等差数列的前n项和PPT教学课件
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等差数列前n项和公式课件
6
例1 如图，一个堆放铅笔的 V形
架的最下面一层放一支铅笔，往 上每一层都比它下面一层多一支， 最上面一层放120支。这个V形架 上共放着多少支铅笔？
解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅
笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记
为{an},其中 a1=1 , a120=120.根据等差数列前n项 和的公式，得
120 (1120)
S120
2
7 260
答：V形架上共放着 7 260支铅笔。
7
例2 等差数列 10，6，2，2，…前多少项的和是54？
解：设题中的等差数列为{an}，前n项和是 Sn，
则a1= 10，d= 6(10) 4,设 Sn=54， 根据等差数列前 n项和公式，得
10n n(n 1) 4 54 n2 6n 27 0
100个101
所以 2x 101100, x=5050.
这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，…， n，…的前100项的和。
3
下面将对等差数列的前n项和公式进行推导
设等差数列a1,a2,a3,… 它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1) 若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
(m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq
2
问题1：1+2+3+…+100=？
4221等差数列的前n项和公式课件共45张PPT
知识点二 等差数列的前 n 项和公式 1．等差数列{an}的前 n 项和公式
已知量 首项 a1、末项 an 与项数 n
求和公式
na1＋an Sn＝___与项数 n
Sn＝__n_a_1＋__n__n_2－__1__d___
2.两个公式的关系：把 an＝a1＋(n－1)d 代入 Sn＝na12＋an中，就可以得到 Sn ＝____n_a_1_＋__n__n_2－__1_d_______
1．已知 Sn 求 an 利用 an＝SS1n， －nS＝ n－11，，n≥2， 可由数列的前 n 项和 Sn 求得数列的通项公式 an. 解题过程通常分为四步：第一步，令 n＝1 得 a1；第二步，令 n≥2 得 an；第三步， 在第二步求得的 an 的表达式中取 n＝1，判断其值是否等于 a1；第四步，写出数列 的通项公式(若第三步中 n＝1 时，an 的表达式的值不等于 a1，则数列的通项公式一 定要分段表示)．
解：(1)因为 Sn＝2n2－30n，所以当 n＝1 时， a1＝S1＝2×12－30×1＝－28， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. 验证当 n＝1 时上式成立， 所以 an＝4n－32. (2)由 an＝4n－32，得 an－1＝4(n－1)－32(n≥2)， 所以 an－an－1＝4n－32－[4(n－1)－32]＝4(常数)， 所以数列{an}是等差数列．
(3)方法一：设等差数列的首项为 a1，公差为 d， 则 S5＝5a1＋5×25－1d＝24， 得 5a1＋10d＝24，a1＋2d＝254. ∴a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2×254＝458. 方法二：由 S5＝5a12＋a5＝24，得 a1＋a5＝458. ∴a2＋a4＝a1＋a5＝458.
4.2.2等差数列的前n项和(第一课时)课件(人教版)
最小值时n的值为(
A.5
√
B.6
C.7
)
D.8
a1
17
解析 由 7a5＋5a9＝0，得 d ＝－ 3 .
又a9>a5，所以d>0，a1<0.
d
1 a1 1 17 37
d 2
因为函数 y＝2x ＋a1－2x 的图象的对称轴为 x＝2－ d ＝2＋ 3 ＝ 6 ，
取最接近的整数 6，故 Sn 取得最小值时 n 的值为 6.
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数
是n，第n项为an，求前n项和Sn .
S n a1 (a1 d ) (a1 2d ) ... [a1 (n 1)d ], ①
S n an (an d ) (an 2d ) ... [an (n 1)d ], ②
跟踪练习
8.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距
10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前
来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．
解析 假设20位同学是1号到20号依次排列，
使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，
由①+②，得
2Sn （a1 an）+（a1 an）+（a1 an）+...+（a1 an）
n个
n(a1 an )
2 S n n(a1 an ) 即Sn
2
求和公式
可知三
求一
等差数列的前n项和的公式：
n(a1 an )
Sn
不含d
A.5
√
B.6
C.7
)
D.8
a1
17
解析 由 7a5＋5a9＝0，得 d ＝－ 3 .
又a9>a5，所以d>0，a1<0.
d
1 a1 1 17 37
d 2
因为函数 y＝2x ＋a1－2x 的图象的对称轴为 x＝2－ d ＝2＋ 3 ＝ 6 ，
取最接近的整数 6，故 Sn 取得最小值时 n 的值为 6.
