非稳态导热习题
非稳态导热例题
“非稳态导热”例题例题1：一温度为20℃的圆钢，长度为0.3m ，直径为60mm ，在一温度为1250℃的加热炉内被加热。
已知圆钢的导热系数为35 W/(m ∙K)，密度为7800kg/m 3，比热容为0.460J/(kg ∙K)，加热炉长为6m ，圆钢在其中匀速通过，其表面和炉内烟气间的表面传热系数为100 W/(m 2∙K)。
现欲将该圆钢加热到850℃，试求该圆钢在加热炉内的通过速度。
解 特征尺寸A V /为m 0136.0)1060(14.3413.0)1060(14.33.0)1060(14.3414124133322=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯+=---d dL L d A V πππ 则毕渥数v Bi 为05.0211.01.0039.0350136.0100)/(v =⨯=<=⨯==M A V h Bi λ 因此可以采用集总参数法求解。
θθρτ0ln hA cV= 即s548.14 1250850125020ln 100)10460.0(78003=--⨯⨯=τ则该圆钢在加热炉内的通过速度为m /s 0109.014.5486===τL v例题2：两块厚度均为30mm 的无限大平板，初始温度为20℃，分别用铜和钢制成。
平板两侧表面的温度突然上升至60℃，计算使两板中心温度均达到56℃时两板所需时间之比。
已知铜和钢的热扩散率分别为610103-⨯m 2/s 和6109.12-⨯m 2/s 。
(125.0==铜钢钢铜a a ττ)例题3：无内热源、常物性的二维导热物体在某一瞬时的温度分布为x y t cos 22=。
试说明该导热物体在x =0，y =1处的温度是随时间增加而逐渐升高，还是逐渐降低？例题4：一初始温度为20℃的钢板，厚度为10cm ，密度为为7800kg/m 3，比热容为460.5 J/(kg ∙K)，导热系数为53.5W/(m ∙K)，放置到温度为1200℃的加热炉中加热，钢板与烟气间的表面传热系数为407 W/(m 2∙K)。
公用设备工程师-专业基础(暖通空调、动力)-传热学-2.3非稳态导热
公用设备工程师-专业基础（暖通空调、动力）-传热学-2.3非稳态导热[单选题]1.在非稳态导热过程中，瞬态导热过程根据温度的变化特性可以分为三个不同的阶段，下列说法中不正确的是()（江南博哥）。
[2014年真题]A.在0.2＜Fo＜∞的时间区域内，过余温度的对数值随时间线性变化B.Fo＜0.2的时间区域内，温度变化受初始条件影响最大C.最初的瞬态过程是无规则的，无法用非稳态导热微分方程描述D.如果变化过程中物体的Bi数很小，则可以将物体温度当作空间分布均匀计算正确答案：C参考解析：非稳态的三个阶段中，初始阶段和正规状态阶段是以傅里叶数Fo＝0.2为界限。
A项，在正规状态阶段（0.2＜Fo＜∞），过余温度的对数值随时间按线性规律变化；B项，Fo＜0.2为初始阶段，该阶段内受初始条件影响较大，且各个部分的变化规律不相同；C项，非稳态的导热微分方程在描述非稳态问题时并未有条件限制，即便是最初阶段也是可描述的；D项，毕渥准则数Bi 为导热热阻与对流热阻的比值，当Bi较小时，说明物体的导热热阻接近为零，因此可以将物体温度当作空间分布均匀计算。
[单选题]2.当固体导热过程Bi数趋于无限大时，描述该物体导热性质的正确说法是()。
[2016年真题]A.物体温度可以近似等于流体温度B.物体内部导热能力远大于物体换热能力C.物体内部温度变化速度相对较快D.边界壁面温度等于流体温度正确答案：D参考解析：毕渥准则（Bi＝hδ/λ）表示物体内部导热热阻（δ/λ）与物体表面对流换热热阻（1/h）的比值，固体导热过程Bi数趋于无限大时，导热热阻远远大于对流换热热阻，这意味着表面传热系数趋于无限大，即对流换热的热阻趋于零，但内部导热热阻的大小无法确定，这时物体的表面温度几乎从冷却过程一开始便立即降低到流体的温度，即边界壁面温度等于流体温度，而物体内部的温度变化未可知。
