离散数学课堂PPT(左孝凌版)
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左孝凌离散数学3.7-复合关系和逆关系PPT课件
算应改为布尔加和布尔乘。
例6
设
M
1和
M
是两个关系矩阵
2
1 0 0
M
1
0
0
0 1
1
0
1 0 0
M 2 0
1
0
1
0
0
1 0 1
1 0 0
则
M
1
M
2
1 0
0 1
1
0
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-ห้องสมุดไป่ตู้
0
0
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• 复合关系的关系矩阵
定理3.5.5 设A、B、C均是有限集， R 1 是一由A 到B的关系, R 2 是一由B到C的关系，它们的关系
R 1 R 2 { 1 , 1 , 2 , 1 , 2 , 3 , 3 ,2 , 4 , 1 }
234
123
12 3
1 1 0 0
2 1 0 0
1 1 0 0
M
R1
2 3
0
0
0 1
1
0
M R 2 3 0 4 1
1 0
0 1
M R1 R2
2 1 3 0
0 1
1
0
4
1
0
0
矩阵分别为 M R1 和 M R2 ，则复合关系 R1 R2 的
关系矩阵
MR1R2 MR1MR2
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-
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例7 设有集合A{1,2,3,4，} B{2，,3,4} C{1,2,3}
A到B的关系 B到C的关系 则
R 1 { 1 ,2 ,2 ,4 ,3 ,3 ,4 ,2 }
R 2 { 2 ,1 ,3 ,2 ,4 ,1 ,4 ,3 }
左孝凌离散数学课件1.8推理理论
例题1 证明 (P∨Q) ∧(P→R)∧(Q→S) S∨R 证法2 (1) P→R P (2) P∨Q →R∨Q T(1) I3 (3) Q→S P (4) Q∨R →S∨R T(3) I (5) P∨Q →S∨R T(2),(4) I13 (6) P∨Q P (7) S∨R T(5),(6) I11P,P→Q Q假言 推理
E1 E2 ┐┐P P P∧Q Q∧P E12 E13 R ∨(P∧┐P) R R∧ (P ∨ ┐P) R
E3
E4 E5 E6 E7 E8 E9
P∨QQ∨P
(P∧Q) ∧R P∧ (Q∧R) (P ∨ Q) ∨ R P ∨(Q ∨ R)
E14
E15 E16
R ∨(P ∨ ┐P) T
T T T T T F F
从真值表看到，P→R，Q→R，P∨Q的真值都为T的 情况为第1行、第3行和第5行，而在这三行中R的真值均为 T。故 (P→R)∧(Q→R)∧(P∨Q) R
二、直接证法
• 直接证法：由一组前提，利用一些公认的推理规则， 根据已知的等价或蕴含公式推演得到有效结论。 • 常用的推理规则 P规则:（前提引入规则）前提在推导过程中的任何时候 都可以引用。 T规则（结论引用规则）在推导过程中，如果有一个或多 个公式重言蕴含着公式S，则公式S可以引入推导之。 如 P→Q, Q→R P→R，这时 P→R可引入推导之中
d)P→Q，(┐Q∨R)∧┐R，┐(┐P∧S) ┐S (1) (┐Q∨R) ∧┐R P (2) ┐Q∨R T(1),I1 (3) ┐R T(1),I2 (4) ┐Q T(2)(3),I10析取三段论 (5) P→Q P (6) ┐P T(4)(5),I12 (7) ┐(┐P∧┐S) P (8) P∨┐S T(7),E (9) ┐S T(6)(8),I10析取三段论
左孝凌离散数学课件1.7对偶与范式
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.7对偶与
范式(Dual & Normal Form)
1.7.3命题公式的主析(合)取范式
为了使任意一个命题公式化成唯一的等价命题的 标准形式，下面给出主范式的有关概念。
1.命题公式的主析取范式
定义1-7.4: n个命题变元的合取式，称作布尔合取或小项， 其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须 出现且仅出现一次。
20
例
1.命题公式的主析取范式-小项
1. 两个命题变元P和Q的小项为： P∧Q，P∧┐Q，┐P∧Q，┐P∧┐Q。 2. 三个命题变元P、Q、R的小项为： P∧Q∧R，P∧Q ∧┐R ， P∧┐Q ∧R ， P∧┐Q ∧┐R ┐P∧Q ∧R ，┐ P∧Q ∧┐R ， ┐P∧┐Q ∧R ，┐P∧┐Q ∧┐R 。
同一命题公式可以有各种相互等价的表达形式,为了把命题公 式规范化,下面讨论命题公式的范式问题。
第一章 命题逻辑1.7对偶与范式
定义 (1) 一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有形式： A1 ∧ A2 ∧ … ∧ An， （n≥1） 其中A1，A2，…An都是由命题变元或其否定所组成的析取 式。 如：P ∧ ┐Q ， (P ∨ Q) ∧(P ∨┐Q ∨R), Q∧┐P (2) 一个命题公式称为析取范式，当且仅当它具有形式： A1 ∨ A2 ∨ … ∨ An， （n≥1） 其中A1，A2，…An都是由命题变元或其否定所组成的合取 式。 如：P∨┐Q ， (P ∧ Q) ∨(P ∧┐Q∧R), Q∨┐P. (3)范式：析取范式与合取范式统称为范式。 显然, 任何合(析)取范式的对偶式是析(合)取范式.
