《概率论与数理统计》案例
《概率论与数理统计》典型例题 第四章 大数定律与中心极限定理
= 0.15,
µn 为
5000
户中收视
该节目的户数，所以可应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，即二项分布以正态 分布为极限定理。
解 ： 设 µn 为 5000 户 中 收 视 该 节 目 的 户 数 ， 则 µn ~ B(n, p) ， 其 中
n = 5000, p = 0.15 。 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理， µn − np 近似服从 np(1− p)
显然需用到前一不等式，则只需算出 E(X + Y ) 与 D(X + Y ) 即可。
解：由于 E(X + Y ) = 0 ，
D( X + Y ) = DX + DY + 2Cov( X , Y ) = DX + DY + 2ρ XY DX DY = 1+ 4 + 2×1× 2× (−0.5) = 3 ，
( D )服从同一离散型分布。
分析：林德伯格-列维中心极限定理要求的条件是 X 1, X 2,", X n,"相互独
立、同分布、方差存在，这时，当 n 充分大时， Sn 才近似服从正态分布。 根据 条件分析选项即可。
解：显然选项 A 与 B 不能保证 X 1, X 2 , ", X n 同分布，可排除。 选项 C 给出了指数分布，此时独立同分布显然满足，而且由于是指数分布， 方差肯定存在，故满足定理条件。 选项 D 只给出其离散型的描述，此时独立同分布显然满足。 但却不能保证 方差一定存在，因此也应排除。 故选 C 。 注：本例重在考察中心极限定理的条件。
P{ X
− EX
≥ ε}≤
E[g( X − EX )] 。 g(ε )
分析：证明的结论形式与切比雪夫不等式非常相似，利用切比雪夫不等式的 证明思想试试看。
概率论与数理统计案例
4. 记
X
1 100
100 i 1
Xi
（1） P{X 14.5} P{ X 14 14.5 14} P{ X 14 2.5} 1(2.5) 0.0062
0.2
可见，100 件产品的平均强度超过 14.5 的概率非常之小。
（2） P{X 14} P{ X 14 14 14} P{ X 14 0} (0) 0.5
X 1, X 2 ,, X 200 是 200 个相互独立的随机变量，且 E( X k ) 100, D( X k ) 100 ，
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
概率论与数理统计案例分析
概率论与数理统计案例分析概率论与数理统计作为数学的一个重要分支，广泛应用于各个领域。
本文将通过一些具体案例来分析概率论和数理统计在实际中的应用。
案例一：市场营销中的A/B测试在市场营销领域，A/B测试是一种常见的实验设计方法，用于比较两种不同的营销策略、广告设计或产品设计等。
假设某电商公司希望提高其网站用户的转化率，他们可以设计一个A/B测试来比较两种不同的促销活动对用户购买行为的影响。
首先，将用户随机分为两组，一组接受A方案，另一组接受B方案。
然后通过收集和分析用户的购买数据，可以利用概率论和数理统计方法来评估两种方案的效果。
通过统计显著性检验和置信区间分析，可以得出结论，哪种方案对用户购买行为影响更大，从而指导公司的营销策略。
案例二：医学研究中的双盲试验在医学研究领域，双盲试验是一种常用的研究设计，用于评估新药物的疗效。
在一次双盲试验中，研究者和参与者都不知道哪些人接受了治疗，哪些人接受了安慰剂。
通过随机分组和盲法设计，可以最大程度地减少实验结果的偏倚。
利用概率论和数理统计方法，研究人员可以对试验数据进行分析，来评估新药物的疗效是否显著，以及是否出现不良反应等情况。
通过以上案例分析，可以看出概率论和数理统计在实际中的重要性和应用价值。
无论是市场营销领域还是医学研究领域，都离不开对数据的收集、分析和解释。
掌握好概率论和数理统计知识，对于提高决策的科学性和准确性有着重要的意义。
希望本文的案例分析能够让读者更深入地理解概率论和数理统计的实际应用，为他们在相关领域的工作和研究提供一定的启发和帮助。
【课程思政案例】《概率论与数理统计》