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数
是n，第n项为an，求前n项和Sn .
S n a1 (a1 d ) (a1 2d ) ... [a1 (n 1)d ], ①
S n an (an d ) (an 2d ) ... [an (n 1)d ], ②
跟踪练习
8.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距
10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前
来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．
解析 假设20位同学是1号到20号依次排列，
使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，
由①+②，得
2Sn （a1 an）+（a1 an）+（a1 an）+...+（a1 an）
n个
n(a1 an )
2 S n n(a1 an ) 即Sn
2
求和公式
可知三
求一
等差数列的前n项和的公式：
n(a1 an )
Sn
不含d
等差数列的前n项和ppt课件
工教作学回 背景顾 教法分析 学法分析 教学程序 板书设计 教学效果
一、知识层面
二、能力层面
1、学生已经学习了 1、已经具备一定的观 等差数列的通项公式 察猜想，归纳类比能 及性质，具备了研究 力； 本节内容的知识基础； 2、已经具备了一定的 2、第一次正式接触 逻辑推理能力； 数列求和，缺乏学习 经验；
三、情感层面
1、学习兴趣较高， 但主动探索的难度 较大，需要教师合 适的启发和引导；
1.3 教学目标
工教作学回 背景顾 教法分析 学法分析 教学程序 板书设计 教学效果
知识目标 能力目标 情感目标
掌握等差数列的前n项和公式； 会根据简单的等差数列条件求其前n项和； 能用公式解决简单的实际问题；
感受从特殊到一般再到特殊以及数形结合的研究及学习方法； 培养学生观察猜想归纳类比的数学思维能力； 提升学生在逻辑推理、数学建模等方面的核心素养；
（1+100）+（2+99）+（3+98）+……+（50+51）=101×50=5050.
4.3 新课探索
工教作学回 背景顾 教法分析 学法分析 教学程序 板书设计 教学效果
那你能用他的方法求一下1+2+3+……+n等于多少吗？ 分类讨论
n为偶数，1 2 n (1 n) n ; 2
n为奇数，1 2 n (1 n 1) n 1 n n(n 1) ;
an )
na1
n(n 1) 2
d
例2
↓
堂 练 习 题
教学程序
知三求二（方
程思想）
例3
板书设计
教学效果
教学效果
6.1 教学反思及教学效果
等差数列的前n项和ppt课件
02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
定义
等差数列的前n项和是指从第一项到第n项的所有项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和，n表示项数。
等差数列前n项和的公式推导
公式推导
等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中a1是第一项，d是公差。
推导过程
组合数学
等差数列的前n项和在组合数学中 也有广泛应用，例如计算组合数 的公式。
数学分析
在数学分析中，等差数列的前n项 和可用于研究函数的极限、积分 等概念。
在物理中的应用
力学
01
在研究匀加速直线运动时，等差数列的前n项和可用于计算位移、
速度和加速度等物理量。
波动
02
在波动现象中，等差数列的前n项和可用于描述波动方程的解。
等差数列的前n项和
目录
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列的前n项和的求解方法 • 等差数列的前n项和的应用 • 习题与解答
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
定义
等差数列是一种常见的数列，其中任 意两个相邻项的差是一个常数，这个 常数被称为公差。
数学表达
对于等差数列 {a_n}，如果每一项满 足 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 d 是公 差，则该数列为等差数列。
详细描述
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1) * d，其中d是公差。通过通项公式，我们可以 推导出前n项和的表达式为Sn = n/2 * [2a1 + (n-1) * d]，从而求出前n项和。
04
等差数列的前n项和的应用
等差数列前n项和的性质ppt课件
解析： 方法一：设 an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1＋(n－1)e.
取 n＝1，则ab11＝TS11＝12，所以 b1＝2a1.所Βιβλιοθήκη 以Sn Tn＝
na1＋nn－ 2 1d nb1＋nn－ 2 1e
＝
a1＋n－2 1d b1＋n－2 1e
＝
a1＋n2d－d2 2a1＋n2e－2e
＝
3n2＋n 1，
一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求 前110项之和．
由题目可获取以下主要信息： ①S10＝100，S100＝10；②此数列为等差数列． 解答本题可充分利用等差数列前n项和的有关性质解答．
[解题过程] 方法一：设等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则 Sn＝na1＋nn－2 1d.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72，则a2＋a4＋a9 ＝________.
