第四章 曲线积分与曲面积分 第四节 对面积的曲面积分
第一类曲面积分
2 2
D : x 2 + y 2 ≤ 2x
∂z ∂z dS = 1 + + dσ = 2dσ ∂x ∂y
于是 zdS = ∫∫ x 2 + y 2 · ∫∫
∑ D
2dσ
= 2∫
π
2 −
π
2
dθ ∫
2 cos θ 0
∫∫
Σ
2 f ( x, y, z )dS = ∫∫ f [ x, y ( z , x), z ] 1 + y x + y z2 dzdx Dzx
3. 若曲面∑的方程为 x=x(y,z） ∑在yoz面上的投影区域为 D yz 则
∫∫
Σ
2 f ( x, y, z )dS = ∫∫ f [ x( y, z ), y, z ] 1 + x y + x z2 dydz D yz
16 2 = 2 ∫ 2 cos 3 θ dθ r dr 0 3
π
32 = 2 9
x2 y2 + z 2 = 1的上半部分，点 P( x, y, z ) ∈ S， 例4. 设 S 为椭球面 + 2 2 π 为 S 在点 P 处的切平面, ρ ( x, y, z ) 为点 O(0,0,0) 到平面 π 的距离， z dS . 求 ∫∫ ρ ( x, y , z ) S
2 2 2 ∑: z = 2 R − x − y ( z ≥ R)
y 2 z 3 dS 例1 计算 ∫∫
Σ
2 dS = 1 + z x + z 2 dxdy = y
2R 2R 2 − x 2 − y 2
dxdy
曲线积分与曲面积分
目录1对弧长的曲线积分 （扩展）对弧长曲线积分的应用2对坐标的曲线积分 3格林公式及其应用 4对面积的曲面积分课后典型题1对弧长的曲线积分之前已经学过计算曲线长度的积分（1）对于y=y(x)（2）对于参数方程()()x x t y y t =⎧⎨=⎩（3）对于极坐标方程是()r r θ=，转成直角坐标()cos ()sin x r y r θθθθ== ，则'()'cos sin '()'sin cos x r r y r r θθθθθθ=-=+。
代入上面3个都是求弧长，现在求的是在弧长上对某个被积函数f(x,y)积分。
那么，如果把被积函数f(x,y)看成是密度，那么得到的就是曲线质量。
当然如果密度均匀为1，则求的弧长积分就是弧长。
如果把被积函数f(x,y)看成是高度z,那么得到的就是一个柱面表面积。
对弧长的曲线积分，称为“第一类曲线积分”。
扩展到空间，若被积函数是f(x,y,z)那么，就表示在空间曲线L 的密度，求得的结果就是空间的线质量。
定义：01(,)lim (,)niiii Lf x y ds f s λξη→==∆∑⎰ 计算步骤 1画出图形2写出L 的方程，指出自变量范围，确定积分上下限（下限必须小于上限） 3由L 类型写出对应ds 的表达式4因被积函数f(x,y)的点x ，y 在L 上变动，因此x ，y 必须满足L 的方程。
即把L 中的x ，y 代入被积函数f(x,y)中。
5写出曲线积分的定积分表达式，并计算。
注，二重积分中xy 在投影域D 内动，而被积函数的xy 在L 上动，故(x ，y)必须满足L 。
如，L 的方程y=k,则()LLf x ds kds ks ==⎰⎰（保留。
还不太懂）参数方程设曲线有参数方程()()x x t L y y t =⎧⎨=⎩，则有：显式方程 设曲线为L ：y=y(x) ，则有：设曲线为L ：x=x(y) ，则有： 极坐标方程 设曲线为:(),([,])L rr θθαβ=∈ 则有：空间曲线方程设曲线为空间曲线():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则有： 设在L 上f(x,y)<=g(x,y)，则(,)(,)LLf x y dsg x y ds ≤⎰⎰，特别的，有(,)(,)LLf x y dsg x y ds ≤⎰⎰此性质不能用于第二类曲线积分扩展 对弧长曲线积分的应用（其实和二重积分一样，完全可以自己推导）质心坐标：LLx dsx dsρρ=⎰⎰ 、LLy dsy dsρρ=⎰⎰转动惯量：I=mr^2,因此有2(,)x LI y x y ds ρ=⎰设平面力场的力为(,)(,)(,)x y P x y Q x y =+F i j 求该力沿着曲线L 从a 到b 所做的功。
高数第四节.对面积的曲面积分 (1)
1. f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS.
