高二立体几何复习卷
2024-2025学年上学期高二数学章末(空间向量与立体几何)测试卷
2024-2025学年上学期高二数学章末测试卷选择性必修第一册空间向量与立体几何姓名：___________班级：___________一、单选题1．已知空间向量()6,2,1a =，()2,,3b x =- ，若()2a b a -⊥ ，则x =（）A ．4B ．6C ．234D ．2142．平面α的一个法向量是1(2n = ,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =- ,6,2)-，则平面α与平面β的关系是（）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．垂直3．如图，四棱锥P OABC -的底面是矩形，设OA a = ，OC b = ，OP c =，E 是棱PC 上一点，且2PE EC =，则BE =（）A ．111333a b c--+ B ．1133a b c--+C ．1133a b c-++ D ．1133a b c--- 4．如图，在空间直角坐标系O xyz -中，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直(C 与原点O 重合)，2,1,AB AF M ==在EF 上，且//AM 平面BDE ，则M 点的坐标为（）A ．(1,1,1)B ．22,,133⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．22,,122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．22,,144⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭5．在一直角坐标系中，已知(1,6),(3,8)A B --，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则折叠后,A B 两点间的距离为A ．241B ．41C ．17D ．2176．已知平行六面体1111ABCD A B C D -的各棱长均为1，1160A AB A AD ∠=∠=︒，90DAB ∠=︒，则1AC =（）A ．3B ．5C ．2D ．21+7．鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB BC PA ===，D ，E 分别是棱AB ，PC 的中点，点F 是线段DE 的中点，则点F 到直线AC 的距离是（）A ．38B 4C ．118D ．48．在下图所示直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，π1,3AB DAB =∠=，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上，则顶点B 到平面APC 距离的最大值为（）A ．12B C D 二、多选题9．（多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（）A ．点(1,1,0)P -与点(1,1,0)Q 关于z 轴对称B ．点(3,1,4)A --与点(3,1,4)B --关于y 轴对称C ．点(3,1,4)A --与点(3,1,4)B --关于平面xOz 对称D ．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分10．已知空间中三点()2,1,1A -，()1,0,2B ，()0,3,1C -，则（）A ．AB =B ．AB AC⊥C ．cos 19ABC ∠=D ．A ，B ，C 三点共线11．在正方体1111ABCD A B C D -中，1M AD ∈，N BD ∈，且满足113AM AD =，23BN BD =，则下列说法正确的是（）A ．1AD MN⊥B ．1MN A C∥C ．MN ∥平面11DCC D D ．MN 为1AD 与BD 的公垂线三、填空题12．在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，(2,1,1)A ，(1,1,2)B ，(,0,1)C x ，则x =．13．已知向量()()2,4,5,4,,a b x y ==，分别是直线12l l ､的方向向量，若12//l l ，则x y +=．14．如图所示，若P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，H 为棱PC 上的点，且12PH HC =，点G 在AH 上，且AGm AH=，若G ，B ，P ，D 四点共面，则实数m 的值是．四、解答题15．如图，在棱长为2的正方体中，,E F 分别是1,DD DB 的中点，G 在棱CD 上，且13CG CD =，H 是1C G 的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：(1)求证：1EF B C ⊥；(2)求异面直线EF 与1C G 所成角的余弦值.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，1B B 的中点．(1)证明：11//AC 平面1B DE ；(2)若1AB =，AB AC ⊥，11B D A F ⊥，求点E 到平面11A FC 的距离．17．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设AB a =，AD b =，1AA c = ，E ，F 分别是1AD ，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c表示1D B ，EF ；(2)若1D F xa yb zc =++，求1D F 在基{},,a b c 下的坐标．18．如图，在平面四边形ABCD 中，//AB DC ，ABD △是边长为2的正三角形，3,DC O =为AB 的中点，将AOD △沿OD 折到POD 的位置，PC =.(1)求证：PO BD ⊥；(2)若E 为PC 的中点，求直线BE 与平面PDC 所成角的正弦值.19．如图，将等腰直角△ABC 沿斜边AC 旋转，使得B 到达B ′的位置，且BB ′=A B ．(1)证明：平面AB ′C ⊥平面ABC ；(2)求二面角B -AB ′-C 的余弦值；(3)若在棱CB ′上存在点M ，使得14,,55CM CB μμ⎡⎤'=∈⎢⎥⎣⎦，在棱BB ′上存在点N ，使得BN BB λ'= ，且BM ⊥AN ，求λ的取值范围．参考答案题号12345678910答案C CBCDBBABDAB题号11答案ABD1．【详解】因为()()()26,2,122,,32,22,7a b x x -=--=- ，因为()2a b a -⊥ ，所以124470x +-+=，解得234x =.故选：C.2．【详解】 平面α的一个法向量是1(2n = ,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =- ,6,2)-，∴6m n =-，∴平面α与平面β的关系是平行或重合．故选：C ．3．【详解】由已知2()()3BE OE OB OP PE OA OC OP PC OA OC =-=+-+=+-+2()()3OP OC OP OA OC =+--+ 11113333OP OC OA a b c =--=--+．故选：B ．4．【详解】设AC ，BD 交于点O '，连接O E '，因为正方形ABCD 与矩形ACEF 所在的平面互相垂直，点M 在EF 上，且//AM 平面BDE ，又平面BDE ⋂平面ACEF EO ='，AM ⊂平面ACEF ，所以//AM O E '，又//AO EM '，所以O AME '是平行四边形，故1122FM O A AC EF '===，所以M 是EF 的中点，因为2,1AB AF ==，所以(0,0,1),(2,2,1)E F ，所以22,,122M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故选：C 5．【详解】如图为折叠后的图形，其中作,AC CD BD CD ⊥⊥则6,8,4AC BD CD ===，∴0,0AC CD BD CD ⋅=⋅=沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角∴两异面直线,CA DB 所成的角为60︒．可得：.cos 6024CA DB CA DB ︒⋅=⋅=故由AB AC CD DB =++ 得22||||AB AC CD DB =++ 2222+22AC CD DB AC CD CD DB AC DB +++⋅⋅+⋅= 2222+22AC CD DB AC CD CD DB CA DB+++⋅⋅-⋅= 36166448=++-68=||AB ∴= D.6．【详解】取{}1,,AB AD AA 为空间向量的基底，因为11AB AD AA === ，90DAB ∠=︒，1160A AB A AD ∠=∠=︒，所以0AB AD ⋅=uuu r uuu r，1112AB AA AD AA ⋅=⋅= .因为11AC AB AD AA =++，所以()2211AC AB AD AA =++ 222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅1110115=+++++=，所以1AC =故选：B7．【详解】因为AB BC =，且ABC V 是直角三角形，所以AB BC ⊥.以B 为原点，分别以BC，BA的方向为x ，y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.因为2AB BC PA ===，所以()0,2,0A ，()2,0,0C ，()0,1,0D ，()1,1,1E ，则()2,2,0AC =-，11,1,22AF ⎛⎫=- ⎝⎭ .故点F 到直线AC的距离d =故点F 到直线AC故选：B8．【详解】连接AC 交BD 于点O ，由题意，得AC BD ⊥，1122OB OD AB ===，OA OC ====，如图，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则1110,,,0,0,0,,,0,22222A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()11,,1,0,22AC AB BD ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭，设()101BP BD λλ=≤≤ ，所以()1111,0,2222AP AB BP AB BD λλλλ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设平面APC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则n ACn AP⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，所以001120222y n AC x n AP x z z λλλλ=⎧⎧⋅==⎪⎪⎪⎛⎫⇒-⎨⎨⎛⎫ ⎪⋅=-+++=⎝⎭⎪⎪ ⎪=⎝⎭⎩⎪⎩ ，取4x λ=，则()4,0,21n λλ=-，设顶点B 到平面APC 距离为d ，则AB n d n ⋅== 当0λ=时0d =，当01λ<≤时，d ===所以当12λ=即12λ=时点B 到平面APC 12=.故选：A.9．【详解】点(1,1,0)P -与点(1,1,0)Q 关于x 轴对称，故A 错误；点(3,1,4)A --与(3,1,4)B --关于y 轴对称，故B 正确；点(3,1,4)A --与(3,1,4)B --不关于平面xOz 对称，故C 错误；空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，故D 正确．故选：BD .10．【详解】易得()1,1,3AB =-- ，()2,2,0AC =- ，()1,3,3CB =-，AB ∴= A 正确;因为0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，B 正确，D 错误;而cos AB CB ABC AB CB⋅∠==⋅，C 错误.故选:AB.11．【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.