高中数学必做100题--数学1(16题)
高中数学立体几何小题100题(含答案与解析)
立体几何小题100例一、选择题1．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，11C D 上的动点，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，则当点P 运动时，PE 的最小值是（ ）A ．5B ．4C ．42．5【答案】D 【解析】试题分析：因为点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，所以，点P 在连接1111,A D B C 中点的连线上．为使当点P 运动时，PE 最小，须PE 所在平面平行于平面11AA D D ,2244()52PE =+=选D考点：1．平行关系；2．垂直关系；3．几何体的特征．2．如图在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，=46,AB cm AC cm =， 8,217BD cm CD cm ==，则这个二面角的度数为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒ 【答案】B 【解析】试题分析：设所求二面角的大小为θ，则,BD AC θ<>=，因为CD DB BA AC =++，所以22222()222CD DB BA AC DB BA AC DB BA DB AC BA AC =++=+++⋅+⋅+⋅CA DB而依题意可知,BD AB AC AB ⊥⊥，所以20,20DB BA BA AC ⋅=⋅=所以2222||||||||2CD DB BA AC BD AC =++-⋅即222417468286cos θ⨯=++-⨯⨯所以1cos 2θ=，而[0,]θπ∈，所以60θ=︒，故选B. 考点：1.二面角的平面角；2.空间向量在解决空间角中的应用.3．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这 个几何体的体积是（ ）112222侧视图俯视图主视图A ．343cmB ．383cmC ．33cmD ．34cm【答案】B ． 【解析】试题分析：分析题意可知，该几何体为一四棱锥，∴体积382231312=⨯⨯==Sh V ． 考点：空间几何体的体积计算．4．如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -对角线1AC 上一动点，设AP 的长度为x ，若PBD ∆的面积为(x)f ，则(x)f 的图象大致是（ ）【答案】A 【解析】试题分析：设AC 与BD 交于点O ,连接OP .易证得BD ⊥面11ACC A ,从而可得BD OP ⊥.设正方体边长为1,在1Rt ACC ∆中126cos 33C AC ∠==.在AOP ∆中 22OA =,设(),03AP x x =≤≤,由余弦定理可得2222226231222362OP x x x x ⎛⎫=+-⋅⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭,所以223162OP x x =-+.所以()22231262f x x x =-+.故选A. 考点：1线面垂直,线线垂直;2函数图象.5．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1， ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四个命题：（1）平面MENF ⊥平面BDD B ''；（2）当且仅当x=12时，四边形MENF 的面积最小；（3）四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数； （4）四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数； 以上命题中假命题．．．的序号为（ ） A ．（1）（4） B ．（2） C ．（3） D ．（3）（4） 【答案】C 【解析】试题分析：（1）由于AC EF //，B B AC BD AC '⊥⊥,，则D D B B ''⊥平面AC ，则D D B B EF ''⊥平面，又因为EMFN EF 平面⊂，则平面MENF ⊥平面BDD B ''；（2）由于四边形MENF 为菱形，MN EF S MENF ⋅=21，2=EF ，要使四边形MENF 的面积最小，只需MN 最小，则当且仅当21=x 时，四边形MENF 的面积最小；（3）因为1)21(2+-=x MF ，1)21(4)(2+-=x x f ，)(x f 在]1,0[上不是单调函数；（4）NE C F EC M F MENF C V V V '-'--'+=，ME C S '∆=41121=⋅'E C ，F 到平面ME C '的距离为1，1214131=⋅='-ME C F V ，又41121=⋅'⋅='∆E C S NE C ，1214131=⋅='-NE C F V ，61)(=x h 为常函数.故选（3）考点：1.面面垂直的判定定理；2.建立函数模型.6．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）（A）4 （B ）4 （C ）4 （D ）34【答案】D. 【解析】试题分析：连接B A 1；11//CC AA ,AB A 1∠∴是异面直线AB 与1CC 所成的角或其补角；在1ADA Rt ∆中，设11=AA ，则21,231==D A AD ；在1BDA Rt ∆中，2121=B A ；在1ABA ∆中，431122111cos 1=⨯⨯-+=∠AB A ；即面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为34. 考点：异面直线所成的角.7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为A ．π312B ．π12C ．π34D ．π3 【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为四棱锥，侧棱垂直底面，底面是正方形，将此四棱锥还原为正方体，则正方体的体对角线即外接球的直径，32=r ，23=∴r ，因此ππ342==r S 表面积，故答案为D. 考点：由三视图求外接球的表面积.8．如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点，则下列结论错误的是（ ）A ．11DC D P ⊥B ．平面11D A P ⊥平面1A APC ．1APD ∠的最大值为90 D ．1AP PD +22+ 【答案】C 【解析】试题分析：111DC D A ⊥ ，11DC B A ⊥，1111A B A D A = ，⊥∴1DC 平面11BCD A ，⊂P D 1平面11BCD A 因此P D DC 11⊥，A 正确；由于⊥11A D 平面11ABB A ，⊂11A D 平面P A D 11，故平面⊥P A D 11平面AP A 1 故B 正确，当2201<<P A 时，1APD ∠为钝角，C 错；将面B AA 1与面11BCD A 沿B A 1展成平面图形，正视图 侧视图俯视图线段1AD 即为1PD AP +的最小值，利用余弦定理解221+=AD ，故D 正确，故答案为C ．考点：棱柱的结构特征． 9．下列命题中，错误的是（ ）A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两条直线不一定平行C ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不平行于平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线 【答案】B 【解析】试题分析: 由直线与平面的位置关系右知A 正确;平行于同一个平面的两条直线可以相交、平行或异面，故B 错，所以选B.考点:直线、平面平行与垂直的判定与性质.10．已知如图所示的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点P 、Q 分别在棱BB 1、DD 1上，且=，过点A 、P 、Q作截面截去该正方体的含点A 1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（ ）【答案】A【解析】试题分析：当P 、B 1重合时，主视图为选项B ；当P 到B 点的距离比B 1近时，主视图为选项C ；当P 到B 点的距离比B 1远时，主视图为选项D ，因此答案为A. 考点：组合体的三视图11．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为 （ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥P-ABC ，它是一个正四棱锥P-ABCD 的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高PE=4． 设其外接球的球心为O ，O 点必在高线PE 上，外接球半径为R ， 则在直角三角形BOE 中，BO 2=OE 2+BE 2=（PE-EO ）2+BE 2， 即R 2=（4-R ）2+（32）2，解得：R=174，故选C.考点：三视图，球与多面体的切接问题，空间想象能力12．如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）【答案】C 【解析】 试题分析：因为37411>，所以1A E 延长交11D C 于F ，过F 作FM 垂直DC 于.M 在矩形1AA FM 中分析反射情况：由于35105AM =>，第二次反射点为1E 在线段AM 上，此时153E M =,第三次反射点为2E 在线段FM 上，此时24E M =,第四次反射点为3E 在线段1AF 上,由图可知，选C.考点：空间想象能力13．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】试题分析：由图可得该几何体为三棱柱,因为正视图,侧视图,俯视图的内切圆半径最小的是正视图(直角三角形)所对应的内切圆,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r , 则2286862r r r -+-+⇒=,故选B. 考点：三视图 内切圆 球 三棱柱14．已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 A ．14 B ．24 C ．34 D ．12【答案】B. 【解析】试题分析：如图作BE β⊥于E ，连结AE ，过A 作AG ∥CD ，作EG AG ⊥于G ，连结BG ，则.BG AG ⊥设2AB a =．在ABE ∆中，60,90,2,.BAE AEB AB a AE a ∠=︒∠=︒=∴=在Rt AEG ∆中，29045,90,cos 45.2GAE CAG AGE AG a a ∠=︒-∠=︒∠=︒∴=︒=在Rt ABG∆中，222cos 24AG BAG AB a ∠===∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24，故选B ．βαElBDACG考点：1.三垂线定理及其逆定理；2. 空间角（异面直线所成角）的计算．15．在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A ．123S S S ==B ．21S S =且23S S ≠C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠ 【答案】D 【解析】试题分析：三棱锥ABC D -在平面xoy 上的投影为ABC ∆，所以21=S ，设D 在平面yoz 、zox 平面上的投影分别为2D 、1D ，则ABC D -在平面yoz 、zox 上的投影分别为2OCD ∆、1OAD ∆，因为)2,1,0(1D ，)2,0,1(2D ，所以212=-S S ，故选D.考点：三棱锥的性质，空间中的投影，难度中等.16．正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且1AE =，12BF =，将此正 方形沿DE 、DF 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P DEF -的体积是（ ） A ．13B 523 D ．23【答案】B【解析】试题分析：解：因为90,DPE DPF ∠=∠=所以,DP PE DP PF ⊥⊥又因为PE ⊂平面PEF ,PF ⊂平面PEF ,且PE PF P =,所以DP ⊥平面PEF在PEF ∆中，22223151,,1222PE PF EF EB BF ⎛⎫===+=+= ⎪⎝⎭所以222351222cos 33212EPF ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯,225sin 133EPF ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭ 所以11355sin 122234PEF S PE PF EPF ∆=⋅⋅∠=⨯⨯⨯= 115523346PEF P DEF D PEF V V DP S ∆--==⋅⋅=⨯⨯=三棱锥三棱锥 所以应选B.考点：1、直线与平面垂直的判定；2、正弦定理与余弦定理；3、棱锥的体积.17．高为的四棱锥S ﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S ，A ，B ，C ，D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，推出高就是四棱锥的一条侧棱，最长的侧棱就是球的直径，然后利用勾股定理求出底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离．解：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S ，A ，B ，C ，D 均在半径为1的同一球面上，球的直径为2，所以四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径，所以底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为：=故选A点评：本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，能够正确推出四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径是本题的关键，考查逻辑推理能力，计算能力．18．二面角l αβ--为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面,αβ内，AC l ⊥，BD l ⊥，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长为( )A ．2aB ．5aC ．aD ．3a【答案】A【解析】试题分析：根据异面直线上两点间的距离公式2222cos EF d m n mn θ=++± ，对于本题中，d a =，m a =，2n =，60θ=，故()222222cos 602CD a a a a a a =++-⋅⋅⋅=．考点：异面直线上两点间距离,空间想象能力．19．长方体的表面积是24，所有棱长的和是24，则对角线的长是（ ）．Ａ．14 B ．4 C ．32 D ．23【答案】B【解析】试题分析：设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的全面积，十二条棱长度之和，然后可得对角线的长度．考点：长方体的结构特征，面积和棱长的关系.20．已知棱长为l 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 11、A D 上,且11A P=A Q=x,0<x<1，设面MEF 面MPQ=l ，则下列结论中不成立的是( )A ．//l 面ABCDB ．l ⊥ACC ．面MEF 与面MPQ 不垂直D ．当x 变化时，l 不是定直线【答案】D【解析】试题分析：解：连结1111,,,AC BD AC B D ,,AC BD 交于点O 1111,AC B D 交于点1O由正方体的性质知，11111111////,,BD B D AC AC AC BD AC B D ⊥⊥，因为,E F 是,AD AB 的中点，所以//EF BD因为11A P A Q =,所以11//PQ B D所以//PQ EF ,所以//PQ 平面MEF ,//EF 平面MPQ , 由MEF 面MPQ=l ，EF ⊂ 平面MEF ，所以//EF l ，而EF ⊂平面ABCD ,l ⊂/平面ABCD , 所以，//l 面ABCD ，所以选项A 正确；由AC BD ⊥，//EF BD 得EF AC ⊥而//EF l ，所以l ⊥AC ，所以选项B 正确；连111,,MB MD O M ,则11//,O M AC 而1111,//,//AC A B AC BD BD EF A B MF ⊥⊥，所以，11,O M EF O M MF ⊥⊥,所以1O M ⊥平面MEF ，过直线l 与平面MEF 垂直的平面只能有一个，所以面MEF 与面MPQ 不垂直，所以选项C 是正确的；因为//EF l ，M 是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线l 是唯一的，故选项D 不正确．考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质．21．如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '∆是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面GF A '⊥平面BCDEC ．三棱锥EFD A -'的体积有最大值D ．异面直线E A '与BD 不可能垂直【答案】D【解析】试题分析：由于',A G DE FG DE ⊥⊥．所以DE ⊥平面'A FG ．经过点'A 作平面ABC 的垂线垂足在AF上．所以A 选项正确．由A 可知B 选项正确．当平面'A DE 垂直于平面BCDE 时，三棱锥EFD A -'的体积最大，所以C 正确．因为BD EF ，设2AC a =．所以'EF A E a ==，当'2A F a =时，32'(')2a A G GF A G GF a <+==．所以异面直线E A '与BD 可能垂直．所以D 选项不正确．考点：1．线面位置关系．2．面面的位置关系．3．体积公式．4．异面直线所成的角．5．空间想象力．22．已知棱长为l 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 11、A D 上,且11A P=A Q=x,0<x<1，设面MEF 面MPQ=l ，则下列结论中不成立的是( )A ．//l 面ABCDB ．l ⊥ACC ．面MEF 与面MPQ 不垂直D ．当x 变化时，l 不是定直线【答案】D【解析】试题分析：解：连结1111,,,AC BD AC B D ,,AC BD 交于点O 1111,AC B D 交于点1O由正方体的性质知，11111111////,,BD B D AC AC AC BD AC B D ⊥⊥，因为,E F 是,AD AB 的中点，所以//EF BD因为11A P A Q =,所以11//PQ B D所以//PQ EF ,所以//PQ 平面MEF ,//EF 平面MPQ ,由MEF 面MPQ=l ，EF ⊂ 平面MEF ，所以//EF l ，而EF ⊂平面ABCD ,l ⊂/平面ABCD , 所以，//l 面ABCD ，所以选项A 正确；由AC BD ⊥，//EF BD 得EF AC ⊥而//EF l ，所以l ⊥AC ，所以选项B 正确；连111,,MB MD O M ,则11//,O M AC 而1111,//,//AC A B AC BD BD EF A B MF ⊥⊥，所以，11,O M EF O M MF ⊥⊥,所以1O M ⊥平面MEF ，过直线l 与平面MEF 垂直的平面只能有一个，所以面MEF与面MPQ不垂直，所以选项C是正确的；EF l，M是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线l是唯一的，故选因为//项D不正确．考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质．23．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离（）A．B．C．D．3【答案】A【解析】由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高．而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为，选A．24．如图所示，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.则棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值是（）A. 2:1B. 1:1C. 1:2D. 1:3【答案】C。
高中数学经典例题100道
高中数学经典例题100道(共44页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--例1 判定以下关系是否正确 (1){a}{a}⊆(2){1，2，3}＝{3，2，1}(3){0}∅⊂≠ (4)0∈{0}(5){0}(6){0}∅∅∈＝分析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的．说明：含元素0的集合非空．例2 列举集合{1，2，3}的所有子集．分析 子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个．解含有个元素的子集有：； 0∅含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}；含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}； 含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个．说明：对于集合，我们把和叫做它的平凡子集．A A ∅例已知，，，，，则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ⊆⊂________．分析 A 中必含有元素a ，b ，又A 是{a ，b ，c ，d}真子集，所以满足条件的A 有：{a ，b}，{a ，b ，c}{a ，b ，d}．答 共3个．说明：必须考虑A 中元素受到的所有约束．例设为全集，集合、，且，则≠4 U M N U N M ⊂⊆ [ ]分析 作出4图形．答 选C ．说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便．点击思维例5 设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系式中正确的是[ ]A AB B A BC A BD A B ．＝．．．≠≠⊇⊂⊃分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上x ＝5－4a ＋a 2＝(2－a)2＋1≥1，y ＝4b 2＋4b ＋2＝(2b ＋1)2＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此A ＝B ．答 选A ．说明：要注意集合中谁是元素．M 与P 的关系是[ ]A ．M ＝U PB ．M ＝PC M PD M P ．．≠⊃⊆分析 可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除)的方法；二是利用补集的性质：M ＝U N ＝U (U P)＝P ；三是利用画图的方法．答 选B ．说明：一题多解可以锻炼发散思维． 例7 下列命题中正确的是[ ]A ．U (U A)＝{A}B A B B A BC A {1{2}}{2}A．若∩＝，则．若＝，，，则≠⊆⊂ϕD A {123}B {x|x A}A B ．若＝，，，＝，则∈⊆分析 D 选择项中A ∈B 似乎不合常规，而这恰恰是惟一正确的选择支．∵选择支中，中的元素，，即是集合的子集，而的子D B x A x A A ⊆集有，，，，，，，，，，，，，而∅{1}{2}{3}{12}{13}{23}{123}B是由这所有子集组成的集合，集合A 是其中的一个元素．∴A ∈B ． 答 选D ．说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以注意． 例8 已知集合A ＝{2，4，6，8，9}，B ＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集；若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，求集合C ．分析 逆向操作：A 中元素减2得0，2，4，6，7，则C 中元素必在其中；B 中元素加2得3，4，5，7，10，则C 中元素必在其中；所以C 中元素只能是4或7．答 C ＝{4}或{7}或{4，7}．说明：逆向思维能力在解题中起重要作用．例9 设S ＝{1，2，3，4}，且M ＝{x ∈S|x 2－5x ＋p ＝0}，若S M ＝{1，4}，则p ＝________．分析 本题渗透了方程的根与系数关系理论，由于S M ＝{1，4}，且，≠M S ⊂ ∴M ＝{2，3}则由韦达定理可解． 答 p ＝2×3＝6．说明：集合问题常常与方程问题相结合．例10 已知集合S ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{|a ＋1|，2}，S A ＝{a＋3}，求a 的值．S 这个集合是集合A 与集合S A 的元素合在一起“补成”的，此外，对这类字母的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用．解 由补集概念及集合中元素互异性知a 应满足()1a 3 3 |a 1|a 2a 3 a 2a 3 2 a 2a 3 3 222＋＝①＋＝＋－②＋－≠③＋－≠④⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪或＋＝＋－①＋＝②＋－≠③＋－≠④(2)a 3a 2a 3 |a 1| 3 a 2a 3 2 a 2a 3 3 222⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪在(1)中，由①得a ＝0依次代入②③④检验，不合②，故舍去． 在(2)中，由①得a ＝－3，a ＝2，分别代入②③④检验，a ＝－3不合②，故舍去，a ＝2能满足②③④．故a ＝2符合题意．说明：分类要做到不重不漏．例年北京高考题集合＝＝π＋π，∈，＝11 (1993)M {x|x k Z}N {k 24x|x k Z}＝π＋π，∈则k 42[ ]A ．M ＝NB M NC M N．．≠≠⊃⊂D ．M 与N 没有相同元素分析 分别令k ＝…，－1，0，1，2，3，…得M {}N {}M N ＝…，－π，π，π，π，π，…，＝…，π，π，π，π，π，…易见，．≠44345474423454⊂ 答 选C ．说明：判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性典型例题一例1下列图形中，满足唯一性的是（ ）． A ．过直线外一点作与该直线垂直的直线 B ．过直线外一点与该直线平行的平面 C ．过平面外一点与平面平行的直线 D ．过一点作已知平面的垂线分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．解：A ．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面．B ．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行．C ．过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条．D ．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点A 、平面α，过点A 有两条直线AB 、AC 都垂直于α，由于AB 、AC 为相交直线，不妨设AB 、AC 所确定的平面为β，α与β的交线为l ，则必有l AB ⊥，l AC ⊥，又由于AB 、AC 、l 都在平面β内，这样在β内经过A 点就有两条直线和直线l 垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故选D ．说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．典型例题二例2已知下列命题：（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．上述命题正确的是（）．A．（1）、（2） B．（2）、（3） C．（3）、（4） D．（2）、（4）分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性．故选D ．说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如在正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别为棱1AA 和1BB 上的点，G 为棱BC 上的点，且1BB EF ⊥，EG FC ⊥1，求FG D 1∠．典型例题三例3 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是1BB 的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：⊥OE 平面1ACD ．分析：本题考查的是线面垂直的判定方法．根据线面垂直的判定方法，要证明⊥OE 平面1ACD ，只要在平面1ACD 内找两条相交直线与OE 垂直．证明：连结D B 1、D A 1、BD ，在△BD B 1中， ∵O E 、分别是B B 1和DB 的中点， ∴D B EO 1//． ∵⊥11A B 面D D AA 11，∴1DA 为1DB 在面D D AA 11内的射影． 又∵D A AD 11⊥，∴11DB AD ⊥．同理可证，C D D B 11⊥．又∵111D CD AD = ，1AD 、⊂C D 1面1ACD ， ∴⊥D B 1平面1ACD ． ∵EO D B //1， ∴⊥EO 平面1ACD ．另证：连结CE AE 、，O D 1，设正方体1DB 的棱长为a ，易证CE AE =． 又∵OC AO =， ∴AC OE ⊥．在正方体1DB 中易求出：a a a DO DD O D 2622222211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=， a a a OB BE OE 232222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=，()a a a E B B D E D 232222212111=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=．∵21221E D OE O D =+， ∴OE O D ⊥1．∵O AC O D = 1，O D 1、⊂AC 平面1ACD ， ∴⊥OE 平面1ACD ．说明：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法．在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用．典型例题四例4 如图，在△ABC 中， 90=∠B ，⊥SA 平面ABC ，点A 在SB 和SC 上的射影分别为N M 、，求证：SC MN ⊥．分析：本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化思想．欲证MN SC ⊥，可证⊥SC 面AMN ，为此须证AN SC ⊥，进而可转化为证明⊥AN 平面SBC ，而已知SB AN ⊥，所以只要证BC AN ⊥即可．由于图中线线垂直、线面垂直关系较多，所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直．证明：∵⊥SA 面ABC ，⊂BC 平面ABC ，∴BC SA ⊥．∵ 90=∠B ，即BC AB ⊥，A SA BA = ，∴⊥BC 平面SAB ．∵⊂AN 平面SAB ．∴AN BC ⊥．又∵SB AN ⊥，B BC SB = ，∴⊥AN 平面SBC ．∵⊂SC 平面SBC ，∴SC AN ⊥，又∵SC AM ⊥，A AN AM = ，∴⊥SC 平面AMN ．∵⊂MN 平面AMN ．∴MN SC ⊥．另证：由上面可证⊥AN 平面SBC ．∴MN 为AM 在平面SBC 内的射影．∵SC AM ⊥，∴SC MN ⊥．说明：在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证明线面垂直又转化为证明线线垂直．立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的．本题若改为下题，想想如何证：已知⊥SA ⊙O 所在平面，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上任意一点（C 与B A 、不重合）．过点A 作SB 的垂面交SB 、SC 于点N M 、，求证：SC AN ⊥．典型例题五例5 如图，AB 为平面α的斜线，B 为斜足，AH 垂直平面α于H 点，BC 为平面α内的直线，θ=∠ABH ，α=∠HBC ，β=∠ABC ，求证：θαβcos cos cos ⋅=．分析：本题考查的是线面角的定义和计算．要证明三个角余弦值之间关系，可考虑构造直角三角形，在直角三角形中求出三个角的余弦值，再代入验证证明，其中构造直角三角形则需要用三垂线定理或逆定理．证明：过H 点作HD 垂直BC 于D 点，连AD ．∵α⊥AH ，∴AD 在平面α内射影为HD ．∵HD BC ⊥，α⊂BC ，∴AD BC ⊥．在Rt △ABH 中有：BA BH =θcos ① 在Rt △BHD 中有：BHBD =αcos ② 在Rt △ABD 中有：BA BD =βcos ③ 由①、②、③可得：αθβcos cos cos ⋅=．说明：由此题结论易知：斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．若平面的斜线与平面所成角为θ，则斜线与平面内其它直线所成角β的范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2πθ，．典型例题六例6 如图，已知正方形ABCD 边长为4，⊥CG 平面ABCD ，2=CG ，F E 、分别是AD AB 、中点，求点B 到平面GEF 的距离．分析：此题是1991年高考题，考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空间想像能力．本题是求平面外一点到平面的距离，可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离．为此要寻找过点B 与平面GEF 平行的直线，因为与平面平行的直线上所有点到平面的距离相等．证明：连结AC BD 、，EF 和BD 分别交AC 于O H 、，连GH ，作GH OK ⊥于K ．∵ABCD 为正方形，F E 、分别为AD AB 、的中点，∴BD EF //，H 为AO 中点．∵EF BD //，⊄BD 平面GFE ，∴//BD 平面GFE ．∴BD 与平面GFE 的距离就是O 点到平面EFG 的距离．∵AC BD ⊥，∴AC EF ⊥．∵⊥GC 面ABCD ，∴EF GC ⊥．∵C AC GC = ，∴⊥EF 平面GCH ．∵⊂OK 平面GCH ，∴OK EF ⊥．又∵GH OK ⊥，H EF GH = ，∴⊥OK 平面GEF ．即OK 长就是点B 到平面GEF 的距离．∵正方形边长为4，2=CG ， ∴24=AC ，2=HO ，23=HC ．在Rt △HCG 中，2222=+=CG HC HG ．在Rt △GCH 中，11112=⋅=HG GC HO OK ． 说明：求点到平面的距离常用三种方法：一是直接法．由该点向平面引垂线，直接计算垂线段的长．用此法的关键在于准确找到垂足位置．如本题可用下列证法：延长CB交FE的延长线于M，连结GM，作MEBP⊥于P，作BH⊥于H，可得⊥BN//交MG于N，连结PN，再作PNCGBH平面GFE，BH长即为B点到平面EFG的距离．二是转移法．将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离．三是体积法．已知棱锥的体积和底面的面积．求顶点到底面的距离，可逆用体积公式．典型例题七例7如图所示，直角ABCSA==．SB∆所在平面外一点S，且SC(1)求证：点S与斜边AC中点D的连线SD⊥面ABC；(2)若直角边BCBA=，求证：BD⊥面SAC．分析：由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直，从而得到线面垂直．证明：(1)在等腰SACSD⊥．∆中，D为AC中点，∴AC取AB中点E，连DE、SE．∵BCBC⊥，∴ABED//，ABDE⊥．又ABAB⊥．SE⊥，∴AB⊥面SED，∴SD∴SD⊥面ABC（AB、AC是面ABC内两相交直线）．(2)∵BCBA=，∴ACBD⊥．又∵SD⊥面ABC，∴BDSD⊥．∵D AC SD = ，∴BD ⊥面SAC ．说明：证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直．寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等．典型例题八例8 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．已知：b a //，α⊥a ．求证：α⊥b ．分析：由线面垂直的判定定理知，只需在α内找到两条相交直线与b 垂直即可．证明：如图所示，在平面α内作两条相交直线m 、n ．∵α⊥a ，∴m a ⊥，n a ⊥．又∵a b //，从而有m b ⊥，n b ⊥．由作图知m 、n 为α内两条相交直线．∴α⊥b ．说明：本题的结论可以作为判定线面垂直的依据，即当要证的直线与平面的垂直关系不明确或不易证出时，可以考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直．典型例题九例9 如图所示，已知平面α 平面β=EF ，A 为α、β外一点，α⊥AB 于B ，β⊥AC 于C ，α⊥CD 于D ．证明：EF BD ⊥．分析：先证A 、B 、C 、D 四点共面，再证明EF ⊥平面ABCD ，从而得到EF BD ⊥．证明：∵α⊥AB ，α⊥CD ，∴CD AB //．∴A 、B 、C 、D 四点共面．∵α⊥AB ，β⊥AC ，EF =βα ，∴EF AB ⊥，EF AC ⊥．又A AC AB = ，∴EF ⊥平面ABCD ．∴BD EF ⊥．说明：与线面平行和线线平行交替使用一样，线面垂直和线线垂直也常互为条件和结论．即要证线面垂直，先找线线垂直；要证线线垂直，先找线面垂直．本题证明“A 、B 、C 、D 四点共面”非常重要，仅由EF ⊥平面ABC ，就断定BD EF ⊥，则证明是无效的．典型例题十例10 平面α内有一半圆，直径AB ，过A 作SA ⊥平面α，在半圆上任取一点M ，连SM 、SB ，且N 、H 分别是A 在SM 、SB 上的射影．(1)求证：SB NH ⊥；(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？(3)这个图形中有多少个直角三角形？(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？分析：注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断．(1)证明：连AM 、BM ．如上图所示，∵AB 为已知圆的直径，∴BM AM ⊥．∵SA ⊥平面α，α⊂BM ，∴MB SA ⊥．∵A SA AM = ，∴BM ⊥平面SAM ．∵AN ⊂平面SAM ，∴AN BM ⊥．∵SM AN ⊥于N ，M SM BM = ，∴AN ⊥平面SMB ．∵SB AH ⊥于H ，且NH 是AH 在平面SMB 的射影，∴SB NH ⊥． 解(2)：由(1)知，SA ⊥平面AMB ，BM ⊥平面SAM ，AN ⊥平面SMB ． ∵AH SB ⊥且HN SB ⊥，∴SB ⊥平面ANH ，∴图中共有4个线面垂直关系．(3)∵SA ⊥平面AMB ，∴SAB ∆、SAM ∆均为直角三角形．∵BM ⊥平面SAM ，∴BAM ∆、BMS ∆均为直角三角形．∵AN ⊥平面SMB ，∴ANS ∆、ANM ∆、ANH ∆均为直角三角形． ∵SB ⊥平面ANH ，∴SHA ∆、BHA ∆、SHN ∆、BHN ∆均为直角三角形． 综上，图中共有11个直角三角形．(4)由SA ⊥平面AMB 知，AM SA ⊥，AB SA ⊥，BM SA ⊥．由BM ⊥平面SAM 知，AM BM ⊥，SM BM ⊥，AN BM ⊥． 由AN ⊥平面SMB 知，SM AN ⊥，SB AN ⊥，NH AN ⊥．由SB ⊥平面ANH 知，AH SB ⊥，HN SB ⊥．综上，图中共有11对互相垂直的直线．说明：为了保证(2)(3)(4)答案不出错，首先应找准(2)的答案，由“线⊥面”可得到“线⊥面内线”，当“线⊥面内线”且相交时，可得到直角三角形；当“线⊥面内线”且不相交时，可得到异面且垂直的一对直线．典型例题十一例11 如图所示，︒=∠90BAC ．在平面α内，PA 是α的斜线，︒=∠=∠60PAC PAB ．求PA 与平面α所成的角．分析：求PA 与平面α所成角，关键是确定PA 在平面α上射影AO 的位置．由PAC PAB ∠=∠，可考虑通过构造直角三角形，通过全等三角形来确定AO 位置，构造直角三角形则需用三垂线定理．解：如图所示，过P 作α⊥PO 于O ．连结AO ，则AO 为AP 在面α上的射影，PAO ∠为PA 与平面α所成的角． 作AC OM ⊥，由三重线定理可得AC PM ⊥．作AB ON ⊥，同理可得AB PN ⊥．由PAC PAB ∠=∠，︒=∠=∠90PNA PMA ，PA PA =，可得PMA ∆≌PNA ∆，∴PN PM =．∵OM 、ON 分别为PM 、PN 在α内射影，∴ON OM =．所以点O 在BAC ∠的平分线上．设a PA =，又︒=∠60PAM ，∴a AM 21=，︒=∠45OAM ， ∴a AM AO 222==． 在POA ∆中，22cos ==∠PA AO PAO ， ∴︒=∠45PAO ，即PA 与α所成角为︒45．说明：(1)本题在得出PA 在面α上的射影为BAC ∠的平分线后，可由公式βαθcos cos cos ⋅=来计算PA 与平面α所成的角，此时︒==∠60θPAC ，α=∠PAO ，︒==∠45βCAO ．(2)由PA 与平面α上射影为BAC ∠平分线还可推出下面结论：四面体ABC P -中，若PAC PAB ∠=∠，PBC PBA ∠=∠，则点A 在面ABC 上的射影为ABC ∆的内心．典型例题十二例12 如图所示，在平面β内有ABC ∆，在平面β外有点S ，斜线AC SA ⊥，BC SB ⊥，且斜线SA 、SB 分别与平面β所成的角相等，设点S 与平面β的距离为cm 4，BC AC ⊥，且cm AB 6=．求点S 与直线AB 的距离．分析：由点S 向平面β引垂线，考查垂足D 的位置，连DB 、DA ，推得AC DA ⊥，BC DB ⊥，又︒=∠90ACB ，故A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点．解：作SD ⊥平面β，垂足为D ，连DA 、DB ．∵AC SA ⊥，BC DB ⊥，∴由三垂线定理的逆定理，有：AC DA ⊥，BC DB ⊥，又BC AC ⊥，∴ACBD 为矩形．又∵SB SA =，∴DB DA =，∴ACBD 为正方形，∴AB 、CD 互相垂直平分．设O 为AB 、CD 的交点，连结SO ，根据三垂线定理，有AB SO ⊥，则SO 为S 到AB 的距离．在SOD Rt ∆中，cm SD 4=，cm AB DO 321==， ∴cm SO 5=．因此，点S 到AB 的距离为cm 5．说明：由本例可得到点到直线距离的作法：(1)若点、直线在确定平面内，可直接由点向直线引垂线，这点和垂足的距离即为所求．(2)若点在直线所在平面外，可由三垂线定理确定：由这点向平面引垂线得垂足，由垂足引直线的垂线得斜足，则这点与斜足的距离为点到直线的距离．(3)处理距离问题的基本步骤是：作、证、算，即作出符合要求的辅助线，然后证明所作距离符合定义，再通过解直角三角形进行计算． 典型例题十三例13 如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：SB AE ⊥，SD AG ⊥．分析：本题考查线面垂直的判定与性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化的思想．由于图形的对称性，所以两个结论只需证一个即可．欲证SB AE ⊥，可证⊥AE 平面SBC ，为此须证BC AE ⊥、SC AE ⊥，进而转化证明⊥BC 平面SAB 、⊥SC 平面AEFG ．证明：∵SA ⊥平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，∴BC SA ⊥．又∵ABCD 为正方形，∴AB BC ⊥．∴⊥BC 平面ASB ．∵⊂AE 平面ASB ，∴AE BC ⊥．又∵⊥SC 平面AEFG ，∴AE SC ⊥．∴⊥AE 平面SBC ．又∵⊂SB 平面SBC ，∴SB AE ⊥，同理可证SD AG ⊥．说明：(1)证明线线垂直，常用的方法有：同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定理，三垂线定理与它的逆定理，以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直．(2)本题的证明过程中反复交替使用“线线垂直”与“线面垂直”的相互联系，充分体现了数学化思想的优越性．典型例题十四例14 如图，求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上．已知：BAC ∠在平面α内，点α∉P ，AB PE ⊥，AC PF ⊥，α⊥PO ，垂足分别是E 、F 、O ，PF PE =．求证：CAO BAO ∠=∠．证明：∵α⊥PO ，∴OE 为PE 在α内的射影．∵PE AB ⊥，α平面⊂AB ，∴OE AB ⊥．同理可证：OF AC ⊥．又∵α⊥PO ，PF PE =，OF OE =，∴CAO BAO ∠=∠．说明：本题是一个较为典型的题目，与此题类似的有下面命题：从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线，使斜射线和这个角两边的夹角相等，则斜射线在平面内的射影，是这个角的平分线所在的直线．由此结论和上一个例题很容易求解下面这道题：已知︒∠90ACB，S为平面ACB外一点，=∠60SCA，求SC与平面ACB所成角．SCB=︒=∠典型例题十五例15判断题：正确的在括号内打“√”号，不正确的打“×”号．(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．（）(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．（）(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．（）(4)过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于α的平面内．（）(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．（）解：(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行②异面，因此应打“×”号(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．①若为平行，则该命题应打“×”号；若为相交，则该命题应打“√”，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内无这数条线的位置关系，则该命题应打“×”号．(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，∴该命题应打“√”．(4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A垂直于直线a 的平面惟一，因此，过点A 且与直线a 垂直的直线都在过点A 且与直线a 垂直的平面内，∴该命题应打“√”号．(5)三条共点直线两两垂直，设为a ，b ，c 且a ，b ，c 共点于O ，∵b a ⊥，c a ⊥，0=c b ，且b ，c 确定一平面，设为α，则α⊥a ， 同理可知b 垂直于由a ，c 确定的平面，c 垂直于由了确定的平面，∴该命题应打“√”号．说明：本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．典型例题十六例16 如图，已知空间四边形ABCD 的边AC BC =，BD AD =，引CD BE ⊥，E 为垂足，作BE AH ⊥于H ，求证：BCD AH 平面⊥．分析：若证BCD AH 平面⊥，只须利用直线和平面垂直的判定定理，证AH 垂直平面BCD 中两条相交直线即可．证明：取AB 中点F ，连CF 、DF ，∵BC AC =，∴AB CF ⊥．又∵BD AD =，∴AB DF ⊥，∴CDF AB 平面⊥，又CDF CD 平面⊂，∴AB CD ⊥又BE CD ⊥，∴ABE CD 平面⊥，AH CD ⊥，又BE AH ⊥，∴BCD AH 平面⊥．典型例题十七例17 如果平面α与α外一条直线a 都垂直b ，那么α//a ．已知：直线α⊄a ，b a 直线⊥，α⊥b ．求证：α//a ．分析：若证线面平行，只须设法在平面α内找到一条直线'a ，使得'//a a ，由线面平行判定定理得证．证明：(1)如图，若a 与b 相交，则由a 、b 确定平面β，设'a =αβ ．αααβαα////,,'''''a a a a a a b a a b a b a b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥又∵． (2)如图，若a 与b 不相交，则在a 上任取一点A ，过A 作b b //'，a 、'b 确定平面β，设'a =αβ ．αααβααα////,,////'''''''''''a a a aa a ab a b a b b b a b a b b b b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥又又∵又∵．典型例题十八例18 如图，已知在ABC ∆中，︒=∠60BAC ，线段ABC AD 平面⊥，DBC AH 平面⊥，H 为垂足．求证：H 不可能是DBC ∆的垂心．分析：根据本题所证结论，可采用反证法予以证明．证明：如图所示，假设H 是DBC ∆的垂心，则DC BH ⊥．∵DBC AH 平面⊥，∴AH DC ⊥，∴ABH DC 平面⊥，∴DC AB ⊥．又∵ABC DA 平面⊥，∴DA AB ⊥，∴DAC AB 平面⊥，∴AC AB ⊥，这与已知︒=∠60BAC 矛盾，∴假设不成立，故H 不可能是DBC ∆的垂心．说明：本题只要满足︒≠∠90BAC ，此题的结论总成立．不妨给予证明．典型例题十九例19 在空间，下列哪些命题是正确的（ ）．①平行于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一条直线的两条直线互相平行③平行于同一个平面的两条直线互相平行④垂直于不一个平面的两条直线互相平行A ．仅②不正确B ．仅①、④正确C ．仅①正确D ．四个命题都正确分析：①该命题就是平行公理，即课本中的公理4，因此该命题是正确的；②如图，直线a ⊥平面α，α⊂b ，α⊂c ，且A c b = ，则b a ⊥，c a ⊥，即平面α内两条直交直线b ，c 都垂直于同一条直线a ，但b ，c 的位置关系并不是平行．另外，b ，c 的位置关系也可以是异面，如果把直线b 平移到平面α外，此时与a 的位置关系仍是垂直，但此时，b ，c 的位置关系是异面．③如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，易知ABCD B A 平面//11，ABCD D A 平面//11，但11111A D A B A = ，因此该命题是错误的．④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的．综上可知①、④正确．∴应选B ．典型例题二十例20 设a ，b 为异面直线，AB 为它们的公垂线(1)若a ，b 都平行于平面α，则α⊥AB ；(2)若a ，b 分别垂直于平面α、β，且c =βα ，则c AB //．分析：依据直线和平面垂直的判定定理证明α⊥AB ；证明线与线的平行，由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明c AB //．图１ 图２ 证明：(1)如图1，在α内任取一点P ，设直线a 与点P 确定的平面与平面α的交线为'a ，设直线b 与点P 确定的平面与平面α的交线为'b∵α//a ，α//b ，∴'//a a ，'//b b又∵a AB ⊥，b AB ⊥，∴'a AB ⊥，'b AB ⊥，∴α⊥AB ．(2)如图2，过B 作α⊥'BB ，则a BB //'，则'BB AB ⊥又∵b AB ⊥，∴AB 垂直于由b 和'BB 确定的平面．∵β⊥b ，∴c b ⊥，α⊥'BB ，∴c BB ⊥'．∴c 也垂直于由'BB 和b 确定的平面．故AB c //．说明：由第(2)问的证明可以看出：利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造出平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线'BB ，构造出平面，即由相交直线b 与'BB 确定的平面．然后借助于题目中的其他垂直关系证得．典型例题二十一例21 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，EF 为异面直线D A 1与AC 的公垂线，求证：1//BD EF ．分析：证明1//BD EF ，构造与EF 、1BD 都垂直的平面是关键．由于EF 是AC 和D A 1的公垂线，这一条件对构造线面垂直十分有用． 证明：连结11C A ，由于11//C A AC ，AC EF ⊥， ∴11C A EF ⊥．又D A EF 1⊥，1111A C A D A = ， ∴D C A EF 11平面⊥． ① ∵11111D C B A BB 平面⊥，111111D C B A C A 平面⊂， ∴111C A BB ⊥．∵四边形1111D C B A 为正方形， ∴1111D B C A ⊥，1111B BB D B = ， ∴D D BB C A 1111平面⊥，而D D BB BD 111平面⊂，∴111BD C A ⊥． 同理11BD DC ⊥，1111C C A DC = ， ∴D C A BD 111平面⊥． ② 由①、②可知：1//BD EF ．典型例题二十二例22 如图，已知P 为ABC ∆外一点，PA 、PB 、PC 两两垂直，a PC PB PA ===，求P 点到平面ABC 的距离．分析：欲求点到平面的距离，可先过点作平面的垂线，进一步求出垂线段的长．解：过P 作ABC PO 平面⊥于O 点，连AO 、BO 、CO ， ∴AO PO ⊥，BO PO ⊥，CO PO ⊥ ∵a PC PB PA ===， ∴PAO ∆≌PBO ∆≌PCO ∆， ∴OC OB OA ==， ∴O 为ABC ∆的外心． ∵PA 、PB 、PC 两两垂直，∴a CA BC AB 2===，ABC ∆为正三角形， ∴a AB AO 3633==，∴a AO PA PO 3322=-=． 因此点P 到平面ABC 的距离a 33． 说明：(1)求点到平面距离的基本程序是：首先找到或作出要求的距离；然后使所求距离在某一个三角形中；最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离．(2)求距离问题转化到解三角形有关问题后，在三角形中求距离常常用到勾股定理、正弦定理、余弦定理及有关三角函数知识．(3)点到平面距离是立体几何中一个重要内容，高考命题中出现较多，应充分注意，除了上面提到方法之外，还有其他一些方法，比如以后学习的等积法，希望同学们在学习过程不断总结．典型例题二十三例23 如图，已知在长方体1111D C B A ABCD -中，棱51=AA ，12=AB ，求直线11C B 和平面11BCD A 的距离．分析：求线面距离，其基本方法是在线上选一点，作出点面距，距离然后根据求点面距的有关方法求解．解：如图，∵BC C B //11，且1111BCD A C B 平面⊄，11BCD A BC 平面⊂， ∴1111//BCD A C B 平面．从而点1B 到平面11BCD A 的距离即为所求． 过点1B 作B A E B 11⊥于E ，∵11ABB A BC 平面⊥，且B B AA E B 111平面⊂， ∴E B BC 1⊥． 又B B A BC =1 ， ∴111BCD A E B 平面⊥． 即线段E B 1的长即为所求，。
高中数学-排列组合100题(附解答)
高中数学_排列组合10０题一、填充题1. (１)设{}3,8A =﹐{}8,36B x =+﹐若A B =﹐则x =____________﹒ﻫ（2）设{}2|320A x x x =-+=﹐{}1,B a =﹐若A B =﹐则a =____＿__＿___＿﹒2. (1)822x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中10x 项的系数为__________＿_﹒(２)52123x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为＿_＿_＿__＿_＿__﹒ﻫ(３）53212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中常数项为__＿_________﹒3. (1）()82x y z +-展开式中332x y z 项的系数为_____＿___＿__﹒（２)()532x y z -+展开式中﹐2.3x y 项的系数为__＿___＿_＿___﹒ ４. 四对夫妇围一圆桌而坐﹐夫妇相对而坐的方法有＿＿_＿_____＿_种﹒５． {}{}1,21,2,3,4,5,A ⊂⊂且A 有4个元素﹐则这种集合A 有＿＿___＿_＿____个﹒ 6. 从2０00到３0００的所有自然数中﹐为3的倍数或5的倍数者共有_＿_________＿个﹒ 7. 从１至10的十个正整数中任取3个相异数﹐其中均不相邻的整数取法有_______＿_＿_＿种﹒8. 某女生有上衣5件﹑裙子４件﹑外套2件﹐请问她外出时共有__＿＿________种上衣﹑裙子﹑外套的搭配法﹒(注意：外套可穿也可不穿﹒)9. 已知数列n a 定义为1132n n a a a n +=⎧⎨=+⎩﹐n 为正整数﹐求100a =＿＿__＿__＿____﹒10. 设A ﹑B ﹑T 均为集合﹐{},,,A a b c d =﹐{},,,,=B c d e f g ﹐则满足T A ⊂或T B ⊂的集合T 共有________＿___个﹒11. 李先生与其太太有一天邀请邻家四对夫妇围坐一圆桌聊天﹐试求下列各情形之排列数：1(ﻫ）男女间隔而坐且夫妇相邻_________＿＿＿﹒ﻫ(２)每对夫妇相对而坐＿＿__________﹒12. 体育课后﹐阿珍将4个相同排球﹐5个相同篮球装入三个不同的箱子﹐每箱至少有1颗球﹐则方法有＿____＿______种﹒13． 如图﹐由A 沿棱到G 取快捷方式（最短路径）﹐则有_____＿_＿_＿＿＿种不同走法﹒ﻫ14. 0﹑1﹑１﹑２﹑2﹑2﹑2七个数字全取排成七位数﹐有__＿_______＿＿种方法﹒ １5. 1012⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭展开式中﹐各实数项和为_______＿_＿＿_﹒ 16． 有一数列n a 满足11a =且1213nn a a +=+﹐n 为正整数﹐求()13n n a ∞=-=∑＿＿__＿___＿___﹒﹒１8. 把1~4四个自然数排成一行﹐若要求除最左边的位置外﹐每个位置的数字比其左边的所有数字都大或都小﹐则共有____＿___＿_＿_种排法﹒(例如:23１4及３4２１均为符合要求的排列）1９． 从１到1０0０的自然数中﹐ﻫ(1)是5的倍数或7的倍数者共有_____＿＿___＿_个﹒ﻫ(2)不是5的倍数也不是７的倍数者共有_____＿____＿_个﹒ﻫ(３）是5的倍数但不是７的倍数者共有__＿_________个﹒2０． 如图﹐从A 走到B 走快捷方式﹐可以有＿＿＿＿＿___＿_＿＿种走法﹒ﻫ２１． １到1００0的正整数中﹐不能被2﹑３﹑４﹑5﹑６之一整除者有_______＿_＿_＿个﹒22. 将100元钞票换成5０元﹑10元﹑5元﹑1元的硬币﹐则ﻫ(１）５0元硬币至少要１个的换法有_＿__＿_＿_____种﹒ﻫ(2)不含1元硬币的换法有_＿_______＿_＿种﹒ ２３. 求()21x -除1001x +的余式为＿_＿__＿__＿＿_＿﹒２4. 在()8x y z ++的展开式中﹐同类项系数合并整理后﹐（1)共有_＿_______＿_＿个不同类项﹒(2）其中323x y z 的系数为_＿___＿__＿___﹒２５． 小明与小美玩猜数字游戏﹐小明写一个五位数﹐由小美来猜;小美第一次猜7516８﹐小明说五个数字都对﹐但只有万位数字对﹐其他数字所在的位数全不对﹐则小美最多再猜__＿_________次才能猜对﹒ 26.若{}|,,110000S x x x =≤≤為正整數正整數﹐{}|12,,110000T x x k k x ==≤≤為正整數﹐则()n S T -=＿_＿_____＿＿__﹒27． 小于10000之自然数中﹐6的倍数所成集合为A ﹐9的倍数所成集合为B ﹐12的倍数所成集合为C ﹐则(１）()n A B ⋂=__＿＿＿___＿_＿＿﹒ (2）()n A B C ⋂⋂=＿______＿__＿_﹒ (３)()n A B C ⎡⋂⋃⎤=⎣⎦__＿＿________﹒ （4)()n A B C ⎡⋂⋃⎤=⎣⎦___＿＿____＿__﹒28. 1到３00的自然数中﹐是2或３的倍数但非5的倍数有__＿____＿__＿＿个﹒ 29. ()10222x x -+除以()31x -所得的余式为______＿＿____﹒30.ﻫ如圖﹐以五色塗入各區﹐每區一色且相鄰區不得同色﹐則有____________種不同的塗法﹒（圖固定不得旋轉）31. 如图﹐则(1)由A 取捷徑到B 的走法有____________種﹒(2)由A 走到B ﹐走向可以↑﹑→或↓﹐但不可以←﹐且不可重複走﹐則走法有____________種﹒32. 求()()23311x x ++++……()2031x ++展开式中12x 项系数为＿_______＿___﹒33．()101kk x =-∑展开式中5x 的系数为_______＿____﹒____种﹒36. 利用二项式定理求12323n n n n n C C C nC +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+和为_＿_＿_＿_＿____﹒37. 四对夫妇Aa ﹑Bb ﹑Cc ﹑Dd 围一圆桌而坐﹐若Aa 要相对且Bb 要相邻的坐法有_＿_______＿＿＿种﹒ 38. 许多白色及黑色的磁砖﹐白色的磁砖为正方形﹐边长为１单位;黑色为长方形﹐其长为2单位﹐宽为１单位﹔则贴满一个长7单位﹐宽1单位的长方形墙壁﹐共有___＿__＿_＿___种方法﹒ ３９.如圖,有三組平行線,每組各有三條直線,則 (1)可決定____________個三角形.(2)可決定____________個梯形.（一組對邊平行,另一組對邊不平行）.40. 小功家住在一栋7楼的电梯公寓﹐今天小功回家时有5人同时和小功一起进入1楼电梯欲往上﹐假设每人按下自己想要到的楼层（可相同或不同）﹐请问电梯有_＿_______＿_＿种停靠方式﹒(假设这期间电梯只会由下而上依次停靠这6人所按的楼层)41. 设202020201232023......20,S C C C C =+⋅+⋅++⋅则S 为__＿＿__＿_＿_＿_位数﹒（设log20.3010=)４2. ４面不同色的旗子﹐若任取一面或数面悬挂在旗杆上来表示讯号﹐如果考虑上下的次序﹐则可作成___＿________种不同的讯号﹒４3.ﻫ如圖的棋盤式街道﹐甲走捷徑從A 至B ﹐則 (1)走法有____________種﹒(2)若不得經過C 且不經過D 的走法有____________種﹒４４.ﻫ圖中的每一格皆是正方形﹐邊長均為1個單位﹐試問由圖中線段(1)共可決定____________個矩形﹒ (2)可決定____________個正方形﹒45． 有红﹑白﹑黄三种大小一样的正立方体积木各20个﹐从中取出7个积木﹐相同颜色堆在一起﹐一一重迭堆高﹐共有＿_________＿＿种堆法﹒４６. 2颗苹果﹐3颗番石榴﹐４颗菠萝﹐将9颗水果任意装入4个不同的箱子﹐水果全装完每个箱子至少装一颗水果有____＿______＿种方法﹒(同种水果视为同物)47. A ﹑B ﹑C ﹑D ﹑E 五对夫妇围成一圆桌而坐（座位无编号)﹐A 夫妇相对且B 夫妇相邻的情形有＿＿__＿__＿____种﹒4８． 如图﹐取快捷方式而走﹐由A 不经P ﹑Q 至B 有______＿＿＿__＿种方法﹒49. 将pallmall 的字母全取排成一列﹐相同字母不相邻的排法有___________＿种﹒5０． 二个中国人﹑二个日本人﹑二个美国人排成一列﹐同国籍不相邻有____＿＿＿_____种排法﹒1. 设数列n a 满足14a =且132k n a a +=+﹐n 为自然数﹐试求(1)2a ﹐3a ﹐4a ﹐5a ﹒（2）推测n a 之值(以n 表示）﹒(3)401k k a =∑﹒２. 某校从8名教师中选派4名教师分别去4个城市研习﹐每地一人﹒其中甲和乙不能同时被选派﹐甲和丙只能同时被选派或同时不被选派﹐问共有几种选派方法？3. 试求()632x y -的展开式﹒4． 试求()421x -的展开式﹒５. 从SENSE 的5个字母中任取3个排成一列﹐问有几个排法？６. 下列各图形﹐自A 到A 的一笔划﹐方法各有多少种﹖(1)(2)(3)ﻫ7. 如图﹐至少包含A 或B 两点之一的矩形共有几个?8. 设()nx y +展开式中依x 降序排列的第６项为11２﹐第7项为７﹐第８项为14﹐试求x ﹑y 及n 之值﹒（但x ﹑y都是正数）9. 红﹑白﹑绿﹑黑四色大小相同的球各4颗共１6颗球﹐任取四颗﹐则ﻫ(１)四球恰为红﹑白二色的情形有几种？ﻫ(2)四球恰具两种颜色的情形有几种?１0． 一楼梯共10级﹐某人上楼每步可走一级或两级﹐要8步走完这10级楼梯﹐共有多少种走法?11. 设{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U =为一基集（宇集)﹐则{}1,2,4,5,8A =﹐{}1,2,5,7,9B =﹐求(1)A B ⋃(2)A B ⋂ (3）A B - (4)B A - (5）'A （6)'B (7）()'⋃A B （8)''⋂A B (9)()'A B ⋂ (1０）''A B ⋃﹒1２. 若()1922381211x x a x a x x -+=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+﹐求1a 和2a 的值﹒13． 某一场舞会将4位男生与4位女生配成4对﹐每一对皆含一位男生与一位女生﹐试问总共有几种配对法﹖（1)43C ﹒ (2)44P ﹒ （3)44﹒ （4）44H ﹒ (5)4﹒14. 如图﹐A A →一笔划的方法数有几种﹖1(ﻫ） （2)15. 如图﹐由A 至B 走快捷方式﹐不能穿越斜线区﹐有多少种走法﹖ﻫ1６. 求()70.998之近似值﹒(至小数点后第６位)1７. 设()1012220211x x ax bx cx +-=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+﹐求a ﹑b ﹑c 之值﹒18. (1)试证明下列等式成立:()1012121.12311n n n n n n C C C C n n ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-++ﻫ(2）设n 为自然数﹐且满足1231,2311n nn nn C C C C n n +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=++则n 之值为何?19. 王老师改段考考卷﹐她希望成绩是0﹑4﹑５﹑6﹑７﹑８﹑9所组成的２位数﹐则（1)不小于60分的数有几个﹖ﻫ(2)有几个3的倍数﹖(3)改完考卷后发现由小到大排列的第12个数正是全班的平均成绩﹐请问班上的平均成绩是几分﹖20． 某日有七堂课﹐其中有两堂是数学﹐有两堂是国文﹐另外是英文﹑生物﹑体育各一堂﹒若数学要连两堂上课﹐国文也要连两堂上课﹐但同科目的课程不跨上﹑下午(即第四五节课不算连堂）﹐若第四﹑五堂课也不排体育﹐则该日之课程有几种可能的排法﹖21. ()10122320211,x x ax bx cx x +-=++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+求a ﹑b ﹑c ﹒22. 已知{}{}{}0,,1,2,1,1,2=∅A ﹐下列何者为真﹖(A)∅∈A （B)∅⊂A (Ｃ)0A ∈ (D ）0A ⊂ (E){}1,2A ∈ (F ）{}1,2A ⊂ (G){}∅⊂A ﹒2３． ﻫ設有A ﹑B ﹑C ﹑D ﹑E 五個市鎮﹐其通道如圖所示﹐今某人自A 地到E 地﹐同一市鎮不得經過兩次或兩次以上﹐且不必走過每一市鎮﹐求有幾種不同路線可走﹖2４． 设数列n a 的首项15a =且满足递归关系式()123n n a a n +=+-﹐n 为正整数﹐试求(1)2a ﹐3a ﹐4a ﹐5a ﹒(2)一般项n a (以n 表示）﹒（3）20a ﹒25． 方程式10x y z ++=有多少组非负整数解?26． 用０﹑1﹑２﹑３﹑4﹑5作成大于230的三位数奇数﹐数字可重复使用(1)可作成多少个﹖ (２)其总和若干﹖2８. 妈妈桌球俱乐部拟购买8把桌球拍以供忘记携带球拍的会员使用﹐若球拍分为刀板﹐直拍与大陆拍3类﹐试问俱乐部有多少种不同的购买方式？29． 设直线方程式0ax by +=中的,a b 是取自集合{}3,2,1,0,2,4,6---中两个不同的元素﹐且该直线的斜率为正值﹐试问共可表出几条相异的直线﹖３0. 下列各图﹐由A 到B 的一笔划﹐方法各有多少种﹖(1)(2) ﻫ31. 以五种不同的颜色﹐涂入下列各图（图形不能转动）﹐同色不相邻﹐颜色可重复使用﹐则涂法各有多少种﹖ﻫ(1)(2)３3. 于下列各图中﹐以五色涂入各区﹐每区一色但相邻不得同色﹐则各有几种不同的涂法﹖（各图固定﹐不得旋转）(1)(2)(3)ﻫ34. 车商将3辆不同的休旅车及3辆不同的跑车排成一列展示﹒求下列各种排列方法：ﻫ(1)休旅车及跑车相间排列﹒（2）休旅车及跑车各自排在一起﹒３5．从6本不同的英文书与5本不同的中文书中﹐选取２本英文书与3本中文书排在书架上﹐共有几种排法？3６．将9本不同的书依下列情形分配﹐方法各有几种？(1)分给甲﹐乙﹐丙３人﹐每人各得３本﹒ﻫ(2)分装入３个相同的袋子﹐每袋装３本﹒ﻫ（3)分装入3个相同的袋子﹐其中一袋装５本﹐另两袋各装2本﹒3７．学校举办象棋及围棋比赛﹐已知某班级有4２位同学参赛﹐其中有3４位同学参加围棋比赛﹐而两种棋赛都参38. 求()321x x ++的展开式中2x 的系数﹒39． 求()322x x -+的展开式中4x 的系数﹒40. 求２40的正因子个数﹒４1. 自甲地到乙地有电车路线1条﹐公交车路线3条﹐自乙地到丙地有电车路线2条﹐公交车路线2条﹒今小明自甲地经乙地再到丙地﹐若甲地到乙地与乙地到丙地两次选择的路线中﹐电车与公交车路线各选一次﹐则有几种不同的路线安排？42. 某班举行数学测验﹐测验题分A ﹐B ﹐C 三题﹒结果答对A 题者有15人﹐答对B 题者有19人﹐答对C 题者有20人﹐其中A ﹐B 两题都答对者有1０人﹐B ﹐C 两题都答对者有1２人﹐C ﹐A 两题都答对者有8人﹐三题都答对者有３人﹒试问A ﹐B ﹐C 三题中至少答对一题者有多少人?43. 在1到６00的正整数中﹐是4﹐５和6中某一个数的倍数者共有几个？44. ﻫ用黑白兩種顏色的正方形地磚依照如右的規律拼圖形： 設n a 是第n 圖需用到的白色地磚塊數﹒ (1)寫下數列n a 的遞迴關係式﹒ (2)求一般項n a ﹒(3)拼第95圖需用到幾塊白色地磚﹒45． 欲将８位转学生分发到甲﹐乙﹐丙﹐丁四班﹒ﻫ(１)若平均每班安排2人﹐共有几种分法？(2）若甲乙两班各安排3人﹐丙丁两班各安排１人﹐共有几种分法？４6． 求满足12320003000n n nn n C C C C <++++<的正整数n ﹒4７. (1）方程式9x y z ++=有多少组非负整数解﹖(２)方程式9x y z ++=有多少组正整数解﹖48. 旅行社安排两天一夜的渡假行程﹐其中往返渡假地点的交通工具有飞机﹑火车及汽车3种选择﹐而住宿有套房与小木屋2种选择﹒试问全部渡假行程﹐交通工具与住宿共有几种安排法﹖49. 老师想从10位干部中选出3人分别担任班会主席﹑司仪及纪录﹒试问有几种选法﹖50. 如果某人周末时﹐都从上网﹑打牌﹑游泳﹑慢跑与打篮球等５种活动选一种作休闲﹐那么这个月4个周末共有多少种不同的休闲安排呢﹖ ﻬ一、填充题 (6５格 每格０分 共0分)1. （1）1-;（2）2 ２． (1)１1２;(2）０;(3）４0 ３. （1)448０；（2）90- 4． 4８ ５. ３ 6. 468 ７.５6 8. ６0 9. 990３ 10． 44 11. (１）４８;(2)384 12. 228 13. ６ 14. ９0 15． 12- 16. 6 1７.{}4,4- 18. ８ 19. (1）314;（2）6８6;(3)1７2 20. 35 21. 266 ２２. （1)３7;（２)１8 ２3. 10098x - ２４． (1)45；(2)56０ 2５． ９ 26. 84 ２7． （1)５５5；（２)２77；（3)1111；(４)1111 28. 160 29. 2102011x x -+ 30．７80 31. (１)2６;(2）120 3２． 203４９ ３3. 462- 34. 16 35． 1４4 ３6. 12n n -⋅ 37． 1９2 38. 2１ 39． (1)２7;（2)81 40. ６3 41. 