人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念习题(4)
高中数学人教A版必修4：第二章 2(1).1 平面向量的实际背景及基本概念
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
2
[新知初探]
1．向量的概念和表示方法 (1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量．
(2)向量的表示： 几何表示：用有向线段 来表示向量，有向线段的 长度表示向量的 大小 ，箭头所指的方向表示向量 的 方向 ，即用有向线段的起点、终点字母表示，
2019年7月10日
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(1)判断一个量是否为向量应从两个方面入手 ①是否有大小；②是否有方向． (2)理解零向量和单位向量应注意的问题 ①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等． ②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．
2019年7月10日
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[点睛] 定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有 确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数 个，它们大小相等，但方向不一定相同．
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3．向量间的关系 (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量， 记作：a＝b. (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫 共线 向量；a 平行于 b，记作 a∥b ；规定零向量与任一向量 平行 ．
2019年ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
1
预习课本P74～76，思考并完成以下问题
(1)向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？
(2)怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？ (3)两个向量(向量的模)能否比较大小？
(4)如何判断相等向量或共线向量？向量 AB与向量 BA是相等向 量吗？
人教A版高中数学必修四2-1 平面向量的实际背景及基本概念
(4)有向线段的三个要素：___起__点__、__方__向__、__长__度_____．知道 了有向线段的起点、方向、长度，它的__终__点___就唯一确定．
下列物理量中不是向量的有( )
(1)质量 (2)速度 (3)力 (4)加速度 (5)路程 (6)密度
(7)功 (8)电流强度
A．5
B．4
C．3
在同一直线上，向量是可以自由平移
的．
[正解] 不正确．因为是向量可以自由平移．
►If I had not been born Napoleon, I would have liked to have been born Alexander. 如果今天我不是拿破仑的话，我想成为亚历山大。
►Never underestimate your power to change yourself! 永远不要低估你改变自我的能力！
向；数量之间可以比较大小，而向量之间不能比较大小．
(3)有向线段：带有_方__向___的线段叫做有向线段．其方向是
由__起__点__指向__终__点__，以A为起点、B为终点的有向线段记作
→ AB
(如图所示)，线段__A_B__的长度也叫做有向线段 A→B 的长度，记作 |A→B|.书写有向线段时，起点写在终点的前面，上面标上箭头．
在平面上将所有模长相等的向量的起点放在同一点，则 它们的终点组成____________．
[答案] 一个圆 [解析] 模长相等的向量放在同一起点上，则各终点到该起 点的距离相等，所以各终点应在同一个圆上．
3．有关概念
[总结]①共线向量所在直线平行或重合．如果两个向量所 在的直线平行或重合，则这两个向量是平行向量．
是向量的方向．向量的大小就是向量的__长__度___
高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念课件 新人教A版必修4
用有向线段表示向量的步骤及注意事项 (1)步骤
(2)注意事项：有向线段书写时要注意起点和终点的不同；字母表示在书写时不要 忘了字母上的箭头．
2．在某军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从 A 处出 发向西迂回了 100 km 到达 B 地，然后又改变方向向北走了 120 km 到达 C 地， 最后又改变方向，向南偏东 45°突进 80 2 km 到达 D 处，完成了对蓝军的包围． (1)在如图所示的坐标纸上，用直尺和圆规作出向量A→B，B→C，C→D；
混淆向量的模与数的绝对值致误
[典例] 给出下列四个命题：
①若|a|＝0，则 a＝0；②若|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b；③若 a∥b，则|a|＝|b|；
④若 a＝0，则－a＝0
其中的正确命题有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
[解析] 对于①，前一个零是实数，后一个应是向量 0.对于②，两个向量的模相 等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定．对于③，两个向量平行， 它们的方向相同或相反，模未必相等．只有④正确．故选 A. [答案] A
OAED，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中分
别
写出：
(1)与D→O，C→O相等的向量；
(2)与D→O共线的向量；
(3)与A→O模相等的向量．
解析：(1)D→O＝C→F，C→O＝D→E. (2)与D→O共线的向量为：C→F，B→O，A→E. (3)与A→O模相等的向量有：D→O，C→O，B→O，B→F，C→F，A→E，D→E.
[解析] (1)与 a 的模相等的向量有 23 个． (2)与 a 的长度相等且方向相反的向量有O→D，B→C，A→O，F→E. (3)与 a 共线的向量有E→F，B→C，O→D，F→E，C→B，D→O，A→O，D→A，A→D. (4)与 a 相等的向量有E→F，D→O，C→B； 与 b 相等的向量有D→C，E→O，F→A.
人教A版高中数学必修4第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念导学案(1)
点相接，连接两向量的终点，箭头指向被减数”
.
二、合作探究 1、阅读并讨论 P86 例 3 和例 4 变式：如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是 ( )
A. A→B ＝D→C
B. A→D ＋ A→B ＝ A→C
C. A→B － A→D ＝ B→D
D. A→D ＋ C→B＝ 0
2、在△ ABC 中， O 是重心， D 、 E 、 F 分别是 BC 、 AC 、 AB 的中点，
AB
AC
；
。
3、如下图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中与
uuur OD ，
.
uuur uuur OE ， OF 相等的向量 .
uuur 变式：（ 1）与 AB 相等的向量有哪些？
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（ 2） OA 与 EF 相等吗？ OB 与 AF 相等吗？
三、目标检测（ A 组必做， B 组选做）
来表示向量，线段按一定比例画出，它的长短表示向
量的大小，箭头的指向表示向量的方向 .
⑵以 A 为起点， B 为终点的有向线段记作
uuur
AB
记作
.有向线段包含三个要素：
，线段 AB的长度称为模，
r ⑶有向线段也可用字母如 a ，
， L 表示 .
. 而力是常见
探究三：几个特殊的向量 零向量：长度为 的向量；单位向量：长度等于
vv
uuv v uuv v
vv v v
3、已知 a ， b ，在平面内任取一点 O，作 OA a, OB b ，则 __________= a b ，即 a b 可以表示
v
v
为从向量 _______的终点指向向量 ______ 的终点的向量，如果从向量 a 的终点到 b 的终点作向量，那么所
(完整版)数学必修4-第二章-平面向量知识点,推荐文档
形法则”
① 三量角b 的形终法点则指：向当被a,减b 有向共量同a起的点终时点，的向a 量b 表。示为从减向
② 平行四边形法则：两个已知向量是要共始点的，差向量是如图
所示的对角线。设
AB
a,
AC
b
则
a
-
b
=
AB
AC
CB
.
3.实数与向量的积
（1）
定义：实数
λ
与向量
a
的积是一个向量，记作
4.平面向量的坐标运算：
①若
a
( x1 ,
y1
),
b
( x2
,
y2
)
，则
a
b
x1
x2
,
y1
y2
；
②若
Ax1 ,
y1
,
Bx2
,
y2
，则
AB
x2
x1,
y2
y1
；
③若
a
=(x,y)，则
a
=(
x,
y)；
④若
a
( x1 ,
y1 ), b
(x2 ,
y2
)
，则
a
//
b
x1 y2
x2
y1
1.平面向量基本定理：如果 e1 ， e2 是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于这一平面内的任一向量
a
，有且只有一对实数
λ1，λ2
使
a
=λ1
e1
+λ2
e2
.