则()()11,0,0,0,0,1A D ,()1,1,0B ,()0,1,0C ,()11,0,1A 由113AM AD = ，则21,0,33M ⎛⎫⎪⎝⎭由23BN BD = ，则11,,033N ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以111,,333MN ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,()11,0,1AD =-,则()11111010333MN AD ⎛⎫⋅=-⨯-+⨯+-⨯= ⎪⎝⎭,所以1AD MN ⊥，选项A 正确.又()11,1,1AC =-- ，则13AC MN = ，所以1//AC MN又1,MN A C 不在同一直线上，所以1//MN A C ，故选项B 正确.平面11DCC D 的一个法向量为()1,0,0n =r ，而1103MN n ⋅=-⨯≠ 所以MN 与平面11DCC D 不平行，故选项C 不正确.由()1,1,0DB = ，有1111100333MN BD ⎛⎫⋅=-⨯+⨯+-⨯= ⎪⎝⎭,所以NM DB ⊥，又1AD MN ⊥，且NM 与1,DB A D 均相交,所以MN 为1AD 与BD 的公垂线，故选项D 正确.故选：ABD12．【详解】||AC ==||BC ==，AB ==90BAC ∠=︒ ，222||||||BC AB AC ∴=+，22(1)22(2)1x x ∴-+=+-+，解得2x =．故答案为：2.13．【详解】12//l l ，//a b ∴，所以存在实数λ，使得b a λ= ，则4245x y λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得2λ=，8x =，10y =.18x y ∴+=.故答案为：18.14．【详解】连接BD ，BG 因为AB PB PA =- ，AB DC =，所以DC PB PA =- ．因为PC PD DC =+，所以PC PD PB PA PA PB PD =+-=-++ ．因为12PH HC =，所以13PH PC = ，所以111333PH PA PB PD =-++．又因为AH PH PA =- ，所以411333AH PA PB PD =-++．因为AG m AH=，所以4333m m m AG m AH PA PB PD ==-++ ．又因为41333m m m PG PA AG PA PB PD ⎛⎫=+=-++ ⎪⎝⎭，且G ，B ，P ，D 四点共面，所以4103m -=，解得34m =．故答案为：3415．【详解】（1）证明：如图，以D 为原点，以射线DA 、DC 、1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，0,0,1，()1,1,0F ，()0,2,0C ，()10,2,2C ，()12,2,2B ，40,,03G ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1,1,1EF =-，()12,0,2B C =-- ，所以()()()()()11,1,12,0,21210120EF B C ⋅=-⋅--=⨯-+⨯+-⨯-=，所以1EF B C ⊥，故1EF B C ⊥．（2）因为120,,23C G ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以1C G =因为EF = ()12241,1,10,,22333EF C G ⎛⎫⋅=-⋅--=-+= ⎪⎝⎭ ，所以111443cos ,315EF C GEF C G EF C G⋅==⋅．16．【详解】（1）因为111ABC A B C -为直三棱柱，所以11//A C AC ，又D ，E ，分别为AB ，BC 的中点，所以//DE AC ，所以11//DE A C ，又11A C ⊄平面1B DE ，DE ⊂平面1B DE ，所以11//AC 平面1B DE .（2）因为111ABC A B C -为直三棱柱，且AB AC ⊥，以A 为坐标原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设()10AA a a =>，且1AB =，则()()1111,0,,,0,0,0,0,,1,0,22a B a D A a F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11,0,2B D a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，11,0,2a A F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由11B D A F ⊥可得110B D A F ⋅= ，即21022a -+=，且0a >，解得1a =，设()0AC b b =>，则()10,,1C b ，即()11111,0,,0,,02A F A C b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，设平面11A FC 的法向量为(),,n x y z =，则1111020n A F x z n AC by ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，解得20z x y =⎧⎨=⎩，取1x =，则2z =，所以平面11A FC 的一个法向量为()1,0,2n =，又1,,022b E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即11,,122b A E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以点E 到平面11A FC的距离1A E n d n ⋅==17．【详解】（1）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，连接AC ，EF ，1D F ，1BD ，如图，11D B D D DB =+ 1AA AB AD =-+- a b c =-- ，11122EF EA AF D A AC =+=+ 1)11()(22AA AD AB AD =-+++ 111112222AB AA a c =-=- ．（2）111)1(2D F D D D B =+ 11)1(2AA D B =-+ 1()2c a b c =-+-- 1122a b c =-- xa yb zc =++ ，因此12x =，12y =-，1z =-，所以1D F 在基{},,a b c r r r 下的坐标为11(1)22--,,．18．【详解】（1）依题意ABD △是边长为2的正三角形，O 为AB 的中点，所以OD AB ⊥，所以OD PO ⊥，OD BO ⊥，2PD =，3CD =，PC =则222PD CD PC +=，所以PD CD ⊥，又//AB DC ，即//OB DC ，所以OB PD ⊥，又OD PD D ⋂=，,OD PD ⊂平面POD ，所以OB ⊥平面POD ，因为OP ⊂平面POD ，所以OB OP ⊥，又OB OD O = ，,OB OD ⊂平面BODC ，所以OP ⊥平面BODC ，又BD ⊂平面BODC ，所以PO BD ⊥；（2）如图建立空间直角坐标系，则1,0,0，0,0,1，()D，()C，3122E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以11,222BE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，()3,0,0DC =，()0,DP = ，设平面PDC 的法向量为(),,n x y z =，则300n DC x n DP z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令(n = ，设直线BE 与平面PDC 所成角为θ，则sin 5BE n BE nθ⋅===⋅ ，所以直线BE 与平面PDC19．【详解】（1）证明：设AC 的中点为O ，连接OB ，OB '，由题意可得，BB '=AB =AB '=BC =B 'C ，在△AB 'C 中，因为O 为AC 的中点，则OB '⊥AC ，即∠B 'OC =90°，则△OBB '≌△OCB '，所以∠B 'OB =∠B 'OC =90°，即OB '⊥OB ，因为AC ∩OB =O ，AC ，OB ⊂平面ABC ，故OB '⊥平面ABC ，又OB '⊂平面AB 'C ，所以平面AB ′C ⊥平面ABC ；（2）以点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设OA =1，则O （0，0，0），A （-1，0，0），B （0，1，0），B '（0，0，1），C （1，0，0），所以(1,1,0),(1,0,1)AB AB '== ，设平面ABB '的法向量为(),,n x y z = ，则00n AB n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩' ，即00x y x z +=⎧⎨+=⎩，令x =1，则y =z =-1，故(1,1,1)n =-- ，因为OB ⊥平面AB 'C ，所以平面AB 'C 的一个法向量为(0,1,0)OB = ，则|||cos ,|||||n OB n OB n OB ⋅〈〉=== 又二面角B -AB ′-C 为锐二面角，所以二面角B -AB ′-C的余弦值为3；（3）结合（2）可得，(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)BC CB BB ''=-=-=- 则(1,1,0)(0,1,1)(1,1,)AN AB BN AB BB λλλλ'=+=+=+-=- ，(1,1,0)(0,1,1)(1,1,)AN AB BN AB BB λλλλ'=+=+=+-=- ，因为BM ⊥AN，则0BM AN ⋅= ，即(1)(1)0μλμλ---+=，所以111λμ=-+，故λ是关于μ的单调递增函数，当14,55μ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，14,69λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故λ的取值范围为14,69⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。
高二立体几何复习卷
立几复习卷1．一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为 ( )A ．12 B ．32C ．1D ．132． 设m ，n 为两条直线，βα,为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是（ ）A. 若αα⊂⊂n m ,且ββ//,//n m ，则βα//B. 若α//,//m n m ，则α//nC. 若αα//,//n m ，则n m //D. 若n m ,是两条异面直线，且ββαα//,//,//,//n m n m ，则βα// 3．设α表示平面，b a ,表示直线，给定下列四个命题：①αα⊥⇒⊥b b a a ,//； ②αα⊥⇒⊥b a b a ,//; ③αα//,b b a a ⇒⊥⊥; ④b a b a //,⇒⊥⊥αα. 其中正确命题的个数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 4．若向量a )2,1,2(),2,,1(-==b λ，且a 与b 的夹角余弦值为，则λ等于（ ） A ．2 B ．2- C ．2-或．2或5 ．6．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉＝_______ 三、解答题7．如图，在四棱锥ABCD P -中，A B C D PA 平面⊥，60,,=∠⊥⊥ABC CD AC AD AB ，且BC AB PA ==，E 是PC 的中点．（1）证明:AE CD ⊥； （2）证明:ABE PD 平面⊥；8．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且P A A D =，点M 、N 分别为侧棱PD 、PC 的中点（1）求证：CD ∥平面AMN ； （2）求证：AM ⊥平面PCD .9．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，O 为底面ABCD 的中心，P 是1DD 的中点，设Q 是1CC上的中点，求证：（1）//PO 1面D BQ;(2)平面1D BQ ∥平面PAO .10．如图，已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD 为蓌形，PA ⊥平面ABCD,∠ABC=60°，E,F 分别是BC,PC 的中点。
