数字信号的最佳接收
数字信号的最佳接收
1
2n0
T 0
[s1
(t
)
s2
(t
)]2
dt
b
1 2n0
T 0
[s1
(t)
s2
(t)]2
dt
2
10/23/2020
ln[P(s2 ) / P(s1)]
1
2n0
T 0
[s1
(t
)
s2
(t
)]2
dt
6.2 二进制确知信号的最佳接收
由此可以看出，所求的最佳接收机的极限
性能 与先验概率
、噪声功率谱密
P 度 及两信号之差的能量有关，而与
为随参信号（随相信号、起伏信号）。确知
信号的所有参数（
）都确
知，未知的只是信号是否出现。
A, f ,,到达时间t等
10/23/2020
6.2 二进制确知信号的最佳接收
1. 二进制确知信号最佳接收机的设计 设到达接收机输入端的两个确知信号为
和 ,它的持续时间为 ，且有相等的能 量，噪声 是高斯白噪声，均值为零，且单边
n 噪声空间
图1 数字信号接收的统计模型
6.1 最佳接收概念及最接收准则
设发送消息为 X，有m 种可能的状态，对应发送信
号s，也有m 种取值 s1，s2，, sm，信道噪声n 为零均值
高斯白噪声，则观察空间状态 y为:
y sn
也服从高斯分布，当出现信号 si时，y的概率密度函数
为
fsi ( y) (
第6章 数字信号的最佳接收
• 6.1 • 6.2 • 6.3 • 6.4
最佳接收概念及最佳接收准则 确知信号的最佳接收 匹配滤波器 基带系统的最佳化
10/23/2020
《通信系统原理》教案第7章数字信号最佳接收
第7章数字信号的最佳接收知识点(1) 三个最佳准则基本原理；(2) 匹配滤波器特性及各种参数、关系；(3) 相关接收、相关器及其与匹配滤波器等效性；(4) 理想接收与相关接收等效性；(5) 三种最佳接收系统性能分析。
知识点层次(1) 掌握匹配滤波器全部特点、参数、计算及特例；(2) 掌握相关接收数学模型及相关接收通用误比特率公式；(3) 了解理想接收思路；(4) 理解误比特率计算方法；(5) 掌握与的异同点；(6) 理解在高斯信道条件下三种最佳接收的等效关系。
7.1 最佳接收准则任何一种接收设备的根本任务，就是要在接收到遭受各种干扰和噪声破坏的信号中将原来发送的信号无失真地复制出来。
但是在数字通信系统中，由于所传送的信号比较简单，例如在采用二元调制的情况下，它就只有两种状态，即信号1或信号0，因此接收机的任务也就简化为正确地接收和判决数字信号，使得发生判决错误（信号1被判为0，或者信号0被判为1）的可能性最小。
数字通信系统也和信号检测系统一样，接收机要想在强噪声中，将信号正确地提取出来，就必须提高接收机本身的抗干扰性能。
按照最佳接收准则来设计的最佳接收机就具有这样的性能。
下面首先简单介绍数字通信系统常用的几个基本最佳接收准则。
7.1.1 最大输出信噪比准则希望从噪声影响中正确地接收和识别发送的信号是否存在，并将它们复制成原来的信号波形。
就相当于信号检测系统中的“双择一”问题，而再多元调制系统中对多元数字信号的识别就相当于信号检测系统中的“m择一”问题。
显然，对于这类信号检测或识别系统，只要增加信号功率相对于噪声功率的比值，就有利于在背景噪声中将信号提取出来。
因此，在同样输入信噪比的情况下能够给出输出信噪比大的接收机，总是要比给出输出信噪比小的接收机抗干扰性能强，并且希望输出信噪比越大越好，这就是最大输出信噪比准则。
下面将证明。
在接收机内使用匹配滤波器，就可以在某一时刻使输出信号的瞬时功率对噪声平均功率之比达到最大，并由此组成在最大输出信噪比准则下的最佳接收机。
第6章数字信号最佳接收-通信原理-陈树新-清华大学出版社
基础，且核心的问题。
通信原理——第二部分 信号发送与接收
38-4
09:46
