第七章 布朗运动
胶体的运动学性质布朗运动 课件 高中化学课件
作业
1、完成课后习题P29 1、4、5、6 2、家庭小实验：自制豆腐
取适量石膏粉（聚沉剂）用少量生豆浆调拌 均匀，加到煮沸后的豆浆（所用豆浆与石膏 的质量比约为20：1）中，边加边搅拌，豆浆 中的蛋白质会聚沉，与水分离，成豆腐花。 稍冷后，用一湿布包好豆腐花，放入一可漏 水的容器中，稍加压，使水渗出，即成豆腐。
3、“纳米材料”是粒子直径为1~100nm的 材料，纳米碳就是其中一种，若将纳米碳均 匀地分散到蒸馏水中，所形成的物质（ ） C
①是溶液 ②是胶体 ③能产生丁达尔 效应 ④能透过滤纸 ⑤不能透过滤纸 ⑥静置后会析出黑色沉淀
A.①④⑤ D.①③④⑥ B.②③④ C.②③⑤
把混有离子或分子杂质 的胶体装入半透膜袋， 并浸入溶剂中，使离子 4、下列关于胶体的叙述中，不正确的是 或分子从胶体里分离出 （ A ） 去，这样的操作叫做渗 A.向胶体中加入蔗糖溶液，产生聚沉现象 析。通过渗析可以达到 B.一束可见光透过胶体时，产生丁达尔效应 净化、精制胶体的目的
6、Fe(OH)3胶体带正电荷的原因是（ D ） A.在电场作用下， Fe(OH)3胶粒向阴极定向移动 B.Fe3+带正电荷 C.Fe(OH)3带负电荷，吸引阳离子 D.Fe(OH)3胶粒吸附了阳离子 7、在Fe(OH)3胶体中加入Na2SO4饱和溶液，由 SO42- 离子的作用，使胶体形成了沉淀，这 于_______ 凝聚或聚沉 个过程称为_______
2. 胶体的运动学性质——布朗运动
1827年，英国植物学家布 朗把花粉悬浮在水里，用 显微镜观察，发现花粉的 小颗粒在作不停的、无秩 序的运动，这种现象叫做 布朗运动 胶体粒子在分散剂分子的撞击下做无规则运 动，是胶体具有介稳性的次要原因。
注意：凭借肉眼可以看到的微粒的运动不是补朗 运动，如：尘土飞扬、红墨水扩散等。
布朗运动伊托过程和伊托引理
故
注：（2）式时间单位通常以年作为单位.
2019/2/9 4
由(2) ，得：dS uSdt Sdz，其中u及为常数.
这就是几何B.M.
注意到，衍生证券的价格G是标的证券价格S和时间t的函数， 从而根据ItÔ引理，有
G G 1 G G dG ( uS S )dt Sdz. S t 2 S S
2019/2/9 2
Z c t
二、伊托过程和伊托引理
定义 称满足下式的过程为伊托过程
dx a(x, t )dt b(x, t )dz (1)
其中a，b是变量x，t的函数，z为标准的布朗运动。 伊托引理 设x=x（t）为满足(1)式的伊托过程，G=G(t,x) 为二元函数，且具有连续的偏导数
dS udt dz S ( 2)
其中S--证券价格, u--证券在单位时间内已连续复利计算的期
2 --证券收益率单位时间的方差， 望收益率(简称预期收益率)， --证券收益率单位时间的标准差，简称为证券价格波动率，
z 为标准的布朗运动. 将(2)是离散化，得
S ut t S S ~ N(ut , t ) S
G G 2 G , , 2 f x x
令G(t)=G(t，x(t)), 则过程G(t)也是随机过程满足
G G 1 2 G 2 G dG ( a b )dt bdz 2 t t 2 t x
2019/2/9
3
三、股票价格过程
股票价格过程可用下面的方程来表示：
dS 0.15dt 0.30dz S 在随后的短时间按间隔的股价变化为 S 0.15t 0.30 t S 由于1周等于0.0192年，因此
S 100 (0.15 0.00288 0.0416 ) 0.288 4.16
布朗运动
分子热运动的激烈程度与
温度越高，分子运动越
温度 激烈
有关。
。
5.通过学习布朗运动以及对 布朗运动发现过程的了解， 你应向科学家学习什么优秀 的品质？
作业：
1.P179 （1）、（2） 2.课外活动：用显 微镜观察布朗运动
第二节
分子的热运动
布朗运动