D.对于普通圆柱体L＝R，R为半径正确答案：D参考解析：毕渥准则的公式为：Bi＝hL/λ。
非稳态导热例题_527806118
非稳态导热问题例：一厚46.2mm温度278K的奶油，由冷藏室移至298K环境中，奶油盛于容器中，顶面与环境接触，各侧面及底面均绝热，试计算5小时后，奶油顶面、中心面及底面的温度。
k=0.197w/m.k,C=2300J/kg.K,ρ=998kg/m3, h=8.52w/m2.K例：一直径较大的火箭发动机喷管，壁厚8mm，密度8600kg/m3，k=26w/m.K，C=545J/kg.K，在静态实验中初始温度27°C的管壁与此1800°C的高温燃汽接触，h=2050w/m2.K，若壁面能承受最高温度为1010°C，假设外侧完全绝热，试求火箭发动机能允许运行的时间。
例：直径50mm长1.2m的轴，在炉内加热达到均匀温度427°C，将其一端面投入38°C的冷却剂中淬火，轴表面与冷却剂之间的h为340w/m2K, 若轴的k=26w/m.K，α=0.031m2/h，求出1.25分钟后轴距表面0.01m处的温度（以及端面的中心温度）例：钢锭尺寸长0.5m, 宽0.7m, 高1m，k=40.5w/m.K, α=0.722×10-5m2/s, 求钢锭置入炉温1200°C的加热炉中4小时后最低温度和最高温度之差，其初始温度为20°C，h=348w/m2.K。
例：某材料用热处理法进行改性，如果该材料加工成5mm半径的球体，在炉内加热到400o C，将其从炉内移出进行两步冷却。
第一步移出后在20o C的空气中冷却经历一段时间ta, 使球体的中心温度达到335o C，如果对流换热系数为10w/m2k ；第二步是将第一步冷却后球体放到20o C的水浴中进行冷却，若对流换热系数为6000/m2k。
试计算（1）第一步需要的时间；（2）第二步将中心温度从335o C降至50o C所需要的时间。
,3/30006−1000,/==ρ20==α×10kkgKWmKsmJc.6,66kg/2m/。
传热学3-非稳态导热
第三阶段 建立新的稳态阶段， 理论上需要无限长
t
H
1
时间
物体各处的温度达
t
0
G
F A B E C D
到新的稳态
两类非稳态导热的区别：瞬态导热存在着有区别的 三个不同阶段，而周期性导热不存在。
5 热量变化
Φ 1－－板左侧导入的热流量 Φ 2－－板右侧导出的热流量
各阶段热流量的特征： 不规则情况阶段段：Φ1急剧减小，Φ2保持不变；
物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值
着重讨论瞬态非稳态导热。
非稳态导热过程中在热量传递方向上不
同位臵处的导热量是不同的；
不同位臵间导热量的差别用于（或来自）
该两个位臵间内能随时间的变化，这是 区别与稳态导热的一个特点。
对非稳态导热一般不能用热阻的方法来
作问题的定量分析。
3 温度分布
h Bi 1h
（3） / 与 1/ h 的数值比较接近
平板中不同时刻的温度分布
介于上述两种极端情况之间。 两个热阻的相对大小对于物体
中非稳态导热的温度场的变化 具有重要影响。 引入表征这两个热阻比值的无 量纲数毕渥数。 Bi h
1h
近似分析法
a
L2
exp Bi Fo 0
0
exp Bi Fo 0
Bi Fo
应用集总参数法时，物体过余温度随时间的变化 关系是一条负自然指数曲线，或者无因次温度的 对数与时间的关系是一条负斜率直线
3.2.2 导热量计算式、时间常数与傅立叶数
1、导热量计算
hA Vc 0
Q Φ ( )d (t0 t ) hAe
第四章 非稳态导热(5)14
④ 某一时刻物体表面的热流量或从某一时刻起经一定时间后表面传递的总热量。
5
2）求解方法：主要有分析解法、数值解法、图解法和热电模拟法等。 本章仅介绍分析解法，而且只针对第三类B、C下一维非稳态导热的求解。
二、一维非稳态导热的分析解及诺谟图
工程上常见的非稳态导热问题分以下三种：
一维非稳态导热问题：
无限大平壁 无限长圆柱体
一、概 述
1.1 定义：非稳态导热是指发生在非稳态温度场内的导热过程。