注意：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量 的一组基底；
(2) 基底不惟一，关键是不共线；
人教版高中数学必修4课后习题答案详解
数学必修四答案详解第二章 平面向量2．1平面向量实际背景及基本概念 练习（P77）1、略.2、AB u u u r ，BA u u u r. 这两个向量长度相等，但它们不等.3、2AB =u u u r ， 2.5CD =u u u r ，3EF =u u u r，GH =u u u r4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同. 习题2.1 A 组（P77） 1、（2）. 3、与DE u u u r 相等的向量有：,AF FC u u u r u u u r ；与EF u u u r相等的向量有：,BD DA u u u r u u u r ； 与FD u u u r相等的向量有：,CE EB u u u r u u u r .4、与a r 相等的向量有：,,CO QP SR u u u r u u u r u u r ；与b r 相等的向量有：,PM DO u u u u r u u u r； 与c r 相等的向量有：,,DC RQ ST u u u r u u u r uu u r5、AD =u u u r .6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×.习题2.1 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM u u u u r同向的共有6对，与AM u u u u r 反向的也有6对；与AD u u u r 同向的共有3对，与AD u u u r反向的也有6的向量共有4对；模为2的向量有2对2．2平面向量的线性运算 练习（P84）1、图略.2、图略.3、（1）DA u u u r； （2）CB u u u r . 4、（1）c r ； （2）f u r ； （3）f u r ； （4）g u r . 练习（P87）1、图略.2、DB u u u r ，CA u u u r ，AC u u u r ，AD u u u r ，BA u u u r. 3、图略. 练习（P90） 1、图略.2、57AC AB =u u u r u u u r ，27BC AB =-u u u r u u u r .说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BCuuu r与AB u u u r反向.3、（1）2b a =r r ； （2）74b a =-r r ； （3）12b a =-r r； （4）89b a =r r .4、（1）共线； （2）共线.5、（1）32a b -rr ； （2）1112a -r r（3）2ya r . 6、图略.习题2.2 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ； （2）向东走5 km ；（3）向东北走km ；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向东南走km. 2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km.3、解：如右图所示：AB u u u r 表示船速，AD u u u r表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则 AC u u u r表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB =u u u r ，2AD =u u u r，所以AC ===u u u r 因为tan 4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈︒所以，实际航行的速度是km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°.4、（1）0r ； （2）AB u u u r ； （3）BA u u u r ； （4）0r ； （5）0r ； （6）CB u u u r ； （7）0r .5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略. 8、（1）略； （2）当a b ⊥r r 时，a b a b +=-r r r r9、（1）22a b --r r ； （2）102210a b c -+r r r ； （3）132a b +r r ； （4）2()x y b -r .10、14a b e +=r r u r ，124a b e e -=-+r r u r u u r ，1232310a b e e -=-+r r u r u u r . 11、如图所示，OC a =-u u u r r ，OD b =-u u u r r，DC b a =-u u u r r r ，BC a b =--u u u r r r .12、14AE b =u u u r r ，BC b a =-u u u r r r ，1()4DE b a =-u u u r r r ，34DB a =u u u r r，34EC b =u u u r r ，1()8DN b a =-u u u r r r ，11()48AN AM a b ==+u u u r u u u u r r r .13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EF AC =，即12EF AC =u u u r u u u r ；同理，12HG AC =u u u r u u u r，所以EF HG =u u u r u u u r .习题2.2 B 组（P92）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b r r不共线时它们不相等.3、证明：因为MN AN AM =-u u u u r u u u r u u u u r ，而13AN AC =u u u r u u u r ，13AM AB =u u u u r u u u r，所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略 （2）四边形ABCD 为梯形.证明：∵13AD BC =u u u r u u u r，∴AD BC //且AD BC ≠ ∴四边形ABCD 为梯形. （3）四边形ABCD 为菱形.（第11题）（第12题）EHGFC AB丙乙（第1题）（第4题(2)）BCD证明：∵AB DC =u u u r u u u r，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形 又AB AD =u u u r u u u r∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形.证明：因为OA OB BA -=u u u r u u u r u u u r ，OD OC CD -=u u u r u u u r u u u r而OA OC OB OD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r所以OA OB OD OC -=-u u u r u u u r u u u r u u u r 所以BA CD =u u u r u u u r，即∥.因此，四边形ABCD 为平行四边形.2．3平面向量的基本定理及坐标表示 练习（P100）1、（1）(3,6)a b +=r r ，(7,2)a b -=-r r ； （2）(1,11)a b +=r r ，(7,5)a b -=-r r；（3）(0,0)a b +=r r ，(4,6)a b -=r r ； （4）(3,4)a b +=r r ，(3,4)a b -=-r r. 2、24(6,8)a b -+=--r r ，43(12,5)a b +=r r.3、（1）(3,4)AB =u u u r ，(3,4)BA =--u u u r ； （2）(9,1)AB =-u u u r ，(9,1)BA =-u u u r； （3）(0,2)AB =u u u r ，(0,2)BA =-u u u r ； （4）(5,0)AB =u u u r ，(5,0)BA =-u u u r4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r，所以AB CD =u u u r u u u r .所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)； （2）(1,4)； （3）(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3-7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =u u u r u u u r ，得32AP PB =-u u u r u u ur(,)(2,3)(2,3)AP x y x y =-=--u u u r ，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---u u u r∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩（第4题(3)）（第5题）∴815x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(8,15)-.习题2.3 A 组（P101）1、（1）(2,1)-； （2）(0,8)； （3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题.2、123(8,0)F F F ++=u u r u u r u u r3、解法一：(1,2)OA =--u u u r ，(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r 而AD BC =u u u r u u u r ，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 所以点D 的坐标为(1,5).解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++u u u r，(53,6(1))(2,7)BC =---=u u u r由AD BC =u u u r u u u r 可得，1227x y +=⎧⎨+=⎩，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA =u u u r ，(2,4)AB =-u u u r.1(1,2)2AC AB ==-u u u r u u u r ，2(4,8)AD AB ==-u u u r u u u r ，1(1,2)2AE AB =-=-u u u r u u ur .