布朗是英国的一位植物学家。1827年布朗 用显微镜观察植物的花粉微粒悬浮在静止水面 上的形态时，却惊奇地发现这些花粉微粒在不 停地作无规则运动。布朗经过反复观察后，写 下了这样的一段文字：“我确信这种运动不是 由于液体的流动所引起，也不是由于液体的逐 渐蒸发所引起，而是属于粒子本身的运动。” 为了进一步证实这种看法，布朗把观察的 对象扩大到一切物质的微小颗粒，结果发现，一切悬浮在液体中 的微小颗粒，都会作无休止的不规则运动。 布朗的发现一经公布，就引起了科学界的轰动，在以后的 几十年里，众多的物理学家经过大量的观测和研究，终于科学 的解释了布朗运动，揭示了自然界普遍存在的分子运动的奥秘， 使人类认识产生了飞跃。人们为了纪念这个发现，便把悬浮在 液体中的花粉的无规则运动命名为布朗运动。
C：布朗运动是液体分子无规则运动的反映； D：在室内看到的尘埃不停的运动是布朗运动；
B、C ） 3.对布朗运动的下列说法中正确的是：（ A：课本中图6-4的折线是颗粒的运动路径； B：颗粒越小，布朗运动越明显； C：温度升高，布朗运动加剧； D：布朗运动是微粒内部分子运动的宏观表现；
4.分子的热运动是指 分子的无规则运动 ，
运动状态难改变
布朗运动的激烈程度与什么因素有关？
布朗运动的激烈程度
与液体的温度有关
温度越高，布朗运动越激烈
我们把分子的无规 则运动叫做热运动
第7章 Brown运动
0 = t0 < t1 < L < t N = T
N −1 k =0
则相应于剖分Π, f(t)的二次变差定义为 的二次变差定义为
QΠ =
∑
f
(t k +1 ) −
{
}
的条件下， 设s<t，在给定 ，在给定B(t)=x0的条件下，B(s)的条件密度 的条件密度 函数为
f B( s ) B( t ) ( x x0 ) = 1 = 2π s 1 = 2π s t = s f B( s ), B( t ) ( x, x0 ) f B( t ) ( x0 ) f s ( x ) ft − s ( x0 − x ) = ft ( x0 )
第七章 Brown运动 运动
第一节 基本概念与性质
一、直线上的随机游动 设一粒子在直线上随机游动，即粒子每隔△ 时间， 设一粒子在直线上随机游动，即粒子每隔△t 时间，等 概率地向左或向右移动△ 的距离 的距离。 表示时刻t粒子的 概率地向左或向右移动△x的距离。以X(t)表示时刻 粒子的 表示时刻 位置，则 位置，
( B ( t ) ,L , B ( t ) )
1 n
的联合密度函数为
f ( x1 , x2 ,L , xn ) = ft1 ( x1 ) f t2 −t1 ( x2 − x1 )L ftn −tn−1 ( xn − xn −1 )
其中
1 ft ( x ) = e 2π t , 服从n维正态分布 维正态分布。 由此可以看出 ( B( t1 ) ,L B( tn ) ) 服从 维正态分布。
专题7.2 分子的热运动
第七章分子动理论第2节分子的热运动一、扩散现象1．对扩散现象的认识（1）扩散现象：不同物质能够彼此进入对方的现象。
（2）产生原因：由物质分子的运动产生。
（3）发生环境：物质处于固态、液态和气态时，都能发生扩散现象。
（4）意义：证明了物质分子永不停息地做无规则运动。
（5）规律：温度越高，扩散现象越明显。
（6）应用：在高温条件下通过分子的扩散在纯净的半导体材料中掺入其他元素来生产半导体器件。
2．影响扩散现象明显程度的因素（1）物态①物质的扩散现象最快、最显著。
②物质的扩散现象最慢，短时间内非常不明显。
③物质的扩散现象的明显程度介于气态与固态之间。
（2）温度：在两种物质一定的前提下，扩散现象发生的明显程度与物质的温度有关，温度越高，扩散现象越显著。
（3）浓度差：两种物质的浓度差越大，扩散现象越显著3．分子运动的两个特点（1）永不停息：不分季节，也不分白天和黑夜，分子每时每刻都在运动。
（2）无规则：单个分子的运动无规则，但大量分子的运动又具有规律性，总体上分子由浓度大的地方向浓度小的地方运动。
二、布朗运动1．对布朗运动的认识（1）概念：悬浮在液体（或气体）中的微粒不停地做。
（2）产生的原因：大量液体（或气体）分子对悬浮微粒撞击的不平衡造成的。