其数学表达式为：t f (x, y, z, )
按照其过程进行的特点，可分为以下二种：
（1）周期性非稳态导热：导热物体内的温度随时间周期性地 变化。
（2）非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体内的温度随时 间不断的 升高或降低。
2
1.2 非稳态导热过程的特点
大平壁非稳态导热分析
由左侧表面导入的热量到达右侧表面之前的一段时间。
② 正常情况阶段。
当左侧表面导入的热量到达右侧表面之后，使右侧壁温不断升高，直到它达
到新的平衡状态的这段时间。
4
B）大平壁两侧被加热过程
一初始温度均匀为t0的无限大平壁，突 然投入到温度为tf的热流体中对称加热。平 壁内发生了非稳态导热过程。平壁中的温
1.3 求解的目的和方法
1） 求解非稳态导热问题主要目的有四个：
① 物体的某一部分从初始温度上升或下降到某一确定温度所需的时间，或经某 一时间后物体各部分的温度是否上升或下降到某一指定值；
② 物体在非稳态导热过程中温度分布，为求材料热应力和热变形提供必要资料； ③ 物体在非稳态导热过程中的温升速率；
二维非稳态导热问题：短圆柱体、长的方柱体
三维非稳态导热问题：短方柱体、长方体
传热学第三章 非稳态导热
时、物体中最大与最小的过余温度之差小于5%，对于一 般工程计算，此时已经足然特确地可以认为整个物体温度 均匀。按照这样要求，由于l=V/A对圆柱有球分别是半轻 的1/2与1/3、因而如果以l作为Bi数的特征长度，则该Bi数 对平板、国柱与球应该分别小于0.1、0.05和0. 033。
方程中指数的量纲：
hA
W m2K
m2
w1
Vc
kg m3
Jkg K
[
m3
]
J
s
第三章 非稳态导热
9
即与 1 的量纲相同，当 Vc 时，则
hA
hA
1 Vc
此时，
e1 36.8%
0
称
Vc
hA
为时间常数，用 c 表示。
第三章 非稳态导热
10
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大），
有一直径为 5cm 的钢球，初始温度为 450 ℃，将其突然置 于温度为 30 ℃空气中。设钢球表面与周围环境间的总换热 系数为 24w/（m2 . K），试计算钢球冷却到 300 ℃所需的 时间。已知钢球的 c=0.48kJ/(kg·K ) , ρ =7753kg/m3 , λ =33w/(m. K ).
Fo
l2
a
换热时间 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲 热阻
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体 内部，因而，物体各点地温度就越接近周
围介质的温度。
无量纲 时间
第三章 非稳态导热
12
对于平板、圆柱、球的一维非稳态第三类边界条件条件下 的导热问题，当按特征长度
l= 、厚度为2 的平板，
l=R、圆柱 l=R.球 定义的Bi数满足
第4章 非稳态导热的计算与分析
分析解
分析解为：
无穷级数之和
x, x 2 a Cn exp n 2 cos n 0 n 1
式中
4sin n Cn 2n sin 2n
μn称为特征值，是以下超越方程的根：
n tan n
原因是：由非稳态过程的特点造成的
非稳态过程的特点（以厚为dx的微元平壁为例）
——进入微元平壁的热量一边被吸收（蓄热），一边
被传导
——吸收的结果：不但使进、出平壁的热量不等，而
且导致自身温度升高
——传导的结果：热量能够影响到的区域，平壁温度
都将发生变化
首先，受流体加热的影响，壁面两侧的温度立即发生
引入过余温度θ=t-t∞后的数学模型：
2 a 2 x
0 x , 0
| 0 0 t0 t f
| x 0 0 x
| x h | x x
求解是数学问题，方法很多。典型的分离变量法、
Laplace变换方法等
从平壁放入流体中的那一刻起，壁面
就具有和流体相同的温度
h Bi 1h
随时间的推移，平壁内各点的温度逐 渐升高而最终趋于t∞
这时第三类边界条件可转化为第一类 边界条件
