弹性力学用差分法和变分法解平面问题
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弹性力学-05(差分法与变分法)
（5-6）
y
h
说明： 以两侧节点处的函数值表示中间节点处的一阶导数值，称为 中点导数值，这种差分公式称为中心差分公式。
§5-2 应力函数的差分解
1. 应力函数的差分方程
应力分量的差分表示 x
12
8 11 3 7 4 0 2 10 y h 5 1 6 9
平面问题（不计体力时），应力分量可表示为：
2 2 2 x 2 , y 2 , xy xy y x
B A d A x dx A y dy B 2 B 分步积分： x A x 2 dx x x A B B
两边积分，有：
d dx dy x y
s是x 的函数： —s —x 2 dx dx 2 x x x d ds dx ds x dx d 2 ds dx 2 ds x x
x 12 8 11 3 7 4 0 2 10 y h 5 1 6 9
在弹性体内每一点均可建立上述方x 4 2 x 2y 2 y 4 0 0 0 0
4
4
任一点 0 处应力分量的差分格式：
2 1 x 0 y 2 h 2 ( 2 4 ) 2 0 0 2 1 y 0 2 2 (1 3 ) 2 0 x 0 h
B
O
B y y A Xds B A
A
yB
（ d）
xB
B
– dx
dy ds
B A Y ds x B x A
Y
X
y
h
说明： 以两侧节点处的函数值表示中间节点处的一阶导数值，称为 中点导数值，这种差分公式称为中心差分公式。
§5-2 应力函数的差分解
1. 应力函数的差分方程
应力分量的差分表示 x
12
8 11 3 7 4 0 2 10 y h 5 1 6 9
平面问题（不计体力时），应力分量可表示为：
2 2 2 x 2 , y 2 , xy xy y x
B A d A x dx A y dy B 2 B 分步积分： x A x 2 dx x x A B B
两边积分，有：
d dx dy x y
s是x 的函数： —s —x 2 dx dx 2 x x x d ds dx ds x dx d 2 ds dx 2 ds x x
x 12 8 11 3 7 4 0 2 10 y h 5 1 6 9
在弹性体内每一点均可建立上述方x 4 2 x 2y 2 y 4 0 0 0 0
4
4
任一点 0 处应力分量的差分格式：
2 1 x 0 y 2 h 2 ( 2 4 ) 2 0 0 2 1 y 0 2 2 (1 3 ) 2 0 x 0 h
B
O
B y y A Xds B A
A
yB
（ d）
xB
B
– dx
dy ds
B A Y ds x B x A
Y
X
弹性力学简明教程第四版第五章：有限差分发和变分法概论
§5－2应力函数的差分解
1、应力分量（不计体力）
一旦求得弹性体全部节点的 值后，就可按应力分量差分公式（对
节点0）算得弹性体各节点的应力。
0
•12 •8 •4 •5
h
x
x
0
2
y 2
0
1 h2
[(2
4 )
20 ]
• 11
•3
•0 •1
• 9
A
• 13
• 7
• 2
•6
y
0
2
x2
0
1 h2
[(1
3 )
20 ]
（5－9）
•10
B
h
• 14
xy
0
2
xy
0
1 4h2
[(5
7 ) (6
8 )]
y
图5－1
如果知道各结点的 值，就可以求得各结点的应力分量。
弹性力学简明教程
NORTHEASTERN UNIVERSITY
§5－2应力函数的差分解
2、差分方程（相容方程） 双调和方程
•12
x 设：f f x, y 为弹性体的某一连续函数
h
•8
•4
• 5
•11 •3 •0 •1 •9 A • 13
在平行与 x 轴的一根网线上函数只随 x
• 7
• 2
•6
坐标的变化而变化。
•10
B
h
• 14
y
图5－1
在节点0 的近处将函数 f 展成泰勒级数
f
f0
f x
0
x
x0
1 2!
