信号与系统 周期信号频谱特点
4.3 周期信号的频谱及特点
4.3
周期信号的频谱及特点
2）、周期矩形脉冲的频谱
有一幅度为E，脉冲宽度为τ的周期矩 形脉冲，其周期为T，如图所示。求 频谱。 T τ
−
τ
2
τ
2
Fn =
1 T
∫
2
T − 2
f (t ) e
− jnΩt
E e− jnΩt = T − jnΩ
τ
2 −
τ
2
E 2 − jnΩt dt = dt τ e ∫ − T 2 nΩτ sin( ) Eτ sin nΩτ 2E 2 2 = = T nΩτ T nΩ
1）、定义
依据复傅立叶系数Fn随nΩ的变化关系所画的图称为 双边频谱图，简称双边谱； |Fn|~ nΩ为双边幅度谱，见图4.3-1（b）；其 以纵轴对称。 θn~ nΩ为双边相位谱。见图4.3-1（d）图。其 以原点对称。
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, n = 0,1,2,..., φ0 = 0.
Fn ~ nΩ
θ n ~ nΩ
周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随 频率的变化关系。
第 第23 23-3 3页 页
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4.3
A0 f (t ) = + 2
∞
周期信号的频谱及特点
ω1
T τ = = 2π Ω τ T
2π
见课本P131 页图4.3-4。
增多。
(b)、 τ 一定，T增大，谱线间隔 Ω 减小，频谱谱 线密度增大。谐波幅度减小：
信号简答题答案
答：非周期信号的频谱与周期信号的频谱相比相同点是非周期信号的频谱与周期信号的频谱的包络线有相同的形状、相同的有效频带宽度；不同点是非周期信号的频谱是连续的、幅度为无穷小的频谱，周期信号的频谱是离散的、幅度为有限值的频谱。
3.4 傅里叶变换的时频展缩特性对信号处理有什么重要意义？
时域抽样定理的实际应用主要体现在其第一部分，它告诉我们由模拟信号向数字信号转换最基本的要求，否则其转换是无实际意义的
3.8 定义信号的有效频带宽度有什么实际意义？
答：因为系统的带宽要适应信号的带宽，系统的带宽如果小于信号的带宽，那么经这个系统处理的信号就会失真，如果系统的带宽比信号的带宽大的多，那么就会造成很大的浪费，所以只有确定了信号的带宽，才能既能够不失真的处理信号，又不至于投资浪费。
3.1 周期信号的频谱有什么特点？
答：有三个特点：第一，离散性：周期信号的频谱是离散频谱（二根谱线间的距离是（角频率）或（频率），可见与信号周期成反比）；第二，谐波性：在处，对应着不同振幅的不同谐波（其频谱的各次谐波的振幅与信号的幅度A、信号的持续时间τ成正比，而与信号的周期T成反比）；第三，收敛性：随着频率的增加，周
期信号频谱的总的趋势是下降的（从而可以定义出信号的有效频带宽度，其与信号的持续时间成反比）。
3.2 周期信号的周期T、持续时间τ及幅度A对该信号的频谱都有什么影响？
答：周期T的变化会改变谱线间的距离（反比）、谐波的幅度（反比），持续时间τ的变化会改变谐波的幅度（正比）、信号的有效频带宽度（反比），幅度A的变化会改变谐波的幅度（正比）。
3.9 若信号的最高频率是300Hz，求如下信号的最高频率，如果对其进行无失真的抽样，那么最小抽样频率是多少，对应的抽样ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ隔是多少？
4.2周期信号的频谱
2A ( n 1, 3, 5,) n 90o ( n 1,3,5,) n o ( n 1, 3, 5,) 90 Fn
信号与系统
周期矩形脉冲信号的频谱
对于周期矩形脉冲，在一个周期内为
A t t
4.2-5
f (t )
0
2 2
4A (n 1,3,5,...) nπ
矩形波：
图1
n 90o (n 1,3,5,...)
