2014届九年级中考数学专题复习：常见辅助线作法：圆问题 三角形问题 梯形问题(方法解读+题型训练)
九年级数学圆中常见辅助线作法
圆中常有协助线的作法典型例题：例题 1、如图， P 是⊙ O外一点， PA、PB分别和⊙ O切于 A、B，C 是弧 AB 上随意一点，过 C作⊙ O的切线分别交 PA、PB于 D、E，若△ PDE的周长为 12，则PA长为 ______________AOBD C P E例题 2、如下图，已知 AB是⊙ O的直径，AC⊥ L 于 C，BD⊥L 于 D，且 AC+BD=AB。
求证：直线 L 与⊙ O相切。
例题 3、如图，AB是⊙ O的直径，弦 AC与 AB成 30°角，CD与⊙ O切于C，交 AB?的延伸线于 D，求证： AC=CD．例题 4、如图，⊙ O的直径为 10，弦 AB＝8，P 是弦 AB上一个动点，那么 OP的长的取值范围是 _________．1．碰到弦时（解决相关弦的问题时）1)、经常增添弦心距，或许作垂直于弦的半径（或直径）或再连接过弦的端点的半径。
作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；AO BC③利用弦的一半、弦心距和半径构成直角三角形，依据勾股定理求相关量。
2）、经常连接圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连接圆周上一点和弦的两个端点。
作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
C2．碰到有直径时经常增添（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，获得直角或直角三角形A BO3．碰到90°的圆周角时经常连接两条弦没有公共点的另一端点。
作用：利用圆周角的性质，可获得直径。
AC BO4．碰到有切线时（1）经常增添过切点的半径（连接圆心和切点作用：利用切线的性质定理可得 OA⊥ AB，获得直角或直角三角形。
（2）经常增添连接圆上一点和切点作用：可构成弦切角，进而利用弦切角定理。
5．碰到证明某向来线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确立，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。
（2）若直线过圆上的某一点，则连接这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。
中考数学几何辅助线大全及常考题型解析
中考数学几何辅助线大全及常考题型解析中考数学几何辅助线作法及常考题型解析第一部分常见辅助线做法等腰三角形:1.作底边上的高，构成两个全等的直角三角形2.作一腰上的高； 3.过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。
梯形1.垂直于平行边2.垂直于下底，延长上底作一腰的平行线3.平行于两条斜边4.作两条垂直于下底的垂线5.延长两条斜边做成一个三角形菱形1.连接两对角2.做高平行四边形1.垂直于平行边2.作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形3.做高——形内形外都要注意矩形1.对角线2.作垂线很简单。
无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。
还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。
三角形图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
解几何题时如何画辅助线①见中点引中位线，见中线延长一倍在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。
②在比例线段证明中，常作平行线。
③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有1、过上底的两端点向下底作垂线2、过上底的一个端点作一腰的平行线3、过上底的一个端点作一对角线的平行线4、过一腰的中点作另一腰的平行线5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交6、作梯形的中位线7、延长两腰使之相交四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
(完整版)初中几何辅助线——圆常用辅助线
初中几何辅助线——圆常用辅助线题型 1.圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一辅助线，一是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直角三角形，利用勾股定理解题.例1如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 二点.求证：AC = BD证明:过O 作OE ⊥AB 于E∵O 为圆心，OE ⊥AB∴AE = BE CE = DE ∴AC = BD练习：如图，AB 为⊙O 的弦，P 是AB 上的一点，AB = 10cm ，P A = 4cm .求⊙O 的半径.