8 4２. 64 ４3. (１)56;（2)20 44. (1)369；(２)７6 4５. 12９ 46． 3７5６ 4７. 8６40 4８. 80 4９． 54 50. ２4０二、计算题 (75小题 每小题０分 共0分）111735(1)48;(2)48;(3)９６ 7． 150 8. 4x =﹐12y =﹐8n = ９. (１）3;(2）1８ 10. 2８ 11． 见解析 １2. 1219,190a a =-= １3. (2) 14. (１）3２;(2）6４ 1５． 27 16. 0.９86０８4 17. 101,4949,a b ==1c =-18. （1)见解析;(2)４ 19. （1)２8;(2)１4;(3）5７ ２0. 5２ 2１． 101,4949,a b ==156550c = 22． (A)(B)(C)(E)(F)(Ｇ) ２3. 7６ 24. （1)24a =﹐35a =﹐48a =﹐513a =； （2)248n n -+;(3）328 25. 66 26. (1)63;(２)252９9 2７. 5980 28. 45 29. 13 30. (１)72;(2)８64 31. (1)420;（2)366０ 3２. (１）12a =﹐24a =﹐38a =﹐414a =；（2)12n n a a n +=+⨯;（3)22n n -+ 3３. （1)２60;（2）3３80；(3）4３940 34. （1)72;(2)7２ 35. 18000 ３6. (1）16８0;（2)28０；(3)３78 ３７. 23 ３8． 6 3９． 9 ４0. 20 41. 8 42. 27 ４３. ２80 44. (1)15,2n n a a n -=+≥;（2)53n +;(3）４78 ４5． (1)25２0；(２)112０ 4６. 11 ４７. （1)55;(2）28 4８. 18 4９. 720 ５0. 625一、填充题 （65格 每格0分 共0分)1. (1)3631x x +=⇒=-﹒(2）()()2320120x x x x -+=⇒--=1,2x ⇒=﹐∴2a =﹒ 2. (1)设第1r +项为10x 项﹐则()()882816222rrr r r rr Cx C xx x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ﻫ 163102r r ⇒-=⇒=﹐∴10x 项之系数为()2822112C-=﹒ﻫ（２）设第1r +项为3x 项﹐则()55255102112233r rrr r r rr Cx C x x x ----⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭710333r r ⇒-=⇒=（不合)﹐∴3x 项之系数为0﹒ (3)设第1r +项为常数项﹐则()5535515322122rrr r rrr Cx C xx x ----⎛⎫= ⎪⎝⎭15503r r ⇒-=⇒=﹐∴常数项为523240C =﹒3. (１)()()()()332238!22144803!3!2!x y z -⇒⨯⨯-=﹒ﻫ(2)()()()()2303223235!321031902!3!x y z x y x y -=⨯-=-﹐∴系数为90-﹒４． 所求为1161412148⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=﹒ [另解]34!2484⨯=﹒ 5． {}1,2,3,4﹐{}1,2,3,5﹐{}1,2,4,5﹐共３个﹒ ６. 2000~3000中3的倍数有3000200033433⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦个﹐2000~3000中5的倍数有30002000120155⎡⎤⎡⎤-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦个﹐∴所求为33420167468+-=﹒7. 83563!P =﹒8． ()542160⨯⨯+=﹒ 9. ∵12n n a a n +=+﹐ ∴2121a a =+⨯ 3222a a =+⨯()1)21n n a a n -+=+⨯-ﻫ()()21121213232n n n a a n n n -⋅=+⎡++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎤=+⨯=-+⎣⎦﹐ﻫ∴210010010039903a =-+=﹒10． ∵T A T B ⊂⋃⊂﹐∴T 的个数为4522221632444+-=+-=﹒ １１. (1）5!2485⨯=﹒ﻫ(2)A a B b C c D d E e 1181614121384⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=﹒ ［另解]55!1238452⨯⨯=﹒ 12. 全部－(恰有一空箱）－(恰有二空箱)()()333223114514524511H H C H H C H H ⨯-⨯---⨯ﻫ()67564545323228C C C C =⨯-⨯--=﹒13. 3216⨯⨯=﹒ 14. 任意排0-在首位7!6!5675610515904!2!4!2!22⨯⨯⨯=-=-=-=ﻫ﹒15. 展开后各实数项和为246810864210101010100246811111222222222C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ﻫ101010122C ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭512110242=-=-﹒ﻫ［另解]原式()()10cos 60sin 60i =⎡-︒+-︒⎤⎣⎦()()cos 600sin 600i =-︒+-︒12=-+﹐ﻫ∴实数项和为12-﹒ 1６. ∵1213n n a a +=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ﻫ∴1213n n a a -=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅-()1123n n n n a a a a +-⇒-=- 252表示数列1n n a a +-为首项23﹐公比23的等比数列﹐()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-ﻫ 111221332211213223313n n n ---⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+=+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-﹐ﻫ∴()111223262313n n n n a -∞∞==⎛⎫-=== ⎪⎝⎭-∑∑﹒17. ∵{}2,5A B ⋂=﹐∴154a a +=⇒=﹐∴{}2,4,5A =﹐{}4,2,5B =-﹐{}4,2,4,5A B ⋃=-﹐ ∴()(){}4,4A B A B ⋃-⋂=-﹒1８. 1234 3214ﻫ２1３4 3２41ﻫ231４ ３４2１ﻫ2３４1 ４321ﻫ共8种﹒ 1９. 设1到1000的自然数所成的集合为基集U ﹐1到1000的自然數中﹐5的倍數者所成的集合為A ﹐ 而7的倍數者所成的集合為B ﹐ 則A B ⋂表示35的倍數者所成的集合﹐(1)即求()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂100010001000200142283145735⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦﹒ﻫ（2)即求()()()()1000314686⎡⎤'''⋂=⋃=-⋃=-=⎢⎥⎣⎦n A B n A B n U n A B ﹒ﻫ(3)即求()()()20028172n A B n A n A B -=-⋂=-=﹒２0.7!354!3!=﹒ 21. 若一整数不能被2整除﹐则必不能被4﹑6整除﹐ﻫ故本题即求1到1００0正整数中﹐不能被2﹑3﹑5之一整除者的个数﹒设１到1０0０之正整数中﹐可被2﹑３﹑5整除者之集合分别为A ﹑B ﹑C ﹐则()10005002n A ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦﹐()10003333n B ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦﹐()10002005n C ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦﹐()10001666n A B ⎡⎤⋂==⎢⎥⎣⎦ﻫ﹐()100010010n A C ⎡⎤⋂==⎢⎥⎣⎦﹐()10006615n B C ⎡⎤⋂==⎢⎥⎣⎦﹐ ()10003330n A B C ⎡⎤⋂⋂==⎢⎥⎣⎦﹐ﻫ()()()()()()()()n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C ⋃⋃=++-⋂-⋂-⋂+⋂⋂(个）﹒ﻫ22. (1)①一个50⇒设10元x 个﹐5元y 个﹐1元z 个﹐则10550x y z ++=﹐共119753136+++++=种﹒ﻫ②二个５0⇒1种﹒∴所求为36137+=种﹒(2）设50元x 个﹐10元y 个﹐5元z 个﹐则50105100x y z ++=ﻫ 10220x y z ⇒++=﹐ﻫ共116118++=种﹒ 23. ()()()1002100100100121111111x x C x C x +=⎡+-⎤+=+-+-+⎣⎦……()10010010011C x +-+﹐∴1001x +除以()21x -的余式为()11001110098x x +-+=-﹒24. (1)3101088245H C C ===﹒ﻫ(2)8!560.3!2!3!= 25. 先考虑5不在千位﹐１不在百位﹐６不在十位﹐８不在个位的方法﹐14!43!62!41!10!9⨯-⨯+⨯-⨯+⨯=ﻫ﹐∴最多再猜9次﹒26. {}{}2222,1100001,2,3,,100,=≤≤=正整數S x x ∴()100n S =﹐{}|12,,110000T x x k k x ==≤≤為正整數﹐令()222212232336x k k ==⨯⨯=⨯⨯=﹐ﻫ则()()(){}22261,62,,616,⋂=⨯⨯⨯S T∴()16n S T ⋂=﹐故()1001684n S T -=-=﹒27. (1)所求为999955518⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹒ﻫ(２)所求为999927736⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹒ﻫ(3)()()()()n A B C n A B n C n A B C ⎡⋂⋃⎤=⋂+-⎡⋂⋂⎤⎣⎦⎣⎦ﻫ 5558332771111=+-=﹒ﻫ(４)()()()n A B C n A B A C ⎡⋂⋃⎤=⎡⋂⋃⋂⎤⎣⎦⎣⎦ﻫ()()()()n A B n A C n A B A C =⋂+⋂-⎡⋂⋂⋂⎤⎣⎦ ()555833n A B C =+-⋂⋂ 5558332771111=+-=﹒ ２8．()()()()()()236151030n n n n n n +---+15010050203010160=+---+=﹒2９．()()1010222211x x x ⎡⎤-+=-+⎣⎦()()10922101010911C x C x ⎡⎤⎡⎤=-+-+⎣⎦⎣⎦……()()22210101021011C x C x C ⎡⎤+-+-+⎣⎦ﻫ故余式为()()210102210110211102011C x C x x x x -+=-++=-+﹒30．ﻫ①B ﹑D 同﹐54143240,A B D C E ⨯⨯⨯⨯=②B ﹑D 異﹐ 54333540,A B D C E ⨯⨯⨯⨯=由①②可得﹐共有240540780+=种﹒31. ﻫ(1)走捷徑等於是走向只許向右與向上兩種﹒如圖﹐ 由A 開始朝任何方向走都有1種走法﹐走至交叉 點P 後﹐將會合箭頭的方法數全部加起來﹐即為走到該點的走法數（累加法）﹒如圖﹐走法有26種﹒ﻫ(2)走向可以↑﹑→或↓﹐但不可以←又不可重複走﹒如圖﹐由P 出發﹐依所規定的走法﹐走到隔鄰的鉛垂路線上立即停止﹐再決定走向﹒如此相鄰的兩鉛垂路線間的走法數相乘﹐即為所求的走法數﹒∴走法有120種﹒32. ()()23311x x ++++……()()()()()()203321332033311111111x x x x x x x ⎡⎤++-+-+⎢⎥⎣⎦++==+-﹐ﻫ所求即分子()2131x +展开式中15x 项系数ﻫ∴所求为21521201918172034954321C ⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯﹒33．()()()()10121111k k x x x x =-=-+-+-+∑……()101x +-()()()11111111111x x x x⎡⎤----⎣⎦==--﹐展开式中5x 系数即为()1111x --展开式中6x 系数﹐ ∴所求为()61161462C --=-﹒()()()2320202012310.010.010.01C C C =+-+-+-+……()2020200.01C +-10.20.0190.00114=-+-+……0.81786≈﹐ ∴81716a b c ++=++=﹒35. 设一步一阶走x 次﹐一步二阶走y 次﹐则211x y +=﹐6!7!8!9!10!15!3!4!5!3!7!2!9!⇒+++++144=﹒ 36. 令12323n n n n n S C C C nC =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅则()0111n n n n S nC n C C -=+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ﻫ+()0122n n n nn S n C C C n ⇒=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅﹐∴12n S n -=⋅﹒ 3７.ﻫ()1142!4!192.⨯⨯⨯⨯=選位A a Bb38. 设白色x 块﹐黑色y 块﹐则27x y +=﹐⇒ﻫ6!5!4!116104215!2!3!3!+++=+++=﹒ ３９． (１)33311127C C C =﹒ (２)33333333321121121181C C C C C C C C C ++=﹒4０. 62163-=４1. 20202020123202320S C C C C =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 20202001192019S C C C =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅()202020200120220202S C C C +⇒=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=⨯﹐∴20102S =⨯﹐∵20log 220log 2200.3010 6.02==⨯=﹐∴202为7位数﹐∴S 为8位数﹒ 42. ①选一面4⇒﹐②选二面4312⇒⨯=﹐ﻫ③选三面43224⇒⨯⨯=﹐④选四面⇒432124⨯⨯⨯=﹐ﻫ由①②③④可得﹐共可作成412242464+++=种﹒ 43. （1）8!565!3!=﹒ (2)所求=全部()n C D -⋃()()()56A C B A D B A C D B =-⎡→→+→→-→→→⎤⎣⎦ﻫ 3!5!4!4!3!4!5612!3!2!3!2!2!2!2!2!⎛⎫=-⨯+⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭ﻫ ()5630241820=-+-=﹒不含中空：37934792334342222222222222223C C C C C C C C C C C C C C +++----左 上 右 下 左上 右上 左下 右下ﻫ631081263691836297=+++----=ﻫ ∴所求为72297369.+=ﻫ(2)含中空:边长为31⇒﹐边长为44⇒﹐边长为56⇒﹐边长为63⇒﹐∴共14个﹐不含中空:()()()()625128176352418523122362,⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+--⨯+⨯--=ﻫ 左 上 右 下 左上 右上 左下 右下 ∴所求为146276+=个﹒ 4５． ①只用一色:3种﹐②只用二色:()()()()()()6,1,5,2,4,3,3,42,5,1,6∴()322!636,C ⋅⨯=上下色交換ﻫ③用三色:红+白+黄=7ﻫ 1 １ 1 剩4∴36443!690,⨯=⨯=H C 紅白黃排列∴共33690129++=种﹒４6. 444333222111234234234234146410H H H H H H H H H H H H ⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯700049006604103756=-⨯+⨯-⨯+=﹒ ４７. 6A a Bb →→→坐法其他人坐法1162!6!8640⨯⨯⨯⨯=﹒4８． ()A B A P B A Q B A P Q B →-→→+→→-→→→ 10!4!6!5!5!4!5!16!4!2!2!4!2!3!2!3!2!2!2!3!2!⎛⎫⇒-⨯+⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭()210901006080=-+-=﹒ ４9. aa 不相邻且llll 不相邻﹐可先排pmaa ﹐再安插llll ﹐ ①aa 排在一起时:3!6=种﹐再安插４个l ：p m a a △△△△△方法有434C =种﹒ﻫ ↑ﻫ l②aa 不排在一起时:p m △△△排法有322!6C ⨯=种﹐ﻫ 再安排4个l ：p a m a △△△△△方法有545C =种﹒ﻫ由①②可知﹐排法有646554⨯+⨯=种﹒[另解]llll ﻫ不相邻llll -不相邻且aa 相邻54444!3!606542!4!4!P P =⨯-⨯=-=﹒50. 6!35!2!34!2!2!13!2!2!2!240-⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=﹒二、计算题 (75小题 每小题０分 共0分)表示n a 为首项４﹐公差32的等差数列﹐ﻫ(1)2133114222a a =+=+=﹐ﻫ 3231137222a a =+=+=﹐ﻫ4333177222a a =+=+=﹐ﻫ 54317310222a a =+=+=﹒ﻫ(２)()()1335141222n a a n d n n =+-=+-⨯=+﹒ (３)()401240134024401213302k k a a a a =⎡⎤⨯+-⨯⎢⎥⎣⎦=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+==∑﹒ 2． 从8名教师中选出4名教师去４个城市研习的方式可分为甲去和甲不去两种情形: (１）若是甲去研习﹐则丙也会去﹐而乙不去﹐因此需从剩下的5名教师中选出2人去参加研习﹐故选法有52C 种﹒（２）若是甲不去研习﹐则丙也不会去﹐而乙可去也可不去﹐ﻫ 因此需从剩下的6名教师中选出4名教师去参加研习﹐故选法有64C 种﹒综合这两种情形﹐从８名教师中选派4名教师的选法共有562425C C +=种﹒而选出４名教师后﹐分别安排到４个城市去研习﹐则安排的方式有4!种﹐ﻫ因此总共有254!600⨯=种选派方法﹒3． ()()()()()()()()()()6651423324666660123432332323232x y C x C x y C x y C x y C x y -=+-+-+-+- ()()()566656322C x y C y +-+-6542332456729291648604320216057664.x x y x y x y x y xy y =-+-+-+ 4．()()()()()()()()()44312213444444012342122121211x C x C x C x C x C -=+-+-+-+-43216322481x x x x =-+-+﹒5. SEN ＳE 的５个字母中取３种字母﹐其中任取3个字母可能取出「三个字母皆不相同」或「两个字母同另一不同」两种情形:ﻫ（1)选出三个字母皆不相同的选法有331C =种﹐排列的方法有3!种﹐因此排法有333!6C ⨯=种﹒ﻫ（２)选出两个字母同另一不同的选法有2211C C ⨯种﹐排列的方法有3!2!1!种﹐ 因此排法有22113!122!1!C C ⨯⨯=种﹒ 综合这两种情形﹐共有18种排法﹒6. （1)先走任一瓣都可以﹐故将3瓣视为3条路任意排列﹐方法3!种﹐又每一瓣走法有2种(两个方向)﹐故所求为323!⨯48=种﹒ﻫ（２)323!48⨯=﹒ (3)423!96⨯=﹒7. ()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂ﻫ253343422332111111111111C C C C C C C C C C C C =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ﻫ909636150.=+-=8. 555112n n C x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6667n n C x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ﻫ77714n n C x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅6165xn y⇒⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-7286xn y ⇒⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅- ()()66167528n n -⇒=-﹐∴8n =﹐ 代入⇒8x y =﹐由⇒()877184C y y =8812y ⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭﹐即得12y =±﹐4x =±﹐ﻫ∴14,,82x y n ===（取正值)﹒９. (1)红+白＝41 1 剩２23223H C ⇒==﹒[另解] 红 白ﻫ 1322313.⇒共種（2)利用第(1)题的结果42318C ⇒⨯=﹒10. 用８步走完１0级楼梯﹐假设一级走了x 步﹐两级走了y 步﹐ 可列得8210x y x y +=⎧⎨+=⎩解得6x =﹐2y =﹐因此用这样的走法共有8!286!2!=(种)﹒ 11.(1){}1,2,4,5,7,8,9A B ⋃=﹒ (2){}1,2,5A B ⋂=﹒ (3){}4,8A B -=﹒(4){}7,9B A -=﹒(5){}3,6,7,9,10'=-=A U A ﹒ (6){}3,4,6,8,10'=-=B U B ﹒(7)(){}3,6,10'⋃=A B ﹒(8){}3,6,10''⋂=A B ﹒(9)(){}3,4,6,7,8,9,10'⋂=A B ﹒(10){}3,4,6,7,8,9,10''⋃=A B ﹒１２. ()()()()191919182219192011111x x x x C x C x x ⎡⎤-+=-+=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎣⎦﹐∴()1919101119,a C C =-=-1919192021190.a C C C =+=1３. 可看作第一位男生有4位女生舞伴可选择﹐第二位男生有3位女生舞伴可选择﹐以此类推得舞会配对方法数共有44432124P =⨯⨯⨯=种﹒ﻫ故选(２)﹒ 14. （1)5232=﹒(2)①先往右42232⨯=﹐ﻫ ②先往左42232⨯=﹐ﻫ 共有323264+=﹒15. ﻫﻫ如图﹐共有27种方法﹒1６． ()()()()()77237777712370.99810.00210.0020.0020.0020.002C C C C =-=-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⨯ﻫ10.0140.0000840.0000002800.9860837200.986084.