2 f x2
y x （3）由于 f 是 或 的二次函数，所以基本差分公式（5－1）
1、应力分量（不计体力）
一旦求得弹性体全部节点的 值后，就可按应力分量差分公式（对
节点0）算得弹性体各节点的应力。
0
•12 •8 •4 •5
h
x
x
0
2
y 2
0
1 h2
[(2
4 )
20 ]
• 11
•3
•0 •1
• 9
A
• 13
• 7
• 2
•6
y
0
2
x2
0
1 h2
[(1
3 )
20 ]
（5－9）
•10
B
h
• 14
xy
0
2
xy
0
1 4h2
[(5
7 ) (6
8 )]
y
图5－1
如果知道各结点的 值，就可以求得各结点的应力分量。
弹性力学简明教程
NORTHEASTERN UNIVERSITY
§5－2应力函数的差分解
2、差分方程（相容方程） 双调和方程
•12
x 设：f f x, y 为弹性体的某一连续函数
h
•8
•4
• 5
•11 •3 •0 •1 •9 A • 13
在平行与 x 轴的一根网线上函数只随 x
• 7
• 2
•6
坐标的变化而变化。
•10
B
h
• 14
y
图5－1
在节点0 的近处将函数 f 展成泰勒级数
f
f0
f x
0
x
x0
1 2!
2 f x2
y x （3）由于 f 是 或 的二次函数，所以基本差分公式（5－1）
弹性力学用差分法和变分法解平面问题课件
弹性力学用差分法和 变分法解平面问题课 件
目 录
• 引言 • 差分法解平面问题 • 变分法解平面问题 • 有限元法的基本原理 • 弹性力学问题的有限元解法实例 • 总结与展望
01
引言
弹性力学简介
01 弹性力学的定义和研究内容
02 弹性力学与其他力学分支的关系
03
弹性力学的发展历程和应用领域
差分法和变分法概述
根据边界条件和约束条件，建立约束方程f，如节点力平衡条件 、位移边界条件等。
通过求解线性方程组Kx=f，得到每个节点的位移。
三维弹性力学问题的有限元解法
建立刚度矩阵
根据每个三维单元的物理特性，建立刚度 矩阵K，该矩阵包含了材料的弹性常数和
每个节点的位移信息。
A 定义三维离散网格
将连续的弹性体离散化为Biblioteka 限个小 的三维单元，每个单元之间通过节
点连接。
B
C
D
求解节点位移
通过求解线性方程组Kx=f，得到每个节点 的位移。
建立约束方程
根据边界条件和约束条件，建立约束方程f ，如节点力平衡条件、位移边界条件等。
06
总结与展望
差分法和变分法的优缺点比较
直观易懂，易于编程实现
差分法优点
对于稳定问题，解的精度和收敛速 度一般较好
差分法和变分法的优缺点比较
差分法的定义和基本原理 变分法的定义和基本原理 差分法和变分法在弹性力学中的应用
平面问题概述
平面问题的定义和分 类
弹性力学中的平面问 题及其研究意义
平面问题的基本特点 和求解方法
02
差分法解平面问题
差分法的基本原理
01
有限差分法是一种将连续的物理问题离散化为网格上的数学问 题的方法。
目 录
• 引言 • 差分法解平面问题 • 变分法解平面问题 • 有限元法的基本原理 • 弹性力学问题的有限元解法实例 • 总结与展望
01
引言
弹性力学简介
01 弹性力学的定义和研究内容
02 弹性力学与其他力学分支的关系
03
弹性力学的发展历程和应用领域
差分法和变分法概述
根据边界条件和约束条件，建立约束方程f，如节点力平衡条件 、位移边界条件等。
通过求解线性方程组Kx=f，得到每个节点的位移。
三维弹性力学问题的有限元解法
建立刚度矩阵
根据每个三维单元的物理特性，建立刚度 矩阵K，该矩阵包含了材料的弹性常数和
每个节点的位移信息。
A 定义三维离散网格
将连续的弹性体离散化为Biblioteka 限个小 的三维单元，每个单元之间通过节
点连接。
B
C
D
求解节点位移
通过求解线性方程组Kx=f，得到每个节点 的位移。
建立约束方程
根据边界条件和约束条件，建立约束方程f ，如节点力平衡条件、位移边界条件等。
06
总结与展望
差分法和变分法的优缺点比较
直观易懂，易于编程实现
差分法优点
对于稳定问题，解的精度和收敛速 度一般较好
差分法和变分法的优缺点比较
差分法的定义和基本原理 变分法的定义和基本原理 差分法和变分法在弹性力学中的应用
平面问题概述
平面问题的定义和分 类
弹性力学中的平面问 题及其研究意义
平面问题的基本特点 和求解方法
02
差分法解平面问题
差分法的基本原理
01
有限差分法是一种将连续的物理问题离散化为网格上的数学问 题的方法。
第五章 第一节差分法公式推导xin
B
h
14
第五章 用差分法和变分法解平面问题
第一节 差分公式的推导
x
h
1 差分法定义 2 推导差分公式
11
12
8 4 5
3
7
0
1 9
6
A 13
2
10
B
1 ∂2 f 1 ∂3 f ∂f 2 f = f0 + (x − x0 ) + 2 (x − x0 ) + 3 (x − x0 )3 +L 2 ∂x 0 ! 3 ∂x 0 ! ∂x 0
自己下面导出。
∂2 f f1 + f3 − 2 f0 2 = ∂x h2 0
11
3
7
12
8 4
0
5
1 9
6
A
∂4 f ∂2 ∂2 f 4 = 2 2 ∂x ∂x ∂x 0 0 ∂2 f ∂2 f ∂2 f 2 + 2 −2 2 ∂x ∂x ∂x 1 3 0 h = y h2 f9 + f0 −2 f1 f11 + f0 −2 f3 f + f −2 f0 + −2 1 32 h2 h2 h = h2
第五章 用差分法和变分法解平面问题
第一节 差分公式的推导
第一节 差分公式的推导
1 差分法定义 2 推导差分公式
结点：网格的交点。 结点：网格的交点。 步长：网格的间距。 步长：网格的间距。
11
3
7
x
12
8 4
0ห้องสมุดไป่ตู้
h
5
1 9
弹性力学及有限单元法_邵国建_用差分法和变分法解平面问题
y
第五章 用差分法和变分法解平面问题
边界条件
⑷ 由式(i)的第三式，可求出边界点的 Φ B
值; 由式(i)的前两式，可求出边界点
的
Φ ( )B x
， ( Φ ) B 值，然后再求出边
y
界外一行虚结点的 Φ 值。
第五章 用差分法和变分法解平面问题 求解步骤
4.应力函数差分解的步骤 （1）在边界上选定基点A， 令
式( f )，(g)分别是应力边界条件的微分，积 分形式。
第五章 用差分法和变分法解平面问题
边界条件
⑵由全微分dΦ Φ d x Φ d y 求边界点的 ΦB
x y
通过分部积分 u d v d(uv) v d u, 从A到B积分，得
Φ Φ ΦB ΦA ( xB xA )( ) A ( yB y A )( ) A x y
边界条件
将上式和式(d)代入式(b)，得
d y 2Φ d x 2Φ ( ) ( ) fx, 2 d s y d s xy
d x 2Φ d y 2Φ ( ) ( ) fy. 2 d s x d s xy
即
d Φ ( ) f x , d s y
d Φ ( ) fy. d s x
Φ Φ 然后计算边界上各结点的 Φ，x ， y ；
Φ Φ ΦA ( )A ( )A 0 ， x y
（2）由边界结点的
外一行虚结点的 Φ 值；
Φ Φ ， 值，求出边界 x y
第五章 用差分法和变分法解平面问题
求解步骤
（3）对边界内所有结点列式(e)的方程，
联立求各结点的 Φ 值；
Φ Φ [ΦA , ( )A,( ) A ] 0, 故边界结点的 Φ x y
第五章 用差分法和变分法解平面问题
边界条件
⑷ 由式(i)的第三式，可求出边界点的 Φ B
值; 由式(i)的前两式，可求出边界点
的
Φ ( )B x
， ( Φ ) B 值，然后再求出边
y
界外一行虚结点的 Φ 值。
第五章 用差分法和变分法解平面问题 求解步骤
4.应力函数差分解的步骤 （1）在边界上选定基点A， 令
式( f )，(g)分别是应力边界条件的微分，积 分形式。
第五章 用差分法和变分法解平面问题
边界条件
⑵由全微分dΦ Φ d x Φ d y 求边界点的 ΦB
x y
通过分部积分 u d v d(uv) v d u, 从A到B积分，得
Φ Φ ΦB ΦA ( xB xA )( ) A ( yB y A )( ) A x y
边界条件
将上式和式(d)代入式(b)，得
d y 2Φ d x 2Φ ( ) ( ) fx, 2 d s y d s xy
d x 2Φ d y 2Φ ( ) ( ) fy. 2 d s x d s xy
即
d Φ ( ) f x , d s y
d Φ ( ) fy. d s x
Φ Φ 然后计算边界上各结点的 Φ，x ， y ；
Φ Φ ΦA ( )A ( )A 0 ， x y
（2）由边界结点的
外一行虚结点的 Φ 值；
Φ Φ ， 值，求出边界 x y
第五章 用差分法和变分法解平面问题
求解步骤
（3）对边界内所有结点列式(e)的方程，
联立求各结点的 Φ 值；
Φ Φ [ΦA , ( )A,( ) A ] 0, 故边界结点的 Φ x y
弹性力学第七平面问题的差分解 ppt课件
h
21!2xf2 0(xx0)2
（b）
301
节点3及1的 x 坐标： x3 x0 h
x1 x0 h
yh
将其代入式（b），有：
f3f0hfx0h222xf2
0
（c）
f f1 f3 x0 2h
（7-1）
f1f0hfx0h222xf2
0
（d）
联立求解，得：
2xf2
0
f1 f3 2f0 h2
§7-2 稳定温度场的差分解
1. 热传导方程
一般情形下，热传导方程：
Ta2T
t
t
对无热源、平面、稳定的温度场，有
其热传导方程变成二维的调和方程：
0, T 0, T 0
t
z
t
2Tx2T2
2T y2
0
（a）
2. 热传导方程的差分方程
x h 4
将温度场的域内划分网格，取任一节点，
如：节点 0，应有：
表示； 把导数：
表示。 由：
f y
用函数值：f0 0
f2
f10
726 10
yh
f
f0fx0(xx0)
21!2xf2
(xx0)2 0
（b）
得到：
f9f0 fx02h1 2 2 xf202h2
f1f0 fx0h1 22 xf2
h2 0
f 3f04f1f9
x0
2h
2xf2
0
f0
2f1f9 h2
（3）若在差分公式的推导中，应用线性近似关系：
f f0fx0(xx0)
略去了二次幂以上的各项，则：
x 12 845
f
x
0
f1
弹性力学—第五章—差分法
对于距边界内一行的结点建立的方 程须用到边界上的结点以及边界外 一行上的结点的应力函数值。因此 首先我们要用边界条件确定边界上 的点的应力函数值。
y h x 12 8 4 5 11 3 0 1 9 7 2 6 10 B 14 h A 13
应力函数的差分解（3）
o
-dx dy ds
A s
x
B (xB, yB) y
-dx dy ds
A s
x
B (xB, yB)
n
得到：
应力函数的差分解（7）
由于在应力函数中加上一个线性函 o 数不影响应力的解，因此我们可以 假想通过在应力函数中加上一个特 殊的线性函数使得应力函数在A点的 值以及对x和y的一阶偏导都为零。 x y 从而使1-3式有如下简化形式： y A
-dx dy ds
h x 12 8 4 5 11 3 0 1 9 7 2 6 10 B 14 h A 13
y
应力函数的差分解（12）
将应力函数在B点周围泰勒展开： 0
将0，1以及9点的坐标代入上式：
1
B 9
差分法实例（1）
问题：正方形的深梁，上边受有均布 向下的铅直载荷q，由下角点处的反力 维持平衡，试求应力分量。 解答：取坐标轴如图所示，并取网 格间距为六分之一边长。利用对称 性，只取左边一半做研究。
y
可得到：
应力函数的差分解（11）
差分法解平面问题的步骤： 1）在边界上任意选定一个结点作 为基点使 。 2）然后由 式计算面力的矩及面 力之和计算边界上各结点的 值及 必需的一些 ， 值。 3）将边界外一行各虚结点的 值 用边界内相应的结点处的 值表示。 4）对边界内各结点建立差分方程， 求解方程并计算应力分量。
q
y h x 12 8 4 5 11 3 0 1 9 7 2 6 10 B 14 h A 13
应力函数的差分解（3）
o
-dx dy ds
A s
x
B (xB, yB) y
-dx dy ds
A s
x
B (xB, yB)
n
得到：
应力函数的差分解（7）
由于在应力函数中加上一个线性函 o 数不影响应力的解，因此我们可以 假想通过在应力函数中加上一个特 殊的线性函数使得应力函数在A点的 值以及对x和y的一阶偏导都为零。 x y 从而使1-3式有如下简化形式： y A