题型2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例2如图，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ,DN ⊥AB ,求证：证明：（一）连结OC 、OD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点∴OM =12AO 、ON = 12BO ∵OA = OB∴OM = ON∵CM ⊥OA 、DN ⊥OB 、OC = OD ∴Rt △COM ≌Rt △DON ∴∠COA = ∠DOB ∴（二）连结AC 、OC 、OD 、BD∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点 ∴AC = OC BD = OD ∵OC = OD ∴AC = BD∴题型3.有弦中点时常连弦心距例3如图，已知M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点,AB = CD ，求证：∠AMN = ∠CNM证明：连结OM 、ON∵O 为圆心，M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点 ∴OM ⊥AB ON ⊥CD ∵AB = CD ∴OM = ON∴∠OMN = ∠ONM∵∠AMN = 90o －∠OMN ∠CNM = 90o－∠ONM ∴∠AMN =∠CNM题型4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.例4如图，已知⊙O 1与⊙O 2为等圆，P 为O 1、O 2的中点，过P 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于A 、C 、D 、B .求证：AC = BD证明：过O 1作O 1M ⊥AB 于M ,过O 2作O 2N ⊥AB 于N ，则O 1M ∥O 2N∴1122O M O PO N O P= ∵O 1P = O 2P ∴O 1M = O 2N ∴AC = BD题型5.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：⑴连结过弧中点的半径 ⑵连结等弧所对的弦 ⑶连结等弧所对的圆心角例5如图，已知D 、E 分别为半径OA 、OB 的中点，C 为弧AB 的 中点，求证：CD = CE证明：连结OC∵C 为弧AB 的中点∴»»AB BC = ∴∠AOC =∠BOC∵D 、E 分别为OA 、OB 的中点，且AO = BO∴OD = OE = 12AO = 12BO又∵OC = OC∴△ODC ≌△OEC ∴CD = CE结论1.圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一半. 结论2.圆外角的度数等于它所截两条弧的度数之差的一半.结论3.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题.例6如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC = PC,PB的延长线交⊙O于D，求证：AC = DC 证明：连结AD∵AB为⊙O的直径∴∠ADP = 90o∵AC = PC∴AC = CD =12 AP练习：如图，在Rt△ABC中，∠BCA = 90o ,以BC为直径的⊙O交AB于E，D为AC中点，连结BD交⊙O于F.求证：BC CF BE EF=题型6.有垂直弦时也常作直径所对的圆周角.题型7.有等弧时常作辅助线有以下几种：⑴作等弧所对的弦⑵作等弧所对的圆心角⑶作等弧所对的圆周角练习：1.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，交点为E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M.求证：∠AMD =∠FMC(提示：连结BM)2.如图，△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD = CE，∠1 =∠2，求证：AB = AC（提示如图）题型8.有弦中点时，常构造三角形中位线例7已知，如图，在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求证：OE =12 AD证明：作直径CF，连结DF、BF ∵CF为⊙O的直径∴CD⊥FD又∵CD⊥AB∴AB∥DF∴»»AD BF=∴AD = BF∵OE⊥BC O为圆心CO = FO ∴CE = BE∴OE =12 BF∴OE =12ADP2题图A1题图BA题型9.圆上有四点时，常构造圆内接四边形.例8如图，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 平分∠F AC ，交⊙O 于E ，交BC 的延长线于D ，求证：AB ·AC= AD ·AE证明：连结BE ∵∠1 =∠3 ∠2 =∠1 ∴∠3 =∠2∵四边形ACBE 为圆内接四边形 ∴∠ACD =∠E ∴△ABE ∽△ADC∴AE AB AC AD∴AB ·AC = AD ·AE题型10.两圆相交时，常连结两圆的公共弦例9如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B ，过A 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于C 、D ，过B 的直线分别交⊙O 1、⊙O 2于E 、F .求证：CE ∥DF证明：连结AB∵四边形为圆内接四边形∴∠ABF =∠C同理可证：∠ABE =∠D∵∠ABF ＋∠ABE = 180o ∴∠C ＋∠D = 180o ∴CE ∥DF题型11.