（3）布朗运动的特点：永不停息、无规则。
（4）影响因素：微粒越小，布朗运动越，温度越高，布朗运动越。
（5）意义：布朗运动间接地反映了液体（气体）分子运动的无规则性。
2．影响因素（1）微粒越小，布朗运动越明显：悬浮微粒越小，某时刻与它相撞的分子数越少，来自各方向的冲击力越不易平衡；另外微粒越小，其质量也就越小，相同冲击力下产生的加速度越大。
因此，微粒越小，布朗运动越明显。
（2）温度越高，布朗运动越激烈：温度越高，液体分子的运动（平均）速率越大，对悬浮于其中的微粒的撞击作用也越大，产生的加速度也越大，因此温度越高，布朗运动越激烈。
3．实质布朗运动不是分子的运动，而是固体微粒的运动。
最新人教版高中物理选修3-3第七章《分子动理论》
第七章分子动理论知识建构专题应用专题一分子动理论的理解与应用分子动理论的内容是：物体是由大量分子组成的，分子永不停息地做无规则运动，分子之间同时存在着引力和斥力。
布朗运动和扩散现象说明了分子永不停息地做无规则运动。
1．布朗运动：尽管布朗运动本身并不是分子运动，但由于它的形成原因是由于分子的撞击，所以它能反映分子的运动特征，这就是布朗运动的意义所在。
具体地讲：(1)布朗运动永不停息，说明分子的运动是永不停息的；(2)布朗运动路线的无规则，说明分子的运动是无规则的；(3)温度越高，颗粒越小，布朗运动越剧烈，说明分子无规则运动的剧烈程度还与温度有关。
在宏观上与温度有关的现象称为热现象。
布朗运动的种种特征充分表明：分子永不停息地做无规则运动——热运动。
2．扩散现象：(1)从浓度高处向浓度低处扩散；(2)扩散快慢除与此物质的状态有关外，还与温度有关；(3)从微观机理看，扩散现象说明了物体的分子都在不停地运动着。
【专题训练1】关于分子动理论，下列说法正确的是()。
A．分子间的引力和斥力不能同时存在B．组成物质的分子在永不停息地做无规则运动C．布朗运动与分子运动是不同的D．扩散现象和布朗运动都反映了分子永不停息地做无规则运动专题二分子力曲线与分子势能曲线分子力随分子间距离变化的图象与分子势能随分子间距离变化的图象非常相似(如图所示)，但却有着本质的区别。
现比较如下：1．分子间同时存在着引力和斥力，它们都随分子间距离的增大(减小)而减小(增大)，但斥力比引力变化得快。
对外表现的分子力F是分子间引力和斥力的合力。
2．在r<r0范围内分子力F、分子势能E p都随分子间距离r的减小而增大，但在r>r0的范围内，随着分子间距离r的增大，分子力F是先增大后减小，而分子势能E p一直增大。
3．当r＝r0时分子处于平衡状态，此时分子间的引力、斥力同样存在，分子力F为零，分子势能E p最小。
【专题训练2】根据分子动理论，物体分子间距离为r0等于10－10 m，此时分子所受引力和斥力大小相等，以下说法中正确的是()。
胶体的动力学性质.ppt
a X
a M
a X
设浓度很稀： x zm1 x m2 x2
x
m22
zm1 2m2
16
7.5 Donnan (陶南) 平衡
MX膜外 MX膜内
MX MX
m2 -x x
1
zm1 m2
讨论：
① 由于大离子的存在, 平衡时膜内外的MX浓度不等, 将产生
单位体积中的粒子数
高度越高，质量越小的粒子越多 高度越低，质量越小的粒子越少
7.3.2 离心力场中的沉降 (1) 沉降速度
离心力：mx 2
浮力：
阻力： f dx dt
ω - 角速度 11
7.3 沉降
沉降力：
匀速沉降：
V - 粒子偏微比容
m - 粒子质量
kT dx D dt
♦ 定义： 沉降系数
**
比较*和**式得： X 2 2Dt X = 2DT
♦ 扩散和布朗运动的内在联系： 扩散是布朗运动的宏观表现 布朗运动是扩散的微观基础 6
7.2 扩散
7.2.4 Einstein 扩散方程 粒子移动距离： dx
做功： f dx dx dt
反抗阻力： f dx dt
应等于化学势的变化
d= kTd ln c= f dx dt dx = kT d ln c = kT dc *
f : 微观量, 与粒子大小和形状有关.