h Bi 1h
当Bi→0时，即物体内部的导热热阻δ/λ远小于表面的对
流热阻1/h，可以忽略物体内部的导热热阻
h
x, x 2 a Cn exp n 2 cos n 0 n 1
4sin n Cn 2n sin 2n
第四章 非稳态导热(6)14
(b)
36 .8%
可以得出内部热阻可被忽略的非稳 态导热过程具有以下二个特点： （1）物体温度 随时间按指数函数关系下降，如 图所示，开始下降快，随后变化减慢。
0
， t t f 0，即t t f
Tτ
集总参数系统θ -τ曲线
τ
（2）物体温度随周围流体温度变化的快慢与该物体的时间常数Tτ有关。 什么是时间常数？式（b）中 ρcV/（hA） 具有时间的量纲，此外，对于常物 性物体，一旦几何尺寸确定（ V/A 确定）， ρcV/（hA） 的值也就确定了。 cV T 在以上二个意义上，把 ρcV/（hA） 称为时间常数，记为Tτ，即 。 hA
代人（a）式得 cV
Ah(t t f ) V
集总参数系统的微分方程
dt ＝ Ah (t t f ) d
（2）根据能量守恒定律：物体内能（焓）的变化等于物体表面对外散去的热量：
cV
dt ＝Ah (t t f ) d
3
求解微分方程：
引入过余温
初始条件：
t tf
d ＝ Ah ， 上式变成 cV d
o
d
hAo (
cV
hA
o
)(e
hA cV
hA cV
o
1)
Φ的单位—W或kW； Qτ的单位—J或kJ。
cVo (1 e
)
请大家思考：瞬时的传热量Φ和总传热量Qτ的单位是什么？
7
三、集总参数法的适用条件
集总参数法比较简单，但应用它是有条件的，必须满足： Bi
1 R R 2l V BiV Bi 0.05 L 2 2 2Rl A
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第三章 非稳态导热习题例一腾空置于室内地板上的平板电热器，加在其上的电功率以对流换热和辐射换热的方式全部损失于室内。
电热器表面和周围空气的平均对流换热系数为h ，且为常数，室内的空气温度和四壁、天花板及地板的温度相同，均为t f 。
电热器假定为均质的固体，密度为ρ，比热为c ，体积为V , 表面积为A ，表面假定为黑体，因其导热系数足够大，内部温度均布。
通电时其温度为t 0。
试写出该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。
[解] 根据题意，电热器内部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。
电热器以辐射换热方式散失的热量为：44r f ()A T T σΦ=- （1）以对流换热方式的热量为：c f ()hA T T Φ=- （2）电热器断电后无内热源，根据能量守恒定律，散失的热量应等于电热器能量的减少。
若只考虑电热器的热力学能(r c d d TcVρτ-Φ-Φ= （3）因此，相应的微分方程式为：44f f d ()()d TA T T hA T T cVσρτ-+-=- （4） 初始条件为：τ=0， t =t 0 （5）上述两式即为该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。
例 电路中所用的保险丝因其导热系数很大而直径很小可视为温度均布的细长圆柱体，电流的热效应可视为均匀的内热源。
如果仅考虑由于对流换热的散热量，保险丝表面和温度为t f 的周围空气之间的平均对流换热系数为h ，且为常数。
试求该保险丝通电后温度随时间的变化规律。
[解] 根据题意，保险丝内部温度均布，因此可用集中参数分析法处理。
保险丝表面以对流换热方式散失的热量为：*c f ()hA T T Φ=- （1）保险丝的内热源为：Q 0=IR 2 （2）式中：I ——保险丝通过的电流，（A ）； R ——保险丝的电阻，Ω。
根据能量守恒，散失的热量与内热源所转变成的热量的和应等于保险丝能量的变化。