3
对合律 幂等律 结合律 交换律
最新左孝凌离散数学课件1.3命题公式与翻译1.4真值表与等价公式PPT课件
• 例2. 证明: PQ (P→Q)(Q→P)
P Q PQ Q→P P→Q (P→Q)(Q→P)
00 1 1 1
1
01 0 0 1
0
10 0 1 0
0
11 1 1 1
1
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
➢ 2. 等值演算法(Equivalent Caculation)（利用P15表1-4.8)
• 定义1.4.4 子公式：如果X是wff A的一部分,且X本身也是wff， 则称X是A的子公式。 例如, P(PQ)为Q (P(PQ))的子公式。
• 定理1.4.1 置换定理：设X是wff A的子公式，若XY，则若将A 中的X用Y来置换，所得公式B与A等价，即AB。
• 定义1.4.5 等值演算：根据已知的等价公式,推演出另外一些等 价公式的过程称为等值演算.
(P∧Q)∨(┐P∧┐Q) T F F T
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
1.4.2 等价公式
• 定义1.4.3: 给定两个命题公式A和B,设P1 , P2 ,…,Pn为出现
于真A值和指B派中, 的A和所B有的原真子值变都元相,若同给,则P称1 ,AP和2 ,B…是,P等n任价一. 组 记作A B。
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
1.4.2 等价公式
从真值表中可以看到，有些命题公式在分量的不同指派 下，其对应的真值与另一命题公式完全相同，如┐P∨Q与 P→Q的对应真值相同，如表1-4.5所示。
表1-4.5
我们说┐P∨Q和P→Q 是等价的，这在以 后的推理中特别有 用。
左孝凌离散数学课件3.1集合的概念和表示法3.2集合的运算.ppt
3. 幂集：给定集合A，由集合A的所有子集为元素组成的集合，
称为集合A的幂集，记为P (A)
• P (A)={x|xA}
判断：任何集合的 幂集一定不是空集。
• 注意: xP (A) xA
（空集呢？）
例如: A={a,b}的0元子集： ，1元子集： {a},{b}， 2元子集：为{a,b}
所以： P (A)={,{a},{b},{a,b}}，共22=4个子集。
c) A E = A （同一律）
d) A B = B A （交换律）
e) (A B) C = A (B C) （结合律）
f) A B A A B B
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二、并运算
3. 2集合的运算
定义2 设有集合A、B，属于A或属于B的所有元素组成的集合称
为A与B的并集，记作 A 。B即
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第三章 集合与关系
1 集合的概念和表示 法 2 集合的运算 3 4序偶与笛卡尔集 5关系及其表示 6 关系的性质
7 复合关系和逆关系 8 关系的闭包运算 9 10等价关系与划分 11 相容关系与覆盖 12 偏序关系
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3
3.1 集合概念及其表示法
一、基本概念 二、集合的表示方式 三、集合间的关系 四、几类特殊的集合
2) A B,则A C B C
3)分配律
A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)
4)吸收律
A (A B) A A (A B) A
5)当且仅当A B = B A B = A AB
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3. 2集合的运算
三、相对补运算(差)
左孝凌离散数学PPT课件
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第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.2逻辑
联结词(Logical Connectives)
例3. 将下列命题符号化.
(1) 李平既聪明又用功.
(2) 李平虽然聪明, 但不用功.
(3)李平不但聪明,而且用功.
(4)李平不是不聪明,而是不用功.
解: 设 P:李平聪明. Q:李平用功.
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
• 1.1.1 命题（Proposition) • 1.1.2 命题的表示方法 • 1.1.3 命题的分类
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
1.1.1 命题
数理逻辑研究的中心问题是推理（inference),而 推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖1931年Godel不完全性定理的提出，以及递 归 函 数 可 计 算 性 的 引 入 ， 促 使 了 1936 年 Turing 机 的 产 生 ， 十 年 后 ， 第 一 台 电 子 计 算机问世。
❖从 广 义 上 讲 ， 数 理 逻 辑 包 括 四 论 、 两 演 算——即集合论、模型论、递归论、证明 论和命题演算、谓词演算，但现在提到数 理逻辑，一般是指命题演算和谓词演算。 本书也只研究这两个演算。
逻辑可分为：1. 形式逻辑（通过数学方法） 数理逻辑 2. 辩证逻辑 指引进一套符号体系的方法。
辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思 维的形态的。
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇 开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概 念、判断和推理及其正确联系的规律。
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.2逻辑
联结词(Logical Connectives)
例3. 将下列命题符号化.
