1 证明函数极限的双逼原理. 例2 证明.01sin lim 0≠→xx例3 证明xx 1sin lim 0→不存在.Th 2 设函数)(x f 在点0x 的某空心右邻域)(0x U+有定义.则A x f x x =+→)(lim 0⇔对任何以0x 为极限的递减数列{}⊂n x )(0x U+,有A x f n n =∞→)(lim .Th 3 设函数)(x f 为定义在)(0x U+上的单调有界函数.则)(lim 0x f x x +→存在.二、Cauchy 准则:Th3 (Cauchy 准则)设函数)(x f 在点0x 的某空心邻域),(00δ'x 内有定义.则)(lim 0x f x x →存在∈'''∀'<>∃>∀⇔x x , ),(0 ,0 δδδε),(00δx ,.)()( ε<''-'⇒x f x f证 )⇒)⇐ ( 利用Heine 归并原则 )Cauchy 准则的否定: )(lim 0x f x x →不存在的充要条件. 例4 用Cauchy 准则证明极限xx 1sin lim 0→不存在. 证 取 .21 ,1πππ+=''='n x n x例5 设在 [) , ∞+a 上函数)(x f ↘. 则极限)(lim x f x +∞→存在)( x f ⇔在[) , ∞+a 上有界. ( 简证, 留为作业 ).Ex [1]P55 1——4.§4 两个重要极限（ 2时 ）一． .1sin lim 0=→x x x （证） （同理有 ,1sin lim 0=→xx x.11sin lim =∞→n n n ）例1 .sin lim x xx -→ππ例2 20cos 1lim x xx -→.例3 .3sin 5sin lim 0x xx →例4 .arcsin lim 0x xx →例5 证明极限 x x xsin lim 0→不存在.二. .11lim e x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→ .) 1 (lim 10e x x x =+→证 对 ,1+<≤n x n 有 ,1111111n x n +≤+<++ ⇒,11111111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛++n xn n x n例6 ,1lim xx x k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→ 特别当 21,1=-=k k 等.例7 .) 21 (lim 10x x x +→例8 .) sin 31 (lim csc 0x x x -→例9 nn n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→2111lim Ex [1]P58 1——4.§5 无穷小量与无穷大量 阶的比较（2时 ）一、无穷小量:1. 定义. 记法.2.无穷小的性质:性质1 (无穷小的和差积)性质2 (无穷小与有界量的积)例1 ).53sin(1lim 232+++∞→n n n n n 3. 无穷小与极限的关系:Th 1 =-⇔=→A x f A x f x x )( )(lim 0. , ) 1 (0x x → ( 证 )二、无穷小的阶: 设0x x →时 ). 1 ()( ), 1 ()( ==x g x f 1． 高阶（或低阶）无穷小：2． 同阶无穷小：3．等价: Th 2 ( 等价关系的传递性 ).等价无穷小在极限计算中的应用:Th 3 ( 等价无穷小替换法则 ) .几组常用等价无穷小: 设.0→x 以x 作为基本无穷小, 有等价关系:当0→x 时,x sin ～x , tgx ～x , 1-x a ～x , )1ln(x +～x , x arcsin ～x ,arctgx ～x , x cos 1-～22x , 11-+n x ～nx , n x )1(+～nx . 再加上∞→n 时 (或 ∞→x 时)n 的(或x 的)有理分式(分子次数小于分母次数)的等价无穷小.其中有些等价关系的证明以后陆续进行.例3 求x arctgx x 4sin lim0→. 例4 .sin sin lim 30x x tgx x -→ 三. 无穷大量:1. 定义:例5 验证+∞=→201lim x x . 例6 验证∞=-→3lim3x x x . 2. 性质:性质1 同号无穷大的和是无穷大.性质2 无穷大与无穷大的积是无穷大.性质3 与无界量的关系.无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果.3. 无穷小与无穷大的关系:无穷大的倒数是无穷小, 非零无穷小的倒数是无穷大.四、曲线的渐近线： 1. 定义：2.结论：⑴若∞=→)(lim 0x f x x ,则直线0x x =为曲线)(x f y =的垂直渐近线.⑵若c x f x =∞→)(lim ,则直线c y =为曲线)(x f y =的水平渐近线. ⑶若,)(lim a x x f x =∞→b ax x f x =-∞→})([lim ,则直线b ax y +=为曲线)(x f y =的斜渐近线.注：0x x →可换为-→0x x ,+→0x x ;∞→x 可换为-∞→x ,-∞→x . 例7 求曲线32)(23-+=x x x x f 的渐近线. Ex [1]P66 1—6.。