(0,3)OC OA AC =+=u u u r u u u r u u u r，所以，点C 的坐标为(0,3)；(3,9)OD OA AD =+=-u u u r u u u r u u u r，所以，点D 的坐标为(3,9)-； (2,1)OE OA AE =+=-u u u r u u u r u u u r，所以，点E 的坐标为(2,1)-. 5、由向量,a b r r 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以236x =-，解得4x =-.6、(4,4)AB =u u u r ，(8,8)CD =--u u u r ，2CD AB =-u u u r u u u r ，所以AB u u u r 与CD uuur 共线. 7、2(2,4)OA OA '==u u u r u u u r ，所以点A '的坐标为(2,4)； 3(3,9)OB OB '==-u u u r u u u r，所以点B '的坐标为(3,9)-； 故(3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=-u u u u r习题2.3 B 组（P101）1、(1,2)OA =u u u r ，(3,3)AB =u u u r.当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==u u u r u u u r u u u r u u u r，所以(4,5)P ；当12t =时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r ，所以57(,)22P ；当2t =-时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--u u u r u u u r u u u r，所以(5,4)P --；当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=u u u r u u u r u u u r，所以(7,8)P .2、（1）因为(4,6)AB =--u u u r ，(1,1.5)AC =u u u r，所以4AB AC =-u u u r u u u r ，所以A 、B 、C 三点共线；（2）因为(1.5,2)PQ =-u u u r ，(6,8)PR =-u u u r ，所以4PR PQ =u u u r u u u r，所以P 、Q 、R 三点共线；（3）因为(8,4)EF =--u u u r ，(1,0.5)EG =--u u u r，所以8EF EG =u u u r u u u r ，所以E 、F 、G 三点共线.3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=u r u u r r ，得2121e e λλ=-u r uu r .所以12,e e u r u u r 是共线向量，与已知12,e e u r u u r是平面内的一组基底矛盾,因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、（1）OP =u u u r （2）对于任意向量12OP xe ye =+u u u r u r u u r，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积 练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=u r r u r r u r r .2、当0a b ⋅<r r 时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=r r时，ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为0，-图略练习（P107）1、5a ==r ，b ==r 35427a b ⋅=-⨯+⨯=-r r .2、8a b ⋅=r r ，()()7a b a b +-=-r r r r ，()0a b c ⋅+=r r r ，2()49a b +=r r .3、1a b ⋅=r r ，a =r b =r88θ≈︒.习题2.4 A 组（P108）1、a b ⋅=-r r 222()225a b a a b b +=+⋅+=-r r r r r r a b +=r r2、BC uuu r 与CA u u u r 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-u u u r u u u r.3、a b +==r r a b -==r r .4、证法一：设a r 与b r的夹角为θ.（1）当0λ=时，等式显然成立；（2）当0λ>时，a λr 与b r ，a r 与b λr的夹角都为θ，所以()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==r r r r r r()cos a b a b λλθ⋅=r r r r()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==r r r r r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r；（3）当0λ<时，a λr 与b r ，a r 与b λr的夹角都为180θ︒-，则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-r r r r r r()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==-r r r r r r()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-r r r r r r所以()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r ； 综上所述，等式成立.证法二：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r，那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+r r112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+=+r r11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+r r所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r；5、（1）直角三角形，B ∠为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--u u u r ，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-u u u r∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=u u u r u u u r∴BA BC ⊥u u u r u u u r ，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（2）直角三角形，A ∠为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=u u u r ，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-u u u r∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r∴AB AC ⊥u u u r u u u r ，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（3）直角三角形，B ∠为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-u u u r ，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=u u u r∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=u u u r u u u r∴BA BC ⊥u u u r u u u r ，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=r r r r r r r r ，于是可得6a b ⋅=-r r ，1cos 2a b a bθ⋅==-r r r r ，所以120θ=︒. 8、23cos 40θ=，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-u u u r ，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=u u u r ， (8,4)(4,6)(4,2)DC =-=-u u u r∴AB DC =u u u r u u u r ，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯=u u u r u u u r∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)a x y =r ， 则2292x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.于是(55a=r或(55a=--r.11、解：设与ar垂直的单位向量(,)e x y=r，则221420x yx y⎧+=⎨+=⎩，解得5xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或5xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是,55e=-r或(55e=-r.习题2.4 B组（P108）1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥-r r r r r r r r r r r r r r证法二：设11(,)a x y=r，22(,)b x y=r，33(,)c x y=r.