《概率论与数理统计》课程思政教学设计课程所在部门：大数据与科学学院课程学时/学分：64课时/4学分课程性质：通识必修课适用专业：经管类各专业案例 1随机事件01本案例教学目标1、知识与技能：了解概率论部分与数理统计部分的相互关系；对“随机”、“数据”形成初步的印象。
2、过程与方法：使学生知晓该课程“学什么”、“如何学”、“如何用”、“怎样才算对概率统计课程学好了”；通过学生自由讨论，了解学生对该课程的理解，对“随机现象”、“统计数据”的认识。
3、价值目标：通过“数学之美”视频培养学生爱国主义精神、渗透攻关精神、善于钻研的科学理性；让学生懂得，一个估计结果、一个观点的产生与相关的环境态势及其观察值有关，看问题要学会分析和判断。
02本案例思政教学目标培养学生的爱国主义精神，渗透攻关精神，善于钻研的科学理性。
03本案例课程思政设计教学环节融入课程思政的教学内容和资源的设计：04实施过程01教学分析02教学过程03考核和评价平时成绩+期末考试成绩04教学反思课程思政完美地渗透在数学类课程的教学过程中是值得广大教师积极探索的一个课题，要做到顺理成章，不能太突兀，否则就是为了思政而思政，反而达不到课程思政的效果。
05教学成效1.通过“数学之美”视频，同学们表示在之后学习与工作过程中也要有不畏艰难的攻关精神与善于钻研的科学理性。
2.通过投硬币试验教育了同学们在不确定的生活中有时也会出在取与舍，放与做的对立选择，但只要我们用积极的态度，坚持的韧劲、创新的精神来对待不确定的世界，就会有美好的未来，这是人生的内在规律，同学们深受鼓舞。
06特色与创新1.教师讲授为主，辅以“交互探究式教学法”，同时采用讨论式、谈话式等教学方法。
运用恰当的实际事件引出随机事件，由浅入深，通俗易懂，便于理解。
2.播放“数学之美”视频，让同学们直观体会，深入理解数学的重要性。
案例 2条件概率01本案例教学目标1、知识与技能：了解全概率公式与贝叶斯公式的基本思想和背景来源；掌握全概率公式与贝叶斯公式的适用范围、基本步骤及其具体运用。
概率论与数理统计案例
概率论与数理统计案例概率论与数理统计是数学学科的两个分支，它们研究与概率和随机变量相关的问题，可以应用于统计、经济、金融等领域。
下面将介绍一些概率论与数理统计的案例。
案例一：骰子游戏在玩一个骰子游戏时，每次掷一个骰子，如果骰子点数为1或6，则游戏结束，否则游戏继续。
假设你可以决定掷骰子的次数，掷的次数越多，结束游戏的概率越大，但可能会因为掷的次数过多而浪费时间。
现在假设你只能掷骰子n次，问你应该掷几次骰子可以使结束游戏的概率最大？解题思路：对于这个问题，我们可以使用概率论的方法来求解。
假设掷骰子的次数为k，那么结束游戏的概率为：$P_k$ = $\frac{1}{3} + \frac{4}{9}(\frac{2}{3})^k +\frac{2}{9}(\frac{1}{2})^k(\frac{2}{3})^{n-k}$为了使结束游戏的概率最大，我们需要求出这个概率关于k的一阶导数，并令其等于0。
对上式求导，得到：令$P'_k$ = 0，解得：$k$ = $\frac{n}{2}$因此，在保证掷骰子次数不超过n的情况下，掷骰子次数为$\frac{n}{2}$时可以使结束游戏的概率最大。
案例二：股票涨跌预测对于投资者来说，股票的涨跌是一个重要的决策因素，如果能准确预测股票涨跌，可以获得更高的投资收益。
根据概率论和数理统计的方法，我们可以尝试分析股票涨跌的概率和趋势，并根据分析结果制定投资策略。
对于股票涨跌的预测，我们可以使用概率论中的二项分布来进行分析。
假设一个股票价格在一段时间内有50%的概率上涨，50%的概率下跌，我们可以将上涨定义为成功事件，下跌定义为失败事件，那么在n次交易中，股票涨k次的概率为：$P(k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\times p^k\times (1-p)^{n-k}$其中，p为股票价格上涨的概率，k为股票涨的次数。
对于预测股票涨跌的趋势，我们可以使用时间序列分析的方法来进行分析。
概率论与数理统计26
五．设随机变量 X 的分布律为
P(X
k)
(b )k
a
,k
0,1,2,, 其 中b,
0
是
k!