第6章 数字信号最佳接收——最佳接收准则
二元假设检验的模型
信源
混
P(H1)，P(H0)
合
z1
判决
信宿
z0
规则
D0，D1
描述
若信源发出的两种信号为s1(t)
和s0(t)是持续时间为T，对应假设
H1和假设H0，其中
P(H1)+P(H0)=1，xt
通信原理——第二部分 信号发送与接收
38-5
09:46
第6章 数字信号最佳接收——最佳接收准则
二元假设检验的模型 错误概率计算
信源 P(H1)，P(H0)
混
z1
判决
合
规则
z0
噪
观测空间
检验
声
信宿 D0，D1
虚警概率P(D1/H0)： PD1 H0 f X H0 dX f x1x2 xN H0 dx1dx2 dxN z1
应用贝叶斯公式：
P Di H j PH j PDi H j
R C00P H0 PD0 H0 C10PH0 PD1 H0 C01PH1 PD0 H1 C11PH1 PD1 H1
噪
观测空间
检验
声
其中
PD0
H0 f X
z0
H0 dX
PD1 PD1
H0 f X
z1
H1 f X
38-6
09:46
第6章 数字信号最佳接收——最佳接收准则
错误概率最小准则
信源
混
P(H1)，P(H0)
合
z1
判决
信宿
z0
数字信号的最佳接收确知信号随相信号及能
2 n )k
n0
T 0
r
(t
)
si
(t
)2dt
)
通过噪声的概率密度与接收信号 似然函数的关系，计算似然函数，
达到最佳接收的目的
最佳接收问题----求似然函数
• 等能量时：
f (r si ) (
1
1
exp(
2 n )k
n0
T 0
r
(
t
)
si
(t
)2dt
)
与信号 无关
信号能 量相等
1 2 x
exp
x2
2
2 x
• 同理可求得：
2 x
n0 2
T 0
s1 (t ) s0 (t ) 2dt
Pe0 a f ( x)dx
Pe P(s1 )Pe1 P(s0 )Pe0
a n0 ln P(s0 ) 1 2 P(s1 ) 2
T 0
s1(t ) s0 (t ) 2 dt
x (1 )
2 n0
T 0
r(t )s1(t,1
)dt
2A n0
T
0 r(t ) cos 1t 1(t ) dt
x (1 )
2A n0
T 0
r(t
)
cos1t
cos1dt
2A n0
T
0 r(t ) sin1t sin1 dt
2A n0
(X1
cos1
Y1
sin1 )
2A n0
X
2 1
Y12
1
2
K0
1
2
2 0
exp
2 n0
2 0
exp
2 n0
第九章数字信号的最佳接收
2DPSK 2FSK 2ASK
pe
1exp(Eb
2
n0
)
pe
1exp( Eb
2
2n0
)
pe
1exp( Eb
2
4n0
)
第8章
5.MFSK最佳非相干接收机
带通
包络检波
输
ω1
入
带通 ωM
设cosω1t、cosω2t正交， 0 TSs1(t)2d t0 TSs2(t)2d tEb，且φ1、φ2
在（0，2π）内均匀分布，则最佳接收机形式为
第8章
包络检波
输入
相关器 cosω1t
相关器 sinω1t
相关器
cosω2t 相关器
sinω2t
平方器 平方器
相加器
平方器 平方器
相加器
， 判为S1 ， 判为S2
这就是似然比准则
一般p(S1)=p(S2)，此时似然比准则为 fS1(y) > fS2(y) ， 判为S1 ， fS1(y) < fS2(y) ， 判为S2 称上述判据为最大似然比准则。它是似然准则的特例。
第8章
代入似然函数：
即 0 T Sy (t) s1 (t)2 d t0 T Sy (t) s2 (t)2 dt，判为S1 ，否则判为S2
·位同步信号cp (t) 由位同步器提取，位同步器输入信号来自y(t)或乘 法器。