先证()a b a c a b c⋅=⋅⇒⊥-r r r r r r r1212a b x x y y⋅=+r r，1313a c x x y y⋅=+r r由a b a c⋅=⋅r r r r得12121313x x y y x x y y+=+，即123123()()0x x x y y y-+-=而2323(,)b c x x y y-=--r r，所以()0a b c⋅-=r r r再证()a b c a b a c⊥-⇒⋅=⋅r r r r r r r由()0a b c⋅-=r r r得123123()()0x x x y y y-+-=，即12121313x x y y x x y y+=+，因此a b a c⋅=⋅r r r r2、cos cos cos sin sinOA OBAOBOA OBαβαβ⋅∠==+u u u r u u u ru u u r u u u r.3、证明：构造向量(,)u a b=r，(,)v c d=r.cos,u v u v u v⋅=<>r r r r r r，所以,ac bd u v+=<>r r ∴2222222222()()()cos,()()ac bd a b c d u v a b c d+=++<>≤++r r4、AB AC⋅u u u r u u u r的值只与弦AB的长有关，与圆的半径无关.证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，12AM AB =u u u u r u u u r 又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠u u u r u u u r u u u r u u u r ，而AM BAC AC∠=u u u u r u u u r 所以212AB AC AB AM AB ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r 5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r证明：∵AB CB CA =-u u u r u u u r u u u r∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅=u u u r u u u r ∴222CA CB AB +=u u u r u u u r u u u r（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥证明：∵AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，,DB AB AD =-u u u r u u u r u u u r∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以220AB AD -=u u u r u u u r∴0AC DB ⋅=u u u r u u u r ，所以AC BD ⊥（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=u u u r u u u r∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .∴22()()AB AD AB AD +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以22AC BD =u u u r u u u r ，所以AC BD =（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可.2．5平面向量应用举例习题2.5 A 组（P113）1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--u u u r ，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-u u u r由2RA AP =u u u r u u u r 得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11232x x y y=-+⎧⎨=-⎩代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2y x =.2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12DF BC =, 所以23BO BF =. 2211()()3323AO BO BA BF a b a a a b =-=+=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r r （2）因为1()2AE a b =+u u u r r r 所以23AO AE =u u u r u u u r ，因此,,A O E 三点共线，而且2AO OE= 同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO CO OE OF OD === 3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-r u u r u u r ；（2）v r 在A v u u r 方向上的投影为135A Av v v ⋅=r u u r u u r . 4、解：设1F u u r ，2F u u r 的合力为F u r ，F u r 与1F u u r 的夹角为θ， 则31F =+u r ，30θ=︒； 331F =+u u r ，3F u u r 与1F u u r 的夹角为150°.习题2.5 B 组（P113）1、解：设0v u u r 在水平方向的速度大小为x v u u r ，竖直方向的速度的大小为y v u u r ，则0cos x v v θ=u u r u u r ，0sin y v v θ=u u r u u r .设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩u u r u u r 为重力加速度 所以，最大高度为220sin 2v g θu u r ，最大投掷距离为20sin 2v g θu u r . 2、解：设1v u r 与2v u u r 夹角为θ，合速度为v r ，2v u u r 与v r夹角为α，行驶距离为d .则1sin 10sin sin v v v θθα==u r r r ，0.5sin 20sin v d αθ==r . ∴120sin d v θ=r . 所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.3、（1）(0,1)-O DF E A B C （第2题） （第4题）解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--u u u r . (2,22)AB =-u u u r . 将AB u u u r 绕点A 沿顺时针方向旋转4π到AP u u u r ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP u u u r ， 于是7777(2cos 22sin ,2sin 22cos )(1,3)4444AP ππππ=+-=--u u u r 所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得0,1x y ==- （2）32y x=- 解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP u u u r 绕O 逆时针旋转4π后，点P 的坐标为(,)x y ''则cos sin 44sin cos 44x x y y x y ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即2()2()2x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩ 又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x =- 第二章 复习参考题A 组（P118）1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×.2、（1）D ； （2）B ； （3）D ； （4）C ； （5）D ； （6）B .3、1()2AB a b =-u u u r r r ，1()2AD a b =+u u u r r r 4、略解：2133DE BA MA MB a b ==-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 2233AD a b =+u u u r r r ，1133BC a b =+u u u r r r 1133EF a b =--u u u r r r ，1233FA DC a b ==-u u u r u u u r r r 1233CD a b =-+u u u r r r ，2133AB a b =-u u u r r r CE a b =-+u u u r r r5、（1）(8,8)AB =-u u u r ，82AB =u u u r ；（2）(2,16)OC =-u u u r ，(8,8)OD =-u u u r ； （3）33OA OB ⋅=u u u r u u u r . （第4题）6、AB u u u r 与CD u u u r 共线.证明：因为(1,1)AB =-u u u r ，(1,1)CD =-u u u r ，所以AB CD =u u u r u u u r . 所以AB u u u r 与CD u u u r 共线.7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C === 11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m -⋅=⋅-=︒-=r u r u r r u r u r ，所以(2)n m m -⊥r u r u r . 12、1λ=-. 13、13a b +=r r ，1a b -=r r . 14、519cos ,cos 820θβ== 第二章 复习参考题B 组（P119）1、（1）A ； （2）D ； （3）B ； （4）C ； （5）C ； （6）C ； （7）D .2、证明：先证a b a b a b ⊥⇒+=-r r r r r r .222()2a b a b a b a b +=+=++⋅r r r r r r r r ，222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅r r r r r r r r .