谱 线
相位值 振幅 图2 角频率
信号与系统
4.2
周期信号的频谱
4.2-3
4.2.1 周期信号频谱的特点
频谱特点：
•
离散性：每根谱线代表一个谐波分量， 称为离散谱线。 谐波性：基波1的整数倍频率 收敛性：高次谐波幅度渐小，当谐波次 数无限增多时，谐波分量的振幅趋于无 穷小。
4.2 周期信号的频谱
信号与系统
4.2-1
4.2.1 周期信号频谱的特点
将周期信号分解为傅里叶级数(简称傅氏级数)，为在频域 中认识信号特征提供了重要的手段。由于在时域内给出的 不同信号，不易简明地比较它们各自的特征，而当周期信 号分解为傅氏级数后，得到的是直流分量和无穷多正弦分 量的和，从而可在频域内方便地予以比较。为了直观地反 映周期信号中各频率分量的分布情形，可将其各频率分量 的振幅和相位随频率变化的关系用图形表示出来，这就是 信号的“频谱图”。频谱图包括振幅频谱和相位频谱。前 者表示谐波分量的振幅An随频率变化的关系；后者表示谐 波分量的相位φn 随频率变化的关系。习惯上常将振幅频谱 简称为频谱。
奇谐函数
偶谐函数
注：指交流分量
信号与系统
信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换
t0
⎧0 ⎪T cos(mω1t )cos(nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪2 ⎩T1
m≠n m=n≠0 m=n=0
∫
∫
t0 +T1
t0
0 ⎧ ⎪T sin (mω1t )sin (nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪ ⎩2
m≠n m=n≠0
t0 +T1
t0
sin (mω1t )cos(nω1t )dt = 0 ，对于所有的 m 和 n
n =1
⎧ ⎪d 0 = a 0 ⎪ 2 2 ⎨d n = a n + bn ⎪ an ⎪θ n = arctan bn ⎩
n = 1,2,3,L n = 1,2,3,L
三、虚指数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t ) 可以分解为
f (t ) =
n =−∞
∑ Fe
n
∞
jnω1t
傅里叶系数：
Fn = 1 t0 +T1 f ( t ) e − jnω1t dt ∫ t 0 T1
f (t )
E 2
−
T1 2
0
T1 2
t
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = an = 0
4 bn = T1
Fn = −
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
1 π jbn ， ϕ n = − 2 2
6
奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含 有正弦项。 3、奇谐函数（半波对称函数） 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变 化，即满足 ⎛ T ⎞ f (t ) = − f ⎜ t ± 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = 0 an = bn = 0 （ n 为偶数） （ n 为奇数）
第13讲 周期信号的频谱及其特点
号的调制与解调等等。
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2
本章主要内容
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
周期信号的分解与合成 周期信号的频谱及特点 非周期信号的频谱 傅氏变换的性质与应用（1） 傅氏变换的性质与应用（2）
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3
本章主要内容
3.6 周期信号的频谱 3.7 系统的频域分析 3.8 无失真传输系统与理想低通滤波器 3.9 取样定理及其应用 3.10 频域分析用于通信系统
0 0 20 30 40 50
0.15
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14
周期信号的单边频谱
已知周期信号 f(t)11c o ts2 1s in t
2 4 3 4 3 6
求其基波周期T，基波角频率0，画出它的单边频谱图。
解：将f(t)改写为： f(t) 1 1 c o t s2 1 c o t s 2 4 3 4 3 62
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13
周期信号的单边频谱
画出周期信号 f(t) 的振幅频谱和相位频谱。
f(t) 1 si0 n t 2 co 0 t sco 20 ts ( 4 )
f(t) 1 5 co 0 ts 0 .( 1) 5 c o 20 s t 4
Ak 5
k
0.25
1
1
0
0
20 30 40 50
相位频谱图描述各次谐波的相位与频率的关系。
根据周期信号展开成傅里叶级数的不同形式，频谱图又分 为单边频谱图和双边频谱图。
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8
周期信号的单边频谱
周期信号 f ( t ) 的三角函数形式的傅里叶级数展开式为
f(t)A0 Ancos(n1tn) n1
A n 与 n 1 的关系称为单边幅度频谱；
信号与系统知识要点
《信号与系统》知识要点第一章 信号与系统1、 周期信号的判断 （1）连续信号思路：两个周期信号()x t 和()y t 的周期分别为1T 和2T ，如果1122T N T N =为有理数（不可约），则所其和信号()()x t y t +为周期信号，且周期为1T 和2T 的最小公倍数，即2112T N T N T ==。
（2）离散信号思路：离散余弦信号0cos n ω（或0sin n ω）不一定是周期的，当 ①2πω为整数时，周期02N πω=；②122N N πω=为有理数（不可约）时，周期1N N =； ③2πω为无理数时，为非周期序列注意：和信号周期的判断同连续信号的情况。
2、能量信号与功率信号的判断 （1）定义连续信号 离散信号信号能量：2|()|k E f k ∞=-∞=∑信号功率： def2221lim ()d T T T P f t t T →∞-=⎰ /22/21lim|()|N N k N P f k N →∞=-=∑⎰∞∞-=t t f E d )(2def（2）判断方法能量信号： P=0E <∞， 功率信号： P E=<∞∞， （3）一般规律①一般周期信号为功率信号；②时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号；③还有一些非周期信号，也是非能量信号。
例如：ε(t )是功率信号； t ε(t )3、典型信号① 指数信号： ()at f t Ke =，a ∈R② 正弦信号： ()sin()f t K t ωθ=+tt4、信号的基本运算 1) 两信号的相加和相乘 2) 信号的时间变化 a) 反转: ()()f t f t →- b) 平移: 0()()f t f t t →± c)尺度变换: ()()f t f at →3) 信号的微分和积分注意：带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。