高二数学立体几何试题
高二数学立体几何试题1.几何体的三视图如图，则几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】此几何体的下面是半径为1，高为1的圆柱，上面是半径为1，高为1的圆锥，所以体积是。
【考点】1．三视图；2．几何体的体积．2.若一个球的表面积为，现用两个平行平面去截这个球面，两个截面圆的半径为．则两截面间的距离为．【答案】1或7【解析】由球的表面积为知，球的半径为.有两种可能情况，一是两截面在球心同侧，二是两截面在球心两侧. 所以由球的截面性质定理得，两截面间的距离为或，答案为1或7.【考点】球的截面性质定理.3.在一座高的观测台顶测得对面水塔塔顶的仰角为，塔底俯角为，则这座水塔的高度是__________．【答案】【解析】如图所示，AB为观测台，CD为水塔，AM为水平线，依题意得：，，，∴，，，∴cm．【考点】解斜三角形．【思路点睛】由已知条件得到，，在直角三角形中，用勾股定理求出CM的边长，再求出CD的值即可．4.如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．（Ⅰ）求三棱锥的体积；（Ⅱ）求证：//平面;【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）根据已知可得平面，三棱锥的体积可表示为其中高为，即可求得；（Ⅱ）连接，，连接，通过证得四边形为平行四边形，可得平面试题解析：（Ⅰ）三棱锥的体积为 --6分（Ⅱ）证明：连接，，连接为中点，且为矩形，所以四边形为平行四边形，．．【考点】1．求体积；2．证明线面平行5.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】空间点关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标竖坐标互为相反数，因此点关于轴对称的点的坐标为【考点】空间点的坐标6.（本小题满分12分）如图，在正四棱台中，=1，=2，=，分别是的中点．（1）求证：平面∥平面；（2）求证：平面平面；（3）（文科不做）求直线与平面所成的角．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）60°【解析】（1）连接，分别交，，于，连接，．由面面平行的性质定理得，∥，所以∥平面，同理，．根据相似可知，=，又因为，=，所以平行且等于，平行且等于，∥平面，进而得到结论；（2）连接，由正棱台知，，⊥，所以⊥面，由面面垂直的判定定理即可证明结论；（3）法一：，计算有=，=="2," 体积转化得到线面角的补角是30°，即可求出结果；法二：=="2,"=="2," 所以⊥，⊥，所以⊥面，过作⊥交于，得到⊥．△为等边三角形，⊥，所以⊥面，所以∠为与面所成角，即可求出结果．试题解析：（1）连接，分别交，，于，连接，．由面面平行的性质定理得，∥，所以∥平面，同理，．根据相似可知，=，又因为，=，所以平行且等于．所以平行且等于，所以∥平面，平面∥平面（2）连接，由正棱台知，，⊥，所以⊥面，所以平面⊥平面（3）法一：，计算有=，=="2," 体积转化得到线面角的补角是30°，所以所求角为60°法二：=="2," =="2," 所以⊥，⊥，所以⊥面，过作⊥交于，得到⊥．△为等边三角形，⊥，所以⊥面，所以∠为与面所成角为60°．……12分．【考点】1．面面平行的判定定理；2．面面垂直定理的判定定理．7.下列命题中真命题是（）A．若，则；B．若，则；C．若是异面直线，那么与相交；D．若，则且【答案】A【解析】如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直，所以选项A正确．一个平面内的两条相交直线分别平行于另一平面，则这两个平面平行．显然选项B错误；若是异面直线，那么与相交或平行，所以选项C错误；若，则且或n在某一平面内，故选项D错误；故选A．【考点】判断命题的真假性．8.长、宽、高分别为的长方体，沿相邻面对角线截取一个三棱锥（如图），剩下几何体的体积为．【答案】【解析】根据该几何体的特征，可知所剩的几何体的体积为长方体的体积减去所截的三棱锥的体积，即．【考点】几何体的体积．9.如图所示，为正方体，给出以下五个结论：①平面；②平面；③与底面所成角的正切值是；④二面角的正切值是；⑤过点且与异面直线和均成角的直线有2条．其中，所有正确结论的序号为_______．【答案】①②④【解析】对于①，因为，且面，面，，所以，正确；对于②，由三垂线定理得，同理可得，又于，所以平面，②正确；对于③，连接，是与底面所成角，在中，，③不对；对于④，连接交于点，，连接，所以为二面角的平面角，解三角形，④正确；对于⑤，把直线平移到跟共面，平移后有一个公共点，根据对称性过点且与异面直线和均成角的直线有4条，⑤错误．【考点】命题真假的判断【思路点睛】在判断线面平行时一般采用构造平行四边形法、中位线法、构造平性平面法，所以要根据题设中所给的条件选择合适的方法；在判断线面垂直时，会选择证明一条直线垂直一个面内的相交直线或者用面面垂直证明线面垂直，根据条件选择合适的方法；求线面角的三角函数值，关键在于作出其平面角，然后通过解三角形，求出其所求三角函数值．10.（2012•沈河区校级模拟）在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEG；（Ⅱ）求证：BD⊥EG．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析．【解析】（Ⅰ）由AD∥EF，EF∥BC，知AD∥BC．由BC=2AD，G是BC的中点，知ADBG，故四边形ADGB是平行四边形，由此能够证明AB∥平面DEG．（Ⅱ）由EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，知EF⊥AE，由AE⊥EB，知AE⊥平面BCFE．过D 作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．由此能够证明BD⊥EG．解：（Ⅰ）证明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC．又∵BC=2AD，G是BC的中点，∴AD BG，∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG．∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，∴AB∥平面DEG．（Ⅱ）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF⊂平面BCFE，∴AE⊥平面BCFE．过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．∵EG⊂平面BCFE，∴DH⊥EG．∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD是平行四边形，∴EH=AD=2，∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG，又BH∩DH=H，BH⊂平面BHD，DH⊂平面BHD，∴EG⊥平面BHD．∵BD⊂平面BHD，∴BD⊥EG．【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．11.如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，AB＝2，．（Ⅰ）求证：平面PAC；（Ⅱ）若，求与所成角的余弦值；【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据菱形的条件，对角线，又根据平面，也能推出，这样就能证明直线垂直于平面内的两条相交直线，则线面垂直，即平面；（Ⅱ）取中点，设，连结，，根据中位线平行，就将异面直线所成角转化成相交直线所成角，即即为所求角，根据平面几何的几何关系，求三边，然后根据余弦定理求角．试题解析：（Ⅰ）证明：因为平面，所以．在菱形中，，且，所以平面．（Ⅱ）解：取中点，设，连结，．在菱形中，是中点，所以．则即为与所成角。
高二数学空间向量与立体几何试卷
1、已知向量a=(1,2,3)，向量b=(-1,0,1)，则向量a在向量b上的投影长度为：A、√10/2B、-√10/2C、√6/2D、-√6/2(解析：投影长度公式为|a|cosθ，其中θ为a,b之间的夹角，可通过a·b和|a|,|b|计算得出。
)(答案：D)2、若平面α的一个法向量为n=(2,-3,1)，直线l的一个方向向量为m=(-4,6,-2)，则l与α的位置关系为：A、l⊂αB、l//αC、l⊥αD、l与α斜交(解析：若两向量平行，则它们对应的平面或直线平行或直线在平面内。
)(答案：A)3、设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，则下列命题中正确的是：A、若m//n，则α//βB、若α//β，则m//nC、若m⊥n，则α⊥βD、若α⊥β，则m⊥n(解析：根据空间几何的性质，直线与平面的位置关系不能仅由直线间的位置关系确定。
)(答案：均不正确，但根据常规选择，可视为考察对空间几何理解的深度，故选最接近的A进行解析，实际应判断为“以上均不正确”。
)4、三个力f1=(2,3,4)，f2=(-1,2,-3)，f3=(3,-1,-2)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现在该点处加上一个力f4，则f4=：A、(-4,2,1)B、(4,-2,-1)C、(4,2,-1)D、(-4,-2,1)(解析：物体平衡时，所有力的向量和为零，即f1+f2+f3+f4=0，解此方程得f4。
)(答案：B)5、已知平面α过点A(1,1,0)，B(0,1,1)，C(1,0,1)，则平面α的一个法向量可以是：A、(1,1,1)B、(1,-1,-1)C、(1,1,-1)D、(-1,1,1)(解析：法向量与平面内任意两向量的点积都为零，可通过求解方程组得出。
)(答案：D)6、若直线l平行于平面α，且在l上有两点A，B到α的距离分别为d1，d2，则d1与d2的关系为：A、d1>d2B、d1<d2C、d1=d2D、不确定(解析：平行于平面的直线上的所有点到平面的距离都相等。
高二期末立体几何(含答案)
【解析】试题分析：由几何体的正视图、侧视图，并结合题意可知，选C项．
9.(5分)一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且该梯形的面积为 ,则原梯形的面积为()
A.2B. C.2 D.4
【解析】选D.直观图为等腰梯形,若上底设为x,高设为y,则S直观图= y(x+2y+x)= ,而原梯形为直角梯形,其面积为S= ·2 y(x+2y+x)=2 × =4.
所以∠AOC=90°,即AO⊥OC,又AO⊥BD,OC∩BD=O,所以AO⊥平面BCD,又AO⊂平面ABD,所以平面ABD⊥平面CBD.
(2)因为M是AB的中点,所以A,B到平面MCD的距离相等,所以VA-MCD=VB-MCD= VA-BCD=
S△BCD·AO=8.
21.如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E,F,G分别为PC,PD,BC的中点.
10.(2015·玉林模拟)如图,正棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()
A. B. C. D.
【解析】选D.如图,连接BC1,A1C1,
∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角(或其补角),
设AB=a,AA1=2a,
所以A1B=C1B= a,A1C1= a,
因为PA⊄平面EFG,FH⊂平面EFG,
所以PA∥平面EFG.
方法二:因为E,F,G分别为PC,PD,BC的中点,
所以EF∥CD,EG∥PB.
因为CD∥AB,所以EF∥AB.
因为PB∩AB=B,EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面PAB.
因为PA⊂平面PAB,所以PA∥平面EFG.
