精品2019学年高中数学第二章2.2.2事件的相互独立性检测含解析新人教A版选修2(1)

2.2 二项分布及其应用
2.2.2 事件的相互独立性
A 级 基础巩固
一、选择题
1．有以下三个问题：
①掷一枚骰子一次，事件M ：“出现的点数为奇数”，事件N ：“出现的点数为偶数”；
②袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M ：“第1次摸到白球”，事件N ：“第2次摸到白球”；
③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M ：“第1枚为正面”，事件N ：“两枚结果相同”． 这三个问题中，M ，N 是相互独立事件的有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个
解析：①中，M ，N 是互斥事件；②中，P (M )＝35，P (N )＝1
2
，即事件M 的结果对事件N 的结果有影响，所以M ，
N 不是相互独立事件；③中，P (M )＝1
2，P (N )＝12，P (MN )＝14
，P (MN )＝P (M )·P (N )，因此M ，N 是相互独立事件．
答案：C
2．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a ，第二道工序的次品率为b ，则产品的正品率为( )
A ．1－a －b
B ．1－ab
C ．(1－a )(1－b )
D ．1－(1－a )(1－b )
解析：设A 表示“第一道工序的产品为正品”，B 表示“第二道工序的产品为正品”，则P (AB )＝P (A )P (B )＝(1－a )(1－b )．
答案：C
3．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A.49
B.29
C.23
D.13
解析：设A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”， 则P (A )＝2
3
，B 表示“第二个圆盘的指针落在奇数据在的区域”，
则P (B )＝23.故P (AB )＝P (A )·P (B )＝23×23＝4
9.
答案：A
4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和3
4，两个零件是否加工为一等品相互独立，
则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A.12
B.512
C.14
D.16
解析：所求概率为23×14＋13×34＝512或P ＝1－23×34－13×14＝512.
答案：B
5．某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，2
3，则汽车在这
三处因遇红灯而停车一次的概率为( )
A.19
B.16
C.13
D.718
解析：设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝12，P (C )＝2
3，停车一次即为事
件ABC ＋ABC ＋ABC 的发生，
故概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12×23＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×23＋13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝7
18
.
答案：D 二、填空题
6．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A 型螺栓的概率为________．
解析：从甲盒内取一个A 型螺杆记为事件M ，从乙盒内取一个A 型螺母记为事件N ，因事件M ，N 相互独立，则能配成A 型螺栓(即一个A 型螺杆与一个A 型螺母)的概率为P (MN )＝P (M )P (N )＝
160200×180240＝3
5
. 答案：35
7．已知P (A )＝0.3，P (B )＝0.5，当事件A 、B 相互独立时，P (A ∪B )＝________，P (A |B )＝________． 解析：因为A ，B 相互独立，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A )·P (B )＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65；P (A |B )＝P (A )＝0.3.
答案：0.65 0.3
8．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．
解析：在同一时刻两颗卫星预报都不准确的概率为(1－0.8)×(1－0.75)＝0. 05，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为1－0.05＝0.95.
答案：0.95 三、解答题
9．已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为1
2
，求灯亮的概率．
解：因为A ，B 断开且C ，D 至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮，P ＝P (AB )[1－P (CD )]＝P (A )P (B )[1－P (CD )]＝12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝3
16
.
所以灯亮的概率为1－316＝13
16
.
10．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为7
10.
(1)求恰有一名同学当选的概率； (2)求至多有两人当选的概率．
解：设甲、乙、丙当选的事件分别为A ，B ，C ， 则有P (A )＝45，P (B )＝35，P (C )＝7
10.
(1)因为A ，B ，C 相互独立， 所以恰有一名同学当选的概率为
P (A — B —
C )＋P (— A B — C )＋P (— A — B C )＝P (A )P (— B )P (— C )＋P (— A )P (B )P (— C )＋P (— A )P (—
B )P (
C )＝45×
2
5
×
310＋15×35×310＋15×25×710＝47250
. (2)至多有两人当选的概率为1－P (ABC )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－45×35×710＝83
125
.
B 级 能力提升
1．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，则2
3等于( )
A ．2个球不都是红球的概率
B ．2个球都是红球的概率
C ．至少有1个红球的概率
D ．2个球中恰有1个红球的概率
解析：分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A 、B ，则P (A )＝13，P (B )＝1
2
，由于A 、B 相互独立，所以1－
P (— A )P (—
B )＝1－2
3×12＝23
.根据互斥事件可知C 正确．
答案：C
2．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是1
3，2人试图独立地在半小时内解决
它，则两人都未解决的概率为__________，问题得到解决的概率为________．
解析：都未解决的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝12×23＝13
，
问题得到解决就是至少有1人能解决问题，所以P ＝1－13＝2
3.
答案：13 23
3．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题正确者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、第二、第三轮的问题的概率分别为45，35，2
5
，且各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手被淘汰的概率；
(2)记该选手在考核中回答问题的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列．
解：(1)记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件A i (i ＝1，2，3)，则P (A 1)＝45，P (A 2)＝35，P (A 3)＝2
5.
所以该选手被淘汰的概率
P ＝1－P (A 1A 2A 3)
＝1－P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝1－45×35×25
＝101125
. (2)ξ的所有可能取值为1，2，3. 则P (ξ＝1)＝P (A 1)＝1
5
，
P (ξ＝2)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝45×25＝825
， P (ξ＝3)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝45×35＝1225
，
所以ξ的分布列为：。