1
2
当为闭曲面时, f ( x, y, z)dS 可写成 f ( x, y, z)dS.
2. 当 f ( x, y, z) 1时, dS 是曲面的面积.
复习：
z n
设光滑曲面
M
则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y, z) S dA
处小切平面的面积 d A 无限积累而成. o
设它在 D 上的投影为 d , 则
x
y
d
d cos d A n ( fx( x0 , y0 ), fy( x0 , y0 ), 1 )
cos
1
1 fx2 (x, y) f y2 (x, y)
d A 1 fx2 (x, y) f y2 (x, y) d
z
h
oD xy
ay
x
因为dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
a
dxdy，
a2 x2 y2
dS
a
dxdy，
a2 x2 y2
ห้องสมุดไป่ตู้
dS z
Dxy
a2
adxdy x2
y2
add Dxy a2 2
a
2π
d
0
a2 h2 0
d a2 2
2πa
1 2
ln( a 2
2
) 0
a2
h2
2πa ln a . h
f (i ,i , i )Si
积分曲面
面积元素
积分和式
以上积分也称为第一类曲面积分或对面积的 曲面积分.
§10.4对面积的曲面积分
Dxy f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy.
这就是将对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式.
按照曲面的不同情况分为以下三种计算公式:
(1) 若曲面 为: z=z(x, y), 则
f ( x, y, z)dS
Dxy f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy.
)
i
.
i 1
由以上假设知: 上式两边当0时的极限存在, 即
n
lim
0
i 1
f
(i
,i
,
i
)Si
n
lim
0
i 1
f
(i
,i
,
z(i
,i
))
1
z
2 x
(i
,i
)
z
2 y
(
i
,i
)
i
.
上式左边为函数f(x, y, z)在 上对面积的曲面积分, 而
右边为一个在区域Dxy上的二重积分, 因此有
f ( x, y, z)dS
对面积的曲面积分的性质:
由上述定义可知, 其性质与对弧长的曲线积分的 性质完全类似.
(1) 对函数的线性性质:
[f ( x, y, z) g( x, y, z)]dS
f ( x, y, z)dS g( x, y, z)dS.
(2) 对积分曲面的可加性:
12 f ( x, y, z)dS
0
i 1
(
i
,i
,
i
)Si
.
实例: 若曲面 是光滑的, 它的面密度(x, y, z)为
连续函数, 求它的质量. 所谓曲面光滑即曲面上各点处
高等数学曲线积分与曲面积分
典
型
双 侧
n
曲
面
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
播放
章曲线积分与曲面积分
一、主要内容 二、线、面积分的基本计算法
一、对弧长的曲线积分的概念
1.定义 设L为xoy面内一条光滑曲线,弧函数f (x, y)
在L上有界.用L上的点M1, M2,, Mn1把L分成n
个小段.设第i个小段的长度为si ,又(i ,i )为第
i个小段上任意取定的点一, y
i1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
的直径的最大值0时, 这和式的极限存在,
则称此极限为函数f(x, y,z)在曲面上对面积
的曲面积分或第一类曲面积分.