高二数学立体几何试题答案及解析
高二数学立体几何试题答案及解析1.（本题满分10分）把边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长为xcm的相等的正方形，然后折成一个高度为xcm的无盖的长方体的盒子，问x取何值时，盒子的容积最大，最大容积是多少？【答案】１６０００【解析】设长方体高为xcm，则底面边长为（60－2x）cm．（0<x<30）…1分长方体容积（单位：），…3分…5分令解得x＝10，x＝30（不合题意合去）于是…7分在x＝10时，V取得最大值为…10分2.已知三棱锥满足，则点在平面上的射影是三角形的心．【答案】外【解析】，设点在平面上的射影是．则，所以是外心．【考点】射影定理3.（本题满分16分，第（1）小题7分，第（2）小题9分）如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等．铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2．（单位：mm，加工中不计损失）．（1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；（2）若每块钢板的厚度为mm，求钉身的长度（结果精确到mm）．【答案】（1）；（2）【解析】（1）观察铆钉的面积，钉身为圆柱形的侧面积，加半球的底面积加半球面的面积；（2）将钉身圆柱捶打成钢板厚的圆柱加一个半球形的帽，所以利用等体积建立方程，求的钉身的长度．试题解析：解：设钉身的高为，钉身的底面半径为，钉帽的底面半径为，由题意可知：圆柱的高圆柱的侧面积半球的表面积所以铆钉的表面积（）（2）设钉身长度为，则由于,所以，解得答：钉身的表面积为，钉身的长度约为．【考点】1．组合体的表面积；2．组合体的体积；3．等体积．4.已知某几何体的三视图（单位:cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100 cm3C．92cm3D．84cm3【答案】【解析】由三视图可知原几何体如图所示：故几何体的体积，答案选B．【考点】空间几何体的三视图与体积5.直三棱柱中，，，、分别为、的中点．（1）求证：；（2）求异面直线与所成角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系．设,计算与的数量积即可得到（2）同理可计算，利用向量的夹角的余弦公式可得向量与的余弦值，亦即异面直线与所成角的余弦值试题解析：由题知平面，，以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系．设，，，，，，，，，，，所以；（2），设异面直线与所成角为，则有【考点】向量法解决空间几何中的直线与直线垂直和异面直线所成的角．6.下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面和平面有不同在一条直线上的三个交点【答案】C【解析】A如果三点在一条直线上，则不能确定一个平面；B四边形可以为空间中的三棱锥；C梯形两平行边确定一个平面；D平面和平面相交所有的点都在交线上，所以三个点一点在同一条直线上，故选择C【考点】空间点、线、面7.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为1的圆锥的半个圆锥，故该几何体的体积为，故选D．【考点】空间几何体的三视图．8.在长方体中，，，，则与所成角的余弦值为．【答案】【解析】以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则，，则与所成角的余弦值为【考点】空间向量求异面直线所成角9.正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为，则三棱锥Ｏ－ＡＢ1Ｄ1的体积为_____________.【答案】【解析】【考点】棱锥体积10.设为不同的平面，为不同的直线，则的一个充分条件为（）．A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】D【解析】一条直线垂直于两个互相垂直的平面的交线，则这条直线与这两个平面中的某一平面可能垂直也可能不垂直，所以选项A错误；同理，可说明B、C不正确；若，，，则∥，,所以。
高二立体几何数学试题
A．．．．
解答：解：①l垂直于α内的两条相交直线，由直线与平面垂直的判定定理知l⊥α，故①正确；②若l∥α，则l与α内的直线平行或异面，故②不正确；③若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α与β不一定垂直．故③不正确；④若l⊂β，l⊥α，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故④正确；⑤若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l或m与l异面，故⑤不正确．故答案为：①④．
18．（2013•广元一模）直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成角的大小为________
解答：解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，
∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1，
∴三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故答案为：60°．
三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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20
解答：解：
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，∴
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解答：解：（。
高二数学-空间向量与立体几何测试题及答案
高二数学空间向量与立体几何测试题第1卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在下列命题中：CD若a、b共线则a、b所在的直线平行；＠若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；＠若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；＠已知三向量a、b、c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=a+yb+zc,, y, z R.其中正确命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若三点共线为空间任意一点且则的值为（）A. lB.C.D.3. 设，且，则等千（）A. B. 9 C. D4. 已知a=(2, —1, 3) , b= C—1, 4, —2) , c= (7, 5, 入），若a、b、c三向量共面，则实数入等千（）A. B. C.5.如图1,空间四边形的四条边及对角线长都是，点分别是的中点则等千（）D.A.C.．．BD6. 若a、b均为非零向量，则是a与b共线的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件7. 已知点0是LABC所在平面内一点满足• = • = • '则点0是LABC的（）A. 三个内角的角平分线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点C. 三条中线的交点8. 已知a+b+c=O,al =2, bl =3,A. 30°B. 45°D.三条高的交点l e = , 则向量a与b之间的夹角为（）C. 60°D. 以上都不对9. 已知， ＇ ，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A.B.10. 给出下列命题：CD已知，则C. D.＠为空间四点若不构成空间的一个基底，那么共面；＠已知则与任何向量都不构成空间的一个基底；＠若共线则所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）C. 3A.1B.2D.4 第II卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.已知LABC的三个顶点为A(3, 3, 2) , B (4, —3, 7) , C (0, 5, 1) , 则BC边上的中线长为12. 已知三点不共线为平面外一点若由向量确定的点与共面，那么13. 已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,则m,n的夹角为14. 在空间四边形ABC D中，AC和B D为对角线G为L:.ABC的重心，E是B D上一点BE=3E D, 以｛， ， ｝为基底，则＝15. 在平行四边形ABCD中，AB=AC=l,乙ACD=90, 将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则B,D两点间的距离为16. 如图二面角a-t -B的棱上有A,B两点直线AC,B D分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直千AB,已知AB=4,AC=6, B D=8, C D= ,二面角Q—t—B的大小三、解答题（本大题共5小题，满分70分），17. C lo分）设试问是否存在实数，使成立？如果存在，求出；如果不存在，请写出证明．18. (12分）如图在四棱锥中，底面ABC D是正方形，侧棱底面ABC D,, 是PC的中点，作交PB千点F.(1)证明PAIi平面EDB:(2)证明PB上平面E F D:(3)求二面角的大小．、、、、、、、、.、19. (12分）如图在直三棱柱ABC—AlBlCl中，底面是等腰直角三角形，乙ACB=90°.侧棱AA1=2, D. E 分别是CCl与AlB的中点点E在平面ABO上的射影是DAB D的重心G.(1)求AlB与平面ABO所成角的大小．(2)求Al到平面ABO的距离1) 20. 12分）如图在三棱柱ABC-AlBlCl中，AB上AC,顶点Al在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2.2)求棱AA1与BC所成角的大小；在棱BlCl上确定一点P,使AP=, 并求出二面角P—AB—Al的平面角的余弦值A1C1B21. (12分）如图直三棱柱ABC-AlBlCl中AB上AC,D.E分别为AAl.B lC的中点DEl_平面BCCl.C I)证明：A B=ACC II)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小c,22. (12分）P是平面ABC D外的点四边形ABC D是平行四边形，AP= (-1, 2, -1)(1)求证：PA 平面ABC D.(2)对千向量，定义一种运算：，试计算的绝对值；说明其与几何体P—ABC D的体积关系，并由此猜想向量这种运算的绝对值的几何意义（几何体P-ABC D叫四棱锥，锥体体积公式：V= ) .一、选 1 2 择题（本大题土2上、10小题，每3 4空间向量与立体几何(2)参考答案5 6 7 8 9 10小题5/刀\.让,/、50分）题号答案D D D A B C A 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11. (0, ,) 12. 0 13. 1, —3 14. 90° l厮—15。
高二数学立体几何试题答案及解析
高二数学立体几何试题答案及解析1.一个球的Л体积为，则此球的表面积为．【答案】【解析】因为球的体积公式：,所以=所以R=1，由表面积公式S=4=2.已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1B．C．D．2【答案】C【解析】略3.已知长方体中，，点在棱上移动，当时，直线与平面所成角为．【答案】【解析】为直线与平面所成角，，,,所以．【考点】线面角4.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=，则棱锥O-ABCD 的体积为_____________．【答案】【解析】矩形外接圆的直径为对角线长。