若只考虑保险丝的热力学能c 0d d TQ cVρτ-Φ+= （3） 因此，相应的微分方程式为：2f d ()d ThA T T I R cVρτ--=- （4） $初始条件为：τ=0， t =t f （5）上述两式即为该保险丝通电后温度随时间变化的数学描述。
令2f I Rt t hAθ=--，则上述微分方程改写为d d ρθθτ=-cV hA （6）该微分方程的解为θθτθρ=-=-00exp()exp(BiFo)hAcV（7） 以温度t 表示该解τρ--=---22f 0f (）exp()I R I R hAt t t t hA hA cV（8）—由初始条件τ=0， t 0= t f ，该式可写为τρ-=--2f [1exp()]I R hAt t hA cV（9）上式即为该保险丝通电后温度随时间的变化规律，从中可以看出内热源对保险丝的温度变化的作用。
例 一块厚10 mm 的纯铝板置于温度为10 ℃的空气中，铝板和空气之间的平均对流换热系数h =10 W/(m 2·K)，且为常数。
求该铝板从100 ℃降到20 ℃所需时间及当时的热流密度。
[解] 求解瞬态导热问题，应先计算比渥准则Bi 的数值，确定是否能采用简单的集总参数法。
查取铝的物性参数，密度ρ=2702 kg/m 3，比热容c =903 J/kg ，导热系数λ=237 W/(m·K)。
λ-⨯⨯===⨯⨯4100.01'Bi 2.11102372'hV A A A （1） Bi<, 可用集总参数法计算。
—0exp()hAcVθθτρ=-（2）102'2010(10010)exp()27029030.01'A A τ⨯-=--⨯⨯⨯ （3）τ=2680 s （4）铝板从100 ℃降到20 ℃时，铝板的表面温度，空气温度，铝板和空气之间的平均对流换热系数h 均为已知，因此热流密度可用牛顿冷却公式计算。
q =h ( t- t f )=10×(20-10)=100 W/m 2 （5） .例 用球形热电偶接点作动态温度测量时，对热电偶的响应速度有一定要求。
现要求一个初温为t 0的球形热电偶与温度为t f 的被测流体接触后，在1 s 内所指示的过余温度比f 00f95%t t t t θθ-==-。
现有一铜-康铜球形热电偶接点，它与被测流体之间的对流换热表面传热系数h =50 W/(m 2·K)，且为常数。
试求该球形热电偶接点的最大允许半径r 0。
[解] 求解瞬态导热问题，应先计算比渥准则Bi 。
查取铜的物性参数，密度ρ=8954 kg/m 3，比热容c =384 J/kg ，导热系数λ=398 W/(m·K)；查取康铜的物性参数，密度ρ=8922 kg/m 3，比热容c =410 J/kg ，导热系数λ=22 W/(m·K)。
球形热电偶接点是这两种材料的熔化物，因此取平均值，密度ρ=8938 kg/m 3，比热容c =397 J/kg ，导热系数λ=210 W/(m·K)。
λ==0050Bi 210hr r （1）因半径r 0未知，比渥准则Bi 的数值无法计算。
但可假定Bi<，先用集总参数法计算， 然后进行较核。
0exp()hAcVθθτρ=-（2）ππ-⨯-⨯=-=⨯⨯25030504 4.206100.95exp(1)exp()489383973r r r （3）【r 0=×10-4 m (4)校核r 0，λ==0050Bi 0.1210hr r （5）因为比渥准则Bi<<，上述分析计算合理。
讨论：求解瞬态导热问题，应先计算比渥准则Bi ，一旦Bi<，就可以用简单的集总参数法计算，但是Bi 数值的确定需要先知道定型尺寸的数值。
本题中定型尺寸的数值是所求对象，因此只能先假定Bi<，能用集总参数法计算，计算完后需要根据算出的定型尺寸校核集总参数法的应用条件Bi<是满足的。
例某种电路中所用的保险丝的直径为0.5 mm,长20 mm ，导热系数λ=20 W/(m·K)，热扩散率a =5×10-5 m 2/s,电阻为Ω,熔点为900 ℃。
如果仅考虑由于对流换热的散热量，保险丝表面和温度为20 ℃的周围空气之间的平均对流换热系数为10 W/(m 2·K)，且为常数。
试确定该保险丝通过2 A 的电流后多少时间会熔断。