正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激。
信号与系统 §4.3 周期信号的频谱
e-jnΩt，才能保证f(t)的实函数的性质不变。
▲
■
第3页
二、周期信号频谱的特点
举例：有一幅度为1，脉冲宽
f(t) 1
度为的周期矩形脉冲，其周
0
期为T，如图所示。求频谱。
-T
Fn
1 T
T
2 T
2
f (t) e d jnt t
(3)离散谱（谐波性）
（4)第一个零点坐标：2π T
当ω nΩ时取值 （5）Fn是复函数（此
处
令 n n＝ 2π
为实函2数），幅度/相位
Fn 0，相位为 0，Fn 0, 相位为π 。 ▲
■
第5页
周期信号频谱的特点
(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频 Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。
1 T
2
e
jnt
dt
2
2
2
1 e jnt T jn
2
2
2
sin(
n
2
)
T n
T
sin n
2
n
2
令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）
…
T
t
▲
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第4页
Fn
Sa( n ) Sa( n )
T 2TT
, n = 0 ,±1，±2，…
图中T 5
Fn
T
2π
O 2
(1)包络线形状：抽样函数 (2)其最大值在 n 0处，为 。
§4.3 周期信号的频谱
• 信号频谱的概念 • 周期信号频谱的特点
信号与系统(郑君里)复习要点
信号与系统复习书中最重要的三大变换几乎都有。
第一章 信号与系统 1、信号的分类①连续信号和离散信号 ②周期信号和非周期信号 连续周期信号f (t )满足f (t ) = f (t + m T )， 离散周期信号f(k )满足f (k ) = f (k + m N )，m = 0,±1,±2,…两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。
③能量信号和功率信号 ④因果信号和反因果信号2、信号的基本运算（+ - × ÷） 2.1信号的（+ - × ÷）2.2信号的时间变换运算 （反转、平移和尺度变换） 3、奇异信号3.1 单位冲激函数的性质f (t ) δ(t ) = f (0) δ(t ) ， f (t ) δ(t –a) = f (a) δ(t –a)例： 3.2序列δ(k )和ε(k ) f (k )δ(k ) = f (0)δ(k ) f (k )δ(k –k 0) = f (k 0)δ(k –k 0) 4、系统的分类与性质4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统 ①线性性质 T [a f (·)] = a T [ f (·)](齐次性) T [ f 1(·)+ f 2(·)] = T[ f 1(·)]+T[ f 2(·)] （可加性）②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：)0(d )()(f t t t f =⎰∞∞-δ)(d )()(a f t a t t f =-⎰∞∞-δ?d )()4sin(91=-⎰-t t t δπ)0('d )()('f t t f t -=⎰∞∞-δ)0()1(d )()()()(n n n f t t f t -=⎰∞∞-δ4)2(2])2[(d d d )(')2(0022=--=--=-==∞∞-⎰t t t t tt t t δ)(1||1)()()(t a a at n n n δδ⋅=)(||1)(t a at δδ=)(||1)(00a t t a t at -=-δδ)0()()(f k k f k =∑∞-∞=δy (·) = y f (·) + y x (·) = T[{ f (·) }, {0}]+ T[ {0}，{x (0)}] (可分解性) T[{a f (·) }, {0}] = a T[{ f (·) }, {0}]T[{f 1(t ) + f 2(t ) }, {0}] = T[{ f 1 (·) }, {0}] + T[{ f 2 (·) }, {0}](零状态线性)T[{0},{a x 1(0) +b x 2(0)} ]= aT[{0},{x 1(0)}] +bT[{0},{x 2(0)}](零输入线性) 4.4时不变系统与时变系统T[{0}，f (t - t d )] = y f (t - t d)(时不变性质)直观判断方法：若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。
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第一、离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线 代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。
第二、谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 Ω的整数倍频率上，即含有Ω的各次谐波分量，而决不含 有非Ω的谐波分量。
第三、收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nΩ 的变化有起伏变化，但总的趋势是随着nΩ的增大而逐渐 减小。 当nΩ→∞时，|Fn|→0。
Fn
E 5
＝2T
2
4
❖－脉τ2 冲o τ宽2 度相T同，频谱2T 包络t 线的零o 点 所在位置不变； (a)
❖周期增长，相邻谱线的间隔减小，谱线变密；
f(t)
Fn
❖周E期趋于无穷时，相邻谱线的间E 隔将趋＝于2T 零。
10
2
4
－τ o τ
T
t
o
22
不同 T
(b)
(a) T=5τ; (b) T=10τ
频谱分析表明：
• 离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越 大，谱线越密。
• 各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比， 与周期成反比。
• 各谱线的幅度按 Sa ( n ) 包络线变化。
• 过零点为 2m
T
• 主要能量在第一过零点内。带宽：
2 B (rad / s) 或
1
Bf
( Hz )
周期信号频谱的特点： 三性——离散性、谐波性、收敛性 一集中——能量集中于低频带。
脉冲宽度与频谱的关系
f(t) E
Fn
E 5
＝2T
2
－❖τ2 周o τ期2 相同，相邻谱T 线的t间隔宽度愈窄，包络线第一个零点的频率愈高；
❖E信f号(t) 的频带宽度与脉冲宽度成反Fn比。
E 10
o
T
t
o
2
τ
τ
(b)
不同τ
(a) τ=T/5; (b) τ=T/10
f(t) E