≈-+-=≈ 17. ()()1011012211x x x x ⎡⎤+-=+-⎣⎦ﻫ()()()()()21011011009910121012101212101111x C x x C x x C x =+-+++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-ﻫ()10111c =-=-﹐ﻫ∵()1011x +展开式中才有x 项﹐∴1011101,a C ==ﻫ∵()1011x +及()100101211C x x -+展开式中均有2x 项﹐∴101101214949.b C C =-=18． (1）∵()()()()()()111!!11!1!1!1!1n n k k n C n C k n k k k n n k k n +++===+-+⋅+⋅-++﹐∴左式()()1111121011121.111nn n n n n k n k C C C C k n n +++++==⨯=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+++∑ﻫ(2）承(１）知﹐()1113121213111n n n n ++-=⇒-=++﹐得4n =﹒ 19. (1)□□：4728⨯=﹒ﻫ ↓6﹑７﹑8﹑9ﻫ(2)4５﹑4８﹑５4﹑57﹑60﹑66﹑6９﹑75﹑78﹑84﹑87﹑9０﹑9６﹑9９﹐共14个﹒ (3)4□7⇒个﹐ﻫ 5□7⇒个﹐∴1459a =﹐1358a =﹐1257a =﹐∴平均为57分﹒ 2０.ﻫ 上午 下午 1 2 3 4 5 6 7數 數 國 國 ╳ 體 體 2228⇒⨯⨯= 數 數 體 ╳ 國 國 體 2228⇒⨯⨯=數 數 體 ╳ ╳ 國 國 2124⇒⨯⨯= 體 數 數 ╳ 國 國 體 2228⇒⨯⨯= 體 數 數 ╳ ╳ 國 國 2124⇒⨯⨯=體 體數數國國 體 23212⇒⨯⨯=體體 數 數 ╳國國 2228⇒⨯⨯=∴共有8848412852++++++=種﹒２1． ()()()()1011012211x x x x +-=++-()()()()()()21011011009910121012101212101111x Cx x C x x Cx =+++-++-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-()()()1011002411011x x x x f x =+-++⋅﹐其中()f x 为一多项式﹐ﻫ∴x 项的系数1011101,a C ==ﻫ2x 项的系数10121014949,b C =-=ﻫ 3x 项的系数10110031101156550.c C C =-⨯=23.∴共有441212218396676+++++++++=种走法﹒24. (1)∵()123n n a a n +=+-且15a =﹐ﻫ ∴()21213514a a =+⨯-=-=﹐ ()32223415a a =+⨯-=+=﹐()43233538a a =+⨯-=+=﹐ﻫ ()542438513a a =+⨯-=+=﹒ (2)∵()123n n a a n +=+-﹐ﻫ ∴()21213a a =+⨯- ()32223a a =+⨯-ﻫ()()121223)213n n n n a a n a a n ---=+⎡⨯--⎤⎣⎦+=+⎡⨯--⎤⎣⎦ﻫ()()()2112121315233482n n n a a n n n n n -⋅=+⨯⎡++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎤--=+⨯-+=-+⎣⎦﹒ﻫ(３)20a =2204208328-⨯+=﹒25． x ﹐y ﹐z 的非负整数解共有331011212101010266H C C C +-====（组）﹒26. (1→有363⨯⨯个→有123⨯⨯个→有113⨯⨯个ﻫ ∴共有()()36323363⨯⨯+⨯+=个大于２30的三位数奇数﹒ （２)①个位数字为1者有()()()36121121⨯+⨯+⨯=个﹐为3﹑5者也各有21个﹐ﻫ 故个位数字的和为()21135189⨯++=﹒②十位数字为１﹑2者各有339⨯=个﹐为3者有()33312⨯+=个﹐为4﹑5者各有ﻫ ()331312⨯+⨯=个﹐ 故十位数字和为()()()9121231245171⨯++⨯+⨯+=﹒③百位数字为3﹑４﹑5者各有6318⨯=个﹐为2者有()()23139⨯+⨯=个﹐ﻫ 故百位数字和为()()1834592234⨯++⨯⨯=﹒ﻫ 由①②③可知﹐总和为()()1891711023410025299+⨯+⨯=﹒27． 由于515C =且565622125C C C C =-=-﹐于是利用帕斯卡尔定理111nn n m m m C C C ---=+﹐得ﻫ原式()66781920234516175C C C C C C =++++++- 778192034516175C C C C C =+++++-8819204516175C CC C =++++-21175C =-ﻫ 5980=﹒28. 设桌球俱乐部拟购买刀板﹐直拍与大陆拍各1x ﹐2x ﹐3x 把﹐ﻫ根据题意得1238x x x ++=﹒其非负整数解有33811010888245H C C C +-====（组）﹐故共有45种不同的购买方式﹒2９. 直线0ax by +=是恒过原点﹐且斜率为a b -的直线﹒因为斜率ab-为正值﹐所以,a b 必须异号﹐且,a b 皆不等于0﹒我们以a 的正负情形讨论如下﹕ﻫ（1）当0a >时﹐a 有3种选法﹐而此时0b <亦有3种选法﹐ 因此有339⨯=种选法﹒(2)当0a <时﹐a 有3种选法﹐而此时0b >亦有3种选法﹐ﻫ 因此有339⨯=种选法﹒ 但是ﻫ①当()()()(),2,1,4,2,6,3a b =---时﹐均表示同一条直线20x y -=﹒②当()()()(),3,6,2,4,1,2a b =---时﹐均表示同一条直线20x y -+=﹒ﻫ③当()(),2,2a b =-﹐()2,2-时﹐均表示同一条直线0x y -=﹒ﻫ因此需扣除重复计算的2215++=条直线﹒ 故共可表出99513+-=条相异的直线﹒３０． ﻫ(1)從A 走到P 後 ﹐方法有2種﹐完成A 到P 的各路線﹐方法有3!種﹐ 完成P 到B 的各路線﹐方法有3!種﹐ ∴共有()223!3!23!⨯⨯=⨯72=種﹒(2)A 到P 後 ﹐方法2種﹐P 到Q 後 ﹐方法2種﹐∴共有()32223!3!3!23!⨯⨯⨯⨯=⨯864=種﹒ABA Q P B3１. (1)B ﹑D 同色﹐A BD C E →→→ﻫ 5433180⨯⨯⨯=﹐ﻫ B ﹑D 异色﹐A B D C E →→→→54322240⨯⨯⨯⨯=﹐ ∴共有180240420+=种涂法﹒(2)B ﹑D ﹑F 同色﹐A BDF C E G →→→→ﻫ 54333540⨯⨯⨯⨯=﹐ﻫ B ﹑D ﹑F 异色﹐A B D F C EG →→→→→→5432222960⨯⨯⨯⨯⨯⨯=﹐ﻫ B ﹑D 同色﹐F 异色﹐A BD F C E G →→→→→ﻫ 543322720⨯⨯⨯⨯⨯=﹐同理B ﹑F 同色﹐D 异色;D ﹑F 同色﹐B 异色涂法也各有７2０种﹐ ∴共有54096072033660++⨯=种﹒ 32．(1)12a =24a = 38a = 414a =1n = 2n = 3n = 4n =(2)12a =﹐212a a =+﹐3222a a =+⨯﹐4323a a =+⨯﹐∴12n n a a n +=+⨯﹒ﻫ(3)∵12n n a a n +=+⨯且12a =﹐ ∴2121a a =+⨯ 3222a a =+⨯ﻫ ()1222n n a a n --=+⨯-ﻫ ()1)21n n a a n -+=+⨯-ﻫ()()21121212222n n n a a n n n -⨯=+⨯⎡++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎤=+⨯=-+⎣⎦∴22n a n n =-+﹒３3. (1) ﻫ ①A ﹑C 同色﹐541480,A B C D⨯⨯⨯=ﻫ②A ﹑C 异色﹐5433180,A B C D⨯⨯⨯=由①②可得﹐共有80180260+=种﹒(２)由(１）可知[]541433⨯⨯⨯+⨯﹐推得[]25414333380⨯⨯⨯+⨯=﹒ﻫ(3)[]354143343940⨯⨯⨯+⨯=﹒ 34．(1)休旅車及跑車相間排列的情形﹐可分為兩 種情形﹐如圖所示：3輛休旅車排成一列共有3!6=種方法﹐同樣地﹐3輛跑車排成一列共有3!6=種方法﹐ 因此根據乘法原理﹐共有26672⋅⋅=種排法﹒ (2)因為休旅車及跑車要各自排在一起﹐如圖所示：所以可以將3輛休旅車看成「1」輛﹐3輛跑車看成「1」輛﹐變成2輛的排列問題﹐有2!2=種方法﹒又3輛休旅車之間有3!6=種排列方法﹐3輛跑車之間有3!6=種排列方法﹒故共有2!3!3!26672⋅⋅=⋅⋅=種排法﹒3５. 选出2本英文书3本中文书的方法有6523150C C ⋅=(种）﹐ﻫ将此5本书作直线排列﹐有5!种排法﹐ﻫ故所求排法为65235!18000C C ⋅⋅=(种）﹒36.(1)從9本中取出3本給甲﹐取法有93C 種；再從其餘的6本取出3本給乙﹐取法有63C 種；剩下的3本給丙﹐即33C 種﹒因此﹐全部分配方式共有9633331680C C C ⋅⋅=（種）﹒(2)先假設袋子上依序標示有甲﹐乙﹐ 丙的記號﹐則有963333C C C ⋅⋅種分 法﹐但事實上袋子是相同的﹐因此每3!種只能算1種﹐如圖所示﹒故分配方式共有96333316802803!6C C C ⋅⋅==（種）﹒ (3)仿上述作法﹐先假設袋子依序有甲﹐乙﹐丙的記號﹐甲得5本﹐乙丙各得2本的分法有942522C C C ⋅⋅種﹒因袋子是無記號的﹐所以如圖的2!種其實是同1種﹒故分配方式共有9425223782!C C C ⋅⋅=（種）﹒37．設集合A 表示參加象棋比賽的同學﹐ 集合B 表示參加圍棋比賽的同學﹐ 集合A B ⋃表示參加棋藝活動的同學﹐集合A B ⋂表示參加兩種棋藝活動的同學﹒由題意知()34n B =﹐()42n A B ⋃=﹐()15n A B ⋂=﹒ 利用()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂﹐得()423415n A =+-﹐即()23n A =﹒ 故這個班級中共有23位同學參加象棋比賽﹒38． 因为()()()332211x x x x ++=++﹐所以利用二项式定理将乘积展开﹐得()()()()()3321232320111A x x C x C x x ++=++部分+()()()1233232311B C x x C x +++部分﹒ﻫ由于上式中A 部分的各项次数均超过2次﹐因此全部展开式中2x 的系数﹐就是B 部分的展开式中的2x 系数﹒ﻫ又B 部分的展开式为()()223243232133137631x x x x x x x x x x ++++++=++++﹐ 故全部展开式中2x 的系数为6﹒ 39． 因为()()()332222x x x x -+=-+﹐所以利用二项式定理将乘积展开得()()()()()()()()()()332112323232323212322222A B xx C x x C x x C x x C x x -+=-+-+-+-部分部分上述()()322x x -+展开式中B 部分各项次数低于4次﹐因此要计算展开式中4x 的系数只要计算A 部分各项展开式即可﹐又A 部分展开式为ﻫ()()()()32132320122C x x C x x -+-()()654343233322x x x x x x x =-+-+-+⨯6543239136x x x x x =-+-+ﻫ故4x 的系数为9﹒ 4０. 将２40作质因子分解﹐得411240235=⨯⨯﹒ﻫ因为２4０的正因子必为235a b c ⨯⨯的形式﹐其中{}0,1,2,3,4a ∈﹐{}0,1b ∈﹐{}0,1c ∈﹐ﻫ所以a 有5种选择﹐b 有2种选择﹐c 有2种选择﹒利用乘法原理﹐得240的正因子个数有52220⨯⨯=个﹒41. 依题意图示如下：ﻫ ﻫ其中实线表电车路线﹐虚线表公交车路线﹒ﻫ因为电车与公交车路线各选一次﹐所以路线安排可分成以下二类：ﻫ(１）先电车再公交车:利用乘法原理﹐得有122⨯=种路线﹒ﻫ(2)先公交车再电车:利用乘法原理﹐得有326⨯=种路线﹒ 由加法原理得知﹐共有268+=种路线安排﹒4２. 设A ﹐B ﹐C 分别表示答对A ﹐B ﹐C 题的人组成的集合﹒由题意知()15n A =﹐()19n B =﹐()20n C =﹐()10n A B ⋂=﹐()12n B C ⋂=﹐()8n C A ⋂=﹐()3n A B C ⋂⋂=﹒ﻫ利用排容原理﹐得()()()()()()()n A B C n A n B n C n A B n B C n C A ⋃⋃=++-⋂-⋂-⋂ﻫ()n A B C +⋂⋂151920101283=++---+27=﹒ﻫ故三题中至少答对一题者有２7人﹒43．ﻫ設集合A ﹐B ﹐C 分別表示從1到600的自然數當中的4﹐5,6倍數所形成的集合﹐即()150n A =﹐()120n B =﹐()100n C =﹐()30n A B ⋂=﹐()20n B C ⋂=﹐()50n C A ⋂=﹐()10n A B C ⋂⋂=利用排容原理()()()()()()()n A B C n A n B n C n A B n B C n C A ⋃⋃=++-⋂-⋂-⋂ ()n A B C +⋂⋂﹐得()15012010030205010280n A B C ⋃⋃=++---+=﹒ 故1到600的自然數中﹐是4﹐5﹐6中某一個數的倍數﹐共有280個﹒44. (1)n a 代表「第n 个图需用到白色地砖的块数」﹐我们可以发现图形每次均增ﻫ 加1个黑色地砖与５个白色地砖﹐因此15n n a a -=+﹐2n ≥﹒ﻫ(2)而上述这些图形中﹐白色地砖的个数可视为一个首项为8﹐公差为5的等ﻫ 差数列﹐故()81553n a n n =+-⨯=+﹒ﻫ（３)拼第9５图所需用到白色地砖数955953478a =⨯+=﹒ 4５. （１)先将这8位转学生分成四堆﹐每堆２人﹐ﻫ 再将这四堆分发到甲﹐乙﹐丙﹐丁四班﹐ﻫ 故总共有86428642222222224!25204!C C C C C C C C ⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅=种分法﹒ﻫ（2)先将这8位转学生分成四堆﹐两堆3人﹐两堆1人﹐再将３人的两堆分发到甲乙两班﹐1人的两堆分发到丙丁两班﹐ﻫ 故总共有85218521331133112!2!11202!2!C C C C C C C C ⋅⋅⋅⨯⨯=⋅⋅⋅=⋅种分法﹒46. 因为01232n n n nn n n C C C C C +++++=﹐ﻫ所以1230221n n nn n n nn C C C C C ++++=-=-﹒ﻫ即原式可改写为2000213000n <-<﹐ﻫ即200123001n <<﹐得11n =﹒４7.(1)3119911!55 9!2!H C===组﹒ﻫ(2)338936628H H C-===组﹒48. 因为去程有３个交通工具可以选择﹐住宿则有２个方式可供选择﹐而回程亦有3个交通工具可以选择﹒因此由乘法原理得共有32318⨯⨯=种安排法﹒49. 10310!1098720 7!P==⨯⨯=种选法﹒5０．由题意知每个周末都有５种休闲活动可以选择﹒利用乘法原理﹐得4个周末共有5555625⨯⨯⨯=种休闲安排﹒。
新高中数学数列多选题专项训练100及解析(1)
一、数列多选题1．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0答案：ABD 【分析】对于A ，由题意得bn＝an2，然后化简4(b2020－b2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{an}满足a1＝a2＝1，an ＝an －1＋an －2 (n≥3解析：ABD 【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n－12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确； 故选：ABD. 【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题2．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为（ ） A ．15B ．25C ．45D ．65答案：ABC 【分析】利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列满足，，依次取代入计算得， ，，，，因此继续下去会循环解析：ABC 【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得，211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,,,5555. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题.3．已知数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）A ．2-B ．23 C ．32D ．3答案：BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】 因为数列满足，， ； ； ；数列是周期为3的数列，且前3项为，，3； 故选：． 【点睛】 本题主要解析：BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】因为数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，212131()2a ∴==--；32131a a ==-； 4131112a a a ==-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-，23，3； 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．4．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 答案：ABCD 【分析】由题意可得数列满足递推关系，对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ，写出数列的前6项为，故A 正确； 对B ，，故B 正确； 对C ，由，，，……，，可得：.故是斐波那契数列中的第解析：ABCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；故选：ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换. 5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a =B ．911a a =C ．当9n =或10时，n S 取得最大值D ．613S S =答案：ABD 【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论． 【详解】∵等差数列的前项和为，， ∴，解得， 故，故A 正确；∵，，故有，故B 正确； 该数解析：ABD 【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论． 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=， ∴()111875282a a d a d ⨯++=+，解得19a d =-， 故10190a a d =+=，故A 正确；∵918a a d d d =+=-=，11110a a d d =+=，故有911a a =，故B 正确； 该数列的前n 项和()21119222n n n n S na d d d n -=+=-⋅ ，它的最值，还跟d 的值有关，故C 错误； 由于61656392S a d d ⨯=+=-，131131213392S a d d ⨯=+=-，故613S S =，故D 正确， 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简，直接根据性质判断结果. 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ） A ．12d =B ．12d =-C ．918S =D ．936S =答案：BD 【分析】由等差数列下标和性质结合前项和公式，求出，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ． 【详解】 因为， 所以．因为，，所以公差． 故选：BD解析：BD 【分析】由等差数列下标和性质结合前n 项和公式，求出9S ，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ． 【详解】因为1937538a a a a +=+=+=， 所以()1999983622a a S +⨯===． 因为35a =，73a =，所以公差731732a a d -==--． 故选：BD7．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4B ．5C ．7D ．8答案：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差即每一层比上一层多的根数为，设一共放层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差解析：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：()()111110022n n n d n n S na na --=+=+= 整理得120021a n n=+-， 因为1a *∈N ，所以n 为200的因数，()20012n n+-≥且为偶数， 验证可知5,8n =满足题意. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题. 8．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．2020202320202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列答案：AC 【分析】由题意可知，即，则时，，可求解出，易知是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出，判断C ，D 的正误. 【详解】 解：由， 得， 所以时，， 得时，， 即时，， 当时，由解析：AC 【分析】 由题意可知112222n n nn a a a H n-+++==，即112222n n n a a a n -+++=⋅，则2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误. 【详解】 解：由112222n n nn a a a H n-+++==，得112222n n n a a a n -+++=⋅，①所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅，②得2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，即2n ≥时，1n a n =+，当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错， 所以()32n n n S +=，所以2020202320202S =，故C 正确．25S =，414S =，627S =，故D 错，故选：AC ． 【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般. 9．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ）A ．若59S S =，则必有14S =0B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S >答案：ABC 【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案. 【详解】解：对于A.，若，则，所以，所以，故A 选项正确；对于B 选项，若，则，由于，公差，故，故，所以是中最大的项；故B 选项正确； C. 若解析：ABC 【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案. 【详解】解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以()114141402a a S +==，故A 选项正确；对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误． 故选：ABC ． 【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题． 10．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（ ）A ．320n a n =-B ．325n a n =-+C ．当4n =时，n T 取最小值D ．当6n =时，n T 取最小值答案：AC 【分析】由已知求出数列的首项与公差，得到通项公式判断与；再求出，由的项分析的最小值． 【详解】解：在递增的等差数列中， 由，得， 又，联立解得，， 则，． ．故正确，错误；可得数列的解析：AC 【分析】由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值． 【详解】解：在递增的等差数列{}n a 中， 由5105a a +=，得695a a +=，又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =， 则967(2)3963a a d ---===-，16525317a a d =-=--⨯=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．故A 正确，B 错误；12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正． 而5610820b b +=-=>．∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．。