棱锥的体积为【考点】棱锥外接球问题5.某几何体的三视图如图所示，其中左视图为半圆，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图可得其还原图是半个圆锥，由题可得其底面圆半径为1，母线长为3，所以其体积为。
故选A。
【考点】由三视图求面积、体积。
6.（本小题满分12分）已知如图，四边形是直角梯形，，，平面，，点、、分别是、、的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）先证明平面∥平面，由面面平行可得线面平行；（Ⅱ）建立直角坐标系，由空间微量公式计算即可.试题解析：（Ⅰ）证明：∵点、、分别是、、的中点，∴∥，∥.∵平面，平面，平面，平面，∴∥平面，∥平面.∵，∴平面∥平面∵平面，∴∥平面．（Ⅱ）解：根据条件，直线，，两两垂直，分别以直线，，为建立如图所示的空间直角坐标系．设，∵，∴∴.设分别是平面和平面的一个法向量，∴，∴，即，．不妨取，得．∴．∵二面角是锐角，∴二面角的余弦值是．【考点】1.线面平行、面面平行的判定与性质；2.空间向量的应用.7.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题中所给的三视图，可知该几何体为底面为边长为和的长方形，顶点在底面上的摄影是左前方的顶点，所以有，解得，故选B．【考点】根据所给的几何体的三视图，还原几何体，求其体积及其他量．8.如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且分别是的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求锐二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；【解析】（Ⅰ）本题考查线面垂直的判定定理．可由勾股定理证明；另外平面即可；（Ⅱ）过程为作---证---算．根据二面角的定义找到角，注意不要忽略了证明的过程．试题解析：（Ⅰ）证明：由条件知平面，令，经计算得，即，又因为平面；（Ⅱ）过作，连结由已知得平面就是二面角的平面角经计算得，【考点】1．线面垂直的判定定理；2．二面角；9.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面内的射影为的中心,则与底面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设该棱柱各棱长为a,底面中心为O，则A1O平面ABC．在三角形A1AO中,可得．设AB中点为D，可证，AD A1D．在直角三角形ADA1中，AA1=a,AD=,解得，．故与底面所成角的正弦值为．故选B．10.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________．【答案】【解析】【考点】圆锥体积11.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF= ．则下列结论中正确的个数为①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD；③三棱锥A﹣BEF的体积为定值；④的面积与的面积相等，A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】①中AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；②EF∥平面ABCD，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确；③三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确【考点】1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质12.设为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若,则；[②若,则；③若则；④若与相交且不垂直，则与一定不垂直．其中，所有真命题的序号是．【答案】①③【解析】②中两平面平行或垂直；④中两直线可能相交，平行或异面，可能出现异面直线垂直的情况；①③由线面垂直平行的判定与性质可知结论正确【考点】空间线面垂直平行的判定与性质13.一个的长方体能装卸8个半径为1的小球和一个半径为2的大球，则的最小值为（）A．B．C．D．8【答案】B【解析】在的面上放4个小球，在在上面放一个大球，4个小球每个都与相邻两个相切，大球与四个小球都相切，记4个小球的球心依次为，大球球心为，则为正四棱锥，底面边长为2，侧棱长为3，其高为，对应上面再放4个小球，因此的最小值为，故选B．【考点】长方体与球．14.如图，在四面体中，，，点分别是的中点（1）求证：平面平面；（2）当，且时，求三棱锥的体积【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明面面垂直应证线面垂直，首先根据图形分析需要证明面即可说明平面平面；（2）解决本题关键是找出底面上的高，由（1）很容易可以得到高为，由此可以计算三棱锥的体积．试题解析：（1）证明：∵中，分别是的中点，．，．中，，是的中点，．，面，平面平面；（2）解：，是的中点，，，，∴平面，，，，，，．【考点】空间几何体的垂直、平行、体积问题．15.如图，已知四棱锥的底面为菱形，，，．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）用几何法证明线线垂直的主要思路是证明线面垂直，则线线垂直，所以首先根据所给的条件能够确定是等腰直角三角形，是等边三角形，然后取的中点，连接，最后证明平面;（2）根据上一问的结论，根据勾股定理，证明，从而可以以为原点建立空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量，利用公式求解．试题解析：（1）证明：取的中点，连接．∵，∴又四边形是菱形，且，∴是等边三角形，∴又，∴，又，∴（2）由，，易求得，，∴，以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直坐标系，则，，，，∴，，设平面的一个法向量为，则，，∴，∴，，∴设平面的一个法向量为，则，，∴，∴，，∴∴【考点】1．线与线的位置关系；2．二面角．16.如图，在正三棱锥中，．分别为棱．的中点，并且，若侧棱长，则正三棱锥的外接球的体积为__________．【答案】【解析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的体积．∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB，∵三棱锥S-ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC，又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC ∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．【考点】球的体积与表面积【方法点睛】一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径．设其外接球的半径为，则有．17.如图，在三棱锥中，△和△都为正三角形且，，，，分别是棱，，的中点，为的中点．（1）求异面直线和所成的角的大小；（2）求证：直线平面．【答案】（1）;（2）见解析．【解析】（1）通过构造中位线，得到，即为异面直线和所成的角，由已知数据求之即可；（2）要证平面，可在平面中构造一条直线与平行即可，连接交于点，连接，证明即可．试题解析：（1）∵，分别是，的中点，∴，∴为异面直线和所成的角．在△中，可求，，，故，即异面直线和所成的角是．（2）连接交于点，连接，∵为的中点，为的中点，∴为△的重心，∴．∵为的中点，为的中点，∴，∴，∴，∵面，面，∴面．【考点】1．异面直线所成的角；2．线线、线面平行的判定与性质．18.如图1，已知正方体ABCD－A1B1ClD1的棱长为a，动点M、N、Q分别在线段上，当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN的正视图面积等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由俯视图可知为的中点，与重合，与点重合．所以此时三棱锥的正视图为三角形，其面积为．故B正确．【考点】三视图．【思路点晴】本题主要考查的是三视图，属于中档题．应先根据三棱锥的俯视图确定四点的位置，还原出三棱锥的立体图，根据其立体图可得其正视图，从而可求得正视图的面积．19.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点．则与底面所成的角的正切值为________．【答案】【解析】设底面边长为1，取中点，连接，，所以底面，那么为与底面所成的角，，，所以．【考点】线面角【思路点睛】主要考察了线面角的求法，属于基础题型，根据线面角的定义，线与射影所成角，所以此题的关键是求在平面内的射影，所以根据底面，取中点，得底面，再连接，为与底面所成的角，根据正切公式求解．20.在四棱锥中，底面，，，，，是的中点．（1）证明：；（2）证明：平面；（3）（限理科生做，文科生不做）求二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）．【解析】（1）证明异面直线垂直，一般的思路是证明线面垂直，线在面内，所以线线垂直的思路，所以根据条件转化为先证明平面，而要证明平面，得先证明，条件所给，易证；（2）证明线面垂直的思路是证明线与平面内的两条相交直线垂直，则线面垂直，根据上一问已证明，所以只需再证明，根据条件需证明，问题会迎刃而解；（3）由题可知两两垂直，建立空间直角坐标系，设，那就可以写出各点的坐标，并分别求两个平面的法向量与，利用公式，并观察是钝二面角．试题解析：（1）证明：底面，．又面，面，．（2）证明：，是等边三角形，，又是的中点，，又由（1）可知，面（3）解：由题可知两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设，则．设面的一个法向量为，即取则，即设面的一个法向量为，即取则即，由图可知二面角的余弦值为．【考点】1．线线垂直，线面垂直的证明；2．二面角；3．向量法．21.如图，已知圆柱的高为，是圆柱的三条母线，是底面圆的直径，．（1）求证：//平面；（2）求二面角的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）先利用垂直关系建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，通过证明的方向向量和平面的法向量垂直进行证明；（2）先求出两个平面的法向量，利用空间向量求出其二面角的余弦值，再利用同角三角函数基本关系式求解．试题解析：由是直径，可知,故由可得：,以点为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）则（1）由可得平面的一个法向量又又平面平面（2）由可得平面的一个法向量，由可得平面的一个法向量设二面角为，则所以二面角的正切值为．【考点】1．线面平行的判定；2．二面角；3．空间向量在立体中的应用．22.（2015秋•黄冈校级期末）如图，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．M为平面ABCD内的一动点，且满足MP=MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（O为正方形ABCD的中心）（）A． B． C． D．【答案】A【解析】在空间中，过线段PC中点，且垂直线段PC的平面上的点到P，C两点的距离相等，此平面与平面ABCD相交，两平面有一条公共直线．解：在空间中，存在过线段PC中点且垂直线段PC的平面，平面上点到P，C两点的距离相等，记此平面为α，平面α与平面ABCD有一个公共点D，则它们有且只有一条过该点的公共直线．取特殊点B，可排除选项B，故选A．【考点】轨迹方程．23.（2015秋•内江期末）若一个几何体的正视图是一个三角形，则该几何体不可能是（）A．圆锥B．圆柱C．棱锥D．棱柱【答案】B【解析】圆柱的正视图可能是矩形，可能是圆，不可能是三角形．解：圆锥的正视图有可能是三角形，圆柱的正视图可能是矩形，可能是圆，不可能是三角形，棱锥的正视图有可能是三角形，三棱柱放倒时正视图是三角形，∴在圆锥、圆柱、棱锥、棱柱中，正视图是三角形，则这个几何体一定不是圆柱．故选：B．【考点】简单空间图形的三视图．