记 为 f(x,y,z)d.S
n
即 f(x,y,z)d S l i0im 1f(i, i, i) S i
其中 f(x, y,z)叫被积函数 叫积 ，分曲.面
B
作乘积f (i ,i ) si ,
n
并作和 f (i ,i ) si ,
i1
L Mn1
(i,i) M i
M2
A M1
Mi1
o
x
如果当各小弧段长的度的最大值 0时, 这和的极限存, 在则称此极限为函f数 (x, y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分第或一类曲
线积分, 记作 f (x, y)ds, 即 被积函数 L
n
f(x ,y,z)d sl i0im 1f(i,i,i) si.
注意：
1 . 若 L (或 )是分,段 (L L 光 1L 2)滑
f ( x ,y ) d sf ( x ,y ) d s f ( x ,y ) d . s
L 1 L 2
对面积的曲面积分公式
对面积的曲面积分公式1. 对面积的曲面积分的概念。
- 设曲面∑是光滑的，函数f(x,y,z)在∑上有界。
把∑任意分成n小块Δ S_i（Δ S_i同时也表示第i小块曲面的面积），设(ξ_i,eta_i,ζ_i)是Δ S_i上任意取定的一点，作乘积f(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i，并作和∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。
- 如果当各小块曲面的直径的最大值λto0时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作∬_∑f(x,y,z)dS=limlimits_λto0∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。
2. 对面积的曲面积分的计算方法。
- 一、利用曲面的方程化为二重积分计算。
- 设曲面∑的方程为z = z(x,y)，∑在xOy面上的投影区域为D_xy，函数z(x,y)在D_xy上具有连续偏导数，被积函数f(x,y,z)在∑上连续，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{xy}f[x,y,z(x,y)]√(1 + z_x)^2+z_{y^2}dxdy。
- 类似地，如果曲面∑的方程为x = x(y,z)，∑在yOz面上的投影区域为D_yz，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{yz}f[x(y,z),y,z]√(1 + x_y)^2+x_{z^2}dydz。
- 如果曲面∑的方程为y = y(z,x)，∑在zOx面上的投影区域为D_zx，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{zx}f[x,y(z,x),z]√(1 + y_z)^2+y_{x^2}dzdx。
- 二、利用曲面的参数方程计算（略高于一般要求）- 设曲面∑的参数方程为<=ft{begin{array}{l}x = x(u,v) y = y(u,v) z =z(u,v)end{array}right.，(u,v)∈ D，且x(u,v),y(u,v),z(u,v)在D上具有连续偏导数，(∂(x,y))/(∂(u,v)),(∂(y,z))/(∂(u,v)),(∂(z,x))/(∂(u,v))不全为零，则dS=√(EG - F^2)dudv，其中E=x_u^2+y_u^2+z_u^2，F = x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v，G=x_v^2+y_v^2+z_v^2。
高等数学课件D104对面积曲面积分
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例1. 计算曲面积分
其中是球面
被平面
截出的顶部.
解:
z
Dxy : x2 y2 a2 h2
1
z x2
z
2 y
h o
Dxy a y x
d S z
a dxdy
2
Dxy a2 x2 y2 a 0 d
1 x
1y
4 xyz d S
4 : z 1 x y,
(x,
y)
Dxy
:
0
0
y
x
1 1
x
1
1 x
3 x dx y(1 x y) dy
0
0
3 120
2019/11/24
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例3. 设 : x2 y2 z2 a2
内容小结
1. 定义:
n
lim 0
f (i ,i , i ) Si
i 1
2. 计算: 设 : z z(x, y), (x, y) Dxy , 则
f (x, y, z(x, y) )
Dxy
1
z
2 x
z
2 y
dxd y
(曲面的其他两种情况类似)
• 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式
z 1 x o Dx y y
计算结果如何 ?
2019/11/24
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例4. 求半径为R 的均匀半球壳 的重心.