高中数学必做100题--数学1(16题)+必修1-5、选修1-1、1-2(已整理)
高中数学必做100题—必修1时量：120分钟 班级： 姓名： 计分：（说明：《必修1》共精选16题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.必修1》精选）1. 试选择适当的方法表示下列集合：（1）函数22y x x =-+的函数值的集合； （2）3y x =-与35y x =-+的图象的交点集合.2. 已知集合{|37}A x x =≤<，{|510}B x x =<<，求()R C A B ,()R C A B ,()R C A B ,()R A C B .（◎P 14 10）3. 设全集*{|9}U x N x =∈<，{1,2,3}A =，{3,4,5,6}B =. 求()U C A B ，()U C A B ，()()U U C A C B ，()()U U C A C B . 由上面的练习，你能得出什么结论？请结合Venn 图进行分析. （◎P 12 例8改编）4. 设集合{|(4)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(1)(4)0}B x x x =--=. （◎P 14 B 4改编）（1）求A B ，A B ； （2）若A B ⊆，求实数a 的值；（3）若5a =，则A B 的真子集共有 个, 集合P 满足条件()()A B P A B 刎，写出所有可能的P .5. 已知函数3()41x f x x -=+.（1）求()f x 的定义域与值域（用区间表示）；（2）求证()f x 在1(,)4-+∞上递减.6. 已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩，求(1)f 、(3)f -、(1)f a +的值.（◎P 49 B4）7. 已知函数2()2f x x x =-+. （☆P 16 8题）（1）证明()f x 在[1,)+∞上是减函数;（2）当[]2,5x ∈时，求()f x 的最大值和最小值.8. 已知函数()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-其中(01)a a >≠且． （◎P 84 4） （1）求函数()()f x g x +的定义域； （2）判断()()f x g x +的奇偶性，并说明理由； （3）求使()()0f x g x ->成立的x 的集合.9. 已知函数2()(0,0)1bxf x b a ax =≠>+. （☆P 37 例2）（1）判断()f x 的奇偶性； （2）若3211(1),log (4)log 422f a b =-=，求a ，b 的值.10. 对于函数2()()21x f x a a R =-∈+. （1）探索函数()f x 的单调性；（2）是否存在实数a 使得()f x 为奇函数. （◎P 91 B3）11. （1）已知函数()f x 图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点. （☆P 40 8（2）已知二次方程(2)310m x mx -++=的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求m 的取值范围. （☆P 40 9）12. 某商场经销一批进货单价为40元的商品，销售单价与日均销售量的关系如下表：4913. 家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量Q 呈指数函数型变化，满足关系式4000t Q Q e -=，其中0Q 是臭氧的初始量. （1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？ （2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？ （参考数据：ln20.695≈） （☆P 44 9）14. 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据. 用一个函数模拟产品的月产量y 与月份数x 的关系，模拟函数可选用二次函数2()f x px qx r =++（其中,,p q r 为常数，且0p ≠）或指数型函数()x g x a b c =⋅+（其中,,a b c 为常数），已知4月份该产品产量为1.37万件，请问用上述哪个函数模拟较好？说明理由.（☆P 51 例2）15. 如图，OAB ∆是边长为2的正三角形，记OAB ∆位于直线(0)x t t =>左侧的图形的面积为()f t . 试求函数()f t 的解析式,并画出函数()y f t =的图象. （◎P 126 B2）16. 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线.（1）写出服药后y 与t 之间的函数关系式y =f (t)； （2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？（☆P 45 例3）时量：120分钟 班级： 姓名： 计分：（说明：《必修2》共精选16题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.必修2》精选）1. 在圆锥底面半径为1 cm cm ，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.（☆P 3 例3）2. 如图（单位：cm ），求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积. （☆P 15 例2）3. 直角三角形三边长分别是3cm 、4cm 、5cm ，绕三边旋转一周分别形成三个几何体. 想象并说出三个几何体的结构，画出它们的三视图，求出它们的表面积和体积. （◎P 36 10）4. 已知空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是BC 、CD 上的点，且23CF CG CB CD ==. 求证：（1）E 、F 、G 、H 四点共面；（2）三条直线EF 、GH 、AC 交于一点. （☆P 21 例3）5. 如图，α∥β∥γ，直线a 与b分别交α,β,γ于点,,A B C 和点,,D E F ，求证：AB DEBC EF=. （◎P 63 B3）A B CDEFGH6. 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中.（◎P 79 B2）求证：（1）B 1D ⊥平面A 1C 1B ； （2）B 1D 与平面A 1C 1B 的交点设为O ，则点O 是△A 1C 1B 的垂心.7. （06年北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点.（1）求证：AC PB ⊥； （2）求证：//PB 平面AEC ；（3）求二面角E AC B --的大小. （☆P 38 9）8. 已知(1,1)A -，(2,2)B ，(3,0)C ，求点D 的坐标，使直线CD ⊥AB ，且CB ∥AD ．（◎P 90 8）9. 求过点(2,3)P ，并且在两轴上的截距相等的直线方程. （◎P 100 9）10. 三角形的三个顶点是A （4，0）、B （6，7）、C （0，3）. （◎P 101 B1）（1）求BC 边上的高所在直线的方程； （2）求BC 边上的中线所在直线的方程； （3）求BC 边的垂直平分线的方程．11012. 过点(3,0)P 有一条直线l ，它夹在两条直线1:220l x y --=与2:30l x y ++=之间的线段恰被点P 平分，求直线l 的方程. （◎P 115 B8）13. ABC ∆的三个顶点的坐标分别是(5,1)A 、(7,3)B -、(2,8)C -，求它的外接圆的方程. （◎P 119 例2）14. 已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 的中点轨迹方程. （◎P 122 例5）15. 过点(3,3)M --的直线l 被圆224210x y y ++-=所截得的弦长为求直线l 方程. （◎P 127 例2）16. 求圆心在直线40x y --=上，并且经过圆22640x y x ++-=与圆226280x y y ++-=的交点的圆的方程. （◎P 132 4）高中数学必做100题—必修3时量：60分钟 班级： 姓名： 计分：（说明：《必修3》共精选8题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.必修3》精选）1. 设计一个算法求22221299100++⋅⋅⋅++的值，并画出程序框图. （◎P 20 2）2.（1400 h 以内的在总体中占的比例；（4）估计电子元件寿命在400 h 以上的在总体中占的比例.3. 甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下（单位：cm ）： （☆P17 例3）甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 问：（1）哪种玉米的苗长得高？（2）哪种玉米的苗长得齐？4. 假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料： （☆P 22 8）（1）回归直线方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？（参考：1221,ni i i nii x y nx yb a y bx xnx==-==--∑∑）0.01频率组距5. 在一次商贸交易会上，商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖. （1）若抽奖规则是从一个装有6个红球和4个白球的袋中无放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率； （2）若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率.6. （2008年韶关模拟）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[)40,50，[)50,60…[]90,100后画出如下部分频率分布直方图. 观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； （3）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（3）从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们选在同一组的概率.7.（08（1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ （3）已知y ≥245, z ≥245,求初三年级中女生比男生多的概率.8.（09年广东卷.文）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图. （1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率.高中数学必做100题—必修4时量：120分钟 班级： 姓名： 计分：（说明：《必修4》共精选16题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.必修4》精选）1. 已知角α的终边经过P (4,-3).（1）求2sin α－cos α的值； （2）求角α的终边与单位圆的交点P 的坐标.2. 已知1sin()2πα+=-，计算： （◎P 29 B2） （1）sin(5)πα-； （2）sin()2πα+； （3）3cos()2πα-； （4）tan()2πα-.3. 求函数tan()23y x ππ=+的定义域、周期和单调区间. （◎P 44 例2）4. 已知tan α＝13-，计算： （◎P 71 4）（1）sin 2cos 5cos sin αααα+-； （2）212sin cos cos ααα+.5. 画函数y ＝3sin(2x ＋3π)，x ∈R 简图，并说明此函数图象怎样由sin y x =变换而来. （☆P 15 例1）6. 某正弦交流电的电压v （单位V ）随时间t （单位：s ）变化的函数关系是（◎P 58 4改编）),[0,)6v t t ππ=-∈+∞.（1）求该正弦交流电电压v 的周期、频率、振幅； （2）当1600t =，160时，求瞬时电压v ； （3）将此电压v 加在激发电压、熄灭电压均为84V 的霓虹灯的两端，求在半个周期内霓虹灯管点亮的时间？（说明：加在霓虹灯管两端电压大于84V 时灯管才发光. 1.4≈）7. 平面上三个力1F 、2F 、3F 作用于一点且处于平衡状态，1||1F N =，26||F N +=，1F 与2F 的夹角为45︒，求：（1）3F 的大小； （2）3F 与1F 夹角的大小. （◎P 113 4）8. 已知4,3a b ==，(23)(2)61a b a b -+=，（1）求a 与b 的夹角θ；（2）若(1,2)c =，且a c ⊥，试求a .9. 已知1tan 7α=，1tan 3β=，求tan(2)αβ+的值. （◎P 138 17）10. 已知3cos()45πα-=，512sin()413πβ+=-，3(,)44ππα∈，(0,)4πβ∈，求s i n ()αβ+的值. （◎P 146 2）11. （1）已知1cos()5αβ+=，3cos()5αβ-=，求tan tan αβ的值； （◎P 146 7） （2）已知1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3αβ+=，求cos()αβ-的值. （◎P 147 B2）12. 已知函数22(sin cos )2cos y x x x =++. （◎P 147 9）（1）求它的递减区间； （2）求它的最大值和最小值.13. 已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--. （◎P 147 10）（1）求()f x 的最小正周期； （2）当[0,]2x π∈时，求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的集合.14. 已知函数()sin()sin()cos 66f x x x x a ππ=++-++的最大值为1. （◎P 147 12） （1）求常数a 的值； （2）求使()0f x ≥成立的x 的取值集合.15.（2009年广东卷.理16）已知向量(sin ,2)a θ=-与(1,cos )b θ=互相垂直，其中(0,)2πθ∈．（1）求sin θ和cos θ的值； （2）若sin()2πθϕϕ-=<<，求cos ϕ的值.16. 已知33(cos ,sin ),(cos ,sin )2222x x a x x b ==-，且[0,]2x π∈.（1）求 a b 及a b +； （2）求函数()sin f x a b a b x =-+的最小值.DCA B时量：120分钟 班级： 姓名： 计分：（说明：《必修5》共精选16题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.必修5》精选）1. 在△ABC 中，已知a=，b ，B =45︒ ，求A 、C 及c . （☆P 4 8）2. 在△ABC 中，若cos cos a A b B =，判断△ABC 的形状. （☆P 6 3）3. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a 2＋b 2＝c 2ab . （1）求C ； （2）若tan 2tan B a cC c-=，求A ． （☆P 6 8）4. 如图，我炮兵阵地位于A 处，两观察所分别设于C ，D ，已知△ACD为边长等于a 的正三角形．当目标出现于B 时，测得∠CDB ＝45°，∠BCD ＝75°，试求炮击目标的距离AB ． （☆P 8 8）5. 如图，一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10千米，速度为180千米/小时，飞行员先看到山顶的俯角为30︒，经过2分钟后又看到山顶的俯角为75，求山顶的海拔高度. （☆P 9 例2）6. 已知数列{}n a 的第1项是1，第2项是2，以后各项由12(2)n n n a a a n --=+>给出. （1）写出这个数列的前5项； （2）利用上面的数列{}n a ，通过公式1n n na b a +=构造一个新的数列{}n b ，试写出数列{}n b 的前5项. （◎P 34 B3）7. 已知数列{}n a 的前n 项和为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？（◎P 44 例3）8.（09年福建卷.文17）等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==. （☆P 38 8）（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S .9. 若一等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它的前15项的和等于多少？（◎P 58 2）10. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1(1)()3n n S a n N =-∈. （☆P 32 9）（1）求12,;a a （2）求证：数列{}n a 是等比数列.11. 已知不等式2230x x --<的解集为A ，不等式260x x +-<的解集是B . （☆P 42 9） （1）求A B ；（2）若不等式20x ax b ++<的解集是,A B 求20ax x b ++<的解集.12. 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏. 为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？ （◎P 81 6）13. 电视台应某企业之约播放两套连续剧. 其中，连续剧甲每次播放时间为80 min ，广告时间为1 min ，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40 min ，广告时间为1 min ，收视观众为20万. 已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6 min 广告，而电视台每周播放连续剧的时间不能超过320分钟. 问两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收视率? （◎P 93 3）14. 已知,x y 为正数. （☆P 52 8）（1）若191x y+=，求2x y +的最小值；（2）若22x y +=.15. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m 3，深为3 m ，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？（◎P 99 例2）16. 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/小时）之间的函数关系为：2920(0)31600vy v v v =>++．（1）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？ （2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？高中数学必做100题—选修1-1时量：120分钟 班级： 姓名： 计分：（说明：《选修1-1》共精选12题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.选修1-1》精选）1. 已知4:223x p --≤≤ , 22:210(0)q x x m m -+-≤>, 若q p ⌝⌝是的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. （☆P 6 9）2. 点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到直线25:4l x =的距离的比是常数45，求M 的轨迹.（◎P 41 例6）3. 双曲线的离心率等于2，且与椭圆22194x y +=有公共焦点，求此双曲线的方程. （◎P 68 4）4. 倾斜角4π的直线l 过抛物线24y x =焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，求线段AB 长. （◎P 61 例4）5. 当α从0︒到180︒变化时，方程22cos 1x y α+=表示的曲线的形状怎样变换？（◎P 68 5）6. 一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米. （1）建立如图所示的平面直角坐标系xoy ，试求拱桥所在抛物线的方程； （2）若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？7. 已知椭圆C 的焦点分别为F 1（-0）和F 2（0），长轴长为6，设直线y =x +2交椭圆C 于A 、B 两点. 求：（1）线段AB 的中点坐标； （2）弦AB 的长.8. 在抛物线24y x =上求一点P ，使得点P 到直线:40l x y -+=的距离最短, 并求最短距离.9. 点M 是椭圆2216436x y +=上的一点，F 1、F 2是左右焦点，∠F 1MF 2=60º，求△F 1MF 2的面积.10. （06年江苏卷）已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）,（☆P 21 例4）（1）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程； （2）设点P 、1F 、2F关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程。
【高二数学试题精选】人教A版高中必修2数学必做试题100题
人教A版高中必修2数学必做试题100题
5 c 【精品练】高中数学必做100题—回归必修2
时量120分钟班级姓名计分
（说明《必修2》共精选15题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练必修2》精选）
1 在圆锥底面半径为1 c，高为 c，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长（☆P3 例3）
2 如图（单位c），求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积（☆P15 例2）
3 直角三角形三边长分别是、、，绕三边旋转一周分别形成三个几何体想象并说出三个几何体的结构，画出它们的三视图，求出它们的表面积和体积（◎P36 10）
4 如图，∥ ∥ ，直线与分别交 , , 于点和点，求证（◎P63 B3）
5 如图，在正方体ABcD-A1B1c1D1中（◎P79 B2）
求证（1）B1D⊥平面A1c1B；（2）B1D与平面A1c1B的交点设为，则点是△A1c1B的垂心
6 （06年北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点
（1）求证；（2）求证平面；（3）求二面角的大小（☆P38 9）
7 已知，，，求点D的坐标，使直线cD⊥AB，且cB∥AD．（◎P90 8）
8 求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程（◎P100 9）。
答案-高中数学必做100题--数学选修1-1
ax x2
6 b
的图象在点
M (1,
f
(1))
处的切线方程为
x
2y
5
0
.