24.已知两条不重合的直线和两个不重合的平面、，有下列命题：①若，，则；②若，，，则；③若是两条异面直线，，，，则；④若，，，，则．其中正确命题的个数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】①不正确，还可能；②正确，，，又，；③不正确，还可能相交；④由面面垂直的性质定理可知④正确．综上可得②④正确．故B正确．【考点】1线面位置关系；2面面位置关系．25.如图，在三棱锥P﹣ABC中，E、F、G、H分别是AB、AC、PC、BC的中点，且PA=PB，AC=BC．（Ⅰ）证明：AB⊥PC；（Ⅱ）证明：平面PAB∥平面FGH．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理证明AB⊥面PEC，即可证明：AB⊥PC；（Ⅱ）根据面面平行的判定定理即可证明平面PAB∥平面FGH．解：（Ⅰ）证明：连接EC，则EC⊥AB又∵PA=PB，∴AB⊥PE，∴AB⊥面PEC，∵BC⊂面PEC，∴AB⊥PC（Ⅱ）连结FH，交于EC于O，连接GO，则FH∥AB在△PEC中，GO∥PE，∵PE∩AB=E，GO∩FH=O∴平面PAB∥平面FGH【考点】平面与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．26.以正方体的顶点D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不妨令正方体的边长为1,则由图可知.,与共线的向量的坐标为.故D正确.【考点】空间向量共线问题.27.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=" 2AD" ="2CD" =2．E是PB的中点．（I）求证；平面EAC⊥平面PBC；（II）若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【答案】（I）证明见解析；（II）．【解析】对于问题（I），可以先证明平面，再证明，然后即可证明所需结论；对于问题（II），首先建立以为坐标原点的空间坐标系，然后再求出相应点的坐标，再由题设条件求出的长以及平面的法向量，最后利用向量的夹角公式，就可以得到直线与平面所成角的正弦值．试题解析：（I），，，，，错误！未指定书签。
高二数学立体几何期末复习70题
立体几何期末复习70题1．如图，已知正方形和正方形所在平面成60°的二面角，则直线与ABCD ABEF BD 平面所成角的正弦值为（ ）．ABEFA B C D 2．如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，M 是侧棱PC 的中点，若过AM P ABCD -作该正四棱锥的截面，分别交棱PB ､PD 于点E ､F (可与端点重合)，则四棱锥P AEMF -的体积的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．如图所示，矩形中，为边的中点，将沿直线翻转成，ABCD E AB ADE DE 1A DE 若为线段的中点，则在翻转过程中，则下列命题错误的是（ ）M 1A C ADEA ．是定值||BM B ．点在球上运动MC ．一定存在某个位置，使1DE A C⊥D ．一定存在某个位置，使平面//MB 1A DE4．如图，在四棱锥中，，平面P ABCD -APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠ADP ⊥平面，若，，与平面所成的角为，则以下结DCP APC α∠=BPD β∠=AP DCP γ论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．γβα<<βαγ<<βγα<<γαβ<<5．在三棱锥中，，，，P ABC -AB AC ==120BAC ∠= PB PC ==）PA =A ．B ．C ．D ．40π20π80π60π6．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．147．我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即.现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄2311122323V R R R R R πππ=⋅-⋅=球22149x y +=y 榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）A ．B ．C ．D ．32π24π18π16π8．在四面体中，，，，点在平面ABCD 5AB BC CD DA ====3AC =8BD =P内，且与所成的角为，则的最小值为ABD CP =CP BD θsin θ（ ）A B C D 9．如图，在长方形中，，现将沿折至，使得二ABCD AD CD <ACD △AC 1ACD △面角为锐二面角，设直线与直线所成角的大小为，直线与1A CD B --1AD BC α1BD 平面所成角的大小为，二面角的大小为，则的大小关系ABC β1A CD B --γ,,αβγ是（ ）A ．B ．C ．D ．不能确定αβγ>>αγβ>>γαβ>>10．如图所示，正方形的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则正四棱ABCD 锥的侧面积取值范围为（ ）A ．B ．[1，2]C ．[0，2]D ．()1,2()0,211．已知三棱锥中，A BCD -AB BC AD CD ====AC BD ==M 为中点，关于该三棱锥有下述四个结论：BD ①该三棱锥是正三棱锥；②点到棱M AC ③平面平面；ABD ⊥AMC.其中所有正确结论有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．412．已知点在半径为2的球面上，满足，，若S 是球面,,A B C 1AB AC ==BC =上任意一点，则三棱锥体积的最大值为（ ）S ABC -A B C D 13．设空间直角坐标系中有、、、四个点，其坐标分别为、A B C D ()1,0,0A 、、，下列说法正确的是（ ）()0,1,0B ()2,1,4C ()1,2,8D --A ．存在唯一的一个不过点、的平面，使得点和点到平面的距离相等A B αA B αB ．存在唯一的一个过点的平面，使得，C β//AB βCD β⊥C ．存在唯一的一个不过、、、的平面，使得，A B C D γ//AB γ//CD γD ．存在唯一的一个过、点的平面使得直线与的夹角正弦值为C D αAB α123514．已知边长为4的正四面体的四个顶点均在平面的同侧，且分别记，ABCD αA ，，到平面的距离为，，，，若，，，则B C D αA d B d C d D d 1A d =2B d =3C d =（ ）D d =A ．B ．C ．D ．2+2+2+2+15．已知直三棱柱的底面是正三角形，是侧面的111ABC A B C -AB =D 11BCC B 中心，球与该三棱柱的所有面均相切，则直线被球截得的弦长为（ ）O AD OA B C D16．已知，如图三棱锥中，，DP ABC -PA PB PC ===2AB AC BC ===为中点，E 为中点，M 是上的动点，N 是平面上的动点，则AC AB PD PCE AM MN+最小值是（ ）A B C D 17．如图，在正方体中，，、分别是、的中1111ABCD A B C D -1AB =M N AB BC 点，平面分别与、交于、两点，则（ ）1B AC 1D M 1D N P Q 1B PQ S =△A BC ．D 2518．在四棱锥中，，，，，，P ABCD -//BC AD AD AB ⊥AB =6AD =4BC =外接球的表面积为（ ）PA PB PD ===P BCD -A ．B ．C ．D ．60π40π100π80π19．如图，在直二面角A -BD -C 中，△ABD ，△CBD 均是以BD 为斜边的等腰直角三角形，取AD 的中点E ，将△ABE 沿BE 翻折到△A 1BE ，在△ABE 的翻折过程中，下列不可能成立的是（ ）A ．BC 与平面A 1BE 内某直线平行B ．CD ∥平面A 1BEC ．BC 与平面A 1BE 内某直线垂直D ．BC ⊥A 1B20．如图所示，在直角梯形中，，分别是BCEF 90CBF BCE ︒∠=∠=,A D ,BF CE 上的点，且，（如图1）.将四边形沿//AD BC 22AB DE BC AF ===ADEF AD 折起，连接，，（如图2）.在折起的过程中，则下列表述：BE BF CE ①平面；//AC BEF ②四点B 、C 、E 、F 可能共面；③，则平面平面；EF CF ⊥ADEF ⊥ABCD ④平面与平面可能垂直.BCE BEF 其中正确的是（ ）A ．①④B ．①③C ．②③④D ．①②④21．在三棱锥中，，，两两垂直，点在平面上的射影为，T ABC -TA TB TC T ABC D为三棱锥内任意一点，连接，，，并延长，交对面于点，O T ABC -OA OB OC OT A '，，，则：①，，；②是锐角三角形；B 'C 'T 'TA BC ⊥TB AC ⊥TC AB ⊥ABC ③；④；⑤()222213ABC TAB TAC TBC S S S S =++△△△△1OA OB OC OT AA BB CC TT''''+++=''''.以上结论中正确结论有（ ）个.22221111TD TA TB TC =++A ．2B ．3C ．4D ．522．如图，已知点为边长等于的正方形所在平面外的动点，，与平面P 42PA =PA 所成角等于，则的大小可能是（ ）ABCD 45 BPD ∠A ．B ．C ．D ．6π3π2π56π23．已知正方体的棱长为，为体对角线的三等分1111ABCD A B C D -M N 1BD点，动点在三角形内，且三角形的面积的轨迹长P 1ACB PMN PMN S =△P 度为（ ）A B C D 24．如图所示，等边三角形的边长为2，，分别是，上的点，满足ABC D E AC AB ，将沿直线折到，则在翻折过程中，下列说法正确的个数//DE BC ADE DE FDE 是（ ）①F BCDE V -≤②，使得平面；G FE ∃∈//BG FCD ③若存在平面平面，则FBC ⊥FDE AD DC<A ．0B ．1C ．2D ．325．如图，二面角的大小为，，分别在平面，内，，AB αβ--θP Q αβPM AB ⊥，，，，则（ ）NQ AB ⊥PM m =DN n =1PQ =MN =A BC D26．侧棱长为的正三棱锥V -ABC 的侧棱间的夹角为40°，过顶点A 作截面AEF ，截面AEF 的最小周长为（ ）A ．aB ．6aC ．4aD ．27．如图，在边长为4的正三角形中，为边的中点，过作于ABCE AB E ED AC ⊥．把沿翻折至的位置，连结．翻折过程中，有下列三个结D ADE DE 1A DE △1A C 论：①；1DE A C ⊥②存在某个位置，使；1A E BE ⊥③若，则的长是定值．12CF FA = BF 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③28．如图，一张纸的长、宽分别为，四条边的中点分别是，，，A B C ，现将其沿图中虚线折起，使得，，，四点重合为一点，从而得D 1M 2M 3M 4M M 到一个多面体，关于该多面体有下述四个结论：①该多面体是六面体；②点到棱；M AC ③平面；BD ⊥AMC，其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①④B ．③④C ．②③D ．②③④29．已知三棱锥的顶点P 在底面的射影O 为的垂心，若P ABC -ABC ，且三棱锥的外接球半径为3，则2ABC OB PBC C S S S ⋅= P ABC -的最大值为（ ）PAB PBC PAC S S S ++△△△A ．8B ．10C ．18D ．2230．在三棱锥 中，底面 是边长为 2 的正三角形，顶点 在底面A BCD -BCD A BCD 上的射影为的中心，若为的中点，且直线与底面所成角的正切BCD ∆E BC AE BCD值为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A BCD -A ．B ．C ．D ．3π4π5π6π31．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面111ABC A B C -ABC是以为斜边的直角三角形且，，点在棱上，且，AB 5AB =3AC =P 1BB 1PC PC ⊥当的面积取最小值时，三棱锥的外接球表面积为（ ）1APC P ABC -A ．