对面积的曲面积分
| xyz| dS 4 xyzdS d S 1 (2 x )2 (2 y )2 d x d y
1
4 xy (x2 y2) 1(2x)2(2y)2d xd y
D x y
42d1r2co ssinr21 4 r2rd r 00
极 坐 标
22sin2d1r5 14r2dr
0
0
u
(3) 若曲面 ：xx(y,z)
则 f(x,y,z)dS f [x(y,z), y, z] 1x2 yxz2dydz D yz
对面积的曲面积分
计算面积的曲面积分的解题步骤：
1、应根据曲面Σ选好投影面. 2、确定投影域并写出 曲面Σ的显函数形式,
并算出曲面面积元素dS.
3、将曲面方程代入被积函数,化为二 重积分进行计算.
Dxy
对面积的曲面积分
补充
设分片光滑的 曲面Σ关于yOz面对称,则
f(x, y,z)dS
0,
当f(x,y,z)为x的奇函数
2f(x,y,z)dS.
当f(x,y,z)为x的偶函数
1
其中 1 :x x (y ,z ) 0 .
对面积的曲面积分
例 计算 |xy|zdS,
其为 中抛 zx 2物 y2 (0 面 z 1 ).
1 5 u(u1)2du 125 51
41
4
420
对面积的曲面积分
例 计算xdS, 其中 是圆x2柱 y2面 1,
平 z 面 x 2 及 z 0 所围成的空间立体的表面.
z
z
z
O
x
y
O
x
y
O
x
y
对面积的曲面积分
例 计算xdS, 其中 是圆x2柱 y2面 1,
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( x y )( 0 z 1 ) 的质量,此壳
2 2
zdS
z
D xy : x y 2
2
2
dS
1 zx z y dxdy
2 2
o
y
1 x y dxdy
2 2
x
1 2
D xy
( x y ) 1 x y dxdy
2
2
2
2
2
1
2 0
2
f ( x, y, z ) dS
Dxy
f ( x, y,
)
证明: 由定义知
lim
0
k 1
n
-5-
第四节
对面积的曲面积分
z
则
( k )
1
2 zx
2 z y dxd
y
( k , k , k )
第 1 z x ( k , k ) z y ( k , k ) ( k ) 十 章 取 k k , k k k z ( k , k )
曲 D xy : 0 y 1 x , 0 x 1 线 2 2 2 积 ( x y z ) dS , 由对称性得 分 与 x 曲 8 ( x 2 y 2 z 2 ) dS 面 1 积 分 8 ( x 2 y 2 ( 1 x y ) 2 ) 1 1 1 dxdy
曲面面积为
-3
记作
第四节
对面积的曲面积分
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.
• 积分的存在性. 在有界光滑曲面 上
第 连续, 则对面积的曲面积分存在. 十 章 • 对积分域的可加性. 若 是分片光滑的,例如分成两 曲片光滑曲面 , , 则有 1 2 线 积 f ( x , y , z ) d S f ( x , y, z ) d S 分 1 与 曲 • 线性性质. 面 积 分 k1 f ( x , y , z ) k2 g( x , y, z )d S
4
x y z dS
x
x y z d S
4
4 : z 1 x y , ( x , y ) Dx y
3 x dx
0 1 1 x 0
0 y 1 x : 0 x1
y(1 x y ) d y
-9-
3 120
第四节
例3
第 任意取点, “乘积和式极限” 十 章
f ( x , y , z )d S 曲 线 积 分 都存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积 与 的曲面积分 或第一类曲面积分. 其中 f (x, y, z) 叫做被积 曲 面 积 函数, 叫做积分曲面. d S 叫做曲面面积元素。 分 据此定义, 曲面形构件的质量为 M ( x , y , z ) d S
( y , z ) D yz ( y , z ) D yz
x
2 2 1 x y x z dydz
o
y
D yz : R y R , 0 z H
在
1, 2
上
R R
dS
R R y
2
2
2
dydz
原式
1
2
2
2
D yz
1 R z
第四节
对面积的曲面积分
第四节 对面积的曲面积分
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
一 对面积的曲面积分的概念与性质
二 对面积的曲面积分的计算法
-1-
第四节
对面积的曲面积分
一 对面积的曲面积分的概念与性质
第 十量 章
曲 线 “大化小, 常代变, 积 分 的方法, 可得 与 n 曲 面 M 积 k 1 分
极限为函数
f ( M ) 在Q
记为 上的积分，
Q
f ( M ) dQ ,
即
- 14 -
第四节
对面积的曲面积分
Q
f ( M ) dQ lim
0
k 1
n
f ( M k ) Q k
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
- 15 -
y
a h
2
2
0
-8-
第四节
对面积的曲面积分
例2. 计算
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
其中 是由平面
z
1
与
坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 1 , 2 , 3 , 4 分别表示 在平面
上的部分, 则 原式 =
o
1 1 y
1
2
3
D xy
z
1
o
y
8
3 dx
0
1
1 x 0
(1 2 x 2 y 2 x y 2 x 2 y ) d y
2 2
2
3
- 11 -
第四节
对面积的曲面积分
2 的面密度的大小为 z .