（1）求函数 y f (x) 的解析式；（2）求函数 y f (x) 的单调区间. （☆P50 8）
解：（1）
f
(x)
ax x2
6 b
，
f
( x)
a(x2
b) 2x(ax (x2 b)2
6)
.……（2
分）
又 函数 f (x) 的图象在点 M (1, f (1)) 处的切线方程为 x+2y+5=0， ……（4 分）
由已知得抛物线的焦点为 F (1,0) ，斜率 k tan 1 ，所以直线 AB 方程为 y x 1 。……（6 分） 4
书山有路勤为径
1
高中数学必做 100 题◆选修 1-1
将 y x 1 代 入 方 程 y2 4x ， 得 (x 12 ) x 4， 化 简 得 x2 6x 1 0 。 由 求 根 公 式 得 x1 3 2 2, x2 3 2 2 ，……（9 分） 于是 AB x1 x2 2 8 。所以，线段 AB 的长是 8。……（12 分） 5. 当 从 0 到180 变化时，方程 x2 y2 cos 1表示的曲线的形状怎样变换？ 解：当 0 时， cos 0 1，方程 x2 y2 1 表示圆心在原点的单位圆。……（3 分） 当 90 0 时，1 cos 0 ，方程 x2 y2 cos 1表示圆心在原点的单位圆。……（5 分） 当 90 时， cos90 0 ，方程 x2 1，得 x 1 表示与 y 轴平行的两条直线。……（7 分） 当180 90 时， cos 0 ，方程 x2 y2 cos 1表示焦点在 x 轴上的双曲线。……（9 分） 当 180 时， cos180 1 ，方程 x2 y2 1 表示焦点在 x 轴上的等轴双曲线。……（12 分）
(推荐)高中数学必修1-交集、并集、补集专项练习题
高一数学参考答案
命题：惠东中学高一数学科组
一、选择题（共10题，每题5分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
B
A
C
B
B
A
B
二、填空题（共4题，每题5分）
11、[-4，3] 12、300 13、-x
14、 或 或
三、解答题（共80分）
A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5
7、函数 的图像为（ ）
8、设 （a>0，a≠1），对于任意的正实数x，y，都有（ ）
A、f(xy)=f(x)f(y) B、f(xy)=f(x)+f(y)
C、f(x+y)=f(x)f(y) D、f(x+y)=f(x)+f(y)
9、函数y=ax2+bx+3在（-∞，-1]上是增函数，在[-1，+∞)上是减函数，则（ ）
10、不等式 恒成立，求实数 的取值范围。
11、不等式 有解，求实数 的取值范围。（如果“<”改为“≤”
呢？）
四、存在性问题：
12、是否存在实数 使“ ”是“ ”的充分条件？如果存在
求出 的取值范围。是否存在实数 ，使“ ”是“ ”的必要条件？如果存在求出 的取值范围。
高一数学必修1模块考试(）
一、选择题。（共10小题，每题5分，共50分）
交集、并集、补集专项练习
一、选择题：
1、已知 则等于（ ）
A、 B、 C、 D、
2、已知集合 ，则 等于（ ）
(必考题)高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试(含答案解析)(4)
一、选择题1．已知函数()()xx af x e a R e=+∈，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为（ ） A ．2y x =- B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =2．已知过点P 作曲线y ＝x 3的切线有且仅有两条，则点P 的坐标可能是( )A ．(0,1)B ．(0,0)C ．(1,1)D ．(－2，－1)3．若曲线21C y lnx ax =+：（a 为常数）不存在斜率为负数的切线,则实数a 的取值范围是 A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．()0,+∞D ．[)0,+∞ 4．已知函数()()221ln f x x f x '=+，则曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为（ ） A ．－2B ．－1C ．1D ．25．若曲线3222y x x =-+在点A 处的切线方程为46y x =-，且点A 在直线10mx ny +-=（其中0m >，0n >）上，则12m n+的最小值为（ ）A ．B ．3+C ．6+D ．6．已知函数()2bf x x ax =+的导数()23f x x '=+，则数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n项和是（ ）A ．1nn +B ．()121n n -+C ．()22n n +D ．()()12nn n ++7．若点P 在函数3()3f x x x =-+的图象上，且函数3()3f x x x =-+的图象在点P 处的切线平行于直线21y x =+，则点P 的坐标为（ ） A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(1,3)和(1,3)-D ．(1)3-， 8．在平面直角坐标系中，直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数，且直线l 与曲线ln y x =相切，则直线l 的方程为（ ）A ．y ex =B ．y x e =-C ．1y x e=或y x e =- D ．1y x e=或1y x =- 9．已知函数()ln 2f x x x =+，则其在1x =处的切线方程是（ ） A ．20x y -=B ．20x y +=C ．10x y -+=D ．10x y +-=10．已知函数()sin f x x =的图象与直线(0)y kx k =>有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，令1sin 2A α=，212B αα+=，则（ ）A ．AB > B ．A B <C ．A B =D ．A 与B 的大小不确定11．若直线y x =与曲线x m y e +=（m R ∈，e 为自然对数的底数）相切，则m =（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．-212．设函数()f x 在R 上可导，()()2121f x x f x '=-+，则()22f a a -+与()1f 的大小关系是（ ）A ．()()221f a a f -+>B ．()()221f a a f -++C ．()()221f aa f -+<D ．不确定二、填空题13．已知函数()3ln f x x x =-与3()g x x ax =-，若函数()f x 图象上存在点P ，且点P 关于x 轴对称点Q 在函数()g x 图象上，则实数a 的取值范围为__.14．已知函数()ln x ax f x x-=，若有且仅有一个整数k ，使()()20f k f k -⎤⎣⎦>⎡，则实数a 的取值范围是__________．15．函数()ln 2f x a x ax b =-+，若()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，则ab =______.16．若直线y x b =+是曲线x y e =的一条切线，则实数b 的值是_____.17．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a=________． 18．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 19．已知函数()f x 为R 上的奇函数，若当0x <，()22x f x e x --=-，则函数()f x 在2x =处的切线方程为______.20．已知函数f （x ）＝f '（1）e x +x 2﹣1，其中f '（x ）是f （x ）的导函数，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为_____．三、解答题21．已知函数()2()1xf x eax=+，其中12a >. （1）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率；（2）记函数()()xg x f x xe =+的极大值为M ，若1M >，求实数a 的取值范围.22．已知函数1()ln f x x x b x=++的图像与直线2y =相切. （1）求b 的值；（2）当1[,]x e e∈时，()f x ax ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 23．设函数()()224ln ,R.f x x ax x a =-∈（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若对任意[)()21,,0x f x x a ∈+∞+->恒成立,求实数a 的取值范围.24．已知函数()x f x e =，x ∈R ．（Ⅰ）求()f x 的反函数的图象上点（1，0）处的切线方程； （Ⅱ）证明：曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点． 25．已知函数()x f x e ax =-．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）当12x ≥时，设21()12g x x =+，若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．26．已知函数31()43f x x x a =-++.（1）当4a =-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程；（2）当函数()f x 只有一个零点时，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由函数()f x 为奇函数，解得1a =-，得到1()xx f x e e=-，求得(0)f '，得到切线的斜率，进而可求解切线的方程. 【详解】由题意，因为函数()()xxa f x e a R e=+∈为奇函数，则()0000a f e e =+=，解得1a =-，即1()xx f x e e =-，则1()x x f x e e +'=，所以1(0)2f e e '=+=，即2k =， 且当0x =时，01(0)0f e e =-=，即切点的坐标为(0,0)， 所以切线的方程为2y x =，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解在某点处的切线方程，其中熟记导数的几何意义求解切线的斜率，再利用直线的点斜式求解切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．C解析：C 【分析】求出函数的导数，设切点为3(,)m m ，求得切线的斜率，以及切线的方程，运用代入法，将选项代入切线的方程，解方程即可得到结论． 【详解】3y x =的导数为23y x '=，设切点为3(,)m m ，可得切线的斜率为23m ，切线的方程为323y m m x m -=-（），若(0,0)P ，则3230)(m m m -=-，解得0m =，只有一解；若(01)P ，，则32130)(m m m -=-，可得312m =-，只有一解； 若(1,1)P ，则32131m m m -=-（），可得322310m m -+=， 即为2(1)20(1)m m -+=，解得1m =或12-，有两解； 若(2,1)P --，则32132)m m m --=-(-， 可得322610m m +-=，由322()261()612f m m m f m m m '=-=++，，当20m -<<时，()f m 递减；当0m >或2m <-时，()f m 递增． 可得(0)1f =-为极小值，(2)7f -=为极大值， 则322610m m +-=有3个不等实数解． 故选：C ． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和设出切点是解题的关键，注意运用排除法，属于中档题．3．D解析：D 【解析】1'2,y ax x=+x ∈(0,+∞)， ∵曲线y =ln x +ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线， ∴120y ax x=+≥'在(0,+∞)上恒成立， ∴212a x-恒成立,x ∈(0,+∞). 令f (x )=212x -,x ∈(0,+∞),则f (x )在(0,+∞)上单调递增， 又f (x )=212x -<0， ∴a ⩾0. 故选D.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数. 4．A解析：A 【分析】求得()f x 的导函数，令1x =求出(1)f '，则求得曲线()y f x =在1x =处的切线斜率． 【详解】()()221ln f x x f x '=+的导数为()()212f f x x x''=+令1x =可得()()121f f ''=+，解得()12f '=-， 曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为2- 故选A 【点睛】本题考查导数的几何意义，解题的关键是明确切点处的导函数值即为斜率，属于一般题．5．C解析：C 【分析】设点A 的横坐标为t ，利用切线斜率求得t 的值，可求得点A 的坐标为()2,2，可得出221m n +=，将代数式22m n +与12m n +相乘，展开后利用基本不等式可求得12m n+的最小值.【详解】设点A 的横坐标为t ，对函数3222y x x =-+求导得234y x x '=-， 由题意可得2344t t -=，即23440t t --=，解得2t =或23t =-. ①若2t =，则点A 的坐标为()2,2，此时点A 在直线46y x =-上，合乎题意； ②若23t =-，则点A 的坐标为222,327⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时点A 不在直线46y x =-上，不合乎题意.所以，点A 的坐标为()2,2，由于点A 在直线10mx ny +-=，可得221m n +=，0m >，0n >，()12124222666m n m n m n m n n m ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭当且仅当n =时，等号成立，因此，12m n+的最小值为6+. 故选：C. 【点睛】本题考查利用曲线的切线方程求切点坐标，同时也考查了利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.6．C解析：C 【分析】利用导数求得a 、b 的值，然后利用裂项求和法可求得数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n 项和. 【详解】()2b f x x ax =+，()21223b f x bx a x -'∴=+=+，则223b a =⎧⎨=⎩，得31a b =⎧⎨=⎩，()23f x x x ∴=+，()()()2111112321212f n n n n n n n ∴===-+++++++，因此，数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n 项和111111233412n S n n =-+-++-++()112222n n n =-=++. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数求参数，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题7．B解析：B 【分析】对()f x 求导，由于在点P 处的切线平行于直线21y x =+，故2312m -=，求解m ，又点(1,3)在直线21y x =+，排除即得解.【详解】设P 点坐标为(,)P m n ，则33n m m =-+2()31x f x '=-由于在点P 处的切线平行于直线21y x =+ 故2312m -=，1m ∴=±，代入33n m m =-+， 故点P 坐标为(1,3)和(1,3)-又点(1,3)在直线21y x =+，此时切线与21y x =+重合，排除 故点P 坐标为(1,3)- 故选：B 【点睛】本题考查了导数在曲线切线中的应用，考查了学生概念理解，数学运算，综合分析的能力，属于中档题.8．D解析：D 【分析】采用分类讨论的方法，可得直线过原点与不过原点的直线方程，然后利用曲线在某点处的切线方程，简单判断，可得结果. 【详解】①当直线l 过原点时，设直线l 的方程为(0)y kx k =≠， 设切点坐标为()00,x y有00000ln 1y x y kx k x ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得0011x e y k e ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=⎩，此时直线l 的方程为1y x e=； ②当直线l 不过原点时，此时直线的斜率为1， 若切点为(),a b ，可得1a =，1b =-， 此时直线l 的方程为1y x =-；由①②知直线l 的方程为1y x e =或1y x =-. 故选：D 【点睛】本题主要考查曲线在某点处的切线方程，属基础题.9．C解析：C 【分析】求导得到()'ln 1f x x =+，计算()'11f =，()12f =得到切线方程. 【详解】()ln 2f x x x =+，则()'ln 1f x x =+，()'11f =，()12f =.故切线方程为：1y x =+，即10x y -+=. 故选：C . 【点睛】本题考查了切线方程，意在考查学生的计算能力.10．C解析：C 【分析】作出函数()sin f x x =的图象与直线(0)y kx k =>，由图可知，当直线(0)y kx k =>与 函数()sin f x x =在[],2ππ上的图象相切时，刚好有三个交点，根据导数的几何意义即可得到cos k α=-，以及sin k αα=-，得tan αα=，化简B ，即可得出答案． 【详解】作出函数()sin f x x =的图象与直线(0)y kx k =>，如图所示：当直线(0)y kx k =>与函数()sin f x x =在[],2ππ上的图象相切时，刚好有三个交点． 所以，cos k α=-，sin k αα=-即得tan αα=，222222sin 111tan sin cos 1cos sin 22tan 2sin cos sin 22cos B ααααααααααααα++++=====，故A B =． 故选：C ．【点睛】本题主要考查三角函数恒等变换，以及导数几何意义的应用，意在考查学生运用数形结合思想的能力和数学运算能力，属于中档题．11．C解析：C 【分析】 设切点坐标为()00,x mx e+，求得切线的方程()000x mx m y e e x x ++-=-，根据切线方程为y x =，分别代入(0,0),(1,1)点，即可求解.【详解】 设切点坐标为()00,x mx e +，由函数x my e+=，则x my e+'=，所以切线的斜率为0x m k e +=，所以切线方程为()000x mx m y ee x x ++-=-，又因为切线为y x =过(0,0)，代入切线方程，解得01x =， 即切线方程为()111m m y ee x ++-=-将(1,1)代入切线方程，可得11m e +=，解得1m =-， 故选C . 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义求得切线的方程，合理应用切线方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．A解析：A 【分析】对()f x 求导，令1x =可求出()12f '=，从而可得到()2221f x x x =-+，然后利用二次函数的单调性可比较出()22f a a -+与()1f 的大小关系.【详解】由题意，()()212f x f x ''=-，则()()1212f f ''=-，可得()12f '=，则()2221f x x x =-+，由二次函数性质可知，函数()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因为2217121242a a a ⎛⎫-+=-+>> ⎪⎝⎭，所以()()221f a a f -+>，故答案为A.【点睛】本题考查了导数的计算，考查了函数单调性的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】由题意可知有解即与有交点根据导数的几何意义求出切点结合图象可知的范围【详解】函数与的图象上存在关于轴的对称点在上有解即在上有解在上有解分别设若为的切线则设切点为则结合图象可知故答案为：【点睛解析：1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】由题意可知()()f x g x =-有解，即y lnx =与y ax =有交点，根据导数的几何意义，求出切点，结合图象，可知a 的范围. 【详解】函数3()f x lnx x =-与3()g x x ax =-的图象上存在关于x 轴的对称点，()()f x g x ∴=-在(0,)+∞上有解，即33lnx x x ax -=-+在(0,)+∞上有解，lnx ax ∴=，在(0,)+∞上有解，分别设y lnx =，y ax =， 若y ax =为y lnx =的切线，则1y x'=， 设切点为0(x ，0)y ，则01a x =，00ax lnx =， 0x e ∴=，1a e∴=， 结合图象可知，1ae.故答案为：(-∞，1]e.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及参数的取值范围问题，关键是转化为y lnx =与y ax =有交点，利用相切求出临界值，在求相切问题时，关键是设出切点，再建立各个量之间的联系，属于中档题.14．