-dx dy ds
h x 12 8 4 5 11 3 0 1 9 7 2 6 10 B 14 h A 13
y
应力函数的差分解（12）
将应力函数在B点周围泰勒展开： 0
将0，1以及9点的坐标代入上式：
1
B 9
差分法实例（1）
问题：正方形的深梁，上边受有均布 向下的铅直载荷q，由下角点处的反力 维持平衡，试求应力分量。 解答：取坐标轴如图所示，并取网 格间距为六分之一边长。利用对称 性，只取左边一半做研究。
y
可得到：
应力函数的差分解（11）
差分法解平面问题的步骤： 1）在边界上任意选定一个结点作 为基点使 。 2）然后由 式计算面力的矩及面 力之和计算边界上各结点的 值及 必需的一些 ， 值。 3）将边界外一行各虚结点的 值 用边界内相应的结点处的 值表示。 4）对边界内各结点建立差分方程， 求解方程并计算应力分量。
q
弹性力学用差分法和变分法解平面问题课件
分析差分解法的优点和局限性，探讨其在实际应用中的适用范围。
05 弹性力学平面问题的变分 法求解
弹性力学平面问题的变分表示
总结词
通过将弹性力学平面问题转化为变分问题，可以更方便地应用数学工具求解。
详细描述
在弹性力学中，平面问题可以用变分法表示为求取某一泛函的极值问题。这个 泛函通常是由物体的能量泛函表示的，反映了物体的弹性和位移之间的关系。
差分法和变分法的联系
数学基础
两者都基于数学原理，差分法基于离散数学，变分法基于 连续数学。
求解过程
在求解过程中，差分法将连续问题离散化，而变分法则通 过极值条件寻找近似解。
应用领域
两者在弹性力学领域都有广泛应用，差分法更适用于数值模拟和 计算机辅助设计，而变分法更适用于理论分析和解析解的求解。
差分法和变分法的应用选择
差分法的原理
差分法的原理基于泰勒级数展开，将连续的物理量用离散的差商近似代替导数，从而将微分方程转化 为差分方程。
通过选择适当的离散方式和步长，可以使得差分方程的解收敛于原微分方程的解。
差分法的应用
在弹性力学中，差分法可以用于求解 各种平面问题和空间问题，如平面应 变问题、平面应力问题、弹性地基上 的平板问题等。
差分方程的收敛性
分析差分方程求解方法的收敛性，确保求解 过程的稳定性。
弹性力学平面问题的差分解法
差分解法的步骤
详细介绍使用差分法求解弹性力学平面问题的步骤，包括离散化、 建立差分方程、求解差分方程等。
差分解法的应用
举例说明差分解法在解决实际问题中的应用，如板、梁、薄膜等结 构的分析。
差分解法的优缺点
弹性力学平面问题的变分方程
总结词
通过变分法，可以建立弹性力学平面问 题的变分方程。
05 弹性力学平面问题的变分 法求解
弹性力学平面问题的变分表示
总结词
通过将弹性力学平面问题转化为变分问题，可以更方便地应用数学工具求解。
详细描述
在弹性力学中，平面问题可以用变分法表示为求取某一泛函的极值问题。这个 泛函通常是由物体的能量泛函表示的，反映了物体的弹性和位移之间的关系。
差分法和变分法的联系
数学基础
两者都基于数学原理，差分法基于离散数学，变分法基于 连续数学。
求解过程
在求解过程中，差分法将连续问题离散化，而变分法则通 过极值条件寻找近似解。
应用领域
两者在弹性力学领域都有广泛应用，差分法更适用于数值模拟和 计算机辅助设计，而变分法更适用于理论分析和解析解的求解。
差分法和变分法的应用选择
差分法的原理
差分法的原理基于泰勒级数展开，将连续的物理量用离散的差商近似代替导数，从而将微分方程转化 为差分方程。
通过选择适当的离散方式和步长，可以使得差分方程的解收敛于原微分方程的解。
差分法的应用
在弹性力学中，差分法可以用于求解 各种平面问题和空间问题，如平面应 变问题、平面应力问题、弹性地基上 的平板问题等。
差分方程的收敛性
分析差分方程求解方法的收敛性，确保求解 过程的稳定性。
弹性力学平面问题的差分解法
差分解法的步骤
详细介绍使用差分法求解弹性力学平面问题的步骤，包括离散化、 建立差分方程、求解差分方程等。
差分解法的应用
举例说明差分解法在解决实际问题中的应用，如板、梁、薄膜等结 构的分析。