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
例5 解
求抛物面壳z
M
1
k1 f ( x , y , z ) d S k2 g ( x , y , z ) d S
-4-
第四节
对面积的曲面积分
二 对面积的曲面积分的计算法
定理: 设有光滑曲面
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面 积分 存在, 且有
2 2
R R y
2
dydz
2
1 R y
2
dy
0
H 2
R R z
2
dz 2 arctan
H R
- 10 -
第四节
对面积的曲面积分
2 2
例4
计算
( x y z ) dS ,
2
其中 是由平面
围成的正八面体的表面. | x | | y | | z | 1 第 十 解 设 1 : z 1 x y , ( x , y ) D xy 章
2
2
-7-
第四节
对面积的曲面积分
例1. 计算曲面积分 被平面
第 十 章
其中是球面 截出的顶部.
解:
Dx y : x y a h
2 2 2 2
z
曲 2 2 线 h 1 zx z y 积 分 o a dxd y 与 dS x z a 2 x 2 y 2 曲 Dxy 面 积 2 2 a h 1 2 d 2 2 分 2 a ln( a ) a d 2 2 0 0 2 a
R
R x y
2 2 2
R x y
2
2
2
dxdy
R
3
z
M
xy
R 2
- 13 -
A
第四节
对面积的曲面积分
三 积分的统一定义
定义 设Q 为一可以度量的有界的几何形状，f ( M
)
第 如果将Q 任意分割成n 个小的 十 定义在Q 上的有界函数， 章 可以度量的几何形状 Q k ,（其度量仍记为 Q k ) 在每个 曲 Q k 上任取一点 M k , 作和式 线 n 积 分 f ( M k ) Q k 与 k 1 曲 记 max [ d ] 和式的极 k ( d k 为 Q k 的直径 ), 当 0 时， 面 1 k n 积 分 限存在 则称此 （与Q的划分，点M k 在 Q k 取法无关），
2 2
曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
S k
o
y
( k , k ,0)
n
lim
0
k 1
x
D xy
k
f ( k ,k , z ( k ,k ))
2 2
(光滑)
1 z x ( k , k ) z y ( k , k ) ( k )
引例: 设曲面形构件具有连续面密度 z M. 类似求平面薄板质量的思想, 采用
近似和, 求极限”
求质
( k , k , k )
S k
o x
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的
-2-
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
第四节
对面积的曲面积分
定义: 设 为有界光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 若对 做任意分割和局部区域
D xz
f ( x , y ( x , z ), z )
1 y x y z x ( y , z ), ( y , z ) D y z
f ( x , y , z ) dS
D yz
f ( x ( y , z ), y , z )
1 x y x z dydz
-6-
第四节
对面积的曲面积分
2 2
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
Dxy
f ( x, y,
) 1 z x ( x , y ) z y ( x , y )d xd y
: y y ( x , z ), ( x , z ) D xz