因为a b ⊥r r ，所以0a b ⋅=r r ，于是22a b a b a b +=+=-r r r r r r . 再证a b a b a b +=-⇒⊥r r r r r r .由于222a b a a b b +=+⋅+r r r r r r ，222a b a a b b -=-⋅+r r r r r r由a b a b +=-r r r r 可得0a b ⋅=r r ，于是a b ⊥r r所以a b a b a b +=-⇔⊥r r r r r r . 【几何意义是矩形两条对角线相等】3、证明：先证a b c d =⇒⊥r r r u r22()()c d a b a b a b ⋅=+⋅-=-r u r r r r r r r又a b =r r ，所以0c d ⋅=r u r ，所以c d ⊥r u r再证c d a b ⊥⇒=r u r r r .由c d ⊥r u r 得0c d ⋅=r u r ，即22()()0a b a b a b +⋅-=-=r r r r r r 所以a b =r r 【几何意义为菱形对角线互相垂直，如图所示】（第3题）（第6题）4、12AD AB BC CD a b =++=+u u u r u u u r u u u r u u u r r r ，1142AE a b =+u u u r r r 而34EF a =u u u r r ，14EM a =u u u u r r ，所以1111(4242AM AE EM a b a =+=++=u u u u r u u u r u u u u r r r r 5、证明：如图所示，12OD OP OP =+u u u r u u u r u u u u r ，由于1230OP OP OP ++=u u u r u u u u r u u u r r ，所以3OP OD =-u u u r u u u r ，1OD =u u u r 所以11OD OP PD ==u u u r u u u r u u u r 所以1230OPP ∠=︒，同理可得1330OPP ∠=︒ 所以31260P PP ∠=︒，同理可得12360PP P ∠=︒，23160P P P ∠=︒，所以123PP P ∆为正三角形.6、连接AB .由对称性可知，AB 是SMN ∆的中位线，22MN AB b ==-u u u u r u u u r r 7、（18=（千米／时），沿与水流方向成60°的方向前进；（2）实际前进速度大小为千米／时，沿与水流方向成90︒+的方向前进. 8、解：因为OA OB OB OC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()0OB OA OC ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，所以0OB CA ⋅=u u u r u u u r同理，0OA BC ⋅=u u u r u u u r ，0OC AB ⋅=u u u r u u u r ，所以点O 是ABC ∆的垂心.9、（1）2110200a x a y a y a x -+-=； （2）垂直；（3）当12210A B A B -=时，1l ∥2l ；当12120A A B B +=时，12l l ⊥，夹角θ的余弦cos θ=； （4）d =第三章 三角恒等变换P 2（第5题）3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P127）1、cos()cos cos sin sin 0cos 1sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+⨯=. cos(2)cos2cos sin 2sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=⨯+⨯=.2、解：由3cos ,(,)52πααπ=-∈，得4sin 5α==；所以34cos()cos cos sin sin ()44455πππααα-=+=-=3、解：由15sin 17θ=，θ是第二象限角，得8cos 17θ===-；所以8115cos()cos cos sin sin 33317217πππθθθ-=+=-⨯+=. 4、解：由23sin ,(,)32πααπ=-∈，得cos α==； 又由33cos ,(,2)42πββπ=∈，得sin β== 所以32cos()cos cos sin sin (()43βαβαβα-=+=⨯⨯-=. 练习（P131） 1、（1； （2） （3（4）22、解：由3cos ,(,)52πθθπ=-∈，得4sin 5θ==；所以413sin()sin cos cos sin ()333525πππθθθ+=+=⨯+-=. 3、解：由12sin 13θ=-，θ是第三象限角，得5cos 13θ===-； 所以5112cos()cos cos sin sin ()()66613213πππθθθ+=-=--⨯-=. 4、解：tan tan 314tan()241311tan tan 4παπαπα+++===--⨯-⋅.5、（1）1； （2）12； （3）1； （4）； （5）原式=1(cos34cos26sin34sin 26)cos(3426)cos602-︒︒-︒︒=-︒+︒=-︒=-； （6）原式=sin 20cos70cos20sin70(sin 20cos70cos20sin70)sin901-︒︒-︒︒=-︒︒+︒︒=-︒=-.6、（1）原式=cos cos sin sin cos()333x x x πππ-=+； （2）原式=1cos )2(sin cos cos sin )2sin()2666x x x x x πππ+=+=+； （3）原式=)2(sin cos cos sin )2sin()444x x x x x πππ=-=-； （4）原式=12(cos )cos sin sin ))2333x x x x x πππ=-=+. 7、解：由已知得3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=， 即3sin[()]5αβα--=，3sin()5β-= 所以3sin 5β=-. 又β是第三象限角，于是4cos 5β===-. 因此55534sin()sin cos cos sin ()(()(44455πππβββ+=+=-+-=练习（P135）1、解：因为812παπ<<，所以382αππ<< 又由4cos 85α=-，得3sin 85α=-，3sin 385tan 484cos 85ααα-===- 所以3424sinsin(2)2sin cos 2()()48885525αααα=⨯==⨯-⨯-= 2222437cos cos(2)cos sin ()()48885525αααα=⨯=-=---= 2232tan 23162484tan tan(2)3482771tan 1()84αααα⨯=⨯===⨯=-- 2、解：由3sin()5απ-=，得3sin 5α=-，所以222316cos 1sin 1()525αα=-=--=所以2221637cos2cos sin ()25525ααα=-=--= 3、解：由sin2sin αα=-且sin 0α≠可得1cos 2α=-，又由(,)2παπ∈，得sin α==，所以sintan (2)cos ααα==-=4、解：由1tan 23α=，得22tan 11tan 3αα=-. 所以2tan 6tan 10αα+-=，所以tan 3α=-5、（1）11sin15cos15sin3024︒︒=︒=； （2）22cos sin cos 88πππ-==；（3）原式=212tan 22.511tan 4521tan 22.522︒⋅=︒=-︒； （4）原式=cos45︒=. 习题3.1 A 组（P137） 1、（1）333cos()cos cos sin sin 0cos (1)sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+-⨯=-； （2）33sin()sin cos 1cos 0sin cos22ππαααααα-=-=-⨯-⨯=-； （3）cos()cos cos sin 1cos 0sin cos παπαααα-=+-⨯+⨯=-； （4）sin()sin cos cos sin 0cos (1)sin sin παπαπαααα-=-=⨯--⨯=.2、解：由3cos ,05ααπ=<<，得4sin 5α==，所以431cos()cos cos sin sin 666552πππααα-=+=⨯=.3、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由33cos ,(,)42πββπ=-∈，得sin β===， 所以32cos()cos cos sin sin ()(43αβαβαβ-=+=-+⨯=.4、解：由1cos 7α=，α是锐角，得sin 7α=== 因为,αβ是锐角，所以(0,)αβπ+∈，又因为11cos()14αβ+=-，所以sin()αβ+===所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++1111()1472=-⨯= 5、解：由60150α︒<<︒，得9030180α︒<︒+<︒又由3sin(30)5α︒+=，得4cos(30)5α︒+=-所以cos cos[(30)30]cos(30)cos30sin(30)sin30αααα=︒+-︒=︒+︒+︒+︒431552=-⨯6、（1） （2） （3）2-7、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由3cos 4β=-，β是第三象限角，得sin β===.所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-32()(43=--⨯=sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-23()((34=⨯--⨯=8、解：∵53sin ,cos 135A B ==且,A B 为ABC ∆的内角∴0,02A B ππ<<<<，124cos ,sin 135A B =±=当12cos 13A =-时，sin()sin cos cos sin AB A B A B +=+5312433()013513565=⨯+-⨯=-< A B π+>，不合题意，舍去∴124cos ,sin 135A B ==∴cos cos()(cos cos sin sin )C A B A B A B =-+=--1235416()13513565-⨯-⨯=- 9、解：由3sin ,(,)52πθθπ=∈，得4cos 5θ==-.