高考数学一轮复习第五章数列第讲等差数列及其前n项和习题创新

2017高考数学一轮复习 第五章 数列 第2讲 等差
数列及其前n项和习题
A组　基础巩固
一、选择题
1．设S n为等差数列的前n项和，公差d＝－2，若S10＝S11，则a1＝( )
A．18 B.20
C．22 D．24
[答案]　B
[解析]　由S10＝S11，得a11＝0.又已知d＝－2，则a11＝a1＋10d＝a1＋10×(－2)＝0，解得a1＝20.
2．在等差数列{a n}中，若a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为( )
A．1 B.2
C．3 D．4
[答案]　B
[解析]　∵a1＋a5＝10＝2a3，∴a3＝5.
故d＝a4－a3＝7－5＝2.
3．已知数列{a n}为等差数列，且前n项和为S n，若a3＝6，S3＝12，则公差d等于( )
A．1 B.
C．2 D．3
[答案]　C
[解析]　由已知得S3＝3a2＝12，即a2＝4，∴d＝a3－a2＝6－4＝2.
4．(2015·沧州七校联考)等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5＝8，S3＝6，则S10－S7的值是( )
A．24 B.48
C．60 D．72
[答案]　B
[解析]　设等差数列{a n}的公差为d，由题意可得解得则S10－S7＝a8＋a9＋a10＝3a1＋24d＝48，选B.
5．(2015·山东临沂质检)在等差数列{a n}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为( )
A．4 B.6
C．8 D．10
[答案]　C
[解析]　∵a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16.
∴a7－a8＝＝＝8.
6．(2015·湖南箴言中学)若S n是等差数列{a n}的前n项和，且S8－S3＝10，则S11的值为( )
A．12 B.18
C．22 D．44
[答案]　C
[解析]　∵数列{a n}是等差数列，且S8－S3＝10，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝10，∴5a6＝10，a6＝2，∴S11＝×11＝11a6＝22.
二、填空题
7．(2015·广东)在等差数列{a n}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，
则a2＋a8＝________.
[答案]　10
[解析]　由a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25得5a5＝25，所以a5＝5，故a2
＋a8＝2a5＝10.
8．在等差数列{a n}中，a1＝7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n ＝8时S n取得最大值，则d的取值范围为________.
[答案]　(－1，－)
[解析]　由题意，当且仅当n＝8时S n有最大值，可得
即解得－1＜d＜－.
9．已知等差数列{a n}中，a n≠0，若n≥2且a n－1＋a n＋1－a＝0，S2n－1＝38，则n等于________.
[答案]　10
[解析]　∵2a n＝a n－1＋a n＋1，又a n－1＋a n＋1－a＝0，
∴2a n－a＝0，即a n(2－a n)＝0.
∵a n≠0，∴a n＝2.
∴S2n－1＝2(2n－1)＝38，解得n＝10.
10．已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是________.
[答案]　5
[解析]　由等差数列前n项和的性质知：＝＝＝＝7＋，故当n＝
1,2,3,5,11时，为整数，故使得为整数的正整数n的个数是5.
三、解答题
11．(2015·长春调研)设等差数列{a n}的前n项和为S n，其中a1＝
3，S5－S2＝27.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若S n,2(a n＋1＋1)，S n＋2成等比数列，求正整数n的值．
[答案]　(1)a n＝2n＋1　(2)4
[解析]　(1)设等差数列{a n}的公差为d，
则S5－S2＝3a1＋9d＝27，
又a1＝3，则d＝2，故a n＝2n＋1.
(2)由(1)可得S n＝n2＋2n，又S n·S n＋2＝8(a n＋1＋1)2，即n(n＋2)2(n＋4)＝8(2n＋4)2，化简得n2＋4n－32＝0，解得n＝4或n＝－8(舍)，所以n 的值为4.
12．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求a n和S n；
(2)若数列{b n}是等差数列，且b n＝，求非零常数c.
[答案]　(1)a n＝4n－3，S n＝2n2－n　(2)－
[解析]　(1)∵数列{a n}为等差数列，∴a3＋a4＝a2＋a5＝22.又a3·a4＝117，
∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两实根，
又公差d＞0，∴a3＜a4，∴a3＝9，a4＝13，
∴∴
∴通项公式a n＝4n－3.
∴S n＝na1＋×d＝2n2－n.
(2)由(1)知S n＝2n2－n，∴b n＝＝，
∴b1＝，b2＝，b3＝.
∵数列{b n}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，
即×2＝＋，∴2c2＋c＝0，
∴c＝－或c＝0(舍去)，故c＝－.
B组　能力提升
1．在等差数列{a n}中，设S n为其前n项和，已知＝，则等于( )
A. B.
C. D．
[答案]　A
[解析]　由题意可得＝＝＝.
2．(2015·福建莆田第二次全市模拟)已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，若S12＝24，则a6·a7的最大值为( )
A．36 B.6
C．4 D．2
[答案]　C
[解析]　在等差数列{a n}中，S12＝6(a6＋a7)＝24，∴a6＋a7＝4，又a6＞0，a7＞0，∴a6·a7≤()2＝4，
即a6·a7的最大值为4，故选C.
3．(2015·安徽合肥六中第二次月考)等差数列{a n}的前n项和为S n，
已知＝5，＝25，则＝( )
A．125 B.85
C．45 D．35
[答案]　C
[解析]　根据等差数列前n项和的性质可得S2n－1＝(2n－1)a n，则由＝5，＝25，可得＝，＝，根据合比定理可得＝＝，所以＝65×＝65×＝45，故选C.
4．(2015·江苏徐州新沂第二次月考)已知等差数列{a n}的前三项依次为a,4,3a，前n项和为S n，且S k＝110.
(1)求a及k的值；
(2)设数列{b n}的通项b n＝，证明数列{b n}是等差数列，并求其前n 项和T n.
[答案]　(1)2,10　(2)
[解析]　(1)由题意得a1＝a，a2＝4，a3＝3a，
根据等差数列的性质有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以S k＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.
由S k＝110，得k2＋k－110＝0，
解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.
(2)由(1)得S n＝＝n(n＋1)，则b n＝＝n＋1，
故b n＋1－b n＝(n＋2)－(n＋1)＝1，
即数列{b n}是首项为2，公差为1的等差数列，
所以T n＝＝.
5．(2015·云南弥勒模拟)已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S7＝70，且a1，a2，a6成等比数列.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设{b n}＝，问数列{b n}的最小项是第几项？并求出该项的值．
[答案]　(1)a n＝3n－2　(2)n＝4，b4＝23
[解析]　(1)设公差为d，则有
即解得或(舍)，∴a n＝3n－2.
(2)S n＝[1＋(3n－2)]＝，
∴b n＝＝3n＋－1≥2－1＝23，
当且仅当3n＝时取等号，即n＝4时取等号．故数列{b n}的最小项是第4项，其值为23.。