第8章
2、S2(t) = 0
TS
0
s12(t)dtEb
0 T Sy (t) s1 (t)2 d t0 T Sy (t) s2 (t)2 dt
通信系统原理第八章数字信号的最佳接收
第8章 数字信号的最佳接收知识点：● 三个最佳准则基本定理● 匹配滤波器特性及各种参数、关系● 相关接收、相关器及其与匹配滤波器等效性 ● 理想接收与相关接收等效性层次：● 掌握匹配滤波器全部特点、参数与计算及特例● 掌握相关接收数学模型及相关接收运用误比特率公式 ● 了解理想接收定理● 理解误比特率计算定理、方法 ● 掌握n E b与NS=γ的异同点 ● 理解在高斯信道条件下三种最佳接收的等效关系8.1最佳接收准则● 所谓最佳一般是相对而言的“准最佳”。
● 数字信号传输的是表示编码信息的波形，经信道限带、噪声、干扰以及可能的信道非线性与时变的影响，会导致波形损伤。
如何从这种变形的波形中检测出是哪种信息状态，将会产生判决风险。
1. 最大输出信噪比准则● 从前面各章看，不论模拟与各种数字信号传输，最终是接收信噪比的大小。
● 除信噪比之外，尚涉及发送信号的设计，即相关参数与调制方式。
● 传输是在信道限带、信号功率受限环境下，本书主要考虑的AWGN 干扰，在这三者条件下，如何使最终信噪比是否较优。
诸多其他设计因素也可以换取信噪比。
● 最大输出信噪比准则是为取得接收输出尽可能大的信噪比，设计一种最利于特定发送波形通过的接收机特性，这种特性能达到与信号相适配而同时可相应地改造噪声均匀谱而实际上使噪声量得以一定程度的抑制或削弱。
2. 最小均方误差准则● 发送信号)(t S 受到AWGN 加性干扰的混合波形X(t)接收误差均方值为)0()0(2)0())()(()(22s xs x R R R t s t x t e +-=-= 8-1● 期望均方差2e 的最小值，即要取得)0(xs R 的最大值。
而)0(xs R 是受到噪声污染的信号)(t X 与其发送纯净信号)(t S 的互相关最大值，在理想情况下为)0()0()0(2s x xs R R R +→ )0(2→e 8-2●⎰=Txs dt t s t x R 0)()()0(——由此启发出相关接收方法 8-33. 最大后验概率或最大似然准则● 后验概率——收到混合信号)(t X ，判断原来发送的是哪一个信号i S ——可择其概率最大者)/(x s P i 进行风险较小的判决为“择大判决”规则，而后验概率（条件）密度为)/(x s p 。
数字信号的最佳接收
数字信号的最佳接收1．二进制通信系统统计概率（1）错误转移概率①发送“1”时，接收到“0”的条件概率；②发送“0”时，接收到“1”的条件概率。
（2）先验概率先验概率是指发送码元概率P(1)和P(0)。
（3）后验概率后验概率是指在接收到某个信息后，接收端所了解到的该信息发送的概率，如条件概率P(0／1)、P(1／0)。
（4）总误码率二进制通信系统中发送码元“1”的概率为P(1)，发送码元“0”的概率为P(0)，则总误码率P e 为2．二进制通信系统最佳接收（1）一般判决准则图9-1 k维矢量空间示意图若接收矢量r落在区域A0内，则判为发送码元是“0”；若接收矢量r落在区域A1内，则判为发送码元是“1”。
（2）P e最小的最佳判决准则①总误码率式中，P(A0／1)表示发送“1”时，矢量r落在区域A0的条件概率；P(A1／0)表示发送“0”时，矢量r落在区域A1的条件概率。
即P e是的函数，对其求导并令导函数等于0化简得当先验概率相等时，即P(1)＝P(0)时，f0(r0)＝f1(r0)，所以最佳分界点位于图9-1中两条曲线交点处的r值上。
②判决规则a．若，则判为“0”；b．若，则判为“1”。