差分解法的优缺点
弹性力学平面问题的变分方程
总结词
通过变分法，可以建立弹性力学平面问 题的变分方程。
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f
f0
f x
0
(
x
x0
)
1 2!
2 x
f
2
(x x0 )2 0
(b)
在结点３，x=x0-h；在结点1， x=x0+h。代入(b) 得：
f3
f0
h f x 0
h2 2
2 x
f
2
0
(c)
f1
f0
h f x 0
h2 2
2 x
f
2
0
(d)
联立（c）、（d），解得差分公式：
f x 0
存贮于U 物体内部。 1 --单位体积的形变势能（形变势能密度）。
（5）整个弹性体的形变势能
1
U AU1 d x d y 2 A (σxεx σ yεy τxyγxy ) d x d y. (d)
１、应力的功和形变势能（内力势能）
σ ε
σ ε
线性的应力与应变关系
非线性的应力与应变关系
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
12
二 弹性体的形变势能和外力势能
１、应力的功和形变势能（内力势能）
U1
1 2
x x
y y
z z
xy xy
yz yz
zx zx
（3）对于平面应力问题 (σz τzx τzy 0)
或平面应变问题 (εz γzx γzy 0), 单位体积上应力所做的功都是
U1
1 2
x x
y y
xy xy
(c)
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
13
二 弹性体的形变势能和外力势能
１、应力的功和形变势能（内力势能） （4）假设没有转化为非机械能和动能，则应力所做的功全部
转化为弹性体的内力势能，又称为形变势能，或应变能，
一 差分公式的推导
弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件，形变与位移 之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件，建立微分方程 和边界条件。
因此，弹性力学问题属于微分方程的边值问题。通过求解， 得出函数表示的精确解答。
对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，难以求出函 数式的解答。为此，人们探讨弹性力学的各种近似解法，主要 有差分法、变分法和有限单元法。
应当指出：中点导数公式与端点导数公式相比，精度较高。
因为前者反映了结点两边的函数变化，而后者却只反映了结点
一边的函数变化。因此，我们总是尽可能应用前者，而只有在
无法应用前者时才不得不应用后者。
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
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第五章 用差分法和变分法解平面问题
内容提要
徐芝纶院士(1911-1999)
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
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一 差分公式的推导
差分法是微分方程的一种数值解法， 它不是去求解函数f(x)，
而是求函数在一些结点上的值
f 1, f。2
将微分用有限差分来代替
f
dx x x2 x1
f (x)
df f f2 f1
将导数用有限差商来代替
f 1
f 2
f3
d f f f2 f1 ; dx x x2 x1
合肥工业大学本科生教学
《弹性力学》
第五章 用差分法和变分法解平面问题
主讲教师：袁海平 (副教授、博士后)
第五章 用差分法和变分法解平面问题
内容提要
徐芝纶院士(1911-1999)
一、差分公式的推导 二、弹性体的形变势能和外力势能 三、位移变分方程 四、位移变分法 五、位移变分法例题
弹性力学简明教程(第三版)
的差分公式如下：
2 f xy
0