7.2.5 扩散的应用举例
测定球形质点的半径和粒子量
D KT f
f = 6r
测出 D 而得 r
粒子量： M = 4 r3 NA
3V
V - 粒子的偏微比容
◊ 所测质点的半径为流体力学半径
高中物理选修3-3课件：第七章分子动理论-2分子的热运动
A．当过一段时间可以发现上面瓶中的气体也变成了 淡红棕色 B．二氧化氮由于密度较大，不会跑到上面的瓶中，
所以上面瓶不会出现淡红棕色
C．上面的空气由于重力作用会到下面的瓶中，于是 将下面瓶中的二氧化氮排出了一小部分，所以会发现上 面瓶中的瓶口处显淡红棕色，但在瓶底处不会出现淡红 棕色 D．由于气体分子在运动着，所以上面的空气会到下 面的瓶中，下面的二氧化氮也会自发地运动到上面的瓶 中，所以最后上、下两瓶气体的颜色变得均匀一致
知识点一 扩散现象 提炼知识 1．定义：不同的物质彼此进入对方的现象． 2．产生原因：物质分子的无规则运动． 3．应用举例：在高温条件下通过分子的扩散，在纯 净半导体材料中掺入其他元素． 4．扩散现象的实质：扩散现象是物质分子永不停息 地做无规则运动的证明．
判断正误 1 ．扩散现象说明了分子是永不停息地做无规则运 动．(√) 2. 扩散现象说明了分子间存在间隙．(√) 3．扩散现象只能发生在气体与气体之间．(×)
特别说明 (1)热运动是分子运动，布朗运动是微粒 的运动． (2)热运动永不停息，液体变成固体时，其中微粒的 布朗运动会停止． (3)分子及布朗运动的微粒用肉眼不能直接观察到． (4)热运动是对大量分子而言的，对个别分子无意义．
【典例 2】 关于布朗运动下列说法正确的是(
)
A．悬浮在液体或气体中的小颗粒的无规则运动就是 分子的无规则运动． B．温度越低时，布朗运动越明显 C．悬浮在液体或气体中的颗粒越小，布朗运动越明 显 D．布朗运动是悬浮在液体中的花粉分子的运动，反 映了液体分子对固体颗粒撞击的不平衡性．
原因
直接原因：大量液体 (或气体)分子对悬浮微 物质分子永不 粒的撞击而导致的不 停息地做无规 平衡； 则运动 根本原因：液体(或气 体)分子的无规则运动
人教版高中物理选修3-3教学案：第七章 第2节 分子的热运动-含解析
第2节分子的热运动1.不同物质能够彼此进入对方的现象叫扩散现象。
2．布朗运动是指悬浮在液体中的固体微粒不停息的无规则运动，它是液体分子无规则运动的反映，但并非液体分子的运动。
3．悬浮微粒越小，液体温度越高，布朗运动越明显。
4．分子永不停息的无规则运动叫热运动，温度越高，热运动越激烈。
一、扩散现象1．定义不同物质能够彼此进入对方的现象。
2．产生原因物质分子的无规则运动。
3．意义反映分子在做永不停息的无规则运动。
4．应用生产半导体器件时，在高温条件下通过分子的扩散在纯净半导体材料中掺入其他元素。
二、布朗运动1．概念悬浮微粒在液体(或气体)中的无规则运动。
2．产生原因大量液体(或气体)分子对悬浮微粒撞击作用的不平衡性。
3．影响因素微粒越小、温度越高，布朗运动越激烈。
4．意义间接反映了液体(或气体)分子运动的无规则性。
三、分子的热运动1．定义分子永不停息的无规则运动。
2．宏观表现布朗运动和扩散现象。
3．特点(1)永不停息；(2)运动无规则；(3)温度越高，分子的热运动越激烈。
1．自主思考——判一判(1)扩散现象只能在气体中发生。
(×)(2)布朗运动就是液体分子的无规则运动。
(×)(3)悬浮微粒越大，布朗运动越明显。
(×)(4)布朗运动的剧烈程度与温度有关。
(√)(5)物体运动的速度越大，其内部分子热运动越激烈。
(×)(6)扩散现象和布朗运动都是分子的运动。
