蝴蝶定理
初中数学微课课件：蝴蝶定理
图3
B A
N H M
D C
图4
二、问题解决
问题1： 如图5，若四边形 ABDC为等腰梯形，MN 过对角线AD ，
BC 的交点H ，且AB ∥CD ∥MN ,可以得到哪些结论？
B A
N H M
C
图5
解 （1）角： ∠HAB=∠HBA, ∠AHC=∠BHD, ∠CAD=∠DBC, ∠AMH=∠BNH,…
思考：蝴蝶除了对称性外，还有哪些特征？将
实际问题抽象为几何图形后，怎样研究图形所具有
的性质？
图2
二、问题解决
连结六个特殊点，得到三个等腰梯形，其中图2是两个等腰梯形， 图3中的四边形 ABDC是等腰梯形，并且AD ，BC 和EF 近似过同一点。 下面我们重点研究这个图形（图4）.
B
F
A N
H
M
E D
A
B
F
H
EM
N
K
L
O
C D
∴O，H，M，K四点共圆， O，H，N，L四点共圆,
图7
∴∠AKH=∠MOH, ∠BLH= ∠NOH,
∴∠MOH= ∠NOH.
∴△MOH≌△NOH.
∴MH= NH.
蝴蝶定理：过弦EF的中点H，任作两条弦AD，BC，弦AC和BD分别交EF于点M，N.则H为线段MN的中点.
四、反思悟学
B
A N
H
M
公用边
等高
面积比=底边比
解 ∵△ABH和△AHC是一组等高三角形
C
图7
D
又∵△AHC和△CDH是一组等高三角形
∴S02=S1•S2.
三、生长拓学
问题4： 在⊙O中，取弦EF的中点H，过点H 任意作两条弦AD，
几何中的蝴蝶定理
几何中的蝴蝶定理1. 哎呀，今天咱们来聊一个特别有意思的几何定理，叫蝴蝶定理！说实话，光听这名字就觉得美滋滋的，像是在数学花园里看见了一只翩翩起舞的蝴蝶。
2. 这个定理说的是啥呢？想象一下，在一个圆里面，画了两条相交的弦，就像蝴蝶的两个翅膀一样交叉在一起。
这时候就神奇了！3. 这两条弦交叉的那个点，把每条弦都分成了两段。
要是把这四段线段相乘，你猜怎么着？两组乘积居然完全相等！这就跟变魔术一样神奇。
4. 打个比方啊，假如咱们画了两条弦，一条被分成3厘米和5厘米两段，另一条被分成4厘米和3.75厘米两段。
你用计算器算算：3×5=15，4×3.75=15，这不就神了吗？5. 有的同学可能要问了：这定理咋这么像蝴蝶呢？你仔细看啊，两条相交的弦就像蝴蝶的翅膀，交点就像蝴蝶的身体，这不是活脱脱一只几何蝴蝶嘛！6. 这个定理还有个特别实用的地方。
要是你在做几何题时遇到圆里面有两条相交的弦，立马就能用上这个定理，分分钟解出来！7. 说到证明过程，其实也不难。
就像是把蝴蝶的翅膀折来折去，用相似三角形就能证明。
不过今天咱们主要是理解这个定理的妙处，就不钻牛角尖啦！8. 这个定理还告诉我们一个道理：看似不相关的东西，其实暗藏玄机。
就像蝴蝶翅膀上看似随意的花纹，背后却藏着严谨的数学规律。
9. 在实际应用中，蝴蝶定理经常和其他定理一起使用。
比如说和圆幂定理搭配，简直就是几何题的双保险！解题的时候，就像蝴蝶飞舞一样轻松自如。
10. 有意思的是，这个定理还能推广到更复杂的情况。
要是在圆里面画更多的弦，它们相交的点也会形成一些有趣的规律，就像一群蝴蝶在跳舞。
11. 学习数学最重要的就是找到乐趣。
蝴蝶定理就是个很好的例子，它把枯燥的几何变成了生动的图画，让人感受到数学之美。
12. 所以啊，下次你看到蝴蝶，别光顾着欣赏它的美丽，也想想它身上藏着的数学奥秘。
这不就是数学最迷人的地方吗？它把大自然的美和严谨的逻辑完美地结合在了一起！。
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)在小学奥数的几何部分，蝴蝶定理是一个非常有用的工具，它可以帮助我们解决一些复杂的几何问题。
蝴蝶定理主要描述了在四边形中，当两条对角线互相垂直时，四边形被分成四个小三角形，而这四个小三角形的面积之间存在一定的关系。
蝴蝶定理的内容如下：设四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，交于点O。
设四个小三角形的面积分别为S1、S2、S3、S4。
那么，蝴蝶定理可以表述为：S1 + S2 = S3 + S4。
这个定理听起来可能有些抽象，但实际上它的应用非常广泛。
我们可以通过蝴蝶定理来解决一些看似复杂的问题。
下面，我将通过一些例子来展示蝴蝶定理的应用。
例1：在四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，且AC =8cm，BD = 6cm。