（3）最大似然准则在P(1)＝P(0)时，最佳判决准则为①若f0(r)＞f1(r)，则判为“0”；②若f0(r)＜f1(r)，则判为“1”。
（4）最大后验概率准则①若f r(0)＞f r(1)，则判为“0”；②若f r(0)＜f r(1)，则判为“1”。
式中，f r(1)为收到r后发送“1”的条件概率；f r(0)为收到r后发送“0”的条件概率。
3.M进制通信系统最佳接收（1）联合概率密度函数在一个M进制数字通信系统中，可能的发送码元是s1，s2，…，s i，…，s M之一，它们的先验概率相等，能量相等。
则接收电压的k维联合概率密度函数为（2）最佳接收判决准则若则判为s i(t)。
通信原理第八章 数字信号的最佳接收
若
fs1 ( y) P(s2 ) fs2 ( y) P(s1)
则判为“s1” ； 则判为“s2” 。
2008.8
copyright 信息科学与技术学院通信原理教研组
13
2、最大似然准则
最小错误概率准则需要已知先验概率，而先验概 率在实际系统中很难获得。
我们通常认为数字通信中各个信号出现的概率相
等，即先验概率均匀分布P(s2)/P(s1)=1，最小错误概
[s1
(t
)
s
2
(
t
)]2
dt
ln p(s2 )
b
1
2n0
T
0 [s1(t)
s2 (t)]2 dt
2
1 2n0
p(s1 )
T 0
[s1
(
t
)
s
2
(t)]2
dt
2008.8
copyright 信息科学与技术学院通信原理教研组
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最佳接 收 机的 误 码性 能 与先 验 概率 P(s1) 和 P(s2)、噪声功率谱密度n0及s1(t)和s2(t)之差的 能量有关，而与s1(t)和s2(t)本身的具体结构无 关。
3、最大输出信噪比准则
对于数字系统，我们并不关心波形是否失真，只是要求在 判决时刻做出尽可能正确的判决。
从前面几章的知识可知，增加输出信噪比有利于在噪声背 景中把信号区分出来，从而减少错误判决的可能性。因此，在 同样输入信噪比的情况下，希望输出信噪比越大越好，这就是 最大输出信噪比准则。
匹配滤波器理论
则判为发送码元是s2(t)。
2008.8
copyright 信息科学与技术学院通信原理教研组
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§8.4 随相信号的最佳接收（2）
随机相位信号是指除信号相位 外，其 余参数都确知的信号形式（如具有随机相位 的2ASK，2FSK信号）。
根据差错概率最小准则，可得判决规则为
M1 M 2 , M1 M 2 ,
M 1 {[ M 2 {[
T 0 T
式中
判为s1出现 判为s2出现
， Pe 0
（2）当 P( s1 ) 1
，此时 Pe 仅与两信号
之差的能量 n0 有关。
§8.3 确知信号的最佳接收 （10）
（3）当 P( s1 ) 10或0.1 ，经计算可证此时的 Pe
P ( s2 )
将比先验等概时略小。 左图给出了不同先验概 率时错误概率 Pe 与A的关系， 其中A为
T
0
[ y (t ) si (t )]2 dt}
f Si ( y ) 称为似然函数
§8.2 关于最佳接收准则 （1）
在数字通信中，由于噪声和畸变的作用，会 造成错误接收。自然我们期望错误接收的概率越 小越好。因此，在数字通信中最直观和最合理的 准则便是“最小差错概率”。
对于二进制数字通信系统，每一次判决总的 平均错误概率为
最佳接收概念？ 通信系统传输特性的不理想以及噪声 的存在，都会对接收系统的性能产生影响。 最佳接收理论以接收问题作为研究对象， 研究从噪声中如何最好地提取有用信号。 所谓最佳接收，就是在某个准则下构成最 佳接收机，使接收性能达到最佳。