(1) 李平既聪明又用功.
(2) 李平虽然聪明, 但不用功.
(3)李平不但聪明,而且用功.
(4)李平不是不聪明,而是不用功.
解: 设 P:李平聪明. Q:李平用功.
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
• 1.1.1 命题（Proposition) • 1.1.2 命题的表示方法 • 1.1.3 命题的分类
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
1.1.1 命题
数理逻辑研究的中心问题是推理（inference),而 推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖1931年Godel不完全性定理的提出，以及递 归 函 数 可 计 算 性 的 引 入 ， 促 使 了 1936 年 Turing 机 的 产 生 ， 十 年 后 ， 第 一 台 电 子 计 算机问世。
❖从 广 义 上 讲 ， 数 理 逻 辑 包 括 四 论 、 两 演 算——即集合论、模型论、递归论、证明 论和命题演算、谓词演算，但现在提到数 理逻辑，一般是指命题演算和谓词演算。 本书也只研究这两个演算。
逻辑可分为：1. 形式逻辑（通过数学方法） 数理逻辑 2. 辩证逻辑 指引进一套符号体系的方法。
辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思 维的形态的。
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇 开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概 念、判断和推理及其正确联系的规律。
左孝凌离散数学1.5重言式与蕴含式PPT课件
从而┐Q（P→Q）为假.
②若Q为假，则┐Q为真，P→Q为假，
从而┐Q（P→Q）为假.
根据① ②，所以 ┐Q（P→Q）┐P
4）法4： （┐Q（P→Q）） → ┐P
┐ （┐Q（ ┐ P ∨ Q）） ∨ ┐P
（Q ∨（P ┐ Q）） ∨ ┐P
（（Q ∨P） （Q ∨ ┐ Q ）） ∨ ┐P
（Q ∨P） ∨ ┐P
4
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重
言式与蕴含式(Tautology and Implication)
判别命题公式的类型有两种方法: 真值表法和等值
演算法.
等值演算法是将所给命题公式通过等值演算化为最
简单的形式, 然后再进行判别.
例1.判别下列命题公式的类型.
(1). Q∨┓((┓P∨Q)∧P) (重言式)
重言式与蕴含式(Tautology and Implication)
• 小结：本节介绍了命题公式的分类，重言式、矛盾式与蕴 含式的概念及其性质，等价式与蕴涵式的关系。
• 重点掌握: （1）用等值演算法判别命题公式的类型。 （2）重言式、矛盾式与蕴涵式的性质。 （3）等价式与蕴涵式的关系。
• 作业: P23 (1)c,d ,(2) a ,(8). • 预习:1.6 • 思考题:1) 为什么要引入联结词?
2) 什么是最小联结词组? ,,, c
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1. 真值表指派 2. 真值表及其构成方法 3. 等价公式及等价置换 4. 命题公式的分类 5. 蕴含式判定及其性质
小结
（1）若A在其各种赋值下的取值均为真，则称A是重言式或永真式, 记 为T或1。 （2）若A在其各种赋值下的取值均为假，则称A是矛盾式或永假式, 记 为F或0。
左孝凌离散数学ppt课件
第七章 图论 7.1 图的基本概念
完全图：任意两个不同的结点都是邻接的简单图称为
完全图。n个结点的无向完全图记为Kn。
图7.1.5给出了K3和K4。从图中可以看出K3有３条边，
K4有６条边。容易证明Kn有条边。
n(n 1) 2
图7.1.5K3与K4示意图
图7.1.6