BC ．D ．45π230π45π32．已知一圆锥底面圆的直径是，圆锥的母线长为，在该圆锥内放置一个棱长为33a 的正四面体（每条棱长都为的三棱锥），并且正四面体可以在该圆锥内任意转动，则a a 的最大值为（ ）A ．BCD ．1233．如图，三棱锥中，平面，，为中点，下P ABC -PA ⊥ABC 2BAC π∠=Q PA 列说法中（1）；PBA PCA BPC π∠+∠+∠=（2）记二面角的平面角分别为;,P BC A Q BC A ----1212,,2θθθθ>（3）记的面积分别为;,,ABC QBC PBC 220120221,,,4S S S S S S +≤（4）,cos cos cos PBC PBQ QBC ∠<∠⋅∠正确说法的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．334．如图，在三棱锥中，平面，，，P ABC -PA ⊥ABC AB BC ⊥AD BP ⊥，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最PA AC =P ABC -8πP ACD -大值为（ ）A B ．C D 1235．已知四棱锥的顶点都在球O 上，底面是矩形，平面平P ABCD -ABCD PAD ⊥面，为正三角形，，则球O 的表面积为（ ）ABCD APD △24AB AD ==A ．B ．C ．D ．323π643π32π64π36．已知三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，且，，S ABC -SA AC ⊥SA AB ⊥若已知，，，，则球O 的体积是（ ）2AB =4BC =60ABC ∠=︒6SA =A ．B ．CD ．1003π2003π523π37．设，是平面内所成角为的两条直线，过，分别作平面，，且锐二1l 2l α6π1l 2l βγ面角的大小为，锐二面角的大小为，则平面，所成的锐1l αβ--4π2l αγ--3πβγ二面角的平面角的余弦值可能是（ ）A B C ．D ．141338．在空间中，记点A 在平面上的射影.设是两个不同的平面，对空Γ()B f A Γ=,αβ间任意一点M ，，，且，则平面()1N f f M βα=⎡⎤⎣⎦()2N f f M βα⎡⎤=⎣⎦12MN MN =所成二面角为（ ）,αβA ．B ．C ．D ．6π4π3π2π39．在长方体中，，过点作平面11 1 1A B C D A B C D -24,2AB AD AA ===1A α与分别交于两点，若与平面所成的角为，则截面面 , A B A D ,M N 1AA α45︒1A MN 积的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．40．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水11CDD CE E CD 槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成角的CD CD 11CDD C 正切值为（ ）A B ．C D ．21241．如图所示，在三棱锥中，，，B ACD -3ABC ABD DBC π∠=∠=∠=3AB =，则三棱锥的外接球的表面积为______.2BC BD ==B ACD -42．三棱锥中，是边长为2的正三角形，，.若三D ABC -BCD △1AC =AB =棱锥的四个顶点都在球上，则当三棱锥的体积最大时，球的D ABC -O D ABC -O 表面积为_____ .43．已知二面角的大小为120°，且，，P AB C --90PAB ABC ∠=∠=︒AB AP =.若点P 、A 、B 、C 都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为6AB BC +=______.44．四面体中，，，，且异面直线和A BCD -AB BC ⊥CD BC ⊥2BC =AB CD所成的角为，若四面体的体积的60︒ABCD A BCD -最大值为_________.45．已知正三棱柱的外接球表面积为，则正三棱柱111ABC A B C -40π111ABC A B C -的所有棱长之和的最大值为______．46．已知三棱锥中，，，两两垂直，且，以P ABC -PA PB PC 1PA PB PC ===P为半径的球面与该三棱锥表面的交线的长度之和为______.47．已知体积为72的长方体的底面为正方形，且，1111ABCD A B C D -ABCD 13BC BB =点是线段的中点，点在矩形内运动（含边界），且满足M BC N 11DCC D ，则点的轨迹的长度为______.AND CNM ∠=∠N 48．在直角梯形中，，，，将ABCD //AD BC 112AD AB BC ===2BAD π∠=沿向上翻折到、使点在平面上的射影落在线段上BCD △BD BC D '△C 'ABCD CD （不含端点），设异面直线与所成的角的大小为，二面角的大BC 'AD α'C BD C --小为，直线与平面所成的确的大小为，二面角的大小为βBC 'ABCD γC BC D '--，有下列命题：①；②；③．则其中正确的命题θ0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2γαβγ<<<βθ≥序号是_________．49．如图，在四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，BC =2，AB =CD =线AB 与CD 所成的角为，则四面体ABCD 的外接球的表面积为_________.6050．已知底面为矩形的四棱锥的每个顶点都在球O 的球面上， ， P ABCD -PA AD ⊥， ，且.若球O 的体积为，则棱的中点到PA AB =PB =BC =32π3PB 平面的距离为________.PCD 51．已知直三棱柱的底面为直角三角形，且内接于球O ，若此三棱柱111ABC A B C -的高为2，体积是1，则球O 的半径的最小值为___________.111ABC A B C -52．已知三棱锥外接球的表面积为，平面，，P ABC -100πPB ⊥ABC 8PB =，则三棱锥体积的最大值为________.120BAC ∠=︒53．已知三棱锥内接于球O ，且，，，若三棱锥S ABC -2AB =SA a =AB SC ⊥的体积为4，又AC 过球心O ，则球O 的表面积最小值是_______.S ABC -54．在长方体中，，，点在正方形1111ABCD A B C D -1AB CC ==1BC =M 内，平面，则三棱锥的外接球表面积为______.11CDD C 1C M ⊥1A CM 11M A CC -55．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面底面，S ABCD -ABCD SCD ⊥ABCD 是边长为的等边三角形，点分别为侧棱上的动点，记SAB 2,P Q ,SA SB ，则的最小值的取值范围是_________.s DP PQ QC =++s56．已知是边长为2的等边三角形，，当三棱锥体积最SAB ∆45ACB ︒∠=S ABC -大时，其外接球的表面积为__________．57．如图，圆柱的底面半径为1，高为2，平面是轴截面，点，分别是W MNFE G 1G 圆弧，的中点，在劣弧上（异于，），，，在平面ME NF H 1NG N 1G H G 1G 的同侧，记二面角，的大小分别为，，则MNFE G NH F --G FH N --αβ的取值范围为______.tan tan αβ-58．在四棱锥中，是边长为为矩形，P ABCD -PAB ABCD，若四棱锥的顶点均在球的球面上，则球2AD =PC PD ==P ABCD -O O 的表面积为_____．59．已知长方体的棱，，点，分别为1111ABCD A B C D -12AA =4,3AB AD ==E F 棱，上的动点.若四面体的四个面都是直角三角形，则下列命题正确的BC 1CC 11A B EF是__________.（写出所有正确命题的编号）①存在点，使得；E 1EF A F ⊥②不存在点，使得；E 11B E AF ⊥③当点为中点时，满足条件的点有3个；E BCF ④当点为中点时，满足条件的点有3个；F 1CC E ⑤四面体四个面所在平面，有4对相互垂直.11A B EF 60．三棱锥中，、、两两垂直且相等，点为线段上动点，O ABC -OA OB OC P OA 点为平面上动点，且满足，，和所成角，Q OBC 13OP OA ≤OP BQ =PQ OB θ的最小值为_______．cos θ61．如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别是和ABCD E F AB CD G H BC 上的动点，且与相交于点．下列判断中：AD EH GF K①直线经过点；BD K ②；EFC EFH S S = ③、、、四点共面，且该平面把四面体的体积分为相等的两部分．E F G H ABCD 所有正确的序号为__________．62．如图，AB 是平面的斜线段，A 为斜足，点C 满足，且在α()0BC ACλλ=>平面内运动，则有以下几个命题：α①当时，点C 的轨迹是抛物线；1λ=②当时，点C 的轨迹是一条直线；1λ=③当时，点C 的轨迹是圆；2λ=④当时，点C 的轨迹是椭圆；2λ=⑤当时，点C 的轨迹是双曲线.2λ=其中正确的命题是__________.（将所有正确的命题序号填到横线上）63．如图，在四棱锥中，平面， ，，点P ABCD -PA ⊥ABCD AB AD ⊥//BC AD M 是棱上一点，且，．PD 2AB BC ==4AD PA ==（1）若，求证：平面；:1:2PM MD =//PB ACM （2）求二面角的正弦值；A CD P --（3）若直线与平面，求的长．AM PCD MD 64．如图，在直三棱柱中，点D 在棱上，E ，F 分别是，BC 的111ABC A B C -11A B 1CC 中点，，．11AE A B ⊥12AA AB AC ===（1）证明：；DF AE ⊥（2）当D 为的中点时，求平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．11A B65．如图所示为一个半圆柱，为半圆弧上一点，E CD CD =（1）若，求四棱锥的体积的最大值；AD =E ABCD -（2）有三个条件：①；②直线与所成角的正弦值为；4DE DC EC DC ⋅=⋅ AD BE 23③.请你从中选择两个作为条件，求直线与平面所成角的余sin sin EAB EBA ∠=∠AD EAB 弦值.66．如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，底面P ABCD -ABCD是边长为2的等边三角形，PB =PD ，AP =4AF,AC BD O PAC = △（1）求证：PO ⊥底面ABCD（2）求直线与OF 所成角的大小.CP （3）在线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求的值；PB M //CM BDF BM BP如果不存在，请说明理由.67．如图，已知多面体，，，均垂直于平面，111ABC A B C -1AA 1BB 1CC ABC ，，，.120ABC ∠=︒14AA =11CC =12AB BC BB ===（1）证明：平面；1AB ⊥111A B C （2）求直线与平面所成的角的正弦值.AC 11AB C 68．如图，平面，PD ⊥////ABCD AD CD AB CD PQ CD ⊥，，，，点M 为BQ 的中点.222AD CD DP PQ AB =====（1）求二面角的正弦值；Q PM C --（2）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求线段的N CQ DN PMQ 6πQN 长.69．如图，四棱锥中，底面是梯形，，P ABCD -ABCD 90ABC BCD ∠=∠=，，，，为边的中点.224AB BC CD ===PA PD =PD PA ⊥PC =M PC（1）求证：平面；//BM PAD （2）求三棱锥的体积.P ADM -70．如图所示，四边形中，，，，ABCD AB BC ⊥AD DC ⊥1BC CD ==，将其沿对角线翻折（如图），使得.()1AB AD t t ==>AC 60BCD ∠=︒（1）求证：；AC BD ⊥（2）设与平面所成角为，二面角的平面角为，若，AC BCD 1θB AC D --2θ12θθ=求的值.t。