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可.⑵如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.例10如图，P 为⊙O 外一点，以OP 为直径作圆交⊙O 于A 、B 两点，连结P A 、PB .求证：P A 、PB 为⊙O 的切线 证明：连结OA ∵PO 为直径∴∠P AO = 90o ∴OA ⊥P A∵OA 为⊙O 的半径 ∴P A 为⊙O 的切线同理：PB 也为⊙O 的切线例11如图，同心圆O ，大圆的弦AB = CD ，且AB 是小圆的切线，切点为E ，求证：CD 是小圆的切线证明：连结OE ，过O 作OF ⊥CD 于F ∵OE 为半径，AB 为小圆的切线∴OE ⊥AB ∵OF ⊥CD , AB = CD∴OF = OE ∴CD 为小圆的切线P练习：如图，等腰△ABC ，以腰AB 为直径作⊙O 交底边BC 于P ，PE ⊥AC 于E , 求证：PE 是⊙O 的切线题型12.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题.例12如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90o ，AC = 12，BC = 9，D 是AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 切AC 于E ，求AD 长.解：连结OE ，则OE ⊥AC∵BC ⊥AC ∴OE ∥BC∴OE AOBC AB=在Rt △ABC 中，AB= 15==∴15915OE AB OB OEAB --==∴OE = OB = 458∴BD = 2OB = 454∴AD = AB －DB = 15－454= 154答：AD 的长为154.练习：如图，⊙O 的半径OA ⊥OB ，点P 在OB 的延长线上，连结AP 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线CE 交OP 于C ，求证：PC = CDCC AE。
初中数学：梯形的五种常用辅助线添加方法，17道例题详解培优几何
初中数学：梯形的五种常用辅助线添加方法，17道例题详解培优几何口诀：梯形问题如何巧转换，平移腰，平移对角线，做一高或两高，两腰延长三角形。
如果出现有中点，细心连上中位线。
上述方法不凑效，过腰中点全等造。
通常情况下，和梯形有关的几何题，辅助线的添加方法，有如上表格里的五种：①平移腰，转化为三角形或者平行四边形；②平移对角线转化为三角形或者平行四边形；③延长两腰，转为三角形；④做高或者双高，转化为直角三角形或者矩形；⑤中位线与腰中点的连线。
在这五大类中，还有细分的一些小类。
请大家细心的看下面的例题，一共举例了17道例题，经典考试题型，有详细解题步骤。
后面，还有8道练习题。
过瘾吧？那就疯狂点赞吧。
例1、有一个角是90°，通常根据题意，平移一腰，则出现直角三角形，用解直角三角形的思路，即可。
例2、平移一腰，得到一个三角形，通过三角形的三边关系定理。
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围。
例3、平移两腰的经典考试题型。
平移两腰，在梯形的中间得出一个三角形。
例4、平移对角线，得出一个平行四边形，再转化成一个三角形来解决问题。
例5，也是平移对角线，得到一个平行四边形和三角形，通过线段的转化，符合勾股定理，得出角度等于90°。
例6，平移对角线，得出平行四边形，还有等底等高三角形面积相等。
此题非常巧妙。
例7，延长两腰，相交得出一个三角形。
再利用原梯形的上底下底平行的关系，得出结论。
例8、这是一道证明四边形是等腰梯形的经典考试题型，不可错过的好题。
请看详细解题推理步骤。
例9，连接对角线，也是解决梯形问题里一个辅助线添加方法。
这题简单，但是这个BD的连接，是解题的关键。
例10，做梯形的一条高。
证明四边形是等腰梯形。
请看详细解题步骤，学会类似方法，举一反三。
例11、梯形做双高，得到一个矩形，和两个直角三角形，问题迎刃而解。
例12、这道题很新颖，求证两线段的大小关系。
做双高，得到两个直角三角形和一个矩形，通过线段大小关系，结合勾股定理，顺利得证。
完整)初中数学几何辅助线技巧
完整)初中数学几何辅助线技巧
几何常见辅助线口诀
三角形
在三角形中，可以使用角平分线来构造垂线，也可以将图形对折以后进行对称，从而得到更多的关系。
同时，角平分线还可以和平行线一起使用，来构造等腰三角形。
另外，在线段问题中，垂直平分线常常被用来将线段连接起来，而线段和差的问题可以通过延长或缩短线段来解决。
四边形
在处理平行四边形时，可以使用对称中心和等分点来进行计算。
对于梯形问题，可以将其转换为三角形或平行四边形，然后利用已有的知识来解决。
如果出现腰中点，可以连接中位线来解决问题。
如果以上方法都无法奏效，可以尝试使用全等来解决问题。
在证明相似时，可以使用比例和平行线的关系来辅助证明。
圆形
在圆形问题中，可以利用半径和弦长来计算弦心距。
如果出现切线，可以使用勾股定理来计算其长度。
要想证明一条线段是切线，需要利用半径垂线进行辨别。
在处理弧的问题时，需要记住垂径定理和圆周角的性质。
如果要作出内接或外接圆，需要将各边的中垂线或角平分线连起来。
如果遇到相交圆，需要注意作出公共弦。
最后，如果要证明等角关系，可以使用角平分线来构造辅助线。
由角平分线想到的辅助线