第七章 图论 7.1 图的基本概念
一个图G可用一个图形来表示且表示是不唯一的。
第七章 图论 7.1 图的基本概念
【例7.1.2】设G=〈V(G),E(G)〉,其中
V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b), e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b) 。
1)若e1，e2，…，ek都不相同， 则称路μ为迹；
2)若v0，v1，…，vk都不相同， 则称路μ为通路；
3)长度大于２的闭的通路（即 除v0＝vk外，其余结点均不相同的 路）μ称作圈。
图7.1.1
第七章 图论
7.2 路与回路
例如在图7.2.1中，有连接v5 到v3的路v5e8v4e5v2e6v5e7v3，这 也是一条迹；路v1e1v2e3v3是一 条通路；路v1e1v2e3v3e4v2e1v1是 一条回路，但不是圈；路 v1e1v2e3v3e2v1是一条回路，也是 圈。
定 义 7.2.1 给 定 图 G ＝ 〈V,E〉, 设 v0,v1,…,vk∈V ， e1 ， e2，…，ek∈E，其中ei是关联于结点vi-1和vi的边，称 交替序列v0e1v1e2…ekvk为连接v0到vk的路，v0和vk分别 称为路的起点与终点。路中边的数目k称作路的长度。 当v0=vk时,这条路称为回路。
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P T T F F Q T F T F ᄀP F F T T ᄀP∨Q T F T T P→Q T F T T
（P∧Q）∨（ᄀP∧ᄀQ）与P⇄Q对应的真值相同。
定义1－4.2 给定两个命题公式A和B，设P1， P2，…，Pn为所有出现于A和B中的原子变元,若给P1， P2，…，Pn任一组真值指派,A和B的真值都相同,则 称A和B是等价的或逻辑相等。记作A⇔B。
P T T
Q ᄀP ᄀQ T F F F F T
P∧Q ᄀP∧ᄀQ （P∧Q）∨ （ᄀP∧ᄀQ） T F T F F F
F
F
T T
F T
F
T
F
F
F
T
F
T
例4 给出ᄀ（P∧Q）⇄（ᄀP∨ᄀQ）的真值表。
P Q P∧Q ᄀ（P∧Q） ᄀP ᄀQ ᄀP∨ᄀQ ᄀ（P∧Q）⇄ （ᄀP∨ᄀQ）
T T T T F F
定义1－2.3 设P、Q为两命题，复合命题“P或Q” 称为 P与Q的析取式，记作P∨Q，∨为析取联结 词。 P Q P ∨Q T T T T F T F T T F F F
析取式P∨Q表示的是一种相容性或，即允许P 和Q同时为真。 例：“王燕学过英语或日语” P∨Q 自然语言中的“或”具有二义性，有时表示 不相容的或。 例：“派小王或小李中的一人去开会” 。为排斥 性的或。 P：派小王去开会；Q：派小李去开会。 （P∧ᄀQ）∨（ᄀP∧Q） ， （P∨Q）∧ᄀ（P∧Q）
其中P、Q和R代表任意的命题公式。
例6 验证吸收律
P∨（P∧Q）⇔P和 P∧（P∨Q）⇔P
P T T F F
Q T F T F
P∧Q T F F F
P∨（P∧Q）P∨Q T T T T F T F F
P∧（P∨Q） T T F F
定义1-4.3 如果X是合式公式A的一部分,且X本身也是一 个合式 公式,则称X为公式 A的子公式。
定义1-2.5 设P、Q为两命题，复合命题“P当且仅 当 Q”称作 P与Q的等价式，记作P⇄ Q， ⇄ 为 等价联结词。
P⇄Q表示P与Q互为充分必要条件。
P T T F F Q T F T F P⇄ Q T F F T
例5将下列命题符号化。 （1）2+2＝4，当且仅当3是奇数。 （2）2+2＝4，当且仅当3不是奇数。 （3）2+2≠4，当且仅当3是奇数。 （4）2+2≠4，当且仅当3不是奇数。 （5）两圆的面积相等，当且仅当它们的半径相同。 （6）两角相等当且仅当它们是对顶角。 解：（1）－（4）设P：2+2＝4；Q：3是奇数。 （1）P⇄Q 真命题 （2）P⇄ᄀQ 假命题 （3）ᄀP⇄Q 假命题 （4）ᄀP⇄ᄀQ 真命题 （5）设P：两圆的面积相等；Q：两圆的面积相同。 P⇄Q 真命题 （6）设P：两角相等；Q：它们是对顶角。 P⇄Q 假命题