如果三角形ABC的面积是24cm²，那么三角形ADC的面积是多少？解答：根据蝴蝶定理，我们有S1 + S2 = S3 + S4。
由于三角形ABC的面积是24cm²，所以S1 = 24cm²。
又因为AC = 8cm，BD = 6cm，我们可以计算出三角形ADC的面积S3 = 1/2 AC BD = 1/2 8cm6cm = 24cm²。
因此，三角形ADC的面积也是24cm²。
例2：在四边形ABCD中，AC和BD是互相垂直的对角线，且AC = 10cm，BD = 5cm。
如果三角形ABC的面积是20cm²，那么三角形ADC的面积是多少？解答：同样地，根据蝴蝶定理，我们有S1 + S2 = S3 + S4。
由于三角形ABC的面积是20cm²，所以S1 = 20cm²。
又因为AC = 10cm，BD = 5cm，我们可以计算出三角形ADC的面积S3 = 1/2 AC BD = 1/2 10cm 5cm = 25cm²。
因此，三角形ADC的面积是25cm²。
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)
小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理一、蝴蝶定理的定义与公式蝴蝶定理是小学奥数几何篇中的一个重要模型，它描述了在等腰三角形中，一条平行于底边的线段将底边平分，并且这条线段与等腰三角形的两腰相交于同一点时，该线段的中点与等腰三角形的顶点、底边的中点以及两腰上的交点形成一个等腰三角形。
蝴蝶定理的公式如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，则AG=BG=CG。
二、蝴蝶定理的应用1. 在等腰三角形中求边长：通过蝴蝶定理，可以快速求出等腰三角形中未知边的长度。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC 的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求AG的长度。
解答：根据蝴蝶定理，AG=BG=CG，又因为AB=AC，所以AG=AB/2=a。
2. 在等腰三角形中求角度：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知角的度数。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求∠AGB的度数。
解答：由于AG=BG=CG，所以△AGB是等边三角形，∠AGB=60°。
3. 在等腰三角形中求面积：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知部分的面积。
例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求△AGB的面积。
解答：由于△AGB是等边三角形，所以△AGB的面积=（a^2 √3）/ 4。
蝴蝶定理的一些结论(根据李文杰老师手稿整理, 还没检查)
故
m
a2
a2
|BR| = a − , |BR| = + a, |M B| = m − a, |M A| = m + a,
m
m
从而
a2
|BR| |AR|
=
a− m a2
+a
=
m−a m+a
=
|M B| |M A|
=
kAC kBD
=
kAD . kBC
m
结论 9: (斜率等差模型)
kP A + kP B = 2kP R, kNA + kNB = 2kNR.
1
蝴蝶定理相关结论及证明
如图,
在椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1
(a > b > 0)
中,
A, B
分别为左右顶点,
C(x1, y1),
D(x2, y2)
为
椭圆上两点, 直线 AC, DB 交于 P , 直线 AD, CB 交于 N , 直线 P N 与 x 轴交于 M (m, 0), 设
P (m, p), N (m, n), 则
y
D
A
MQ
N
O
x
B C
kAB =
y1 − y2 x1 − x2
=
y1 − y2 y12 − y22
2p
=
.
y1 + y2
2p 2p
从而
2p
AB
:
y
−
y1
=
y1
(x − + y2
x1)
=⇒
(y1 + y2)y = 2px + y1y2.