[解] 该保险丝因其导热系数较大而直径很小可视为温度均布的细长圆柱体，电流的热效应可视为均匀的内热源。
瞬态导热问题先计算比渥准则Bi 的数值。
!πλπ⨯=≈<⨯210/4Bi 0.120hV d l A dl(1)根据解析题,2f [1exp()]I R hA t t hA cVτρ-=-- (2)代入具体数值22520.81090020[1exp()]2010/4510dldld l πτππ-⨯⨯-≈--⨯⨯ (3)880=×104 [1-exp τ)] (4)τ= s (5)例 将直径为30 mm 、初温为20 ℃的生红肠放入温度为180 ℃的烘箱中烤熟。
假定生红肠的密度ρ=960 kg/m 3，比热容c =5000 J/kg ，导热系数λ= W/(m·K)，仅考虑由于对流换热的加热量，红肠和烘箱中空气之间的平均对流换热系数为30 W/(m 2·K)，且为常数。
试求生红肠放入烘箱中10 min 时红肠的中心温度。
[解] 红肠可视为细长圆柱体。
瞬态导热问题先计算比渥准则Bi 的数值。
&πλπ⨯⨯⨯=≈>⨯⨯⨯2300.03/4Bi 0.10.90.03hV l A l(1)因此本题不能用集总参数法计算，只能用查计算线图（海斯勒图）的方法。
λ⨯===300.015Bi 0.50.9hR (2)λτρ⨯===⨯⨯220.9600Fo 0.596050000.015cR (3) 查计算线图（海斯勒图）得m m 01800.5620180t θθ-=≈- (4) 解得生红肠放入烘箱中10 min 时的中心温度 t m =90.4 ℃ (5)例 直径为400 mm 、初温为20 ℃的钢棒放入温度为600 ℃的炉中加热。
钢棒的密度ρ=7833 kg/m 3，比热容c =465 J/kg ，导热系数λ=54 W/(m·K)，仅考虑由于对流换热的加热量，钢棒与炉中气体之间的平均对流换热系数为130 W/(m 2·K)，且为常数。
试求钢棒中心温度达到400 ℃时所需的时间，并确定此时钢棒的表面温度。
?[解] 钢棒可视为细长圆柱体。
瞬态导热问题先计算比渥准则Bi 的数值。
πλπ⨯⨯⨯=≈>⨯⨯⨯21300.4/40.1540.4hV l Bi A l(1)因此本题不能用集总参数法计算，只能用查计算线图（海斯勒图）的方法。
λ⨯===1300.2Bi 0.481454hR (2) 钢棒中心温度达到400 ℃时，m 04006000.344820600θθ-=≈- (3) 查计算线图（海斯勒图）得Fo 准则的数值为λτττρ-⨯====⨯⨯⨯42254Fo 1.3 3.7061078334650.2cR (4) 解得钢棒中心温度达到400 ℃时所需的时间 τ=3508 s (5)R R m 6000.79400600t θθ-=≈- (6) 》解得此时钢棒的表面温度 t R =442 ℃例 截面为1 m×1 m 的耐火砖方形长柱体，初温为20 ℃，与600 ℃的高温烟气接触，仅考虑由于对流换热的加热量，柱体与燃气之间的平均对流换热系数为20 W/(m 2·K)，且为常数。
耐火砖的密度ρ=2000 kg/m 3，比热容c =960 J/kg ，导热系数λ= W/(m·K)， 试求耐火砖柱体与烟气接触120小时时方柱体的中心温度。
[解] 瞬态导热问题先计算比渥准则Bi 的数值。
λ⨯⨯⨯=≈>⨯⨯⨯2011Bi 0.11.0741hV lA l(1)因此本题不能用集总参数法计算，只能用查计算线图（海斯勒图）的方法。
方形长柱体的导热是二维导热问题，可用两个壁厚相同的无限大平壁的解的乘积求得。
δλ⨯===200.5Bi 9.3461.07h (2) λτρδ⨯===⨯⨯221.07432000Fo 0.96320009600.5c (3) 再查计算线图（海斯勒图）得%m0.18θθ≈ (4)因此，方形长柱体中心的过余温度比m f m m m 0f 006000.180.1820600t t t t t θθθθ--==•=⨯-- (5)最后解得120小时时方形长柱体的中心温度t m =581.2 ℃。