(×)2．合作探究——议一议(1)一碗小米倒入一碗大米中，小米进入大米的间隙之中是否属于扩散现象？提示：扩散现象是指由于分子的无规则运动，不同物质(分子)彼此进入对方的现象。
显然，上述现象不是分子运动的结果，而是两种物质的混合，所以不属于扩散现象。
(2)冬天里，一缕阳光射入教室内，我们看到的尘埃上下舞动是布朗运动吗？提示：不是。
布朗运动是用肉眼无法直接看到的。
(3)布朗运动的观察记录图是颗粒的运动轨迹吗？提示：该记录图是每隔某一相等时间记录的颗粒所在位置的连线，并不是颗粒运动的实际轨迹。
(完整版)布朗运动以及维纳过程学习难点总结
1、引言布朗运动的数学模型就是维纳过程。
布朗运动就是指悬浮粒子受到碰撞一直在做着不规则的运动。
我们现在用)(t W 来表示运动中一个微小粒子从时刻0=t 到时刻0>t 的位移的横坐标，并令0)0(=W 。
根据Einstein 的理论，我们可以知道微粒之所以做这种运动，是因为在每一瞬间，粒子都会受到其他粒子对它的冲撞，而每次冲撞时粒子所受到的瞬时冲力的大小和方向都不同，又粒子的冲撞是永不停息的，所以粒子一直在做着无规则的运动。
故粒子在时间段],(t s 上的位移，我们可把它看成是多个小位移的总和。
我们根据中心极限定理，假设位移)()(s W t W -服从正态分布，那么在不相重叠的时间段内，粒子碰撞时受到的冲力的方向和大小都可认为是互不影响的，这就说明位移)(t W 具有独立的增量。
此时微粒在某一个时段上位移的概率分布，我们便能认为其仅仅与这一时间段的区间长度有关，而与初始时刻没有关系，也就是说)(t W 具有平稳增量。
2.维纳过程2.1独立增量过程维纳过程是典型的随机过程，属于所谓的独立增量过程，在随机过程的理论和应用中起着很重要的作用。
现在我们就来介绍独立增量过程。
定义：}0),({≥t t X 是二阶矩过程， 那么我们就称t s s X t X <≤-0),()(为随机过程在区间],(t s 上的增量。
若对任意的n )(+∈N n 和任意的n t t t <<<≤Λ100，n 个增量)()(,),()(),()(11201----n n t X t X t X t X t X t X Λ是相互独立的，那么我们就称}0),({≥t t X 为独立增量过程。
我们可以证明出在0)0(=X 的条件下，独立增量过程的有限维分布函数族可由增量)0(),()(t s s X t X <≤-的分布所确定。
如果对R h ∈和)()(,0h s X h t X h t h s +-++<+≤与)()(s X t X -的分布是相同的，我们就称增量具有平稳性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六章 布朗过程
布朗运动，有时称为维纳过程，是应用概率论中最有用 的随机过程之一，以发现它的英国植物学家罗伯特.布朗 命名，是悬浮微粒不停地做无规则运动的现象。首次解 释是爱因斯坦于1905年给出，他证明，假设浸没的粒子 连续不断受到周围介质的分子的冲击，布朗运动即可解 释。1918年，维纳给出了布朗运动的简介定义。 自它被发现以来以来，有效的应用于一些领域，如拟合 优度的统计检验，分析股票市场的价格水平及量子力学。 迄今，普遍的观点仍认为，股票市场是随机波动的，随 机波动是股票市场最根本的特性，是股票市场的常态。
若X (t )为布朗运动，均值为0，方差为t，
f ( x1,, xn ) ft1 ( x1 ) ft2 t1 ( x2 x1 ) ftn tn1 ( xn xn1 )
LOGO
例2：设X (t )为布朗运动，均值为0，方差为t， 求X(t) B给定时，X(s)的条件分布，其中s t.