在使用角平分线时，可以通过截取构造全等来解决问题。
也可以在角分线上的点向两边作垂线，来构造全等三角形。
同时，三线合一也可以用来构造等腰三角形。
最后，在处理角平分线和平行线问题时，可以使用线段的加减和移动来解决问题。
中考复习精品-初中几何(三角形、四边形、圆)作辅助线常见方法
初中几何（三角形、四边形、圆）作辅助线常见方法一、三角形知识常见作辅助线方法○1遇中点常作延长线构造三角形全等1.如图，在ABC∆中，AD是中线，AB=5，AC=3，则AD长的取值范围是，若AD=2，则BC的长为，ABC∆的面积为2.如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG、PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG与PC的位置关系及PCPG的值．小聪同学的思路：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：(1)写出上面问题中线段PG与PC的位置关系是（2）PCPG的值是．○2（过中点）作平行线利用中位线的性质或平行线的性质3．已知：如图，AD是△ABC的中线．(1)若E为AD的中点，射线CE交AB于F，则BFAF=(2)若E为AD上的一点，且kEDAE1=，射线CE交AB于F，则=AFBF4．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．13B．12C．23D．不能确定○3遇特殊角时在三角形中常作垂直求线段长5．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，EM+CM的最小值为____________6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=6．点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA=DE，则AD的取值范围是___________________．○4遇线段和差问题时常截取或延长构造三角形全等7．如图，已知CE、AD是△ABC的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD8.如图，ABC∆是正三角形，BDC∆是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN.（1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明；理由。
初中数学圆的辅助线八种作法
中考数学圆的辅助线在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。
百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。
添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。
下面以几道题目为例加以说明。
1.有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。
例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ， 且AC=BD 。
求证：PO 平分∠APD 。
分析1：由等弦AC=BD 可得出等弧 = 进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD ，由同圆中 等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，易证△OPE ≌△OPF ，得出PO 平分∠APD 。
证法1：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于FAC=BD => = => ==> AB=CD => OE=OF∠OEP=∠OFP=90° => △OPE ≌△OPF0OP=OP=>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD 分析2：如图1-1，欲证PO 平分∠APD ，即证AB(BD ， (CD (D 图 1AC(AC (BD (AB (CD(∠OPA=∠OPD ，可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个 三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA ，OD ，因此易证△ACP ≌△DBP ，得AP=DP ，从而易证△OPA ≌△OPD 。
证法2：连结OA ，OD 。
∠CAP=∠BDP∠APC=∠DPB =>△ACP ≌△DBP AC=BD=>AP=DPOA=OD =>△OPA ≌△OPD =>∠OPA=∠OPD =>PO 平分∠APD OP=OP2.有直径，可作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。
中考数学专题复习-圆中常见添辅助线的方法
中考数学专题复习-圆中常见添辅助线的方法
学习目标：能根据实际问题添加合适的辅助线，熟练运用有关圆的性质解决问题 类型一：“两半三角形”的构造
例1：如图在平面直角坐标系中，⊙P 与坐标轴交于A 、B 、C 、D 四点，点A 的坐标为(0，
4)，点B 的坐标为（2,0），点C 的坐标为（-4，0）. 求点D 、点P 的坐标和圆的半径.
