精品2019学年高中数学第二章2.2.2事件的相互独立性检测含解析新人教A版选修2(1)
2.2 二项分布及其应用
2.2.2 事件的相互独立性
A 级 基础巩固
一、选择题
1.有以下三个问题:
①掷一枚骰子一次,事件M :“出现的点数为奇数”,事件N :“出现的点数为偶数”;
②袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球,依次不放回地摸两球,事件M :“第1次摸到白球”,事件N :“第2次摸到白球”;
③分别抛掷2枚相同的硬币,事件M :“第1枚为正面”,事件N :“两枚结果相同”. 这三个问题中,M ,N 是相互独立事件的有( ) A .3个 B .2个 C .1个 D .0个
解析:①中,M ,N 是互斥事件;②中,P (M )=35,P (N )=1
2
,即事件M 的结果对事件N 的结果有影响,所以M ,
N 不是相互独立事件;③中,P (M )=1
2,P (N )=12,P (MN )=14
,P (MN )=P (M )·P (N ),因此M ,N 是相互独立事件.
答案:C
2.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a ,第二道工序的次品率为b ,则产品的正品率为( )
A .1-a -b
B .1-ab
C .(1-a )(1-b )
D .1-(1-a )(1-b )
解析:设A 表示“第一道工序的产品为正品”,B 表示“第二道工序的产品为正品”,则P (AB )=P (A )P (B )=(1-a )(1-b ).
答案:C
3.如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A.49
B.29
C.23
D.13
解析:设A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”, 则P (A )=2
3
,B 表示“第二个圆盘的指针落在奇数据在的区域”,
则P (B )=23.故P (AB )=P (A )·P (B )=23×23=4
9.
答案:A
4.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为23和3
4,两个零件是否加工为一等品相互独立,
则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A.12
B.512
C.14
D.16
解析:所求概率为23×14+13×34=512或P =1-23×34-13×14=512.
答案:B
5.某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯,汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13,12,2
3,则汽车在这
三处因遇红灯而停车一次的概率为( )
A.19
B.16
C.13
D.718
解析:设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A ,B ,C ,则P (A )=13,P (B )=12,P (C )=2
3,停车一次即为事
件ABC +ABC +ABC 的发生,
故概率P =? ????1-13×12×23+13×? ????1-12×23+13×12×? ????1-23=7
18
.
答案:D 二、填空题
6.在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型,在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型.若从甲、乙两盒内各取一个,则能配成A 型螺栓的概率为________.
解析:从甲盒内取一个A 型螺杆记为事件M ,从乙盒内取一个A 型螺母记为事件N ,因事件M ,N 相互独立,则能配成A 型螺栓(即一个A 型螺杆与一个A 型螺母)的概率为P (MN )=P (M )P (N )=
160200×180240=3
5
. 答案:35
7.已知P (A )=0.3,P (B )=0.5,当事件A 、B 相互独立时,P (A ∪B )=________,P (A |B )=________. 解析:因为A ,B 相互独立,所以P (A ∪B )=P (A )+P (B )-P (A )·P (B )=0.3+0.5-0.3×0.5=0.65;P (A |B )=P (A )=0.3.
答案:0.65 0.3
8.甲、乙两颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75,则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________.
解析:在同一时刻两颗卫星预报都不准确的概率为(1-0.8)×(1-0.75)=0. 05,则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为1-0.05=0.95.
答案:0.95 三、解答题
9.已知电路中有4个开关,每个开关独立工作,且闭合的概率为1
2
,求灯亮的概率.
解:因为A ,B 断开且C ,D 至少有一个断开时,线路才断开,导致灯不亮,P =P (AB )[1-P (CD )]=P (A )P (B )[1-P (CD )]=12×12×? ????1-12×12=3
16
.
所以灯亮的概率为1-316=13
16
.
10.某班甲、乙、丙三名同学竞选班委,甲当选的概率为45,乙当选的概率为35,丙当选的概率为7
10.
(1)求恰有一名同学当选的概率; (2)求至多有两人当选的概率.
解:设甲、乙、丙当选的事件分别为A ,B ,C , 则有P (A )=45,P (B )=35,P (C )=7
10.
(1)因为A ,B ,C 相互独立, 所以恰有一名同学当选的概率为
P (A — B —
C )+P (— A B — C )+P (— A — B C )=P (A )P (— B )P (— C )+P (— A )P (B )P (— C )+P (— A )P (—
B )P (
C )=45×
2
5
×
310+15×35×310+15×25×710=47250
. (2)至多有两人当选的概率为1-P (ABC )=1-P (A )P (B )P (C )=1-45×35×710=83
125
.
B 级 能力提升
1.从甲袋中摸出一个红球的概率是13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,从两袋各摸出一个球,则2
3等于( )
A .2个球不都是红球的概率
B .2个球都是红球的概率
C .至少有1个红球的概率
D .2个球中恰有1个红球的概率
解析:分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A 、B ,则P (A )=13,P (B )=1
2
,由于A 、B 相互独立,所以1-
P (— A )P (—
B )=1-2
3×12=23
.根据互斥事件可知C 正确.
答案:C
2.有一道数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是12,乙能解决的概率是1
3,2人试图独立地在半小时内解决
它,则两人都未解决的概率为__________,问题得到解决的概率为________.
解析:都未解决的概率为? ????1-12? ????1-13=12×23=13
,
问题得到解决就是至少有1人能解决问题,所以P =1-13=2
3.
答案:13 23
3.某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,回答问题正确者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、第二、第三轮的问题的概率分别为45,35,2
5
,且各轮问题能否正确回答互不影响.
(1)求该选手被淘汰的概率;
(2)记该选手在考核中回答问题的个数为ξ,求随机变量ξ的分布列.
解:(1)记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件A i (i =1,2,3),则P (A 1)=45,P (A 2)=35,P (A 3)=2
5.
所以该选手被淘汰的概率
P =1-P (A 1A 2A 3)
=1-P (A 1)P (A 2)P (A 3) =1-45×35×25
=101125
. (2)ξ的所有可能取值为1,2,3. 则P (ξ=1)=P (A 1)=1
5
,
P (ξ=2)=P (A 1A 2)=P (A 1)P (A 2)=45×25=825
, P (ξ=3)=P (A 1A 2)=P (A 1)P (A 2)=45×35=1225
,
所以ξ的分布列为: