高考数学选择题的十种常见解法

高考数学选择题的10种常用解法

高考数学试题中, 选择题的分值占全卷的40％,同时它又在全卷的开始部分,所以解选择题的快慢和成功率的高低对于能否进入最佳状态,以至于整个考试的成败起着举足轻重的作用.

近年高考选择题减少了繁烦的运算,着力考查学生的逻辑思维与直觉思维能力,以及观察、分析、比较、选择简捷运算方法的能力，突出了对学生数学素质的考查。试题运算量不大，以认识型和思维型的题目为主，许多题目既可用通性、通法直接求解,也可用 ―特殊‖方法求解。下面介绍高考数学选择题的10种常用解法.

解数学选择题有两个基本思路：一是直接法；二是间接法

①充分利用题干和选择支两方面提供的信息，快速、准确地作出判断，是解选择题的基本策略。 ②解选择题的基本思想是：既要看到通常各类常规题的解题思想，原则上都可以指导选择题的解答；更应看到。根据选择题的特殊性，必定存在着若干异于常规题的特殊解法。我们需把这两方面有机地结合起来，对具体问题具体分析。

1、直接求解法

由因导果，对照结论。按指令要求，通过推理或演算直接得出符合题意的结论，再与选择支对照而作出判断的解题思路称为直接法.直接法是经常采用的一种重要方法.

例1、设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射:f A B →把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元

素2n n +，则在映射f 下，象20的原象是 （ ）()2A ()3B ()4C ()5D

解：由映射概念可知220,n n +=可得4n =.故选()C .

例2、如果()732log log log 0x =????，那么1

2

x

-

等于（ ）()

A 1

3

(B (C (D

解：由题干可得：()322log log 1log 3x x =?=3

2.x ?=13

2

2

2

x

-

-

∴=故选()D . 例3、方程

sin 100

x

x =的实数解的个数为 （ ）()61A ()62B ()63C ()64D

解：令,sin 100x y y x ==，这两个方程的曲线交点的个数就是原方程实数解的个数.由于直线1

100

y x =的

斜率为

1

100

，又1s i n 1.x -≤≤所以仅当100100x -≤≤时，两图象有交点.由函数sin y x =的周期性，把闭区间[]100,100-分成()()[

]100,2161,2,21,215,100.k k ππππ--++?????????(15,14,,k =-- 2,1,0,1,2,

,14),-- 共32个区间，在每个区间上，两图象都有两个交点，注意到原点多计一次，故实际交点有63个.即原方程有63个

实数解.故选()C .

从以上例题可以看出，解一元数学选择题，当得出的符合题意的结论与某选择支相符时，便可断定该选择支是正确的.

练习精选

1．已知f(x)=x(sinx+1)+ax 2,f(3)=5,则f(－3)=( )(A)－5 (B)－1 (C)1 (D)无法确定

2．若定义在实数集R 上的函数y=f(x+1)的反函数是y=f －

1(x －1),且f(0)=1,则f(2001) 的值为( ) (A)1 (B)2000 (C)2001 (D)2002

3.已知奇函数f(x)满足：f(x)=f(x+2)，且当x ∈(0,1)时，f(x)=2x －1,则12

(log 24)f 的值为

（A ）12- （B ）5

2

- （C ）524- （D ）2324-

4．设a>b>c,n ∈N,且

11n

a b b c a c

+≥

---恒成立，则n 的最大值是（ ）(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 5.如果把y=f(x)在x=a 及x=b 之间的一段图象近似地看作直线的一段，设a ≤c ≤b ，那么f(c)的近似值可

表示为（ ）(A)

[]1

()()2

f a f b +()[()()]c a f a f b f a b a -+

-- (D) ()[()()]c a

f a f b f a b a

---- 6．有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂

直；③异面直线,a b 不垂直，那么过a 的任一平面与b 都不垂直。其中正确的命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3

7．数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n －1

,…的前99项的和是（ ）

（A ）2100－101 （B ）299－101 （C ）2100－99 （D ）299

－99 练习精选答案：B DACCDA

2、特例法

把特殊值代入原题或考虑特殊情况、特殊位置，从而作出判断的方法称为特例法.（也称特殊值法）

例4、当()()112a b ++=时，arctga arctgb +的弧度等于 （ ）

()

22A π

π

-

或 ()2

33

B ππ-或 ()344

C ππ-或 ()

4

55

D π

π-或 分析：四个选择支中有且只有一个是正确的，且四支中八个常数均不相同，故把满足()()112a b ++=的任一组,a b 的值代入arctga arctgb +必等于这八个数中的某一个，该数所在的支就是正确支.

解：取满足()()112a b ++=的0,1a b ==代入，有014

arctg arctg π

+=.故选()C .

注：若用直接法.由()()112 1.1a b a b ab +++=?=-()11a b

tg arctga arctgb ab

++==- . 又,2

2

2

2

arctga arctgb arctga arctgb π

π

π

π

ππ-<<

-

<<

∴<+<.3.4

4

arctga arctgb π

π

∴+=

-

或

例5、()11,lg lg ,lg 22a b a b P Q a b R +??>>=

=

+= ???

，则 （ ） ()A R P Q << ()B P Q R << ()C Q P R << ()D P R Q <<

解：由1,a b >>不妨取100,10a b ==，则3100103,lg .222P Q R +??

==>= ??

?故选()B . 注：本题也可尝试利用基本不等式进行变换.

例6，这个长方体对角线的长是 （ ）

()A ()B ()6C (D

解：由已知不妨设长1,a =宽b =c =，=故选()D .

练习精选

1．若04

π

α<<

，则（ ）(A)sin 2sin αα> (B)cos2cos αα< (C)tan2tan αα> (D)cot 2cot αα<

2．如果函数y=sin2x+a cos2x 的图象关于直线x=－

8

π

对称，那么a=( (B)(C)1 (D)－1

3.已知≥1).函数g(x)的图象沿x 轴负方向平移1个单位后，恰好与f(x)的图象关于直线

y=x 对称，则g(x)的解析式是（）（A ）x 2+1(x ≥0)(B)(x －2)2+1(x ≥2)(C) x 2+1(x ≥1)(D)(x+2)2

+1(x ≥2)

4.直三棱柱ABC —A /B /C /的体积为V ，P 、Q 分别为侧棱AA /、CC /上的点，且AP=C /

Q ，则四棱锥B —APQC 的体积是（ ）（A ）12V （B ）13V （C ）14V （D ）1

5

V

5．在△ABC 中，A=2B ，则sinBsinC+sin 2B=( ) (A)sin 2A (B)sin 2B (C)sin 2

C (D)sin2B 6.若(1-2x)8=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 8x 8,则|a 1|+|a 2|+…+|a 8|=( ) （A ）1 （B ）－1 （C ）38－1 （

D ）28

－1 7．一个等差数列的前n 项和为48，前2n 项和为60，则它的前3n 项和为（ ） (A) 24- (B) 84 (C) 72 (D) 36

8．如果等比数列{}n a 的首项是正数，公比大于1，那么数列13

log n a ?????????

?

是（ ）

(A)递增的等比数列； (B)递减的等比数列； (C)递增的等差数列； (D)递减的等差数列。 9.双曲线222222(0)b x a y a b a b -=>>的两渐近线夹角为α，离心率为e ，则cos 2

α等于（ ）

(A)e (B)2e (C)1e (D)21

e

练习精选答案：BDBBACDDC

3、代入验证法

将选择支代入题干或将题干代入选择支进行检验，然后作出判断的方法称为代入法.

例72=的值是 （ ）()3A x = ()3

7

B x =

()2C x = ()1D x =

分析：找最简单的选择支代入，并根据正确支是唯一的可知选()D . 注：本问题若从解方程去找正确支实属下策.

例8、已知101,1 1.log ,log ,

a a a

b ab M N b b

<<>>==且则1

log b

P b =.三数大小关系为 （ ） ()A P N M << ()

B N P M <<

()C N M P << ()D P M N <<

解：由01,10,0.a b M N <<>><知又10.P =-<代入选择支检验()(),C D 被排除；又由1log 0log log 0a a a ab ab b a >?

log log .a b b A b

<被排除.故选()B .

练习精选

1．如果4

36m

m C P =，则m=（ ） (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 2．若不等式0≤x 2

－ax+a ≤1的解集是单元素集，则a 的值为（ ） (A)0 (B)2 (C)4 (D)6

3．若f (x)sinx 是周期为 π 的奇函数，则f (x)可以是( ) (A) sinx (B) cosx (C) sin2x (D) cos2x

4.已知复数z 满足arg(z+1)=3π，arg(z －1)= 6

5π,则复数z 的值是( )

(A)i 31+- (B) i 2

32

1+

- (C)

i 31- (D)i 2

32

1-

5．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是．．（ ） (A)三棱锥 (B) 四棱锥 (C) 五棱锥 (D) 六棱锥 练习精选答案：BBBBD

4、图象法（数形结合法）

通过画图象作出判断的方法称为图象法.

例9、方程()lg 410x x +=的根的情况是 （ ）

()A 仅有一根 ()B 有一正根一负根 ()C 有两个负根 ()D 没有实数根

解：令()1210,lg 4.x y y x ==+画草图（略）.当0x =时，()1212101,lg 4lg4.x y y x y y ===+=∴>.当1x =-时，()1212110,lg 4lg3..10x y y x y y ==

=+=∴<当3x =-时，()1212110,lg 4lg10.1000

x y y x y y ===+==∴>. 由此可知，两曲线的两交点落在区间()3,0x ∈-内.故选()C .

例10、已知(){}()(){}2

22,,,1E x y y x F x y x y a =≥=+-≤，那么使E F F = 成立的充要条件是 （ ）

()54

A a ≥

()5

4

B a =

()1C a ≥ ()0D a > 解：E 为抛物线2y x =的内部（包括周界），F 为动圆()2

21x y a +-=的内部（包括周界）.该题的几何意义是a 为何值时，动圆进入区域E ，并被E 所覆盖.（图略）

a 是动圆圆心的纵坐标，显然结论应是()a c c R +≥∈，故可排除()(),B D ，而当1a =时，.E F F ≠ （可

验证点()0,1.故选()A . 练习精选

1.方程lg(x+4)=10x 的根的情况是( )(A)仅有一根 (B)有一正一负根 (C)有两负根 (D)无实根

2.E 、F 分别是正四面体S —ABC 的棱SC 、AB 的中点,则异面直线EF 与SA 所成的角是 (A)90o (B)60o (C)45o (D)30o

3.已知x 1是方程x+lgx=3的根,x 2是方程x+10x =3的根,那么x 1+x 2的值是( )(A)6 (B)3 (C)2 (D)1

4.已知函数f(x)=x 2,集合A={x|f(x+1)=ax,x ∈R},且A ∪R +=R +,则实数a 的取值范围是 (A)(0,+∞) (B)(2,+∞) (C)[4,)+∞ (D)(,0)[4,)-∞+∞

5.函数f(x)=

1

2

ax x ++在区间(-2,+ ∞)上为增函数,则a 的取值范围是( ) (A)012 (C)a>1

2

(D)a>-2

6.已知函数f(x)=3-2|x|,g(x)=x 2

-2x,构造函数F(x),定义如下:当f(x)≥g(x)时,F(x)=g(x);当f(x)

(A)有最大值3,最小值-1(B)有最大值无最小值(C)有最大值3,无最小值(D)无最大值,也无最小值

7．ω是正实数，函数f(x)=2sin ωx 在[,]34

ππ

-上递增，那么( )

(A)0<ω≤32 (B)0<ω≤2 (C)0<ω≤24

7

(D) ω≥2

8(0)x a ≥>的解集为{}x m x n ≤≤，且2m n a -=，则a 的值等于（ ）

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

9.f(x)是定义在R 上的奇函数,且f(3－x)=f(3+x),若 x ∈(0,3)时f(x)=2x ,则f(x)在(－6,－3)上的解析式是f(x)=（ ）（A ）2x+6 （B ）－2x+6 （C ）2x （D ）－2x 练习精选答案：CCBACBABB

5、逻辑分析法

根据选择支的逻辑结构和解题指令的关系作出判断的方法称为逻辑分析法. （1）若（A ）真?（B ）真，则（A ）必排出，否则与“有且仅有一个正确结论”相矛盾. (2) 若（A ）?（B ），则（A ）（B ）均假。 （3）若（A ）（B ）成矛盾关系,则必有一真,可否定(C)(D).

例11、若1,c a b >=

=则下列结论中正确的是 （ ）

()A a b > ()B a b = ()C a b <

()D a b ≤

分析：由于a b ≤的含义是.a b a b <=或于是若()B 成立，则有()D 成立；同理，若()C 成立，则()D 也

成立，以上与指令“供选择的答案中只有一个正确”相矛盾，故排除()(),B C .再考虑()(),A D ，取3c =代

入得2a b =，显然a b >，排除()D .故选()A .

例12、当[]4

4,0,13

x a x ∈-+时恒成立，则a 的一个可能取值是 （ ） ()5A

()5

3

B

()5

3

C -

()5D -

解：()()()()0A B C D ∴???真真真真.故选()D . 注：本题由解题指令“只有一个供选答案正确”可知选()D 才正确.

练习精选

1.平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的两个对角面ACC 1A 1与BDD 1B 1都是矩形,则这个平行六面体是( ) (A)正方体 (B)长方体 (C)直平行六面体 (D)正四棱柱

2.当x ∈[-4,0]时413a x +恒成立,则a 的一个可能值是( )(A)5 (B)-5 (C)53 (D)53

- 3.已知z 1=a 1+b 1i,z 2=a 2+b 2i(a 1,a 2,b 1,b 2均为实数)是两个非零复数,则它们所对应的向量1OZ 与2OZ

互相垂

直的充要条件是( ) (A)

12

12

1b b a a =- (B) a 1a 2+b 1b 2=0 (C)z 1-iz 2=0 (D)z 2-iz 1=0 4.设,a b 是满足0ab <的实数，那么（ ）

(A)a b a b +>- (B) a b a b +<- (C)a b a b -<- (D) a b a b -<+

5.若a 、b 是任意实数，且a > b,则（ ） (A) a 2 > b 2 (B) b a <1 (C) lg(a –b)>0 (D) (12 )a <( 1

2 ) b

6..在直角三角形中两锐角为A 和B ，则sinAsinB=（ ）(A) 有最大值12 和最小值0 (B) 有最大值1

2 ,但无

最小值 (C) 既无最大值也无最小值 (D) 有最大值1,但无最小值

练习精选答案：CBBBDB

6、逆向思维法

当问题从正面考虑比较困难时，采用逆向思维的方法来作出判断的方法称为逆向思维法.

例13、若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是 （ ）

()A 三棱锥 ()B 四棱锥 ()C 五棱锥 ()D 六棱锥

解：若是六棱锥，则这个六棱锥的底面外接圆半径、底面边长、侧棱长都相等，这是不可能的.故选()D .

例14、《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必

纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算：

某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于

()A 800~900元 ()B 900~1200元 ()C 1200~1500元 ()D 1500~2800元

解：设某人当月工资为1200元或1500元，则其应纳税款分别为：400?5%=20元，500?5%+200?10%=45元，可排除()A 、()B 、()D .故选()C .

注：本题也可采用（1）估算法.由500?5%=25元，100?10%=10元，故某人当月工资应在1300~1400元之间. 故选()C .

（2）直接法.设某人当月工资为x 元，显然13002800x <<元，则()130010%5005%26.78x -?+?=.解之得1317.8x =元. 故选()C .

练习精选

1．若不等式0≤x 2

－ax+a ≤1的解集是单元素集，则a 的值为（ ）(A)0 (B)2 (C)4 (D)6 2.对于函数f(x),x ∈[a,b]及g(x), x ∈[a,b]。若对于 x ∈[a,b],总有

()()1

()10

f x

g x f x -≤ ，我们称f(x)可被g(x)替代.那么下列给出的函数中能替代, x ∈[4,16]的是( )

(A)g(x)=x+6, x ∈[4,16] (B)g(x)=x 2+6, x ∈[4,16] (C)g(x)=1

5

, x ∈[4,16] (D)g(x)=2x+6, x ∈[4,16]

3.在下列图象中，二次函数y=ax 2

+bx 与指数函数x

b y a ??

= ???

的图象只可能是（ ）

(A) (B) (C) (D)

4.若圆222(0)x y r r +=>上恰有相异两点到直线43250x y -+=的距离等于1，则r 的取值范围是( ) (A)[]4,6 (B)[)4,6 (C)(]4,6 (D)()4,6

5．已知复数z 满足z+z·2

(1)4

i z +=

,则复数z 的值是( )(A)12i - (B)122i + (C)122i -+ (D)122i -- 6.已知y=f(x)的图象如右，那么f(x)=( )

(C)x 2－2|x|+1 (D)|x 2－1| 练习精选答案：BBCDCA

7、估算法

所谓估算法就是一种粗略的计算方法，即对有关数值作扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计的方法。

例15如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF//AB ，

EF=3/2，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为………………………………（ ） A ）9/2 B ）5 C ）6 D ）15/2

解析：连接BE 、CE 则四棱锥E －ABCD 的体积 V E-ABCD =13

×3×3×2=6，又整个几何体大于部分的体积，

所求几何体的体积V 求> V E-ABCD ，选（D ）

练习精选

1．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分希累进计算。

E

A

B

C

F D

某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于( )

（A ）800～900元 （B ）900～1200元 （C ）1200～1500元 （D ）1500～2800元

2. 2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长了7.3%，如果“十。五”期间（2001年-2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十。五”来我国国内生产总值为（ ）