1－4真值表与等价公式
1.真值表 定义1－4.1含n个（n≥1）个命题变元（分量）的命题公式， 共有2n组真值指派。将命题公式A在所有真值指派之下取 值的情况列成表，称为A的真值表。 构造真值表的步骤： (1)找出命题公式中所含的所有命题变元P1,P2,…,Pn。列出 所有可能的真值指派。 (2)对应每种真值指派，计算命题公式的各层次的值，直到最 后计算出命题公式的值。
2．命题的符号化表示 命题的符号化就是用符号表示命题。 简单命题（或原子命题）：简单陈述句表示 的命题。用P，Q，R,…,Pi,Qi,Ri,…表示。 例 P:2是偶数。 Q:雪是黑色的。 命题常量（或命题常元）：简单命题。 命题变项（或命题变元）：真值可以变化的 简单陈述句。不是命题。 例：x+y>5
定义1－2.4 设P、Q为两命题，复合命题“如果P， 则Q”称作 P与Q的蕴涵式，记作P→Q，→为蕴涵联 结词。
P T T F F Q T F T F P→Q T F T T
在P→Q中，Q是P的必要条件，P是Q的充分条件。 表示自然语言 “只要P就Q” ， “P仅当Q”， “只有Q，才P” 注意：1.在自然语言中，“如果P，则Q”中的P与Q 往往有某 种内在的联系，但在数理逻辑中，P→Q 中的P与Q不一定有内在的联系。 2.在数学中，“如果P，则Q”表示P为真，Q为真的 逻辑关系，但在数理逻辑中，当P为假时P→Q为真。
1－2.联结词
定义1－2.1 设P为任一命题，P的否定是一个新的命题，称 为P的否定式，记作ᄀP。ᄀ为否定联结词。
P
ᄀP
T
F 例
F
T
p：3是偶数。 ᄀp：3不是偶数。
定义1－2.2 设P、Q为两命题，复合命题“P并且Q” （或“P和Q”）称为 P与Q的合取式，记作P∧Q， ∧为合取联结词。 ∧表示自然语言中的“既……又……”， “不仅……而且……”， “虽然……但是” P T T F F Q T F T F P ∧Q T F F F
例5 证明P⇄Q⇔（P→Q）∧（ Q→P） 证明 列出真值表
P T T F F
Q T F T F
P→Q T F T T
Q→P T T F T
(P→Q）∧( Q→P） P⇄Q T T F F F F T T
24个重要的等价式
P⇔ᄀᄀP 双重否定律 P⇔P∨P 等幂律 P⇔P∧P P∨Q⇔Q∨P 交换律 P∧Q⇔Q∧P （P∨Q）∨R⇔P∨（Q∨R） 结合律 （P∧Q）∧R⇔P∧（Q∧R） P∨（Q∧R）⇔（P∨Q）∧（P∨R） 分配律 P∧（Q∨R）⇔（P∧Q）∨（P∧R） ᄀ（P∨Q）⇔ᄀP∧ᄀQ 德· 摩根律 ᄀ（P∧Q）⇔ᄀP∨ᄀQ
例4将下列命题符号化。 (1)只要不下雨，我就骑自行车上班。 (2)只有不下雨，我才骑自行车上班。 (3)若 2+2＝4，则太阳从东方升起。 (3)若 2+2≠4，则太阳从东方升起。 (4)若 2+2＝4，则太阳从西方升起。 (5)若 2+2≠4，则太阳从西方升起。 解：在（1）、（2）中，设P：天下雨；Q：我骑自行车上 班。 （1）ᄀP→Q （2）Q →ᄀP 在（3）－（6）中，设P： 2+2＝4；Q：太阳从东方升起； R: 太阳从西方升起。 （1）P→Q， 真值为T （2）ᄀP→Q， 真值为T （3）P→R ， 真值为F （4）ᄀP→R 真值为T
(4)如果我上街，我就去书店看看，除非我很累。 ᄀR→(P→Q) 或 （ᄀR∧P）→Q （除非：如果不） (5)王一乐是计算机系的学生，他生于1968年或1969年，他 是三好学生。P∧（Q ∨R）∧S （6）我们要做到身体好、学习好、工作好，为祖国四化建 设而奋斗。 A：我们要做到身体好 B：我们要做到学习好 C：我们要做到工作好 P：我们要为祖国四化建设面奋斗。 命题符号化形式为：（A∧B∧C）⇄P
F T
F F
F T
F T
T T
F T F
F F F
T
T
T
T
F
T
T
T
T
T
由以上例子可以看出有一类命题公式不论各命题变元作何种批派，其值永为 真（假），我们把这类公式记为T（F）。如例4和例2
2．等价公式