§8.1 数字信号接收的统计表述（1）
从统计学的观点看来，数字通信系统可以用 一个统计模型来表述，如下图
§8.5 实际接收机与最佳接收机的性能比较（3）
S S r N n0 B
Eb ST S n0 n0 n ( 1 ) 0 T
实际接收机与最佳接收机的错误概率在公 式形式上是一样的。由于实际接收机的带通滤 波器B总大于 1 T ，所以在同样输入条件下，最 佳接收机的性能总是比实际接收机的性能好。
1 实际接收系统Pe erfc 2 对于相干2 ASK 最佳接收系统Pe 1 erfc 2 r 4 Eb 4n0
1 r 实际接收系统Pe 2 exp( 2 ) 对于非相干2 FSK Eb 1 ) 最佳接收系统Pe exp( 2 2n0
统计判决模型
§8.1 数字信号接收的统计表述（2）
若发送信号为s(t)，有m中取值 S1 , S 2 ...S m ,
信道噪声n(t)为零均值高斯噪声，则观察空 间状态y(t)为
y(t ) n(t ) s(t )
当出现信号si时，y的概率密度函数为
1 f Si ( y ) exp{ k n0 ( 2 n ) 1
1 实际接收系统Pe 2 erfc r 对于相干2 PSK Eb 1 最佳接收系统Pe erfc 2 n0
1 实际接收系统Pe erfc 2 对于相干2 FSK 最佳接收系统Pe 1 erfc 2 r 2 Eb 2n0
§8.5 实际接收机与最佳接收机的性能比较（2）
Pe P( S1 ) f S1 ( y)dy P( S 2 ) f S2 ( y)dy
' y0
' y0
§8.2 关于最佳接收准则 （2）
由于先验概率 P(s1 )和P(s2 ) 一般认为是确 ' y0 的 定的，因此平均错误概率 Pe 是划分点 函数。采用求极值的分析方法，找到最佳划分 ' 点 y 0 ，使平均错误概率 Pe 满足
Pe 2 erfc 2n0
当 1 时， Pe 有最小值，即
Eb 1 Pe erfc 2 n0
当 0 时， Pe 为
Eb 1 Pe erfc 2 2n0
§8.3 确知信号的最佳接收 （15）
当 1 时，
结论
1 Pe 2
二进制确知信号的最佳形式即为 1 的 形式（如2PSK信号)；使 0 的信号形式(如 2FSK信号）将比 1 的信号在信噪比性能上 差3dB； 使 越接近于1的信号形式，其接收 性能就越差，以致通信无效。
在先验等概的情况下，极限性能 Pe 可简 z 化为 1
2
Pe
2
e
b
2
dz
定义 s1 (t )和s2 (t ) 的互相关系数为
T
s (t ) s (t )dt
1 2 0
E1 E2
1 1
§8.3 确知信号的最佳接收 （14）
当 E1 E2 Eb 时，错误概率 Pe 可表示为 Eb (1 ) 1
0
则判为 s 出现 1
1 P ( s1 ) exp{ n0 1 P ( s2 ) exp{ n0
T
0 T
[ y (t ) s1 (t )]2 dt} [ y (t ) s2 (t )]2 dt}
0
则判为 s 2 出现
§8.3 确知信号的最佳接收 （4）
经简化得
U1 y (t ) s1 (t )dt U 2 y (t ) s2 (t )dt,
ro max | s0 (t0 ) |2 2 E N0 n0
式中
1 E 2
| s( ) |2 d
为信号所s(t)的总能量
§8.6 匹配滤波器 （3）
出现信噪比最大的条件
H ( ) kS* ( )e jt0 H ( ) 就是最佳线性滤波器传输特性，由于该传输 特性与信号频谱的复共轭相一致，故又称其为 匹配滤波器。 匹配滤波器的单位冲击响应为
图8.3.1 确知信号最佳接收机结构
§8.3 确知信号的最佳接收 （6）