（A ）115000亿元 （B ）120000亿元 （C ）127000亿元 （D ）135000亿元

3.向高为H 的水瓶中注水, 注满为止. 如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如右图所示, 那么水瓶的形状是( )

h O H 4、若,α是锐角，且3

1

)6

sin(=

-

π

α，则αcos 的值是（ ） A

6162+ B 6162- C 4132+ D 4

1

32- 练习精选答案：CCBB

8、直觉分析法

即在熟练掌握基础知识的基础上凭直觉判断出答案的方法。

例16若sin α

+cos α=1/5，且0≤α≤≤π，则tg α的值是……………………（ ）

A ）－4/3

B sin α+cos α=1/5）－3/4

C ）4/3

D ）3/4

解析：由sin α+cos α=1/5知sin α与cos α异号，又由0≤α≤π知sin α>0，cos α<0，又由常见的勾股数知sin α=45，cos α=－35

，∴tg α=sin 4

cos 3αα=-，故选（A ）。

当然有的题目不止用一种方法，需要几种方法同时使用；也有的题目有多种解法，这就需要在实际解

题过程中去分析总结。

例17复数-i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是…………………………（ ）

A 12i

B ）±12i

C 12i

D 12

i

本题解法较多，如特征分析、直接求解、数形结合、逆推验证等；但相比较还是用特征分析法求解较简单：

解析：复数i 的一个辐角为900，利用立方根的几何意义知，另两个立方根的辐角分别是900+1200与900+2400，即2100与3300，故虚部都小于0，答案为（D ）。

9、排除筛选法

排除法即首先对某些选择项举出反例或否定后得到答案的解法。

例18已知两点M （1，5/4），N （－4，-5/4），给出下列曲线方程：

①4x+2y-1=0 ②x 2

+y 2

=3 ③22

2x y +=1 ④222

x y -=1

在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是………………………………（ ） A ）①③ B ）②④ C ）①②③ D ）②③④

解析：P 满足|MP|=|NP|即P 是MN 的中垂线上的点，P 点存在即中垂线与曲线有 交点。MN 的中垂线方程为2x+y+3=0，与中垂线有交点的曲线才存在点P 满足 |MP|=|NP|，直线4x+2y-1=0与2x+y+3=0平行，故排除（A ）、（C ）， 又由22

23012

x y x y ++=??

?+=???△=0，有唯一交点P 满足|MP|=|NP|，故选（D ）。

例19函数y=tg （11

x π-）在一个周期内的图像是…………………（

）

(A) (B) (C) 解析：由函数y=tg （11

23

x π-）的周期为2π可排除(B)、（D ）；由x=π/3时y ≠0可排除（C ）；故选（A ）。

练习精选

1.如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )

2. 函数1

1

1--=x y ( ) （A ）在（-1，+∞）内单调递增（B ）在（-1，+∞）内单调递减

（C ）在（1，+∞）内单调递增（D ）在（1，+∞）内单调递减 3.过原点的直线与圆

相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）

（A ） （B ） （C ） （D ）

4.在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时针方向旋转3

π

，所得向量对应的复数是( ) （A ）

（B ）

（C ）

（D ）

5.函数y=–xcosx 的部分图象是( )

练习精选答案：CCCBD

10、特征分析法

S P)(M (D) S P)(M (C)S P)(M (B) S P)(M (A) I

M

P S

此方法应用的关键是：找准位置，选择特征，实现特殊到一般的转化。

例20

在复平面内，把复数3－i 对应的向量按顺时针方向旋转π/3，所得向量对应的复数

是………………………………………………………………………………（ ）

A ））－i C －3i D ）

解析：∵复数3的一个辐角为－π/6，对应的向量按顺时针方向旋转π/3， 所得向量对应的辐角为－π/2，此时复数应为纯虚数，对照各选择项，选（B ）。

练习精选

1．若关于x 有两个不等实根，则实数k 的范围是（ ）

(A)( (B)( (C)( (D)11(][22- 2.设S 为半径等于1的圆内接三角形的面积，则4S+

9

S

的最小值为（ ）

(B) 3．若关于x 的不等式|x-sin 2θ|+|x+cos 2

θ|

(A)k ≥1 (B)k>1 (C)0

z

|=1，则z 的模的范围是（ ）

(A) (B) (C) (D)

5.把函数的图象经过变换得到y=2sin2x 的图象，这个变换是（ ）

（A ）向左平移512π个单位 （B ）向右平移512

π个单位 （C ）向左平移

12

π个单位 （D ）向右平移

12

π个单位

6．如图，半径为2的⊙M 切直线AB 于O 点，射线OC 从OA 出发绕O 点顺时针方向旋转到OB 。旋转过程中，

OC 交⊙M 于P ，记∠PMO 为x ，弓形PnO 的面积为S=f(x)，那么f(x)的图象是

(A) (B) (C) (D)

练习精选答案：CCBDDD