Y(t)可以有效地用方差参数为 2 的布朗运动建模。求： （1）如果在赛道的中点，内道竞赛者领先 胜的概率是多少？ （2）如果内道竞赛者在竞赛中领先 秒获胜，问他在竞赛
秒，问他取
中点领先概率是多少？
LOGO
解：（1）
P{Y (1) 0 | Y (1 / 2) } P{Y (1) Y (1 / 2) | Y (1 / 2) } P{Y (1) Y (1 / 2) } P{Y (1 / 2) } Y (1 / 2) P{ 2} ( 2 ) 0.9213 / 2
证明：由于{Z (t ), t 0}显然是高斯过程，需要验证的只是 E(Z(t) 0及s t时，Cov(Z(s),Z(t)) s(1 t).
前者显然，后者计算如 下：
LOGO
LOGO
LOGO
LOGO
LOGO
LOGO
LOGO
例2：设B(t )为一标准布朗运动，令 T Min{t : B(t ) 2 4t} 即T 是标准布朗运动首次击中2 - 4t的时间。用鞅的停止定理求E[T ].
证明：由鞅的停止定理 E[ B(T )] E[ B (0)] 0 由B(T ) 2 - 4T ,所以2 - 4E[T ] 0，求得E[T ] 1/ 2
LOGO
LOGO
LOGO
LOGO
LOGO
LOGO
LOGO
LOGO
LOGO
LOGO
LOGO
LOGO
LOGO
（2）需要计算
P{Y (1 / 2) 0 | Y (1) }
首先需要确定，在s t时，给定Y(t) C时Y(s)的条件分布。
若令X (t ) Y (t ) / , 则{ X (t ), t 0}是标准布朗运动 由例2，可得当给定X (t ) C / 时，X ( s)的条件分布是均值为sC / t ，方差为s(t - s) / t的正态分布。 因此，给定Y (t ) C时，Y ( s) X ( s)的条件分布是均值为sC / t，方差 2 s(t s) / t的正态分布。
令：f ( x) E[eTx ], 则f ( x y) f ( x) f ( y) 意味着：E[eTx ] ecx，对某个c 0
LOGO
下面确定c，对Y X (h) X (0)取条件，可得f 满足的微分方程
f ( x ) E[exp{ (h Tx Y )}] o (h ) e h E [ f (x Y )] o (h ) 其中o(h)是到时刻h已经击中x的概率。
解：条件密度是： x 2 ( B x) 2 f s ( x) f t s ( B x) f s / t ( x | B) K1 exp f t ( B) 2 s 2 ( t s ) t ( x Bs / t ) 2 K 2 exp 2s(t s)
利用e h 1 h o(h), 给出 f ( x) f ( x)(1 h) hf '( x) f ''( x)h / 2 o(h) 除以h并令h 0得 f ( x) f '( x) f ''( x ) / 2
LOGO
布朗运动的数字特征:
X (t ) E X t 0
D X (t ) D X t 2 t
2 2 E [ X ( s )( X ( s ) X ( t ) X ( s ))] E [ X ( s ) ] s, s t C X s, t RX s, t 2 2 E （ [ X ( s ) － X ( t ) ＋ X ( t ) ） X ( t )] E [ X ( t ) ] t, s t 2 min s, t s, t 0
布朗桥过程完全由其边际均值和协方差确定 E[ X ( s) | X (1) 0] 0 Cov[( X ( s), X (t )) | X (1) 0] E[ X (s ) X (t ) | X (1) 0] s (1- t ), s t 1
例4：设X (t )为布朗运动，则Z (t ) X (t ) - tX (1)时， {Z (t ),0 t 1}是布朗桥.