已知常数，则a __e__b__ .
FX
x
0.5e x
1
0.5e
x
x0 x0
X 2的概率密度_______ .
0
y0
fY
y
2
1
y
e
y
y0
三．设随机变量 X 服从参数为（2，P）的二项分布，
随机变量 Y 服从参数（3，P）的二项分布，若
P{ X
1}
5 ,则P{Y
1}
19
____ .
9
27
四．设 X ~ N (2, 2 ),且P(2 X 4) 0.3, 则P( X 0) _0_._2__ .
解：将X所取的n个值按从小到大的顺序 排列为：
x(1) x(2) … x(n)
x(k) x< x(k+1)时，F(x)= P(X x)=k/n,
x x(n)时，F(x)=P(X x)=1
例2 X具有离散均匀分布，即 P(X=xi )=1/n, i=1,2,…，n，求X的分布函数. 于是得
0,
第二章 自测题
一．随机变量 X 具有以下的分布律：
X
--2
0
2
3
P 0.2 0.2 0.3 0.3
则Y X 2 的分布律为___Y__ . 0
4
9
P 0.2 0.5 0.3
二．已知随机变量 X 的概率密度为
f X ( x) Ae|x|, x ,系数A __0_._5__;X 的分
布函数FX ( x) _____;Y
《概率论与数理统计》典型例题
《概率论与数理统计》典型例题第一章 随机事件与概率例1．已知事件,A B 满足，A B 与同时发生的概率与两事件同时不发生的概率相等，且()P A p =，则()P B = 。
分析：此问题是考察事件的关系与概率的性质。
解：由题设知，()(P AB P A B =∩)，则有()()()1()1()()()P AB P A B P A B P A B P A P B P AB ===−=−−+∩∪∪而，故可得。
()P A p =()P B =1p −注：此题具体考察学生对事件关系中对偶原理，以及概率加法公式的掌握情况，但首先要求学生应正确的表示出事件概率间的关系，这三点都是容易犯错的地方。
例2．从10个编号为1至10的球中任取1个，则取得的号码能被2或3整除的概率为 。
分析：这是古典概型的问题。
另外，问题中的一个“或”字提示学生这应该是求两个事件至少发生一个的概率，即和事件的概率，所以应考虑使用加法公式。
解：设A ：“号码能被2整除”，B ：“号码能被3整除”，则53(),()1010P A P B ==。
只有号码6能同时被2和3整除，所以1()10P AB =，故所求概率为 5317()()()()10101010P A B P A P B P AB =+−=+−=∪。
注：这是加法公式的一个应用。
本例可做多种推广，例如有60只球，又如能被2或3或5整除。
再如直述从10个数中任取一个，取得的数能被2或3整除的概率为多少等等。
例3．对于任意两事件，若，则 A B 和()0,()0P A P B >>不正确。
（A ）若AB φ=，则A 、B 一定不相容。
（B ）若AB φ=，则A 、B 一定独立。
（）若C AB φ≠，则A 、B 有可能独立。
（）若D AB φ=，则A 、B 一定不独立。
分析：此问题是考察事件关系中的相容性与事件的独立性的区别，从定义出发。
解：由事件关系中相容性的定义知选项A 正确。
概率论与数理统计案例
概率论部分：案例1 邮局开设多少服务窗口合理案例2 国家邮政局发行贺年（有奖）明信片的利润计算案例3 彩民获奖的概率问题案例4 人寿保险问题案例5 免费抽奖问题案例6 双色球彩票中奖概率的理论计算与验证案例7 公交大巴车门高度如何设计案例8 怎样由脚印长度估计罪犯身高案例9 生日问题案例10 排队等待问题案例11 传送带效率问题案例12 商品订货案例13 交货时间为随机变量的存贮模型。