简化最佳接收机的原理结构图
图8.3.2 先验等概时最佳接收机结构
§8.3 确知信号的最佳接收 （7）
2. 二进制确知信号最佳接收机的性能
最佳接收机是按最佳判决规则设计的， 因而，具有最小的错误概率。显然，这个 “最小错误概率”表征了最佳接收机的极 限性能，这时的错误概率为
§8.4 随相信号的最佳接收（1）
随机相位信号是指除信号相位 外，其 余参数都确知的信号形式（如具有随机相位 的2ASK，2FSK信号）。
1. 二进制随相信号的最佳接收机
设接收机输入端的两个等概率出现的随相 信号为 s1 (t , 1 ) A0 cos(1t 1 ) s2 (t , 2 ) A0 cos(2t 2 )
§8.3 确知信号的最佳接收 （12）
几点重要概念
因此，若知道先验概率分布，则应按图8.3.1 设计最佳接收机。以便得到最小的 Pe 。但先验 概率分布是不易确知的，故实际中常常选择先验 等概的假设，并按图8.3.2设计最佳接收机的结构。
§8.3 确知信号的最佳接收 （13）
3. 二进制确知信号的最佳形式
h(t ) ks(t0 t )
§8.6 匹配滤波器 （4）
1 A [s1 (t ) s2 (t )]2 dt 2n0 0
T
§8.3 确知信号的最佳接收 （11）
几点重要概念
（1）在A一定的情况下，先验等概时的错误 概率 Pe 最大，这就是说先验等概对于差错性能 而言是一种最不利的情况； （2）若先验不等概，则得到的 Pe 将比等概 时略有下降。
§8 数字信号的最佳接收
第八章 数字信号的最佳接收
数字信号接收的统计表述及最佳接收准则 二进制确知信号的最佳接收原理及抗噪声性能
二进制确知信号的最佳形式
匹配滤波器原理、实现及应用 实际接收机与最佳接收机的性能比较 多进制确知信号的最佳接收原理 基带系统的最佳化
数字信号的最佳接收
§8.6 匹配滤波器 （1）
1. 匹配滤波器的原理 理论分析和实践证明，如果滤波器的输出 端能够获得最大信噪比，则就能最佳地判决信 号的出现，从而获得最佳的性能。匹配滤波器 就是输出信噪比最大的最佳线性滤波器。
2 Eb A0 T 2
§8.6 匹配滤波器 （2）
设匹配滤波器传输函数为 H ( ) ，其输入 信号s(t)的频谱函数是 S ( ) ，输入噪声为白 噪声，其双边带功率谱为 n0 2 。匹配滤波器 在抽样时刻 t 0 上有最大的信号瞬时功率与噪 声平均功率的比值，即
f S1 ( y ) f S2 ( y ), f S1 ( y ) f S2 ( y ), 判为 1 判为 2
最大似然准则时似然比准则的一个特例。
§8.3 确知信号的最佳接收 （1）
经信道到达接收机输入端的信号可分 为确知信号和随参信号两类。确知信号是 指信号的所有参数（幅度、频率、相位、 到达时间等）都是确知的，未知的只是信 号出现与否。
2 T 1 2 2
0
y (t ) cos1tdt] [ y (t ) sin 1tdt] } 0 1 T y (t ) cos2tdt]2 [ y (t ) sin 2tdt]2 }2 0
§8.4 随相信号的最佳接收（3）
根据上述判决规则可以构造二进制随相信 号的最佳接收机
§8.3 确知信号的最佳接收 （2）
1. 二进制确知信号的最佳接收
在观察时间（0，T）内，观察到的波形y(t)可 表示为
y(t ) {S1 (t )或S2 (t )} n(t )
1 f S1 ( y ) exp{ k n0 ( 2 n )
1 f S2 ( y) exp{ n0 ( 2 n ) k 1
Pe P( s1 ) PS1 ( s2 ) P( s2 ) PS2 ( s1 )
1 P ( s1 )[ 2
e
b
z2 2
1 dz] P ( s2 )[ 2