∴sin 353tan ()cos 544θθθ==⨯-=-. ∴31tan tan 242tan()311tan tan 111()42θϕθϕθϕ-+++===--⋅--⨯. 31tan tan 42tan()2311tan tan 1()42θϕθϕθϕ----===-+⋅+-⨯. 10、解：∵tan ,tan αβ是22370x x +-=的两个实数根.∴3tan tan 2αβ+=-，7tan tan 2αβ⋅=-.∴3tan tan 12tan()71tan tan 31()2αβαβαβ-++===--⋅--.11、解：∵tan()3,tan()5αβαβ+=-=∴tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαβααβαβαβαβ++-=++-=-+⋅-3541357+==--⨯tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαββαβαβαβαβ+--=+--=++⋅-3511358-==-+⨯12、解：∵::2:3:6BD DC AD =∴11tan ,tan 32BD DC AD AD αβ====∴tan tan tan tan()1tan tan BAC αβαβαβ+∠=+=-⋅1132111132+==-⨯ 又∵0180BAC ︒<∠<︒，∴45BAC ∠=︒（第12题）13、（1）)6x π+； （23sin()3x π-； （3）2sin()26x π+；（47sin()12x π-； （5）2； （6）12； （7）sin()αγ+； （8）cos()αγ--； （9） （10）tan()βα-.14、解：由sin 0.8,(0,)2παα=∈，得cos 0.6α===∴sin22sin cos 20.80.60.96ααα==⨯⨯= 2222cos2cos sin 0.60.80.28ααα=-=-=- 15、解：由cos 270ϕϕ=︒<<︒，得sin ϕ===∴sin 22sin cos 2((ϕϕϕ==⨯⨯=22221cos2cossin ((3ϕϕϕ=-=-=- sin 2tan 2(3)cos 23ϕϕϕ==-=-16、解：设5sin sin 13B C ==，且090B ︒<<︒，所以12cos 13B =. ∴512120sin sin(1802)sin 22sin cos 21313169A B B B B =︒-===⨯⨯=2222125119cos cos(1802)cos2(cos sin )(()())1313169A B B B B =︒-=-=--=--=-sin 120169120tan ()cos 169119119A A A ==⨯-=-17、解：22122tan 33tan 211tan 41()3βββ⨯===--，13tan tan 274tan(2)1131tan tan 2174αβαβαβ+++===-⋅-⨯. 18、解：1cos()cos sin()sin 3αββαββ+++=⇒1cos[()]3αββ+-=，即1cos 3α= 又3(,2)2παπ∈，所以sin3α==-∴1sin 22sin cos 2(ααα==⨯⨯=222217cos2cos sin ()(39ααα=-=-=-∴7cos(2)cos2cos sin 2sin (4449πππααα+=-=-=19、（1）1sin2α+； （2）cos2θ； （3）1sin 44x ； （4）tan2θ.习题3.1 B 组（P138） 1、略. 2、解：∵tan ,tan A B 是x 方程2(1)10x p x +++=，即210x px p +++=两个实根∴tan tan A B p +=-，tan tan 1A B p ⋅=+ ∴tan tan[()]tan()C A B A B π=-+=-+tan tan 11tan tan 1(1)A B pA B p +-=-=-=--⋅-+由于0C π<<，所以34C π=. 3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）223sin cos (30)sin cos(30)4αααα++︒++︒=（证明略） 本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：223sin (30)cos sin(30)cos 4αααα-︒++-︒=223sin (15)cos (15)sin(15)cos(15)4αααα-︒++︒+-︒+︒=223sin cos sin cos 4αβαβ++=，其中30βα-=︒，等等思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高.4、因为12PA PP =，则2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )αβαβαβαβ+-++=-++ 即22cos()22cos cos 2sin sin αβαβαβ-+=-+ 所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-3．2简单的三角恒等变换 练习（P142）1、略.2、略.3、略.4、（1）1sin 42y x =. 最小正周期为2π，递增区间为[,],8282k k k Z ππππ-++∈，最大值为12；（2）cos 2y x =+. 最小正周期为2π，递增区间为[2,22],k k k Z ππππ++∈，最大值为3；（3）2sin(4)3y x π=+. 最小正周期为2π，递增区间为5[,],242242k k k Z ππππ-++∈，最大值为2.习题3.2 A 组（ P143） 1、（1）略； （2）提示：左式通分后分子分母同乘以2； （3）略； （4）提示：用22sin cos ϕϕ+代替1，用2sin cos ϕϕ代替sin 2ϕ；（5）略； （6）提示：用22cos θ代替1cos2θ+；（7）提示：用22sin θ代替1cos2θ-，用22cos θ代替1cos2θ+； （8）略.2、由已知可有1sin cos cos sin 2αβαβ+=……①，1sin cos cos sin 3αβαβ-=……②（1）②×3－①×2可得sin cos 5cos sin αβαβ=（2）把（1）所得的两边同除以cos cos αβ得tan 5tan αβ= 注意：这里cos cos 0αβ≠隐含与①、②之中3、由已知可解得1tan 2θ=-. 于是2212()2tan 42tan 211tan 31()2θθθ⨯-===----1tan tan1142131tan tan 1()142πθπθ+-+===-⋅--⨯∴tan 24tan()4πθθ=-+4、由已知可解得sin x θ=，cos y θ=，于是2222sin cos 1x y θθ+=+=.5、()2sin(4)3f x x π=+，最小正周期是2π，递减区间为7[,],242242k k k Z ππππ++∈.习题3.2 B 组（P143） 1、略.2、由于762790+⨯=，所以sin76sin(9014)cos14m ︒=︒-︒=︒= 即22cos 71m ︒-=，得cos7︒=3、设存在锐角,αβ使223παβ+=，所以23απβ+=，tan()2αβ+又tantan 22αβ=，又因为tantan 2tan()21tantan 2αβαβαβ++=-，所以tantan tan()(1tan tan )3222αααβββ+=+-= 由此可解得tan 1β=， 4πβ=，所以6πα=.经检验6πα=，4πβ=是符合题意的两锐角.4、线段AB 的中点M 的坐标为11((cos cos ),(sin sin ))22αβαβ++. 过M 作1MM 垂直于x 轴，交x 轴于1M ，111()()22MOM βαααβ∠=-+=+. 在Rt OMA ∆中，cos cos 22OM OA βααβ--==. 在1Rt OM M ∆中，11cos cos cos22OM OM MOM αβαβ+-=∠=11sin sin cos22M M OM MOM αβαβ+-=∠=. 于是有 1(cos cos )cos cos222αβαβαβ+-+=， 1(sin sin )sin cos222αβαβαβ+-+= 5、当2x =时，22()sin cos 1f ααα=+=；当4x =时，4422222()sin cos (sin cos )2sin cos f ααααααα=+=+-211sin 22α=-，此时有1()12f α≤≤；当6x =时，662232222()sin cos (sin cos )3sin cos (sin cos )f ααααααααα=+=+-+231sin 24α=-，此时有1()14f α≤≤；由此猜想，当2,x k k N +=∈时，11()12k f α-≤≤6、（1）345(sin cos )5sin()55y x x x ϕ=+=+，其中34cos ,sin 55ϕϕ==所以，y 的最大值为5，最小值为﹣5； （2）)y x ϕ+，其中cos ϕϕ==所以，y ；第三章 复习参考题A 组（P146）（第4题）1、1665. 提示：()βαβα=+- 2、5665. 提示：5sin()sin[()]sin[()()]44ππαβπαββα+=-++=-+--3、1.4、（1）提示：把公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-变形；（2； （3）2； （4） 提示：利用（1）的恒等式.5、（1）原式4sin(3010)4sin 20︒-︒==︒；（2）原式=sin10sin 40(sin 40cos10︒︒=︒ =2sin 40cos40sin801cos10cos10-︒︒-︒==-︒︒；（3）原式=tan 70cos101)tan 70cos10︒︒-=︒ =sin702sin10sin 20cos101cos70cos20cos70︒-︒-︒⋅︒⋅==-︒︒︒；（4）原式=sin50(1sin50︒⋅=2cos50sin50cos10︒=︒⋅=︒6、（1）95； （2）2425；（3）. 提示：4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+-； （4）1725.7、由已知可求得2cos cos 5αβ=，1sin sin 5αβ=，于是sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==. 