激光谐振腔的模式计算研究

激光谐振腔模式研究的MATLAB 实现光信1001班 刘吉祥 U201013222摘要：谐振腔内的模式计算是分析激光器输出光束质量的前提和基础。

本文在matlab 环境下，采用Fox_Li 数值迭代法计算了条形腔、矩形腔、圆形腔、倾斜腔的自再现模的振幅分布和相位分布，并比较了腔形、菲涅尔数、初始光强分布、倾斜扰动等因素对最终模式的影响，具有一定的实际应用价值。

1. 原理说明设初始时刻在镜I 上有某一个场分布1u ，则当波在腔中经第一次渡越而到达镜II 时，将在镜II 上形成一个新的场分布2u ，场2u 经第二次渡越后又将在镜I 上形成一个新的场分布3u 。

每次渡越时，波都将因为衍射损失一部分能量，并引起能量分布变化，如此重复下去……由于衍射主要是发生在镜的边缘附近，因此在传播过程中，镜边缘附近的场将衰落得更快，经多次衍射后所形成的场分布，其边缘振幅往往都很小（与中心处比较），具有这种特征的场分布受衍射的影响也将比较小。

可以预期：在经过足够多次渡越之后，能形成这样一种稳态场：分布不再受衍射的影响，在腔内往返一次后能够“再现”出发时的场分布，即实现了模的“自再现”。

光学中的惠更斯—菲涅尔原理是从理论上分析衍射问题的基础，该原理的严格数学表示是菲涅尔—基尔霍夫衍射积分。

设已知空间任意曲面S 上光波场地振幅和相位分布函数为),(y x u '',由它所要考察的空间任一点P 处场分布为),(y x u ，二者之间有以下关系式：⎰⎰+=-S ik dS e y x u ik y x u ')cos 1()','(4),(θρπρ式中，ρ为),(y x ''与),(y x 连线的长度，θ为S 面上点),(y x ''处的法线和上述连线之间的夹角，s d '为S 面上的面积元，k 为波矢的模。

本文采用Fox —Li 数值迭代法实现了条形腔、矩形腔、圆形腔、倾斜腔的自再现模的形成。

2. 实现方案2.1条形腔条形腔是一种理想模型，即一个方向有限长，而另一个方向上无限延伸的腔形，故只在长度有限的那个方向上发生衍射现象，迭代公式为一维的菲涅尔—基尔霍夫衍射积分：⎰+-'---''=a a L x x ik ikL x d x u e e L i x u )()(2)(2λγ将条形腔的左镜面S 上沿着)(a a ，-之间划分N-1等分，则有N 个点，每个区间为)1/(2-N a 。

右边镜面P 上每一点的求解都需将左边镜面上的点逐点计算一遍并相加，如此循环迭代下去，最终会达到稳态分布。

2.2矩形腔在矩形腔中，),(y x ''与),(y x 连线的长度ρ可以表示为222)()(L y y x x +'-+'-=ρ，经过计算与推导可知：矩形腔的计算不需考虑整个面上的点的影响，可以按照x 、y 两个方向分离变量为)()(),(y u x u y x u =，其中)()(y u x u 、的计算与条形腔相同。

2.3 圆形腔圆形腔的迭代思想与矩形腔相同，只是划分与矩形腔不同。

圆形腔是按照径向和角向划分，在极坐标(r,Φ)下完成数值迭代，但在最后显示的时候，需要将极坐标还原成笛卡尔坐标系。

具体思路是：由极坐标和直角坐标的转换关系，X=r COS Φ，Y=r sin Φ，其中，r 、Φ为极坐标参量。

将X 、Y 用相应的极坐标参量代换并代入衍射方程，得（4）为了分离变量，对圆形镜谐振腔，其场分布函数经常采用如下形式：（5）式中：p 表示场分布在径向的变化；f 表示场分布按方位角以不同的正弦或余弦方式变化。

将式(5)代入式(4)，可得：式中，右边积分可以分离为Φ和r的积分，方括号内Φ的积分可以仿照圆形镜共焦腔来进行，利用积分关系为l阶第一类贝塞尔函数。

再将式(7)代入式 (6)，可以将方程(6)化式中，Jl简为只含径向的本征方程：模，设初始场分布为均数值迭代开始前需要给定初始的场分布尺，对TEM00匀平面波，将0≤r≤a等分为N个点，令R1L(r)=1，即镜面上各点振幅均为1。

第q次迭代后，r1,r2,…rN各点本征值为2.4 倾斜腔严格的平行平面腔只是一种理想情况，实际情况下出现一定的不平行性是不可避免的，这里主要考察倾斜条形腔对自再现模的影响，如图3所示：图3 倾斜平行平面腔的示意图两个镜面相对其理想位置(即两镜面与其公共轴线严格垂直的位置) 沿相反方向偏离同样大小的微小角度β, 在镜的边缘处与理想位置的偏离线度δ。

在δ甚小的情况下,且只考虑腔的旁轴光线,镜面上两点的距离M1′M2′与理想情况下相应两点的距离M1M2之差为:)()(2121x x a x x M M M M I '+='+=-''='δβ，故)(2121x x a M M M M '++=''=δρ，于是衍射积分方程变为： ⎰+-'+-'---''••=a a x x a ik L x x ik ikL x d x u e e e Li x u )()()(2)(2δλγ，类似于条形腔，可以计算出倾斜条形腔的自再现模。

3. 实验结果与分析3.1 激光谐振腔模式的各种分析方法的比较特征向量矩阵法，Fox —Li 数值迭代法、厄米一高斯展开法、快速傅立叶变换法（FFT ）、有限差分法（FDM ）和有限元法（FEM ）。