LOGO
LOGO
LOGO
LOGO
LOGO
LOGO
LOGO
LOGO
（几何布朗运动在股票相对于时间的价格的建模中 有用，当感觉价格百分比变化是独立同分布时。 例如，假设Xn是某个股票在时刻n的价格，那么 假设 X n / X n1 , n 1 是独立同分布也许是合理的。
LOGO
LOGO
LOGO
LOGO
LOGO
布朗运动性质： （1）马尔可夫性； P{ X (t s) a | X ( s) x, X (u ),0 u s} P{ X (t s) X ( s) a x | X ( s) x, X (u ),0 u s} P{ X (t s) X ( s) a x | X ( s) x} P{ X (t s) a | X ( s) x} （2）标准布朗运动：
LOGO
LOGO
LOGO
LOGO
LOGO
LOGO
LOGO
击中时刻
以Tx 记漂移布朗运动击中x的时间。对x 0时，计算它的矩母 函数E[e Tx ].
首先计算： E[exp{ Tx y }] E[exp{ (Tx Tx y Tx }] E[exp{ Tx }]E[exp{ (Tx y Tx }] （由独立增量性） E[exp{ Tx }]E[exp{ Ty }] （由平稳性）
将上式x点有泰勒级数展开，形式的表示为： f ( x) e h E[ f ( x) f '( x)Y f ''( x )Y 2 / 2 ] o(h) e h [ f ( x ) f '( x ) h f ''( x )h / 2 ] o (h )
LOGO
令Yn X n / X n1 , n 1, 所以X n Yn X n1 , 迭代给出 X n YnYn1 Y1 X 0
于是 ln(X n ) ln(Yi ) ln(X 0 )
i 1 n
由于 ln Yi是独立同分布的，ln X i也将如此，在适当规范 后，近似于布朗运动， 所以 X i 近似的是几何布朗运动 。
E( X i ) 0,Var( X i ) 1
若令Δx Δt ,可得
t E ( X (t )) 0, Var ( X (t )) (x) [ ] t
2
E(X(t)) 0, Var(X(t)) 2t
LOGO
由式（1）和中心极限定理，得到X(t)的一些性质： （1）X(t)是正态的，均值为0，方差为 t
E X t 0 C s, t Cov( X (s, X (t )) min s, t s, t 0
LOGO
LOGO若{X (t ), t 0}为布朗运动过程， 条件随机过程{ X (t ),0 t 1| X (1) 0}是高斯过程，称之为布朗桥。
LOGO
LOGO
LOGO
LOGO
LOGO
LOGO
另一个感兴趣的随机变 量是过程在 [0, t ]中达到的最大值。它的 分布可以如下得到：
P{max X ( s) a} P{Ta t} (由连续性）
0 s t
2 2
a/ t
e
y2 / 2
dy
显然，条件分布是正态分布，均值和方差为
E[ X (s) | X (t ) B] Bs / t Var ( X (s) | X (t ) B) s(t s) / t
LOGO
例3：在有两人比赛的自行车赛中，以Y(t)记当100t％的竞
赛完成时，从内道出发的竞赛者领先的时间秒数，且假设
2
（2）{X (t ),t 0}有独立增量（因为随机 游动在不重叠时间内变 化独立） （3）
{X (t ), t 0}有平稳增量（因为随机游动任一时间区间内变化分布只依赖于区间长度）
LOGO
LOGO
LOGO
LOGO
（3）布朗运动的联合分布是多元正态的，所以布朗运动是高 斯过程。
定义：随机过程{ X (t ), t 0}称为高斯过程， 若对一切t1 ,, tn , X (t1 ),, X (tn )有多元正态分布。