从真值表中可以看到，有些命题公式在分量的各 种指派下，其对应的真值都完全相同，如ᄀP∨Q与 P→Q的对应真值相同。
命题变项也用P，Q，R,…, Pi,Qi,Ri,…表示。 复合命题：由简单命题用联结词联结而成的命题。
例2 将下列命题符号化。 （1）3 不是偶数。 （2）2 是素数和偶数。 （3）林芳学过英语或日语。 （4）如果角A和角B是对顶角，则角A 等于角B。 解：（1）设P：3是偶数。 ᄀP （ᄀ：表示并非） （2）设P：2 是素数；Q：2是偶数。 P∧Q ( ∧:表示和) （3）设P：林芳学过英语；Q：林芳学过日语。 P∨Q (∨:表示或) （4）设P：角A和角B是对顶角；Q：角A 等于角B。 P→Q （→个表示如果……则……）
例3将下列命题符号化。 （1）李平既聪明又用功。 （2）李平虽然聪明，但不用功。 （3）李平不但聪明，而且用功。 （3）李平不是不聪明，而是不用功。 解：设P：李平聪明；Q：李平用功。 （1）P∧Q （2）P∧ᄀQ （3）P∧Q （4）ᄀ（ᄀP）∧ᄀQ
注意：不是见到“和” 、“与”就用 ∧。 例：“李文和李武是兄弟”，“王芳和陈兰是好朋友”是简 单命题。
1,证明Q∨ᄀ( (ᄀP∨Q) ∧P) ⇔Q∨ᄀ( (ᄀP∧P) ∨(P∧Q) ) ⇔Q∨ᄀ( F ∨(P∧Q) ) ⇔Q∨ᄀ(P∧Q) ⇔Q∨(ᄀP∨ᄀQ) ⇔(Q∨ᄀQ) ∨ᄀP ⇔T∨ᄀP ⇔T
4.5种联结词的优先级顺序：ᄀ，∧，∨，→，⇄
1-3命题公式与翻译
1.命题公式 命题公式：由命题常量、命题变元、联结词、括号 等组成的符号串。
命题公式中的命题变元称作命题公式的分量。
定义1－3.1 （1）单个命题常量或命题变 元,Q,R,…,Pi,Qi,Ri,… ，F，T是合式公式。 （2）如果A是合式公式，则（ᄀA）也是合式公式。 （3）如果A、B是合式公式，则（A∧B）、（A ∨B）、（A→B）、（A⇄B）也是合式公式。 （4）只有有限次地应用（1）－（3）组成的符号 串才是合式公式。 例：P, ᄀP, (ᄀP)), (0∧P),P→(P→Q), ((P∨Q) →R) →(ᄀR)是公式； PQ→R,, ᄀ(P→), ᄀP→Q)不是公式。
定理1－4.1如果X是合式公式A的子公式，若X⇔Y，如 果将A中的X用Y来置换，所得到公式B与公式A等价，即A⇔B。 证明 因为在相应变元的任一种指派下，X与Y的真值相同， 故以Y取代X后，公式B与公式 A在相应的指派下，其真值必相 同，故A⇔B。 满足定理1－4.1的置换称为等价置换（等价代换）
例7 证明P→Q⇔ᄀ（P∧ᄀQ）
P∨（P∧Q）⇔P P∧（P∨Q）⇔P P∨T ⇔T P∧F ⇔F P∨F⇔P P∧T ⇔P P∨ᄀP ⇔T P∧ᄀP ⇔F P→Q ⇔ᄀP∨Q P ⇄ Q ⇔（P→Q）∧（Q→P） P→Q ⇔ᄀQ→ᄀP P ⇄ Q ⇔ᄀP ⇄ᄀQ （P→Q）∧（P→ᄀQ）⇔ᄀP
（P∧Q）∨（ᄀP∧ᄀQ）与P⇄Q对应的真值相同。
定义1－4.2 给定两个命题公式A和B，设P1， P2，…，Pn为所有出现于A和B中的原子变元,若给P1， P2，…，Pn任一组真值指派,A和B的真值都相同,则 称A和B是等价的或逻辑相等。记作A⇔B。
P T T
Q ᄀP ᄀQ T F F F F T
P∧Q ᄀP∧ᄀQ （P∧Q）∨ （ᄀP∧ᄀQ） T F T F F F
F
F
T T
F T
F
T
F
F
F
T
F
T
例4 给出ᄀ（P∧Q）⇄（ᄀP∨ᄀQ）的真值表。
P Q P∧Q ᄀ（P∧Q） ᄀP ᄀQ ᄀP∨ᄀQ ᄀ（P∧Q）⇄ （ᄀP∨ᄀQ）
T T T T F F
定义1－2.3 设P、Q为两命题，复合命题“P或Q” 称为 P与Q的析取式，记作P∨Q，∨为析取联结 词。 P Q P ∨Q T T T T F T F T T F F F
析取式P∨Q表示的是一种相容性或，即允许P 和Q同时为真。 例：“王燕学过英语或日语” P∨Q 自然语言中的“或”具有二义性，有时表示 不相容的或。 例：“派小王或小李中的一人去开会” 。为排斥 性的或。 P：派小王去开会；Q：派小李去开会。 （P∧ᄀQ）∨（ᄀP∧Q） ， （P∨Q）∧ᄀ（P∧Q）