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高二立体几何复习卷（文科）一、填空题1、没有公共点的两条直线a 、b 与平面 α 所成角都相等，则直线a 、b 的位置关系是 平行或异面 。
2、设正方体1111D C B A ABCD －的棱长为1，则A 到1BD 的距离等于36 。
3、已知正方体1111D C B A ABCD －．则C B 1与平面D D BB 11所成的角等于 300。
4、底面边长为2的正四棱锥侧棱和底面所成角为600，则正四棱锥的体积为364 。
5、若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于 arctan83（结果用反三角函数值表示）6、圆锥的全面积为227cm π7、若取地球的半径为6371米，球面上两点A 位于东经O 12127'，北纬O318'，B 位于东经O12127'，北纬O255'，则A B 、两点的球面距离为______673_______千米(结果精确到1千米)．8、如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高。
若圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆柱的侧积面9、已知一个球的球心O 到过球面上A 、B 、C 三点的截面的距离等于此球半径的一半，若3A B B C C A ===，则球的体积为_____323π_______。
10、如图，ABC ∆中，90=∠C ，30=∠A ，1=BC ．在三角形内挖去半圆（圆心O 在边AC 上，半圆与BC 、AB 相切于点C 、M ，与AC 交于N ），则图 中阴影部分绕直线AC 旋转一周所得旋转体的体积为π2735 ．11、正方体中，连接相邻两个面的中心的连线可以构成一个美丽的几何体.若正方体的边长为1，则这个美丽的几何体的体积为______16_________.12、如图，设A 是棱长为a 的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为23a ；⑤体积为365a ．其中正确的结论是__①②⑤__．（要求填上所有正确结论的序号） 二、选择题 13、下列三个命题中错误的个数是 （ C ）①经过球上任意两点，可以作且只可以作球的一个大圆； ②球的面积是它的大圆面积的四倍；③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长. A.0 B. 1 C. 2 D.314、给出下列命题：(1)三点确定一个平面；(2)在空间中，过直线外一点只能作一条直线与该直线平行；(3)若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；(4)若直线a b c 、、满足,a b a c ⊥⊥、则//b c .其中正确命题的个数是 ( B )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个15、一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面 ( C ) (A)至多只有一个是直角三角形 (B)至多只有两个是直角三角形 (C)可能都是直角三角形 (D)必然都是非直角三角形16、如图，下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、侧视图、俯视图）有且仅有两个相同，而另一个不同的两个几何体是 （ A ）．A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（4）三、解答题17、在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ABC=90°, AB=BC=1. (1)求异面直线B 1C 1与AC 所成角的大小；(2)若直线A 1C 与平面ABC 所成角为45°, 求三棱锥A 1-ABC 的体积. （1）因为11B C B C ，所以∠BCA （或其补角）即为异面直线11B C （22的圆柱（1）棱长为2的正方体 （3）底面直径和高均为2的圆锥（4）底面边长为2、高为3的正四棱柱与A C 所成角 ∠AB C=90°, A B=BC=1，所以4B C A π∠=，即异面直线11B C 与A C 所成角大小为4π。
（2）直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，1A A A B C ⊥平面，所以1A C A ∠即为直线A 1C 与平面ABC 所成角，所以14A C A π∠=。
R t A B C ∆中，AB=BC=1得到A C =，1R t A A C ∆中，得到1A A A C ==所以1136A B CA B C S A A -==1AV18、如图，圆锥体是由直角三角形A O C 绕直角边A O 所在直线旋转一周所得，2O C =.设点B 为圆锥体底面圆周上一点，60B O C ∠=︒，且A B C △的面积为3. 求该圆锥体的体积.19、如图，正四棱锥P A B C D -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，且已知163P A B C D V -=.(1)求球O 的表面积；(2)设M 为B C 中点，求异面直线A M 与P C 所成角的大小. 解：(1)16S π=； (2)a rcco s1020、P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD,∠DAB=900，PA ⊥面ABCD ，PA=AD=DC=121=AB ，（1）求证CD ⊥面PAB（2）点P 到平面PBD 的距离 （3）求点A 到平面PDC 的距离；PABCDC第18题图PD A CB21、长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，BB 1=2， （1）求证直线C 1O ∥平面AB 1D 1 （2）求直线A 1B 与平面DBB 1D 1所成角； （3）求直线CO 与平面BCC 1B 1所成角。
22、如图，在直三棱柱111A B C A B C -中，12C C A C B C ===，90A C B ∠=︒. （1） 下图给出了该直三棱柱三视图中的主视图，请据此画出它的左视图和俯视图； （2） 若P 是1A A 的中点，求四棱锥111B C A P C -的体积.23、图1所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．图2是它的主视图和左视图（1）在主视图下面按照三视图的要求画出该多面体的俯视图； （2）按照图2给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在图1中连结C B 1，求异面直线EF 和C B 1所成角的大小（结果用反三角函数表示）．注：正确作出图形得3分，作错不给分． （2）317634602222131345=-=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=V （3cm ），所以，该多面体的体积为31763cm．……（8分）（3）由已知，01135=∠FE B ，在AB 上取一点G ，使1=AG （4=BG ），连结G B 1，CG ，则0145=∠G FB ，所以G B 1∥FE ，所以G CB 1∠（或其补角）就是异面直线EF 和C B 1所成的角．……（10分）在△G CB 1中，241=G B ，51==GC C B ，所以522cos 1=∠G CB ．……（13分）所以异面直线EF 和C B 1所成角的大小为522arccos．……（14分）24、长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是正方形对角线BD 1=8，BD 1与侧面BC 1所成角为300，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，求： （1）二面角D 1-AC-D 的大小； （2）二面角D 1-AC-B 1的大小； （3）异面直线A 1E 与D 1F 所成角大小。
图1 图2F D AC B 1 C 1D 1 EGFEABCD C 1D 1A 1B 1高二立体几何复习卷（文科）二、填空题1、没有公共点的两条直线a 、b 与平面 α 所成角都相等，则直线a 、b 的位置关系是 平行或异面 。
2、设正方体1111D C B A ABCD －的棱长为1，则A 到1BD 的距离等于36 。
3、已知正方体1111D C B A ABCD －．则C B 1与平面D D BB 11所成的角等于 300。
4、底面边长为2的正四棱锥侧棱和底面所成角为600，则正四棱锥的体积为364 。
5、若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于 arctan83（结果用反三角函数值表示）6、圆锥的全面积为227cm π7、若取地球的半径为6371米，球面上两点A 位于东经O 12127'，北纬O318'，B 位于东经O12127'，北纬O255'，则A B 、两点的球面距离为______673_______千米(结果精确到1千米)．8、如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高。
若圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆柱的侧积面9、已知一个球的球心O 到过球面上A 、B 、C 三点的截面的距离等于此球半径的一半，若3A B B C C A ===，则球的体积为_____323π_______。
10、如图，ABC ∆中，90=∠C ，30=∠A ，1=BC ．在三角形内挖去半圆（圆心O 在边AC 上，半圆与BC 、AB 相切于点C 、M ，与AC 交于N ），则图 中阴影部分绕直线AC 旋转一周所得旋转体的体积为π2735 ．11、正方体中，连接相邻两个面的中心的连线可以构成一个美丽的几何体.若正方体的边长为1，则这个美丽的几何体的体积为______16_________.12、如图，设A 是棱长为a 的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为23a ；⑤体积为365a ．其中正确的结论是__①②⑤__．（要求填上所有正确结论的序号） 二、选择题 13、下列三个命题中错误的个数是 （ C ）①经过球上任意两点，可以作且只可以作球的一个大圆； ②球的面积是它的大圆面积的四倍；③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长. A.0 B. 1 C. 2 D.314、给出下列命题：(1)三点确定一个平面；(2)在空间中，过直线外一点只能作一条直线与该直线平行；(3)若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；(4)若直线a b c 、、满足,a b a c ⊥⊥、则//b c .其中正确命题的个数是 ( B )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个15、一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面 ( C ) (A)至多只有一个是直角三角形 (B)至多只有两个是直角三角形 (C)可能都是直角三角形 (D)必然都是非直角三角形16、如图，下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、侧视图、俯视图）有且仅有两个相同，而另一个不同的两个几何体是 （ A ）．A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（4）三、解答题17、在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ABC=90°, AB=BC=1. (1)求异面直线B 1C 1与AC 所成角的大小；(2)若直线A 1C 与平面ABC 所成角为45°, 求三棱锥A 1-ABC 的体积. （1）因为11B C B C ，所以∠BCA （或其补角）即为异面直线11B C （22的圆柱（1）棱长为2的正方体 （3）底面直径和高均为2的圆锥（4）底面边长为2、高为3的正四棱柱与A C 所成角 ∠AB C=90°, A B=BC=1，所以4B C A π∠=，即异面直线11B C 与A C 所成角大小为4π。