8、（1）左边=222cos 214cos232(cos 22cos21)αααα-++=++22242(cos21)2(2cos )8cos ααα=+===右边（2）左边=2222sin cos 2sin cos (sin cos )2cos 2sin cos 2cos (cos sin )αααααααααααα+++=++sin cos 11tan 2cos 22αααα+==+=右边（3）左边=sin(2)2cos()sin sin[()]2cos()sin sin 2cos (cos sin )αβαβααβααβααααα+-+++-+=+sin()cos cos()sin sin sin sin αβααβαβαα+-+===右边（第12（2）题）（4）左边=222234cos22cos 212(cos 22cos21)34cos22cos 212(cos 22cos21)A A A A A A A A -+--+=++-++ 2224222(1cos2)(2sin )tan (1cos2)(2cos )A A A A A -===+=右边 9、（1）1sin 21cos2sin 2cos222)24y x x x x x π=+++=++++递减区间为5[,],88k k k Z ππππ++∈（222，最小值为22.10、2222()(cos sin )(cos sin )2sin cos cos2sin 22)4f x x x x x x x x x x π=+--=-+（1）最小正周期是π；（2）由[0,]2x π∈得52[,]444x πππ+∈，所以当24x ππ+=，即38x π=时，()f x 的最小值为2-()f x 取最小值时x 的集合为3{}8π.11、2()2sin 2sin cos 1cos2sin 22)14f x x x x x x x π=+=-+=-+（1）最小正周期是π，最大值为21+；（2）()f x 在[,]22ππ-12、()3sin cos 2sin()6f x x x a x a π=++=++.（1）由21a +=得1a =-；（2）2{22,}3x k x k k Z πππ+∈≤≤.13、如图，设ABD α∠=，则CAE α∠=，2sin h AB α=，1cos hAC α=所以1212sin 2ABC h h S AB AC α∆=⋅⋅=，(0)2πα<<当22πα=，即4πα=时，ABC S ∆的最小值为12h h .第三章 复习参考题B 组（P147）1、解法一：由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，及0απ≤≤，可解得4sin 5α=， αh 1h 2l 2l 1BDE AC（第13题）13cos sin 55αα=-=，所以24sin 225α=，7cos225α=-，sin(2)sin 2cos cos2sin 44450πππααα-=-=. 解法二：由1sin cos 5αα-= 得21(sin cos )25αα-=，24sin 225α=，所以249cos 2625α=. 又由1sin cos 5αα-=，得sin()4πα-=.因为[0,]απ∈，所以3[,]444πππα-∈-.而当[,0]44ππα-∈-时，sin()04πα-≤；当3[,]444πππα-∈时，sin()4πα->所以(0,)44ππα-∈，即(,)42ππα∈所以2(,)2παπ∈，7cos225α=-.sin(2)4πα-=2、把1cos cos 2αβ+=两边分别平方得221cos cos 2cos cos 4αβαβ++=把1sin sin 3αβ+=两边分别平方得221sin sin 2sin sin 9αβαβ++=把所得两式相加，得1322(cos cos sin sin )36αβαβ++=，即1322cos()36αβ+-=，所以59cos()72αβ-=-3、由sin()sin 3παα++= 可得3sin 2αα=4sin()65πα+=-. 又02πα-<<，所以366πππα-<+<，于是3cos()65πα+=.所以cos cos[()]66ππαα=+-4、22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin cos (cos sin )sin 1tan cos sin 1cos x x x x x x x x x x x x x x +++==---1tan sin 2sin 2tan()1tan 4x x x x x π+==+-由177124x ππ<<得5234x πππ<+<，又3cos()45x π+=，所以4sin()45x π+=-，4tan()43x π+=-所以cos cos[()]cos()cos sin()sin 444444x x x x ππππππ=+-=+++=，sin 10x =-，7sin 22sin cos 25x x x ==, 所以2sin 22sin 281tan 75x x x +=--， 5、把已知代入222sin cos (sin cos )2sin cos 1θθθθθθ+=+-=，得22(2sin )2sin 1αβ-=.变形得2(1cos2)(1cos2)1αβ---=，2cos2cos2αβ=，224cos 24cos 2αβ= 本题从对比已知条件和所证等式开始，可发现应消去已知条件中含θ的三角函数.考虑sin cos θθ+，sin cos θθ这两者又有什么关系？及得上解法. 5、6两题上述解法称为消去法6、()21cos22sin(2)16f x x x m x m π=+++=+++.由 [0,]2x π∈ 得72[,]666x πππ+∈，于是有216m ++=. 解得3m =.()2sin(2)4()6f x x x R π=++∈的最小值为242-+=，此时x 的取值集合由322()62x k k Z πππ+=+∈，求得为2()3x k k Z ππ=+∈7、设AP x =，AQ y =，BCP α∠=，DCQ β∠=，则tan 1x α=-，tan 1y β=- 于是2()tan()()x y x y xyαβ-++=+-又APQ ∆的周长为2，即2x y +，变形可得2()2xy x y =+- 于是2()tan()1()[2()2]x y x y x y αβ-++==+-+-.又02παβ<+<，所以4παβ+=，()24PCQ ππαβ∠=-+=.8、（1）由221sin cos 5sin cos 1ββββ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，可得225sin 5sin 120ββ--=解得4sin 5β=或3sin 5β=-（由(0,)βπ∈，舍去）所以13cos sin 55ββ=-=-，于是4tan 3β=-（2）根据所给条件，可求得仅由sin ,cos ,tan βββ表示三角函数式值，例如，sin()3πβ+，cos22β+，sin cos 2tan βββ-，sin cos 3sin 2cos ββββ-+，等等.。
高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念教学课件 新人教A版必修4
(2)数量可以比较大小，而向量无法比较大小，如即使|a|＞ |b|也不能说 a＞b，特殊地，若向量 a，b 是相等向量，记作 a ＝b.
(3)0 与 0 不同，虽然|0|＝0，但 0 是向量，而 0 是数量． 提醒：初学者要特别注意零向量 0 与实数 0 书写的区别， 对向量 0，书写时不能漏掉“→”．
1．想一想
零向量的方向是什么？两个单位向量的方向相 同吗？
提示：零向量的方向是任意的，两个单位向量 的方向可以不同．
2．判一判(判断下列说法的正误)
(1)向量A→B与向量B→A是相等向量．( ) 提示：× A→B与B→A的模相等，方向相反，因而不是相等向
量．
(2)与实数类似，对于两个向量a，b有：a＝b， a＞b，a＜b三种关系．( )
高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面 的实际背景及基本概念教学课件 新 同学们，下课休息十A分版钟必。修现4在是休息时间
休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
向量的有关概念
给出下列命题： (1)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； (2)向量的模一定是正数； (3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等 向量；
(5)相等向量：_长__度__相__等___且__方__向__相__同___的向量叫做相等 向量．
(6)平行向量(共线向量)：方向__相__同__或__相__反___的非零向量叫 做平行向量，也叫共线向量．
①记法：向量 a 平行于 b，记作___a_∥_b___. ②规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量 a，都 有 0∥a.
(1)试以 B 为起点画一个向量 b，使 b ＝a；
(2)在图中画一个以 A 为起点的向量 c， 使|c|＝ 5，并说出向量 c 的终点的轨迹是什 么．
高一数学人教A版必修4第二章2.1平面向量的实际背景及基本概念2课时课件
如:
B (终点)
A (起点)
(3) 字母表示: ① 用端点的大写字母表示, 如 ② 用印刷黑体小写字母表示, 如 a、b、c. ③ 用书写体加箭头表示, 如
aB A
3. 向量的模:
也叫做向量的模, 记作
4. 零向量: 模为零的向量称为零向量, 记作0 ( 方向是任意的.
), 零向量的
5. 单位向量:
的中线向量 AD的模| AD|.
A
解:
AB 3, 则 BD
由勾股定理求得
B DC
2.1.3 相等向量
与 共线向量
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1. 什么是相等向量? 相等向量与什么有关, 与 什么无关?
2. 什么叫平行向量? 什么叫共线向量? 共线向 量一定画在一条直线上吗?
3. 共线向量的长度是否相等? 共线向量的方向 是否相同?
【课时小结】
2. 向量 既有大小, 又有方向的量.
3. 向量的物理背景 向量研究具有方向和大小的问题: 位移具有方向与距离. 力具有方向与大小. 速度具有方向和大小.
【课时小结】
4. 向量的表示
向量用有向线段表示.
字母表示有三种方法:
① 用端点的大写字母表示, 如
② 用印刷黑体小写字母表示, 如 a、b、c.
(2) 求| AB|的值.
y
答: (1)
4
B
因为方向不同.
因为长度是相等的.
A
(2)
o1 4 x
(二) 向量的表示 1. 向量 我们把既有大小, 又有方向的量叫做向量 (物理学 中称为矢量); 而把只有大小, 没有方向的量称为数量, (物理学中称为标量).
向量是勾通代数, 几何, 三角函数的一种工具.