其中P、Q和R代表任意的命题公式。
例6 验证吸收律
P∨（P∧Q）⇔P和 P∧（P∨Q）⇔P
P T T F F
Q T F T F
P∧Q T F F F
P∨（P∧Q）P∨Q T T T T F T F F
P∧（P∨Q） T T F F
定义1-4.3 如果X是合式公式A的一部分,且X本身也是一 个合式 公式,则称X为公式 A的子公式。
定义1-2.5 设P、Q为两命题，复合命题“P当且仅 当 Q”称作 P与Q的等价式，记作P⇄ Q， ⇄ 为 等价联结词。
P⇄Q表示P与Q互为充分必要条件。
P T T F F Q T F T F P⇄ Q T F F T
例5将下列命题符号化。 （1）2+2＝4，当且仅当3是奇数。 （2）2+2＝4，当且仅当3不是奇数。 （3）2+2≠4，当且仅当3是奇数。 （4）2+2≠4，当且仅当3不是奇数。 （5）两圆的面积相等，当且仅当它们的半径相同。 （6）两角相等当且仅当它们是对顶角。 解：（1）－（4）设P：2+2＝4；Q：3是奇数。 （1）P⇄Q 真命题 （2）P⇄ᄀQ 假命题 （3）ᄀP⇄Q 假命题 （4）ᄀP⇄ᄀQ 真命题 （5）设P：两圆的面积相等；Q：两圆的面积相同。 P⇄Q 真命题 （6）设P：两角相等；Q：它们是对顶角。 P⇄Q 假命题
1－4真值表与等价公式
1.真值表 定义1－4.1含n个（n≥1）个命题变元（分量）的命题公式， 共有2n组真值指派。将命题公式A在所有真值指派之下取 值的情况列成表，称为A的真值表。 构造真值表的步骤： (1)找出命题公式中所含的所有命题变元P1,P2,…,Pn。列出 所有可能的真值指派。 (2)对应每种真值指派，计算命题公式的各层次的值，直到最 后计算出命题公式的值。
2．命题的符号化表示 命题的符号化就是用符号表示命题。 简单命题（或原子命题）：简单陈述句表示 的命题。用P，Q，R,…,Pi,Qi,Ri,…表示。 例 P:2是偶数。 Q:雪是黑色的。 命题常量（或命题常元）：简单命题。 命题变项（或命题变元）：真值可以变化的 简单陈述句。不是命题。 例：x+y>5
定义1－2.4 设P、Q为两命题，复合命题“如果P， 则Q”称作 P与Q的蕴涵式，记作P→Q，→为蕴涵联 结词。
P T T F F Q T F T F P→Q T F T T
在P→Q中，Q是P的必要条件，P是Q的充分条件。 表示自然语言 “只要P就Q” ， “P仅当Q”， “只有Q，才P” 注意：1.在自然语言中，“如果P，则Q”中的P与Q 往往有某 种内在的联系，但在数理逻辑中，P→Q 中的P与Q不一定有内在的联系。 2.在数学中，“如果P，则Q”表示P为真，Q为真的 逻辑关系，但在数理逻辑中，当P为假时P→Q为真。
1－2.联结词
定义1－2.1 设P为任一命题，P的否定是一个新的命题，称 为P的否定式，记作ᄀP。ᄀ为否定联结词。
P
ᄀP
T
F 例
F
T
p：3是偶数。 ᄀp：3不是偶数。
定义1－2.2 设P、Q为两命题，复合命题“P并且Q” （或“P和Q”）称为 P与Q的合取式，记作P∧Q， ∧为合取联结词。 ∧表示自然语言中的“既……又……”， “不仅……而且……”， “虽然……但是” P T T F F Q T F T F P ∧Q T F F F
例5 证明P⇄Q⇔（P→Q）∧（ Q→P） 证明 列出真值表
P T T F F
Q T F T F
P→Q T F T T
Q→P T T F T
(P→Q）∧( Q→P） P⇄Q T T F F F F T T
24个重要的等价式
P⇔ᄀᄀP 双重否定律 P⇔P∨P 等幂律 P⇔P∧P P∨Q⇔Q∨P 交换律 P∧Q⇔Q∧P （P∨Q）∨R⇔P∨（Q∨R） 结合律 （P∧Q）∧R⇔P∧（Q∧R） P∨（Q∧R）⇔（P∨Q）∧（P∨R） 分配律 P∧（Q∨R）⇔（P∧Q）∨（P∧R） ᄀ（P∨Q）⇔ᄀP∧ᄀQ 德· 摩根律 ᄀ（P∧Q）⇔ᄀP∨ᄀQ