【解析】因故由题设问题转化为有且仅有一个整数使得或因为所以当时函数单调递增；当时函数单调递减即函数在处取最大值由于因此由题设可知解之得应填答案点睛：解答本题的关键是准确理解题设中条件有且仅有一个整数解析：11ln 21ln 3123a -≤<-【解析】 因ln ()xf x a x=-，故由题设问题转化为“有且仅有一个整数k 使得()1f k >或()0f k <”．因为21ln ()xf x x-'=，所以当0x e <<时，()0f x '>，函数ln ()x f x a x =-单调递增；当x e >时，()0f x '<，函数ln ()xf x a x=-单调递减，即函数ln ()xf x a x =-在x e =处取最大值，由于23e <<，因此由题设可知(2)1(3)1f f ≤⎧⎨>⎩，解之得11ln21ln3123a -≤<-，应填答案11ln21ln3123a -≤<-． 点睛：解答本题的关键是准确理解题设中条件“有且仅有一个整数k ，使()()20f k f k ⎡⎤->⎣⎦”．求解时先将问题进行等价转化为“有且仅有一个整数k 使得()1f k >或()0f k <”．进而将问题转化为断定函数图像的形状问题，然后先对函数进行求导，依据导数与函数的单调性之间的关系推断出该函数在在x e =处取最大值，从而借助题设条件得到不等式组(2)1(3)1f f ≤⎧⎨>⎩，通过解不等式组使得问题获解．15．【分析】由函数在处的切线方程为得出即可求解【详解】由题意函数则因为函数在处的切线方程为所以即解得所以故答案为：【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用其中解答中熟记利用导数研究曲线在某点处的切线方 解析：2【分析】由函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，得出()(1)213f f '=⎧⎨=⎩，即可求解.【详解】由题意，函数()ln 2f x a x ax b =-+，则()2af x a x'=-， 因为函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，所以()(1)212113f f =⎧⎨=⨯+='⎩，即2223a a a b -=⎧⎨-+=⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩，所以2ab =.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记利用导数研究曲线在某点处的切线方程的方法，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.16．1【解析】【分析】设出切点坐标P （x0ex0）利用导数的几何意义写出在点P 处的切线方程由直线y ＝x+b 是曲线y ＝ex 的切线根据对应项系数相等可求出实数b 的值【详解】∵y ＝ex ∴y′＝ex 设切点为P （解析：1 【解析】 【分析】设出切点坐标P （x 0，e x 0），利用导数的几何意义写出在点P 处的切线方程，由直线y ＝x +b 是曲线y ＝e x 的切线，根据对应项系数相等可求出实数b 的值． 【详解】∵y ＝e x ，∴y ′＝e x ， 设切点为P （x 0，e x 0），则在点P 处的切线方程为y ﹣e x 0＝e x 0（x ﹣x 0）， 整理得y ＝e x 0x ﹣e x 0•x 0+e x 0，∵直线是y ＝x +b 是曲线y ＝e x 的切线， ∴e x 0＝1，x 0＝0， ∴b ＝1． 故答案为1． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查曲线在某点处的切线方程的求法，属于基础题.17．8【解析】试题分析：函数在处的导数为所以切线方程为；曲线的导函数的为因与该曲线相切可令当时曲线为直线与直线平行不符合题意；当时代入曲线方程可求得切点代入切线方程即可求得考点：导函数的运用【方法点睛】解析：8 【解析】试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．18．【解析】设则所以所以曲线在点处的切线方程为即点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一用导数求切线方程的关键在于求出斜率其求法为：设是曲线上的一点则以为切点的切线方程是若曲线在点处的切线平行于轴（即 解析：1y x =+【解析】设()y f x =，则21()2f x x x'=-，所以(1)211f '=-=， 所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+． 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．19．【分析】先根据奇偶性得当时再根据导数的几何意义求解即可得答案【详解】解：因为是奇函数所以当时所以所以处的切线斜率因为时所以在处的切线的方程是即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义由奇偶性求函数解 解析：320x y +-=【分析】先根据奇偶性得当0x >时，()()22x f x e x -=-+，再根据导数的几何意义求解即可得答案. 【详解】解：因为()f x 是奇函数，所以当0x >时，()()()22x f x f x e x -=--=-+，所以()221x f x e-'=--，所以2x =处的切线斜率()222213k f e-'==--=-.因为2x =时()24f =-，所以()y f x =在2x =处的切线的方程是()432y x +=--，即320x y +-=. 故答案为：320x y +-= 【点睛】本题考查导数的几何意义，由奇偶性求函数解析式，考查运算能力，是中档题.20．2x+（e ﹣1）y+2e ﹣2＝0【分析】先求导可得则求得也为曲线在点处的切线的斜率且求得进而求解即可【详解】由题所以所以则曲线在点处的切线的斜率为所以当时所以切线方程为即故答案为:【点睛】本题考查在解析：2x +（e ﹣1）y +2e ﹣2＝0 【分析】先求导可得()()12xf x f e x ''=+,则()()1112f f e ''=+,求得()211f e'=-,也为曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率,且()2211xf x e x e=+--,求得()1f ,进而求解即可 【详解】由题,()()12xf x f e x ''=+,所以()()1112f f e ''=+,所以()211f e'=-, 则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为21e-, 所以()2211xf x e x e=+--, 当1x =时,()2211111e f e e e=+-=--, 所以切线方程为()22111e y x e e-=---,即()21220x e y e +-+-=, 故答案为:()21220x e y e +-+-= 【点睛】本题考查在某点处的切线方程,考查导函数的几何意义的应用三、解答题21．（1）7e ；（2）21,4e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）将2a =代入函数解析式，并求得导函数()f x '.代入(1)f '即可求得曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率；（2）将()f x 代入可得()g x ，并求得导函数'()g x .由12a >，列表讨论'(),()g x g x 的变化情况.即可求得()g x 的极大值，结合1M >即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）当2a =时，()2()e 21xf x x=+，依题意()()22()214241xx x f x e xxe e x x '=++=++，故(1)7f e '=.（2）依题意，()2()()1,xxx g x f x xe e axxe =+=++则()(2)(1)xg x e x ax '=++ 当12a >时，当x 变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下表：由上表可知，2(2)(41)1M g e a -=-=->，解得14e a +>，故实数a 的取值范围为21,4e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，利用导数分析函数的单调性与极值，根据极值的情况求参数的取值范围，属于中档题. 22．（1）b =1（2）2a 1e e ≥+- 【分析】（1）先求出函数的导函数，利用()'10f =，得到切点坐标，代入()f x 求b 的值； （2）由()1ln 1f x ax x x ax x ≤++≤得，211ln a x x x∴≥++ 设()211ln g x x x x =++（x ＞0），利用导函数求出g （x ）在x ∈[1e，e ]上的最大值即可求实数a 的取值范围． 【详解】（1）()21'ln 10f x x x=+-=()0x ∈+∞，，()'f x 在()0+∞，上为增函数，且()'10f =∴切点的坐标为()12，，将()12，代入()f x 得1+b =2，∴b =1(2)由()1ln 1f x ax x x ax x ≤++≤得，211ln a x x x∴≥++ 令()()232211*********ln '111g x x g x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=--=-+-=-+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()02'02'0x g x x g x ∴∈∈+∞，，，，，， 1x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦又，， 12x e ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭当，时，g(x)为减函数，(]2x e ∈，时，g(x)为增函数，()2211111g e e g e e e e ⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭，，显然()1g g e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭,21a e e ≥+-.【点睛】本题主要研究利用导数求切线方程以及函数恒成立问题．当a ≥g （x ）恒成立时，只需要求g （x ）的最大值；当a ≤h （x ）恒成立时，只需要求g （x ）的最小值，这种转化是解题的关键.23．（1）220x y +-=；（2）(),1-∞. 【分析】（1）求出函数的导数，计算f （1），f′（1），由点斜式可求切线方程；（2）g （x ）=f （x ）+x 2﹣a ，求出函数的导数，通过讨论a 的范围，得到函数g （x ）的单调性，求出g （x ）的最小值，从而求出a 的范围即可． 【详解】解：（1）当1a =时, ()10f =,()()()44ln 24f x x x x =+'--,()'12,f =- 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()21,y x =-- 即220x y +-=.（2）设()()()[)22224ln ,1,,g x f x x a x ax x x a x =+-=-+-∈+∞则()()()()()44ln 2424ln 1,1,g x x a x x a x x a x x =-+-+=-+≥' 当1a ≤时, ()g x 在[)1,+∞上单调递增,所以,对任意1x ≥,有()()110g x g a ≥=->,所以 1.a <当1a >时, ()g x 在[)1,a 上单调递减,在(),a +∞上单调递增,所以()()()2min 12ln g x g a a a a ==--,由条件知, ()212ln 0a a a -->,即()12ln 10.a a -->设()()12ln 1,1,h a a a a =-->则()12ln 0,1,h a a a =-'- 所以()h a 在()1,+∞上单调递减,又()10h =, 所以()()10h a h <=与条件矛盾. 综上可知,实数a 的取值范围为(),1.-∞ 【点睛】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题． 24．（1）1y x =-（2）见解析 【解析】试题分析：()1先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可()2法一：等价函数()2112x x e x x ϕ=---零点的个数，由()00ϕ=，求导()1x x e x ϕ='--，再次求导()1x h x e '=-，判定出单调性，()x ϕ在R 上是单调递增故()x ϕ在R 上有唯一的零点 法二：等价于曲线2112xx x y e ++=与1y =的公共点的个数，当0x =时，两曲线有公共点，求导得函数单调性进行判定（Ⅰ）()f x 的反函数为()ln g x x =，设所求切线的斜率为k ． ∵()1g x x'=，∴()11k g ='=，于是在点（1，0）处的切线方程为1y x =-（Ⅱ）证法一：曲线()xf x e =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于函数()2112x x e x x ϕ=---零点的个数∵()0110ϕ=-=，∴()x ϕ存在零点0x =…又()1xx e x ϕ='--，令()()1xh x x e x ϕ==--'，则()1xh x e '=-． 当0x <时，()0h x '<，∴()x ϕ'在(),0-∞上单调递减； 当0x >时，()0h x '>，∴()x ϕ'在()0,+∞上单调递增，∴()x ϕ'在0x =处有唯一的极小值()00ϕ'=即()x ϕ'在R 上的最小值为()00ϕ'=． ∴()0x ϕ'≥（当且仅当0x =时等号成立），∴()x ϕ在R 上是单调递增的，∴()x ϕ在R 上有唯一的零点，故曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点 证法二：∵0x e >，21102x x ++>， ∴曲线x y e =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于曲线2112xx x y e ++=与1y =的公共点的个数设()2112xx x x e ϕ++=，则()01ϕ=，即当0x =时，两曲线有公共点． 又()()2221111220x x x xx e x x e x x e e ϕ⎛⎫+-++-⎪⎝⎭='=≤（当且仅当0x =时等号成立），∴()x ϕ在R 上单调递减，∴()x ϕ与1y =有唯一的公共点，故曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点 点睛：本题考查了运用导数求两函数交点问题，在解析中给了两种方法，一种构造新函数解决函数零点问题，另一种转化为函数与直线的交点个数问题，在计算过程中注意二阶导数的应用。
高中数学必做100道题
高中数学必做100道题在高中数学学习过程中，数学题的练习是非常重要的一部分，可以帮助学生巩固知识、提高解题能力。
下面我为大家整理了一份高中数学必做的100道题，希望可以帮助大家更好地备考。
1. 计算：$3 \times 4 =$？2. 计算：$2^3 =$？3. 计算：$5 \times 6 - 2 =$？4. 计算：$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} =$？5. 求下列代数式的值：$a = 3, b = 5$，计算 $2a + b = $？6. 求下列代数式的值：$x = 4, y = 2$，计算 $x^2 - y^2 = $？7. 求下列代数式的值：$m = 6, n = 3$，计算 $mn - 2m =$？8. 求下列代数式的值：$c = 8, d = 4$，计算 $cd + c =$？9. 求下列方程的解：$2x + 5 = 11$。
10. 求下列方程的解：$3y - 4 = 8$。
11. 求下列方程的解：$4z = 16$。
12. 求下列方程的解：$5w + 6 = 21$。
13. 简化下列分式：$\frac{8}{12}$。
14. 简化下列分式：$\frac{15}{20}$。
15. 简化下列分式：$\frac{18}{27}$。
16. 简化下列分式：$\frac{24}{36}$。
17. 求下列等式的值：$3a - 2 = 7$。
18. 求下列等式的值：$4b + 5 = 13$。
19. 求下列等式的值：$5c \div 2 = 10$。
20. 求下列等式的值：$6d \times 3 = 24$。
21. 计算三角形的面积：底边长为 5，高为 4。
22. 计算三角形的周长：边长分别为 3，4，5。
23. 计算正方形的面积：边长为 6。
24. 计算正方形的周长：边长为 8。
25. 解方程 $2x + 3 = 11 - x$。
26. 解方程 $3y + 5 = 2y - 1$。
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必修一
少壮不努力，老大徒伤悲。
高中数学必做100题—必修一16题
时量：120分钟 班级： 姓名： 计分：
（说明：《必修1》共精选16题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.必修1》精选） 1、试选择适当的方法表示下列集合：
（1）函数22y x x =-+的函数值的集合； （2）3y x =-与35y x =-+的图象的交点集合。
2、已知集合{|37}A x x =≤<，{|510}B x x =<<，求()R C A B ,()R C A B ,()R C A B ,()R A C B 。
（◎P 14 10）
3、设全集*{|9}U x N x =∈<，{1,2,3}A =，{3,4,5,6}B =. 求()U C A B ，()U C A B ，()()U U C A C B ，()()U U C A C B . 由上面的练习，你能得出什么结论？请结合Venn 图进行分析。
（◎P 12 例8改编）
4、设集合{|(4)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(1)(4)0}B x x x =--=。
（◎P 14 B 4改编） （1）求A B ，A B ； （2）若A B ⊆，求实数a 的值； （3）若5a =，则A B 的真子集共有 个, 集合P 满足条件，写出所有可能的P 。
5、已知函数3()41
x f x x -=+。
（1）求()f x 的定义域与值域（用区间表示）；（2）求证()f x 在1
(,)4
-+∞上递减。
6、已知函数(4),0()(4),0
x x x f x x x x +≥⎧=⎨
-<⎩，求(1)f 、(3)f -、(1)f a +的值。
（◎P 49 B4）
7、已知函数2()2f x x x =-+。
（☆P 16 8题）
（1）证明()f x 在[1,)+∞上是减函数；（2）当[]2,5x ∈时，求()f x 的最大值和最小值。
8、已知函数()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-其中(01)a a >≠且。
（◎P 84 4）
（1）求函数()()f x g x +的定义域； （2）判断()()f x g x +的奇偶性，并说明理由； （3）求使()()0f x g x ->成立的x 的集合。
9、已知函数2
()(0,0)1
bx f x b a ax =
≠>+。
（☆P 37 例2）
（1）判断()f x 的奇偶性；（2）若3211(1),log (4)log 42
2
f a b =-=
，求a ，b 的值。
10、对于函数2()()21
x
f x a a R =-
∈+。
数学是思维体操。
2
（1）探索函数()f x 的单调性；（2）是否存在实数a 使得()f x 为奇函数。
（◎P 91 B3）
11、（1）已知函数()f x 图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点。
（☆P 40 8）
（(2)310m x mx -
++=m （☆P 40 9）
49
13、家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量Q 呈指数函数型变化，满足关系式
400
0t Q Q e
-
=，其中0Q 是臭氧的初始量。
（1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？ （2）多少年
以后将会有一半的臭氧消失？ （参考数据：ln 20.695≈） （☆P 44 9）
14、某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据. 用一个函数模拟产品的月产量y 与月份数x 的关系，模拟函数可选用二次函数2()f x px qx r =++（其中,,p q r 为常数，且0p ≠）或指数型函数()
x g x a b c =⋅+（其中,,a
b c 为常数），已知4月份该产品产量为1.37万件，请问用上述哪个函数模拟较好？说明理由。
（☆P 51 例2）
15、如图，O AB ∆是边长为2的正三角形，记O AB ∆位于直线(0)x t t =>左侧的图形的面积为()f t 。
试求函数()f t 的解析式，并画出函数()y f t =的图象。
（◎P 126 B2）
16、某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每
毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线。
（1）写出服药后y 与t 之间的函数关系式y =f (t)； （2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？（☆P 45 例3）。