解析： 由等差数列的性质S9＝9a5＝72，a5＝8，a2＋a4＋a9 ＝a1＋a5＋a9＝3a5＝24，故填24.
答案： 24
4．(1)等差数列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，求 S13. (2)等差数列{an}的公差 d＝12，且 S100＝145， 求 a1＋a3＋a5＋…＋a99. 解析： (1)∵a2＋a12＝a1＋a13＝2a7， 又 a2＋a7＋a12＝24，∴a7＝8. ∴S13＝13a12＋a13＝13×8＝104. (2)∵S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100) ＝2(a1＋a3＋…＋a99)＋50d＝145， 又 d＝12，∴a1＋a3＋…＋a99＝60.
an＝Sn－Sn－1＝n2－3n＋1－[(n－1)2－3(n－1)＋1] ＝2n－4，
等差数列前n项求和ppt
公式理解
01
公式意义
等差数列的前n项和公式表示等 差数列前n项的和，其中首项为 a1，公差为d，项数为n。
公式结构
02
03
公式参数
公式由首项、公差、项数和求和 符号组成，反映了等差数列的特 性。
首项a1表示等差数列的第一项， 公差d表示相邻两项的差，项数n 表示等差数列的项数。
公式应用
应用场景一
等差数列前n项求和
目录
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列求和的常见方法 • 等差数列求和的实际应用 • 等差数列求和的注意事项
01
等差数列的定义与性质
定义
总结词
等差数列是一种常见的数列，其特点是任意两个相邻项的差是一个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的整数集合，其中任意两个相邻项的差都等于一个常数，这个常数被称为公差。等差数列的 一般形式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是第一项，d 是公差。
02
等差数列的前n项和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将前n项和表示为n/2乘以首项与末项的平均值，再利用等差数列的通项公式， 推导出前n项和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的求和公式，将前n项和表示为首项与末项的和乘以项数再除以2，同样利用等差数列的通 项公式，推导出前n项和公式。
日常生活中的应用
购物清单
在购物时，等差数列求和公式可用于计算购 物清单中商品的总价，以便快速计算出总花 费。
工资计算
在工资计算中，等差数列求和公式可用于计算工资 总额，以便计算税款和扣除项。
日常理财
在理财中，等差数列求和公式可用于计算定 期存款、基金定投等理财产品的收益。
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
几何等领域。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中，解决一些组合 问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题，如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案，确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中，等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项 ，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中，解决一些组合 问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题，如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案，确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中，等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项 ，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。
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“倒序相加”法
讲授新课
1. 等差数列的前n项和公式一
讲授新课
1. 等差数列的前n项和公式一
Sn
n(a1an) 2
讲授新课
2. 等差数列的前n项和公式二
讲授新课
2. 等差数列的前n项和公式二
n(n1)d Snn1a 2
讲授新课
2. 等差数列的前n项和公式二
n(n1)d Snn1a 2还可化成 Nhomakorabea 思考:
1. 等差数列中，S10，S20－S10，S30－S20 成等差数列吗？
2. 等差数列前m项和为Sm，则Sm， S2m－Sm，S3m－S2m是等差数列吗？
PPT教学课件
谢谢观看
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2020/12/10
25
Snd 2n2(a1d 2)n
讲解范例:
例1. (1)已知等差数列{an}中，a1＝4， S8＝172，求a8和d;
(2)等差数列－10，－6，－2，2， …前多少项的和是54？
讲解范例:
例 2. 2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关 于在中小学实施“校校通”工程的通知》.某 市据此提出了实施“校校通”工程的总目标： 从 2001 年起用 10 年的时间，在全市中小 学建成不同标准的校园网. 据测算，2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万 元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投 入的资金都比上一年增加 50 万元.那么从 2001 起的未来 10 年内，该市在“校校通” 工程中的总投入是多少？
教师问：“你是如何算出答案的？” 高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；… 50+51=101，所以101×50=5050”.
复习引入
小故事”1、2、3
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时， 有一次老师出了一道题目，老师说: “现在给大家 出道题目: 1+2+…100=?”过了两分钟，正当大家 在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时， 高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050．” 教师问：“你是如何算出答案的？” 高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；… 50+51=101，所以101×50=5050”.
复习引入
6. 数列的前n项和：
复习引入
6. 数列的前n项和： 数列{an}中， a 1 a 2 a 3 a n 称为数列{an}的前n项和，记为Sn.