案例14 轧钢问题续集案例15 销售量为随机的存储模型(报童卖报问题)案例16 到货时间为随机的存储模型(报童卖报问题)案例17 随机性人口模型案例18 捕鱼问题案例19 足球门的危险区域案例20 利用蒙特卡洛方法（随机模拟）计算积分统计部分案例21 计算常用描述性统计量，绘制常用统计图案例22 卡方分布问题：案例23 工程师的建议是否应采纳案例24 化妆品销售量的预测案例25 假设检验（配对样本的t检验，本题目源于2012年全国大学生数学建模竞赛A题）案例26 气候预测案例27 蠓虫的分类模型案例1 邮局开设多少服务窗口合理某居民区有n 个人，设有一个邮局，开m 个服务窗口，每个窗口都在办理所有业务。
m 太小则经常排长队。
m 太大又不经济。
假定在每一指定时刻，这n 个人中每一个是否去邮局是独立的。
每个人在邮局的概率都是p 。
现要求“在营业中任一时刻每个窗口的排队人数（包括正在被服务的那个人）不超过s ”这个事件的概率不小于α（一般取95.090.0,80.0或=α）则至少需开设多少窗口？ 利用伯努利分布解决这个问题 设事件），，（个人在邮局办事在指定时刻恰有sm k k A k ⋯==2,1,0}{由题设条件知k n k k n k p p C A P --=)1()(由于sm A A A A ,,,,210⋯为两两互斥事件。
故∑∑=-==≥-===smk k n kk n smk k smk k p p C A P A P s P 0)1()()()(α每个窗口人数都不超过找一个最小的自然数m ，使上面不等式成立。
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实例1 发行彩票的创收利润
某一彩票中心发行彩票 10万张, 每张2元. 设头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个,奖金各 5 千元;三等奖 10个, 奖金各1千元; 四等奖100个, 奖金各100元; 五等奖1000个, 奖金各10 元.每张彩票的成本费为 0.3 元, 请计算彩票发行单位的创收利润.
每张彩票平均能得到奖金
05512()10000500001010E X p =⨯+⨯++⨯0.5(),=元
每张彩票平均可赚20.50.3 1.2(),--=元
因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为：100000 1.2120000().⨯=元 实例2 如何确定投资决策方向?
某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为 30%，可得利润8万元 ， 失败的机会为70%，将损失 2 万元．若存入银行，同期间的利率为5% ，问是否作此项投资?
解：设 X 为投资利润，则
()80.320.71(),E X =⨯-⨯=万元
存入银行的利息:1050.5(),%⨯=万元故应选择投资.
实例3 商店的销售策略
某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式，记使用寿命为X （以年计），规定
1,1500;12,2000;23,2500;3,3000.
X X X X ≤<≤<≤>一台付款元一台付款元一台付款元一台付款元
10,1e ,0,()100,
0.x X x f x x Y -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩ 设寿命服从指数分布概率密度为
试求该商店一台家用电器收费的数学期望
解：1
1001{1}e d 10
x P X x -≤=⎰0.11e -=-0.0952,= 21011{12}e d 10
x P X x -<≤=⎰0.10.2e e --=-0.0861,= 31021{23}e d 10
x P X x -<≤=⎰0.20.3e e 0.0779,--=-= 1031{3}e d 10x P X x +∞->=⎰0.3e 0.7408.-== Y 因而一台收费的分布律为
()2732.15,E Y =得2732.15.即平均一台家用电器收费元
例1 某单位内部有260部电话分机，每个分机有4%的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能95%满足每个分机在用外线时不用等候?