特别是Fox —Li 数值迭代方法，它是一种模式数值求解中普遍适用的一种方法，只要取样点足够多，它可以用来计算任何形状开腔的自再现模，而且还可以计算诸如平行平面腔中腔镜的倾斜、镜面的不平整性等对模的扰动。

其缺点是在菲涅耳数F 很大时，计算工作量很大。

特征向量法是对腔镜进行有限元单元划分的，构造光束传输矩阵，通过求解特征矩阵的特征向量，即可获得腔镜光场分布的振幅和相位分布。

矩阵运算时间与矩阵维数有着近似平方的关系，二维衍射积分方程的传输矩阵的维数高，计算需要数小时甚至数天的时间，对于大菲涅耳系数的谐振腔计算难度更大。

3.2 菲涅尔数对结果的影响对于条形腔，菲涅尔数F 定义为：L a F λ/2=。

菲涅尔数越大，衍射损耗越小。

当谐振腔的菲涅尔数较大时，低阶模式和高阶模式的衍射损耗非常接近，以至于高阶模在有限的迭代次数下不能有效地消除；而谐振腔的菲涅耳数比较小时，高阶模具有更高的颜色损耗，从而更能有效地抑制高阶模振荡。

下图依次为条形腔菲涅尔数F=0.9，2.5，10时，自再现模的振幅分布和相位分布的比较。

从图中可以看出，对于大菲涅尔数腔而言,振幅分布在镜边缘处的值很小,相位分布在镜中心区域可近似看成平面波分布；菲涅尔数越小,场分布曲线上的起伏越小,曲线越趋于平滑，振幅分布曲线越接近于标准高斯分布,相位分布曲线则越接近于球面波分布。

由于平行平面腔的基模振幅分布就是高斯分布，相位分布越接近于球面波分布，故可以得出结论：在小菲涅尔数情况下，高阶模的损耗比基模大得多。

3.3 腔镜的倾斜扰动对最终模式的影响实际上的谐振腔很难做到完全平行，而是有一定的倾斜量。

在计算的过程中发现，当50/λδ=时就很难达到稳态分布（本实验中，稳态分布的判据是：归一化后，前后两次对应点的差值均小于0.0001），100/λδ=、200/λδ=、400/λδ=到达稳态分布的迭代次数分别为945、426、305，可见倾斜线度越大，越难达到稳态分布。

3.4 圆镜腔与矩形腔的迭代输出结果的比较F=2.5，上图为矩形腔，下图为圆镜腔。

从图中可以看出，腔镜的形状决定了自再现模的分布情况。

在腔镜中心附近，这两种腔的稳态分布都接近于平面波，且矩形腔的分布范围更大一些，这是由于矩形腔的衍射损耗更大一些，更易达到稳态分布；圆形镜的横模形状为圆形分布，方形镜的横模分布为“十字架”形状，而有一定长宽比的矩形镜的横模分布为长条状，当长宽比趋于无穷时，分布便趋近于条形腔了。

因此在实际应用中，若要改变光束的横模分布或者控制光束质量，可以采用改变腔镜形状的方法。

3.5 不同初始场分布的改变对自再现模的影响在前面的讨论中，所有光场的初始分布均采用平行分布（即腔镜上每一点的初始振幅、相位均相等）。

图7中展示了初始随机分布和平行分布的比较，上面三幅图依次为初始随机分布迭代0次、2次和稳态的振幅分布，下面三幅图依次为初始平行分布迭代0次、2次和稳态时的振幅分布。

上下比较可知，在只经过2次迭代之后，二者的振幅分布就已经很接近了，因此最终的稳态分布也是一样的，条形腔、圆形腔的结果也是如此。

由此可以知道，激光谐振腔的自再现模的分布与光场的初始分布无关，只与腔的结构有关，这也解释了激光的起振过程：初始光为由自发辐射产生的非相干光（相当于随机分布），在经过无数次来回传播之后，形成特定的模场分布，即相干光。

3.6 谐振腔各种参数的改变对迭代结果的影响对于条形腔，主要参数为腔长L、波长λ、腔镜长度a。

这三个参数的改变会引起菲涅尔数的变化，可见3.2中的解释，现在讨论在不改变菲涅尔数时，对迭代结果的影响，取菲涅尔数F=6.25，只要菲涅尔数不变，改变L与a的相对大小对迭代结果几乎没有影响，可以这样解释：Fox_Li数值迭代法的原理是衍射积分法，而菲涅尔数刚好衡量了衍射的情况，故在菲涅尔数不变的情况下，改变谐振腔的参数，迭代的最终结果仍然保持不变。

3.7 其他情况对迭代结果的影响其他还有很多因素对迭代结果有较大影响，比如划分点的个数、收敛判据的考虑等等。

对于划分点数，当然是越多越精确，最终误差积累的越少，但是点数太多会降低运算速度，圆形腔的时候最明显，因此要选取适当的点数，兼顾精度与效率：对于条形腔，经过试验发现，当划分点数大于30时，就能够得到比较令人满意的迭代结果。

本实验的收敛判据是：归一化后，前后两次对应点的差值均小于0.0001；当然这个值可以取的小一些，减少迭代次数，也可以大一些，将稳定性条件设置的更加严格，试验证实，0.0001的判据比较合理。

3.8 设计体会和想法MATLAB很强大，得好好学会使用这门科学计算的工具，尤其是在离散数字化处理方面；理论素养很重要，如果激光原理没学好，写程序很容易出错；课设考验能力，这次没太用心，但是这几天通宵达旦让我颇有收获，虽然借鉴了别人的方案和代码，但是至少都能看懂，并在前人基础上发挥改良。