题组1： （1）如图，已知直角△ABC 中，∠C=90º，AC=4，BC=3，若以C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于P ，则AP 的长为
（2）如图,一个破残的圆片, 已知弧上的三点A 、B 、C ，设△ABC 是等腰三角形，底边BC = 10cm ，腰AB = 7cm ，则圆片的半径R 为
类型二：直径+两弦的Rt △的构造
例2：如图，△ABC 内接于圆O ，若∠B=30°，AC=
3，求⊙O 的直径
题组2： （1）一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100m ，测得圆周角∠ACB =45°，则这个人工湖的直径AD 为 .
（2）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O 的半径0C 为
2，则弦BC 的长为 . A
B C。
中考数学全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(附答案)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.截长补短：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的D C BAED F CB A性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。
中考数学 考点系统复习 第六章 圆 方法技巧突破(七) 圆中常见辅助线的作法
类型一：遇到有关弦的问题时，常作垂直于弦的半径，然后构造直角三
角形，运用勾股定理求解
1．往水平放置的半径为 13 cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图
如图所示，若水面宽度 AB＝24 cm，则水的最大深度为
（ B）
A．5 cm
B．8 cm
C．10 cm
D．12 cm
类型二：遇到直径时，常作直径所对的圆周角，得到直角三角形 2．如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦 AC 的长为 5 cm，点 D 在圆上，且∠ ADC＝30°，则⊙O 的半径为 5 cm.
类型三：遇到 90°的圆周角时，常连接圆周角的两边与圆的交点，得到
直径
3．如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB 与⊙O 交于点 D，AC 与⊙O 交于 点 E.若 AD＝3，AE＝4，则⊙O 的半径为 22. . 5.
5
类型四：遇到切线时，常连接过切点的半径，得到垂直关系，同时过圆 心作弦的垂线构造直角三角形或矩形 4．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，点 O 在 AB 上，OB＝2，以 OB 为半径的⊙O 与 AC 相切于点 D，交 BC 于点 F，则弦 BF 的长为 2 2 ．
类型六：遇到要证切线时，若无交点，则作垂直，证半径 6．如图，在菱形 ABCD 中，O 是对角线 BD 上一点(BO＞DO)，OE⊥AB，垂 足为点 E，以 OE 为半径作⊙O.求证：BC 是⊙O 的切线．
证明：过点 O 作 OM⊥BC 于点 M， ∵BD 是菱形 ABCD 的对角线， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵OM⊥BC，OE⊥AB， ∴OE＝OM，∴BC 是⊙O 的切线．
类型五：遇到要证切线时，若有交点，则连半径，证垂直 5．如图，在 Rt△AOB 中，∠AOB＝90°，以点 O 为圆心，OA 为半径的⊙O 交 AB 于点 C，点 D 在边 O线 CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
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初中几何中常见辅助线的作法在几何学习中，如何添加辅助线是许多同学感到头疼的问题，许多同学常因辅助线的添加方法不当，造成解题困难。
在老师的帮助下，我根据自己的学习经验把初中几何中常见的辅助线作法编成了一些“顺口溜” 歌诀，现将该歌诀写出来奉献给同学们，但愿能给大家的学习、复习带来一些帮助。
人人都说几何难，难就难在辅助线。
辅助线，如何添？把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
图中有角平分线，可向两边作垂线。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