解： 令),260,2,1(01 =⎩
⎨⎧=k k k X K 个分机不要用外线第个分机要用外线第，26021,,,X X X 是260个相互独立的随机变量，且04.0)(=i X E ，26021X X X m +++= 表示同时使用外线的分机数，根据题意应确定最小的x 使%95}{≥<x m P 成立。
由上面定理，有
⎰∞--≈⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--≤--=<b t dt e p p p x p p p m P x m P 22
21)1(260260)1(260260}{π 查得95.09505.0)65.1(>=Φ，故，取65.1=b ，于是
61.1504.026096.004.026065.1260)1(260≈⨯+⨯⨯⨯=+-=p p p b x 也就是说，至少需要16条外线才能95%满足每个分机在用外线时不用等候。
例2 用机器包装味精，每袋净重为随机变量，期望值为100克，标准差为10克，一箱内装200袋味精，求一箱味精净重大于20500克的概率。
解： 设一箱味精净重为X 克，箱中第k 袋味精的净重为k X 克，200,,2,1 =k . 20021,,,X X X 是200个相互独立的随机变量，且100)(,100)(==k k X D X E ，
2100)(,20000)(,20000)()(20021===+++=X D X D X X X E X E 因而有 }20500{1}20500{≤-=>X P X P
0002.0)54.3(12100500210020000
1=Φ-≈⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≤--=X P 例3设一批产品的强度服从期望为14，方差为4的分布。
每箱中装有这种产品100件，问：
（1） 每箱产品的平均强度超过14.5的概率是多少？
（2） 每箱产品的平均强度超过期望14的概率是多少？
解：设(1,2,,100)i X i =是第i 件产品的强度，1100,
,X X 相互独立，则()14,var() 4.i i E X X ==记100
11100i i X X ==∑，
则近似
有14~(0,1)0.2X X X N -==，于是 （1）1414.51414{14.5}{}{ 2.5}1(2.5)0.00620.20.20.2
X X P X P P φ--->=>=>≈-= 可见，100件产品的平均强度超过14.5的概率非常之小。
（2）14141414{14}{}{0}(0)0.50.20.20.2
X X P X P P φ--->=>=>≈= 于是，100件产品的平均强度超过14的概率为50%。
例4 计算机在进行数字计算时，遵从四舍五入原则，为简单计，现在对小数点后面第一位进行舍入运算，则舍入误差X 可以认为服从[-0.5,0.5]上的均匀分布，若独立进行了100
次数字计算，球这些计算的平均舍入误差落在区间[,]2020-
上的概率。
解：设(1,2,,100)i X i =是第i 次运算中产生的误差，1100,
,X X 相互独立，都服从[-0.5,0.5]上的均匀分布。
这时，则1()0,var().12
i i E X X ==记10011100i i X X ==∑，则近似
有
100
100
100
1
1000
~(0,1)
i
i
i
X
Y X N
=
-⨯
==
∑
，于是平均舍入误差落在区
间
[上的概率为
100
11
1
{{{33}(3)(3)0.9973
100i i
i i
P X P X P Xφφ
==
≤=≤=-≤≈--=
∑
例5某公司有200名员工参加一种资格证书考试。
按往年经验该考试通过率为0.8,。
试计算这200名员工至少有150人考试通过的概率。
解：设
1,
(1,2,,200)
i
i
X i
i
⎧
==
⎨
⎩
第人通过考试
，第人未通过考试
，依题意知，
200
1
{1}0.8,2000.8160,(1)32,
i i
i
P X np np p X
=
===⨯=-=∑是考试通过人数，且近似有
200
160
~(0,1)
i
X
N
-
∑
，于是
200200
200
1
160160
{150} 1.77}1( 1.77)0.96
i i
i
i
X X
P X P Pφ=
--
≥=≥=≥-≈--=
∑∑
∑
即至少有150名员工通过这种资格考试的概率为0.96。
例8某市保险公司开办一年人身保险业务，被保险人每年需交付保险费160元，若一年内发生重大人身事故，其本人或家属可获2万元赔金。
已知该市人员一年内从此项业务所得到的总收益在20万到40万元之间的概率是多少？
解：设
1,
(1,2,,5000)
i
i
X i
i
⎧
==
⎨
⎩
第个被保险人发生重大事故
，第个被保险人未发生重大事故。
，
，依题意知，
5000
1
{1}0.005,25,
i i
i
P X np X
=
===∑是5000个被保险人中一年发生重大事故的人数，保险公司一年内从此项业务所得到的总收益为
5000
1
0.01650002
i
i
X
=
⨯-∑万元，于是
50005000
115000{200.0165000240}{2030}
25(1.0025)( 1.0025)0.6839i i i i i P X P X X P φφ==≤⨯-≤=≤≤-=≤≤≈--=∑∑∑。