蝴蝶定理
去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为"坎迪定理"，不为中点时满
足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP ,这对2，3均成立。
[1]
蝴蝶定理的证明
∴△ESL∽△CST
∴∠SLN=∠STM
∵S是AB的中点所以OS⊥AB
∴∠OSN=∠OLN=90°
∴O，S，N，L四点共圆，(一中同长)
同理，O，T，M，S四点共圆
∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON
∴∠SON=∠SOM
∵OS⊥AB
∴MS=NS
从X向AM和DM作垂线，设垂足分别为X'和X''。
类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为
Y'和Y''。
证法2
证明方法二
(证明过程见图片)证法3:对称证法
(证明过程见图片)【此方法也可证明蝴蝶定理的一般形式:坎迪定理】证法4:面积法
证法5:帕斯卡定理证法∵M为AB 中点∴KM⊥AB∴∠GMK=∠HMK=90°
∴∠GKM=∠GFM，∠MKH=∠MDH 又∵∠GFM=∠MDH
∴∠GKM=∠MKH
又∵∠GMK=∠HMK=90°
∴△GMK≡△HMK(ASA)
∴GM=MH。
抛物线二级结论蝴蝶定理
抛物线二级结论蝴蝶定理是一种由数学家和天文学家在探索和研究抛物线的性质时，得出的重要性质。
它的基本原理是：“在一条抛物线上，每一个点的切线与其上的任意一条与之不平行的直线之间的夹角的正切值都相等”。
这一定理在解决许多实际问题时具有重要的意义和价值。
蝴蝶定理，作为一种重要的二级结论，从名字上便不难看出它的形状，其形状类似于一只蝴蝶。
在正式介绍蝴蝶定理之前，我们需要了解什么是抛物线。
抛物线是一个二维平面上的曲线，它的定义是在一个平面上，到一个定点的距离与该点到一条定直线的距离的比值为一常数的点的轨迹。
这个定点被称为抛物线的焦点，而定直线则被称为抛物线的准线。
蝴蝶定理是一个由抛物线的切线和与其不平行的直线之间的夹角关系得到的定理。
具体而言，它包含以下两个结论：（1）如果在抛物线上任意一点处作一条与该点处的抛物线的切线不平行的直线，那么直线与抛物线的交点与切线和准线的交点之间的连线与抛物线的交点之间的距离相等。
（2）在抛物线上任意一点处作一条与该点处的抛物线的切线不平行的直线，并设这条直线与抛物线的交点为P1，过P1作抛物线的切线，交抛物线于点P2。
过P1作准线的平行线，交抛物线于点P3。
过P2作准线的平行线，交抛物线于点P4。
那么，线段P1P2、P2P3、P3P4的长度满足一定的比例关系，且这个比例关系与该抛物线的形状和位置无关。
这个比例关系被称为“蝴蝶定理”，即“P1P2：P2P3：P3P4=k：2k：k”。
其中，k是与该抛物线的形状和位置无关的常数。
这是由于，在以上的讨论中，我们始终作了一个关于“切线和直线之间的夹角”的假设，因此，我们可以通过计算切线和直线之间的夹角来求出这个比例关系。
此外，梯形蝴蝶定理是蝴蝶定理在梯形中的应用。
在梯形中，蝴蝶定理中的比例关系仍然成立，但需要注意的是，其比例关系不再是“P1P2：P2P3：P3P4=k：2k：k”，而是“P1P2：P2P3：P3P4=k：2k：2k”。
几何里的蝴蝶定理
几何里的蝴蝶定理一、蝴蝶定理的内容1. 定理表述- 设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。
设AD和BC各相交PQ 于点X和Y，则M是XY的中点。
2. 图形示例- 画出一个圆，圆内有弦PQ，M为PQ中点。
然后画出弦AB和CD，连接AD与PQ交于X点，连接BC与PQ交于Y点。
从图上直观地看，似乎XM = MY。
二、蝴蝶定理的证明方法（以初中几何知识为例）1. 利用相似三角形证明（一种常见方法）- 连接AC、BD。
- 因为∠AXM = ∠DYM（对顶角相等），∠AMX=∠DMY（对顶角相等），且由圆内接四边形的性质可知∠CAB = ∠CDB（同弧所对的圆周角相等），∠ACD = ∠ABD（同弧所对的圆周角相等）。
- 所以△AXM∽△DYM，△AMC∽△DMB。
- 根据相似三角形的性质，在△AXM和△DYM中，有(XM)/(YM)=(AM)/(DM)；在△AMC和△DMB中，有(AM)/(DM)=(CM)/(BM)。
- 又因为在圆中，由相交弦定理可得AM× BM = CM× DM，即(AM)/(DM)=(CM)/(BM)。
- 所以(XM)/(YM) = 1，即XM = YM，从而证明了蝴蝶定理。
2. 面积法证明（另一种思路）- 设∠ AXM=α，∠ DYM = β。
- 根据三角形面积公式S=(1)/(2)absin C。
- 对于 AXM和 DYM，frac{S_{ AXM}}{S_{ DYM}}=(frac{1)/(2)AX· XM·sin α}{(1)/(2)DY· YM·sinβ}。
- 因为α=β（对顶角相等），所以frac{S_{ AXM}}{S_{ DYM}}=(AX· XM)/(DY· YM)。
- 同理，通过连接其他线段，利用圆内的角关系和面积关系，经过一系列的等量代换，可以得出XM = YM的结论。
三、蝴蝶定理的拓展与应用1. 在椭圆中的推广- 在椭圆中也有类似蝴蝶定理的结论。
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中学数学几何一个重要的定理----蝴蝶定理蝴蝶定理想象洵美，蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣。
到目前为止，关于蝴蝶定理的证明就有60多种，其中初等证法就有综合证法、面积证法、三角证法、解析证法等。
而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果。
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。