复习引入
小故事”1、2、3
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时， 有一次老师出了一道题目，老师说: “现在给大家 出道题目: 1+2+…100=?”过了两分钟，正当大家 在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时， 高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050．”
讲解范例:
例3. 求集合
M { m |m 7 n ,n N * 且 m 1}00
的元素个数，并求这些元素的和．
讲解范例:
例4. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若 S12＝84，S20＝460，求S28.
练习:
1. 在等差数列{an}中，已知a3＋a99＝200， 求S101.
2. 在等差数列{an}中，已知a15＋a12＋a9 ＋a6 ＝20，求S20.
2.3 等差数列的 前n
复习引入
1. 等差数列定义： 即an－an－1 ＝d (n≥2).
复习引入
1. 等差数列定义： 即an－an－1 ＝d (n≥2).
2. 等差数列通项公式： (1) an＝a1＋(n－1)d (n≥1). (2) an＝am＋(n－m)d . (3) an＝pn＋q (p、q是常数)
复习引入
3. 几种计算公差d的方法:
复习引入
3. 几种计算公差d的方法:
danan1 d an a1
n1
dan am nm
复习引入
4. 等差中项
复习引入
4. 等差中项 Aaba,A,b成等差数列.
2
复习引入
5. 等差数列的性质
复习引入
5. 等差数列的性质 m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq. (m，n，p，q∈N)
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1. 等差数列的前n项和公式一
讲授新课
1. 等差数列的前n项和公式一
Sn
n(a1an) 2
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2. 等差数列的前n项和公式二
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2. 等差数列的前n项和公式二
n(n1)d Snn1a 2
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2. 等差数列的前n项和公式二
n(n1)d Snn1a 2还可化成 Nhomakorabea 思考:
1. 等差数列中，S10，S20－S10，S30－S20 成等差数列吗？
2. 等差数列前m项和为Sm，则Sm， S2m－Sm，S3m－S2m是等差数列吗？
PPT教学课件
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2020/12/10
25
Snd 2n2(a1d 2)n
讲解范例:
例1. (1)已知等差数列{an}中，a1＝4， S8＝172，求a8和d;
(2)等差数列－10，－6，－2，2， …前多少项的和是54？
讲解范例:
例 2. 2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关 于在中小学实施“校校通”工程的通知》.某 市据此提出了实施“校校通”工程的总目标： 从 2001 年起用 10 年的时间，在全市中小 学建成不同标准的校园网. 据测算，2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万 元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投 入的资金都比上一年增加 50 万元.那么从 2001 起的未来 10 年内，该市在“校校通” 工程中的总投入是多少？
教师问：“你是如何算出答案的？” 高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；… 50+51=101，所以101×50=5050”.
复习引入
小故事”1、2、3
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时， 有一次老师出了一道题目，老师说: “现在给大家 出道题目: 1+2+…100=?”过了两分钟，正当大家 在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时， 高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050．” 教师问：“你是如何算出答案的？” 高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；… 50+51=101，所以101×50=5050”.
复习引入
6. 数列的前n项和：
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6. 数列的前n项和： 数列{an}中， a 1 a 2 a 3 a n 称为数列{an}的前n项和，记为Sn.
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小故事”1、2、3
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时， 有一次老师出了一道题目，老师说: “现在给大家 出道题目: 1+2+…100=?”过了两分钟，正当大家 在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时， 高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050．”
讲解范例:
例3. 求集合
M { m |m 7 n ,n N * 且 m 1}00
的元素个数，并求这些元素的和．
讲解范例:
例4. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若 S12＝84，S20＝460，求S28.
练习:
1. 在等差数列{an}中，已知a3＋a99＝200， 求S101.
2. 在等差数列{an}中，已知a15＋a12＋a9 ＋a6 ＝20，求S20.
2.3 等差数列的 前n
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1. 等差数列定义： 即an－an－1 ＝d (n≥2).
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1. 等差数列定义： 即an－an－1 ＝d (n≥2).
2. 等差数列通项公式： (1) an＝a1＋(n－1)d (n≥1). (2) an＝am＋(n－m)d . (3) an＝pn＋q (p、q是常数)
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3. 几种计算公差d的方法:
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3. 几种计算公差d的方法:
danan1 d an a1
n1
dan am nm
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4. 等差中项
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4. 等差中项 Aaba,A,b成等差数列.
2
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5. 等差数列的性质
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5. 等差数列的性质 m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq. (m，n，p，q∈N)