正确熟练地掌握辅助线的作法和规律，也是迅速解题的关键，如何准确地作出需要的辅助线，简单介绍几种方法： 方法一：从已知出发作出辅助线：例1．已知：在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，E 是AD 的中点，F 是BE 延长线与AC 的交点，求证：AF =FC 21分析：题设中含有D 是BC 中点，E 是AD 中点，由此可以联想到三角形中与边中点有密 切联系的中位线，所以，可有如下2种辅助线作法：（1）过D 点作DN ∥CA ，交BF 于N ，可得N 为BF 中点，由中位线定理得DN =FC 21，再证△AEF ≌△DEN ，则有AF =DN ，进而有AF =FC 21（2）过D 点作DM ∥BF ，交AC 于M ，可得FM =CM ，FM =AF ，则有AF =FC 21方法二：分析结论，作出辅助线例2：如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径， 求证：AB ·AC =AE ·AD分析：要证AB ·AC =AE ·AD ，需证ACAEAD AB = （或ACADAE AB =），需证△ABE ∽△ADC （或△ABD ∽△AEC ）， 这就需要连结BE （或CE ），形成所需要的三角形，同时得∠ABE =∠ADC =900(或∠ADB =∠ACE =900)又∠E =∠C （或∠B =∠E ） 因而得证。
方法三：“两头凑”（即同时分析已知和结论）作出辅助线例3：过△ABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和求证：AE ∶ED =2AF ∶FB 分析：已知D 是BC 中点，那么在 三角形中可过中点作平行线得中位线；若要出现结论中的AE ∶ED ，则应有一条与EF 平行的直线。
所以，过作DM ∥EF 交AB 于M ，可得FMAFFM AF ED AE 22==，再证BF =2FM方法四：找出辅助线的一般规律，将对证题时能准确地作出所需辅助线有很大帮助。
例如：在“圆”部分就有许多规律性辅助线： （1）有弦，作“垂直于弦的直径”例4：已知，如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，求证：AC =BD分析：过O 点作OE ⊥AB 于E ，则 AE =BE ，CE =DE ，即可证得AC =BD （2）有直径，构成直径上的圆周角（直角） 例5：已知：如图，以△ABC 的AC 边为直径， 作⊙O 交BC 、BA 于D 、E 两点，且⋂⋂=DE CD ， 求证：∠B =∠C分析：连结AD ，由于AC 为直径，则有AD ⊥BC ，又⋂⋂=DE CD ，有∠1=∠由内角和定理得∠B =∠C （3）见切线，连半径，证垂直例6：如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ，求证：AC 平分∠DAB分析：连结OC ，由于CD 为切线，可知 OC ⊥CD ，易证：∠1=∠2，又因为∠2=∠3， 所以∠1=∠3，则可得AC 平分∠DAB（4）证切线时，“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径”例7：已知，直线AB 经过⊙O 上的一点，并且OA =OB ，CA =CB ； 求证：直线AB 是⊙O 的切线分析：连结OC ，要证AB 是⊙O 的切线， 需证OC ⊥AB ，由已知可证△OAC ≌△OBC ， 可得∠OCA =∠OCB =900，结论得证。
例8：已知，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =900，BC 是⊙O BC =CD +AB ，求证：AD 是⊙O 的切线分析：过O 点作OE ⊥AD ，垂足为E ，要证AD 是⊙O 的切线，只要证OE 是⊙O 的半径即可，也就是说需要证OE =BC 21，由于∠A =900，AB ∥CD ，可得AB ∥CD ∥OE ，再由平行线等分线段定理得DE =EA ，进而由梯形中位线定理得OE =BC CD AB 21)(21=+，所以E 点在⊙O 上，AD 是⊙O 的切线。
（二）练习1、已知： 如图，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ． 求证： DE ∥BC ，DE ＝21BC ．2、已知： 如图27.3.12所示，在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，AE ＝BE ，DF ＝CF ． 求证： EF ∥BC ，EF ＝21（AD ＋BC ）． 3、已知：如图27.3.13所示,在△ABC 中.AD =DB ,BE =EC ,AF =FC . 求证：AE 、DF 互相平分。