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2.1平面向量的实际背景及基本概念
一、选择题
1.【题文】下列各量中不是向量的是（ ） A ．浮力 B ．风速 C ．位移
D ．密度
2．【题文】在下列判断中，正确的是( )
①长度为的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等； ④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线． A ．①②③ B ．②③④ C ．①②⑤ D ．①③⑤
3．【题文】若AB AD =且BA CD =，则四边形ABCD 的形状为（ ） A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．等腰梯形
4．【题文】已知：如图，D ，E ，F 依次是等边三角形ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点或终点的向量中，与向量AD 共线的向量有（
）
A ．个
B ．个
C ．个
D ．个
5．【题文】下列说法正确的有( )
①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同． A ．个 B ．个 C ．个 D ．个
6．【题文】给出下列说法：①AB 和BA 的模相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量就是有向线段；④0=0；⑤AB CD >，其中正确说法的个数是( )
A. B. C. D.
7．【题文】若四边形ABCD 是矩形，则下列说法中不正确的是 （ ） A ．AB 与CD 共线
B ．A
C 与B
D 共线
C ．A
D 与CB 是相反向量 D ．AB 与CD 的模相等
8.【题文】下列说法正确的是( )
A ．有向线段A
B 与BA 表示同一向量 B ．两个有公共终点的向量是平行向量
C ．零向量与单位向量是平行向量
D ．对任一向量，
a
a
是一个单位向量 二、填空题
9．【题文】如图，正六边形ABCDEF 中，点O 为中心，以,,,,,,A B C D E F O 为起点与终点的向量中，与向量AB 平行的向量有
个（含AB ）．
10.【题文】给出下列四个条件：①=a b ；②=a b ；③与的方向相反；④0=a 或0=b ，其中能使a b 成立的条件有________．
11．【题文】下列说法中，正确的是 ． ①向量AB 的长度与BA 的长度相等；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；
④向量AB与向量CD是相等向量，则A、B、C、D能构成平行四边形．
三、解答题
12．【题文】如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的向量中：
（1）找出与向量EF相等的向量；
（2）找出与向量DF相等的向量．
13．【题文】如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，F，G分别是DB，EC 的中点，求证：向量DE与FG共线．
14．【题文】如图，EF是△ABC的中位线，AD是BC边上的中线，在以A，B，C，D，E，F为端点的有向线段表示的向量中请分别写出：
（1）与向量CD共线的向量；
（2）与向量DF的模相等的向量；
（3）与向量DE相等的向量
.
2.1平面向量的实际背景及基本概念
参考答案与解析
一、选择题
1.
【答案】D
【解析】根据向量的定义，从大小和方向两个方面考虑，可知密度不是向量．
考点：平面向量的概念.
【题型】选择题
【难度】较易
2．
【答案】D
【解析】由零向量与单位向量的概念知①③⑤正确．
考点：零向量与单位向量.
【题型】选择题
【难度】较易
3．
【答案】C
【解析】四边形ABCD中，∵BA CD
=，
∴BA CD，且BA CD
=，∴四边形ABCD是平行四边形.
又AB AD
=，∴平行四边形ABCD是菱形.
考点：相等向量.
【题型】选择题
【难度】较易
4．
【答案】C
【解析】∵D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，∴AD∥EF ，
∴与向量AD共线的向量有AB，FE，EF，DA，BA，BD，DB，共7个．考点：共线向量.
【题型】选择题
【难度】较易5．
【答案】A
【解析】长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故①错误；长度为的向量叫零向量，故②正确；通过平移能够移到同一条直线上的向量叫共线向量，故③错误；零向量的方向是任意的，故④错误；共线向量方向相同或相反，⑤正确；平行向量方向相同或相反，故⑥错误，因此②与⑤正确，其余都是错误的，故选C.
考点：相等向量，共线向量.
【题型】选择题
【难度】一般
6．
【答案】B
【解析】①正确，AB与BA是方向相反、模相等的两个向量；②错误，方向不同包括共线反向的向量；③错误，向量用有向线段表示，但二者并不等同；④错误，是一个向量，而为一数量，应为0
=
0；⑤错误，向量不能比较大小.只有①正确，故选B.
考点：向量的有关概念.
【题型】选择题
【难度】一般
7．
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB CD且AB CD
=，AD CB，
∴AB 与CD共线，且模相等，AD与CB是相反向量，
∵AC与BD相交，∴AC与BD不共线，故B错误.
考点：共线向量，相等向量.
【题型】选择题
【难度】一般 8. 【答案】C
【解析】向量AB 与BA 方向相反，不是同一向量；有公共终点的向量的方向不一定相同或相
反；当=0a 时，a
a
无意义，故A 、B 、D 错误．零向量与任何向量都是平行向量，C 正确．
考点：平行向量;单位向量. 【题型】选择题 【难度】较难
二、填空题 9． 【答案】10
【解析】正六边形ABCDEF 中，点O 为中心，以,,,,,,A B C D E F O 为起点与终点的向量中，与向量AB 平行的向量有,,,,,,,,,AB BA OC CO OF FO CF FC DE ED ，共10个． 考点：平行向量. 【题型】填空题 【难度】较易 10.
【答案】①③④
【解析】因为与为相等向量，所以a b ，即①能够使a b 成立；=a b 并没有确定与的方向，
即②不能够使a
b 成立；与方向相反时，a b ，即③能够使a b 成立；因为零向量与任意向
量共线，所以0=a 或0=b 时，a b 能够成立．故使a b 成立的条件是①③④.
考点：平行向量. 【题型】填空题 【难度】一般
11． 【答案】①
【解析】对于①，向量AB 与BA 互为相反向量，长度相等，正确；
对于②，因为零向量与任何向量平行，但零向量的方向是任意的，不能说方向相同或相反，所以②错误；
对于③，两个有共同起点的单位向量，其终点不一定相同，因为方向不一定相同，所以③错误； 对于④，向量AB 与向量CD 是相等向量，则A 、B 、C 、D 可能在同一直线上，则A 、B 、C 、
D 四点不一定能构成平行四边形，所以④错误．
综上，正确的是①． 考点：平面向量的概念. 【题型】填空题 【难度】一般
三、解答题 12．
【答案】（1）,BD DA （2）,BE EC
【解析】（1）∵E ，F 分别为BC ，AC 的中点， ∴EF
BA ，且1
2
EF BA =
，又D 是BA 的中点， ∴EF BD DA ==，∴与向量EF 相等的向量是,BD DA .
（2）∵D ，F 分别为BA ，AC 的中点， ∴DF
BC ，且1
2
DF BC =
， 又E 是BC 的中点，∴DF BE EC ==， ∴与向量DF 相等的向量是,BE EC ． 考点：共线向量.
【题型】解答题
【难度】较易
13．
【答案】详见解析
【解析】证明：∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE BC，
∴四边形DBCE是梯形．
又∵F，G分别是DB，EC的中点，
∴FG是梯形DBCE的中位线，
∴FG DE.
∴向量DE与FG共线．
考点：向量共线.
【题型】解答题
【难度】一般
14．
【答案】（1）,,,,,,
BD BC EF DB CB FE DC
（2）,,,,
FD AE EA EB BE
（3）,
CF FA
【解析】根据三角形中位线的性质及共线向量及相等向量的概念即可得到：（1）与向量CD共线的向量为,,,,,,
BD BC EF DB CB FE DC．
（2）与向量DF的模相等的向量为,,,,
FD AE EA EB BE．
（3）与向量DE相等的向量为,
CF FA．
考点：相等向量，平行向量. 【题型】解答题【难度】一般。