由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于E，F，则M为EF之中点。
关于蝴蝶定理的证明，出现过许多优美奇特的解法，并且知道现在还有很大的研究价值。
其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。
至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它使用的是面积证法。
1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录老师以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。
在20世纪20年代时，蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界，严济慈教授在《几何证题法》中有构思奇巧的证明。
如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆，甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立。
另外，如果将蝴蝶定理中的条件一般化，即M点不再是中点，能得到坎迪定理、若M、N点是AB的三等分点，两次应用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。
蝴蝶定理的证明（一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何方法完成蝴蝶定理的方法。
1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于EUO EMO 90∠=∠=︒ FVO FMO 90∠=∠=︒得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。
则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又MAD MCB :V V ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ∆∆:，AUM MVC ∠=∠则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。
[1]证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即PC'CQ =。
又111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222∠∠（）（）故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ∆≅∆，故ME=MF 。
证法3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。
对NEF ∆及截线AMB ，NEF ∆及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有FM EA NB 1ME AN BF ⋅⋅=，FM ED NC 1ME DN CF⋅⋅= 由上述两式相乘，并注意到NA ND NC NB ⋅=⋅得22FM AN ND BF CF BF CFME AE ED BN CN AE ED⋅=⋅⋅⋅=⋅()()()()2222PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME-==-+--化简上式后得ME=MF 。
[2] 2 不使用辅助线的证明方法单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。
证法 4 （Steven 给出）如图5，并令DAB=DCB ADC=ABC DMP=CMQ AMP=BMQ PM MQ ME MF a x yαβγδ∠∠=∠∠=∠∠=∠∠=====， 由FCM AME EDM FMBFCM EDM FMB AMES S S S 1S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆⋅⋅⋅=，即 AM AE sin FM CM sin ED MD sin MF MB sin 1MC CF sin EM MD sin FB BM sin MA ME sin αγβδαγβδ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅化简得 ()()()()222222MF CF FB QF FP ME AE ED PE EQ a y a y a y a x a x a x -+⋅⋅-====⋅⋅-+- 即 222222x y a y a x -=-，从而 ,ME MF x y ==。
证法 5 令PMD QMC QMB AMP αβ∠=∠=∠=∠=，，以点M 为视点，对MBC ∆和MAD ∆分别应用张角定理，有()()sin sin sin sin sin sin MF MC MB ME MD MAαβαββαβα++=+=+，上述两式相减，得()()()11sin sin sin MC MD MB MA MF ME MC MDMA MB βααβ⎛⎫+-=--- ⎪⋅⋅⎝⎭ 设G H 、分别为CD AB 、的中点，由OM PQ ⊥，有()()MB MA 2MH 2OM cos 902OMsin MD MC 2MG 2OM cos 902OMsin ββαα-==︒-=-==︒-=于是 ()11sin 0MF ME αβ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，而180αβ+≠︒，知()sin 0αβ+≠，故ME=MF 。
（二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。