x
f y
0
f y
1
2h
f y
3
1
2
4h
[(
f6
f8) (
f5
f7 )]
(5)
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用差分法和变分法解平面问题
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一 差分公式的推导
4 f x4
0
1 h4
[6
f0
4(
f1
f3)
(
f9
f11)]
4 f x 2y 2
0
1 h4
[4
f1 f3 2h
(1)
2 f
x2
0
f1
f3 2 f0 h2
(2)
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用差分法和变分法解平面问题
6
一 差分公式的推导
同理，在网线4-0-2上可得到差分公式：
f y
0
f2 f4 2h(3)ຫໍສະໝຸດ 2 fy 20
f2
f4 2 f0 h2
(4)
以上（１）—（４）是基本差分公式，从而可导出其它
弹性力学变分法，是区别于微分方程边值问题的另一种独 立解法，分为：
➢ 位移变分法：取位移函数为自变量，并以势能极小值条 件导出变分方程。
➢ 应力变分法：取应力函数为自变量，并以余能极小值条 件导出变分方程。
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
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二 弹性体的形变势能和外力势能
１、应力的功和形变势能（内力势能）
（1）作用于微小单元上的应力，是邻近部分物体对它的作用力， 可看成是作用于微小单元上的“外力”。
（2）因应力和应变均从0增长到 σ, ，故单位体积上，
应力所做的功是
非线性 σ~ 关系－－ U1
σ d,
0
线 性 σ ~ 关系－－ U 1 1 σ .
2
弹性力学
用差分法和变分法解平面问题
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二 弹性体的形变势能和外力势能
f0
2(
f1
f2
f3
f4 )
(
f5
f6
f7
f8)]
(6)
4 f y 4
0
1 h4
[6
f0
4(
f2
f4)
(
f10
f12 )]
差分公式(１)及(３)是以相隔2h的两结点处的函数值来表示
中间结点处的一阶导数值，可称为中点导数公式。
以相邻三结点处的函数值来表示一个端点处的一阶导数值，
可称为端点导数公式。
o
x1 x2 x3
x
将微分方程用差分方程（代数方程）代替，求解微分方程问
题化为求解差分方程问题。
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用差分法和变分法解平面问题
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一 差分公式的推导
在弹性体上，用相隔等间距h而平 行于坐标轴的两组平行线织成正方形 网格。
设f=f(x,y)为弹性体内的某一个连续 函数，该函数在平行于x轴的一根网线 上，如在3-０-１上，它只随x坐标的改 变而变化。在邻近结点０处，函数f可 展为泰勒级数如下：
一、差分公式的推导 二、弹性体的形变势能和外力势能 三、位移变分方程 四、位移变分法 五、位移变分法例题
弹性力学简明教程(第三版)
二 弹性体的形变势能和外力势能
变分法，是研究泛函及其极值的求解方法。
泛函－－是以函数为自变量的一类函数。
弹性力学变分法，因其泛函就是弹性体的能量（如形变势能、 外力势能），又称为能量法。
f
f
0
f x
0
(
x
x0
)
1 2!
2 x
f
2
(x x0 )2 0
1 3!
3 f x3
(x x0 )3 ... 0
(a)
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一 差分公式的推导
只考虑离开结点０充分近的那些结点，即（x-x0）充分小。 于是可不计（x-x0）的三次及更高次幂的各项，则上式简写为：