例4将下列命题符号化。 (1)只要不下雨，我就骑自行车上班。 (2)只有不下雨，我才骑自行车上班。 (3)若 2+2＝4，则太阳从东方升起。 (3)若 2+2≠4，则太阳从东方升起。 (4)若 2+2＝4，则太阳从西方升起。 (5)若 2+2≠4，则太阳从西方升起。 解：在（1）、（2）中，设P：天下雨；Q：我骑自行车上 班。 （1）ᄀP→Q （2）Q →ᄀP 在（3）－（6）中，设P： 2+2＝4；Q：太阳从东方升起； R: 太阳从西方升起。 （1）P→Q， 真值为T （2）ᄀP→Q， 真值为T （3）P→R ， 真值为F （4）ᄀP→R 真值为T
(4)如果我上街，我就去书店看看，除非我很累。 ᄀR→(P→Q) 或 （ᄀR∧P）→Q （除非：如果不） (5)王一乐是计算机系的学生，他生于1968年或1969年，他 是三好学生。P∧（Q ∨R）∧S （6）我们要做到身体好、学习好、工作好，为祖国四化建 设而奋斗。 A：我们要做到身体好 B：我们要做到学习好 C：我们要做到工作好 P：我们要为祖国四化建设面奋斗。 命题符号化形式为：（A∧B∧C）⇄P
F T
F F
F T
F T
T T
F T F
F F F
T
T
T
T
F
T
T
T
T
T
由以上例子可以看出有一类命题公式不论各命题变元作何种批派，其值永为 真（假），我们把这类公式记为T（F）。如例4和例2
2．等价公式
从真值表中可以看到，有些命题公式在分量的各 种指派下，其对应的真值都完全相同，如ᄀP∨Q与 P→Q的对应真值相同。
命题变项也用P，Q，R,…, Pi,Qi,Ri,…表示。 复合命题：由简单命题用联结词联结而成的命题。
例2 将下列命题符号化。 （1）3 不是偶数。 （2）2 是素数和偶数。 （3）林芳学过英语或日语。 （4）如果角A和角B是对顶角，则角A 等于角B。 解：（1）设P：3是偶数。 ᄀP （ᄀ：表示并非） （2）设P：2 是素数；Q：2是偶数。 P∧Q ( ∧:表示和) （3）设P：林芳学过英语；Q：林芳学过日语。 P∨Q (∨:表示或) （4）设P：角A和角B是对顶角；Q：角A 等于角B。 P→Q （→个表示如果……则……）
例3将下列命题符号化。 （1）李平既聪明又用功。 （2）李平虽然聪明，但不用功。 （3）李平不但聪明，而且用功。 （3）李平不是不聪明，而是不用功。 解：设P：李平聪明；Q：李平用功。 （1）P∧Q （2）P∧ᄀQ （3）P∧Q （4）ᄀ（ᄀP）∧ᄀQ
注意：不是见到“和” 、“与”就用 ∧。 例：“李文和李武是兄弟”，“王芳和陈兰是好朋友”是简 单命题。
1,证明Q∨ᄀ( (ᄀP∨Q) ∧P) ⇔Q∨ᄀ( (ᄀP∧P) ∨(P∧Q) ) ⇔Q∨ᄀ( F ∨(P∧Q) ) ⇔Q∨ᄀ(P∧Q) ⇔Q∨(ᄀP∨ᄀQ) ⇔(Q∨ᄀQ) ∨ᄀP ⇔T∨ᄀP ⇔T
4.5种联结词的优先级顺序：ᄀ，∧，∨，→，⇄
1-3命题公式与翻译
1.命题公式 命题公式：由命题常量、命题变元、联结词、括号 等组成的符号串。
命题公式中的命题变元称作命题公式的分量。
定义1－3.1 （1）单个命题常量或命题变 元,Q,R,…,Pi,Qi,Ri,… ，F，T是合式公式。 （2）如果A是合式公式，则（ᄀA）也是合式公式。 （3）如果A、B是合式公式，则（A∧B）、（A ∨B）、（A→B）、（A⇄B）也是合式公式。 （4）只有有限次地应用（1）－（3）组成的符号 串才是合式公式。 例：P, ᄀP, (ᄀP)), (0∧P),P→(P→Q), ((P∨Q) →R) →(ᄀR)是公式； PQ→R,, ᄀ(P→), ᄀP→Q)不是公式。
定理1－4.1如果X是合式公式A的子公式，若X⇔Y，如 果将A中的X用Y来置换，所得到公式B与公式A等价，即A⇔B。 证明 因为在相应变元的任一种指派下，X与Y的真值相同， 故以Y取代X后，公式B与公式 A在相应的指派下，其真值必相 同，故A⇔B。 满足定理1－4.1的置换称为等价置换（等价代换）
例7 证明P→Q⇔ᄀ（P∧ᄀQ）
P∨（P∧Q）⇔P P∧（P∨Q）⇔P P∨T ⇔T P∧F ⇔F P∨F⇔P P∧T ⇔P P∨ᄀP ⇔T P∧ᄀP ⇔F P→Q ⇔ᄀP∨Q P ⇄ Q ⇔（P→Q）∧（Q→P） P→Q ⇔ᄀQ→ᄀP P ⇄ Q ⇔ᄀP ⇄ᄀQ （P→Q）∧（P→ᄀQ）⇔ᄀP