4、如图：已知：AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，M 为⋂AC 上一点，AM 的延长线交DC 的延长线于F ， 求证：∠AMD =∠FMC与圆有关的辅助线常规作法解析与圆有关的几何问题，几乎涵盖了初中几何的各种基本图形与基本性质，题型的复杂程度可想而知。
为此，常常需要添加适当的辅助线将复杂的图形转化为基本图形，从而方便求解。
为帮助大家正确理解并掌握圆中有关计算或证明题的一般解法，现就圆中辅助线的常规作法分类总结如下，供同学们学习时参考——一、圆中有弦，常作弦心距（或者作垂直于弦的半径或直径，有时还要连结过弦端点的半径）例1.如图，以Rt △ABC 的直角顶点A 为圆心，直角边AB 为半径的⊙A 分别交BC 、AC 于点D 、E , 若BD =10cm ，DC =6cm ，求⊙A 的半径。
解：过A 作AH ⊥BD 于H ，则1BH BD 5cm 2==。
∵BA ⊥AC ，∴∠CAB =∠AHB =90°。
又∵∠ABH =∠CBA ，∴△ABH ∽△CBA，∴AB CBBH AB=，∴2AB BC BH (BD DC)BH 16580cm =⋅=+⋅=⨯=，∴r AB ===。
例2.如图，AB 是⊙O 的直径,PO ⊥AB 交⊙O 于点P ，弦PN 与AB 相交于点M ，求证：2PM PN 2PO ⋅=。
证明：过O 作OC ⊥NP 于点C ，则1PC PN 2=。
∵OC ⊥NP ，PO ⊥AB ，∴∠POM =∠PCO =90°。
又∵∠OPM =∠CPO ，∴△OPM ∽△CPO ，∴PO PMPC PO=，∴21PO PM PC PM (PN)2=⋅=⋅，即2PM PN 2PO ⋅=。
评析：求解圆中与弦有关的问题，常需作弦心距（即垂直于弦的直径或半径），其目的是构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形，并利用垂径定理来沟通弦、弧、弦心距之间的联系。
二、圆中有直径，常作直径所对的圆周角（在半圆中，同样可作直径所对的圆周角） 例3.如图，AB 为半圆的直径，OH ⊥AC 于H ，BH 与OC 交于E ，若BH =12，求BE 的长。
解：连结BC 。
∵ AB 为直径，∴ AC ⊥BC 。
又∵OH ⊥AC ，AO =BO ，∴ OH12BC ，∴∠OHE=∠CBE，∠HOE=∠BCE，∴△OHE∽△CBE，∴HE OH1 BE BC2==，∴22BE BH12833==⨯=。
例4.如图,AB是半圆的直径, C为圆上的一点, CD⊥AB于D, 求证:2CD AD BD=⋅。
证明：连结AC、BC。
∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠1+∠2=90°。
又∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°，∠1+∠3=90°，∴∠3=∠2，∴△BCD∽△CAD，∴AD CDCD BD=，即2CD AD BD=⋅。
评析：由于直径所对的圆周角为直角，所以在有关圆的证明或计算问题中，利用该性质极易构造出直角三角形，从而可以很方便地将问题转化到直角三角形中进行解决。
三、圆中有切线，常作过切点的半径（若无切点，则过圆心作切线的垂线）例5.如图，已知MN为⊙O的直径，AP是⊙O的切线，P为切点，点A在MN的延长线上，若P A=PM，求∠A的度数。
解：连结OP，设∠A的度数为x。
∵P A=PM，∴∠M=∠A，同理可得∠OPM=∠M，∴∠POA=∠OPM+∠M=2∠M=2∠A=2x。
又∵AP切⊙O于点P，∴AP⊥OP，∴∠A+∠POA=90°，即x+2x=90°，解之得x=30°，∴∠A=30°。
例6.如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上的一点,AD和过C点的切线垂直,垂足为D，求证∠1=∠2。
证明：连结OC。
∵DC切⊙O于点C，∴OC⊥DC。
又∵AD⊥DC，∴OC∥AD，∴∠1=∠3。
∵OA=OC,∴∠2=∠3，∴∠1=∠2。
评析：当欲求解的问题中含有圆的切线时，常常需要作出过切点的半径，利用该半径与切线的垂直关系来沟通题设与结论之间的联系。
四、圆中有特殊角，常作直径构造直角三角形（若题中有三角函数但无直角三角形，则也需作直径构造直角三角形）例7.如图, 点A、B、C在⊙O上（AC不过O点），若∠ACB=60°,AB=6，求⊙O半径的长。
解：作直径AD，连结BD。
∵∠ACB 与∠D 都是AB 所对的圆周角，∴∠D =∠ACB =60°。
又∵AD 是直径，∴∠ABD =90°，∴AB 6AD sin D sin 60︒===，∴1r AD 2== 例8.如图，在锐角△ABC 中，若BC =a ，CA =b ，AB =c ，△ABC 的外接圆半径为R ，求证：a b c2R sin A sin B sin C===。