证法 6 （单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为()222x y a R ++=。
直线AB 的方程为1y k x =，直线CD 的方程为2y k x =。
由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为()()()222120x y a R y k x y k x μλ⎡⎤++-+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦令0y =，知点E 和点F 的横坐标满足二次方程()()222120k k x a R μλμ++-=，由于x 的系数为0，则两根1x 和2x 之和为0，即12x x =-，故ME=MF 。
[5]证法 7 如图7建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为()222x a y r -+=直线AB 、CD 的方程可写为1y k x =,2y k x=。
又设A B C D 、、、的坐标为(),,1,2,3,4i i x y i =，则14x x 、分别是二次方程()()2222222212,x a k x r x a k x r -+=-+=的一根。
AD 在y 轴上的截距为()()241111214411111214141k x k x x k k x x y y y x k x x x x x x x ----⋅=-=---。
同理，BC 在y 轴上的截距为()122332k k x x x x --。
注意到12x x 、是方程()22221120k xax a r +-+-=的两根，34x x 、是方程()22222120k x ax a r +-+-=的两根，所以34122212342x x x x ax x a r x x ++==-，从而易得 34121234x x x xx x x x +=--，即ME MF =。
证法 8 如图8，以M 为极点，MO 为极轴建立极坐标系。
因C F B 、、三点共线，令BMx CMx αβ∠=∠=，，则()C F F B C B sin sin sin 22ππρρβρραρρβα⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即 ()C B F B C sin cos cos ρρβαρραρβ-=- ○1()A D E A D sin cos cos ρρβαρραρβ-=- ○2作OU CD ⊥于U ，作OV AB ⊥于V 。
注意到A B C D ρρρρ= ○3 由Rt OUM ∆与Rt OVM ∆可得D CB A cos cos ρρρραβ--=- ○4 将○3○4代入○1○2可得E F ρρ=，即ME=MF 。
用解析法对蝴蝶定理再推广定理：已知AB 是垂直于圆锥曲线对称轴的任意一弦,O 为AB 上任意一点,过O 作两弦CD 、EF,连CF 、DE 分别交AB 于点P 、Q,则1111POQOAOBO-=-证明:仅对椭圆给出证明,以O 为原点,直线AB 为x 轴建立直角坐标糸,如图1,设椭圆方程为2222()()1(0)x m y n a b ab--+=>>直线CD 方程为：1y k x =,直线EF 方程为 2y k x =,1122,(,),(,)(,),(,)00ABA xB xC x yD x y ,3344(,),(,)E x yF x y .由1222222()()y k x b x m a y n a b=-+-=⎧⎨⎩,消去y得:22222222222211()2()0b a k x b m a k n x b m a n a b +-+++-=2211222212222221222212()b m a k n b a k b m a n a b b a k x x x x ++⇒+-+⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22222212221212()b m a n a b b m a k n x x x x +-=+⇒+ ① 同理得 22222222343422()b m a n a bb m a k n x x x x +-=++ ②设P(p,0),Q(q,0),则由C 、P 、F 三点共线知11112144241124()x p k x k k x x P x pk x k x k x --=⇒=--,同理由D 、Q 、E 共线得: 12231223()k k x x q k x k x -=-又1111p q POQOpqpq+-=--=-141213231124121234()()()x x k x k x x x k x k x k k x x x x --+-=-由①②得：22222112123434()()b m a k n b m a k n x x x x x x x x ++=++化简整理得：[][]2214121323112423411423()()()()a n x x k x k x x x k x k x b m x x x x x x x x -+-=---故2341142312123422()()11()x x x x x x x x POQOk k x x x xb m a n =------⋅ 223412221234123412121111()()x x x x b mb m a n k k x x x x a n k k x x x x ++--=⋅+--=⋅---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222222222222212122()2()a n k k b mb m a n k k b m a n a bb m a n a b⋅---==-+-+- ③而A B x m x m ==+222222211112ABA B A Bx x mbAOBOxxx x b m a n a b+--=--=-=⋅+-∴④由③④得：1111POQOAOBO-=- 证毕。