线性代数总结
线性代数知识点总结完整
线性代数知识点总结第一章 行列式1. n 阶行列式()()121212111212122212121==-∑n nnn t p p p n p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式()()111211222211221122010n t n n nn nn nna a a a a D a a a a a a a ==-=1212n nλλλλλλ=;()()1122121n n n nλλλλλλ-=-3.行列式的性质定义 记111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =;112111222212n n T nnnna a a a a a D a a a =;行列式TD 称为行列式D 的转置行列式.. 性质1行列式与它的转置行列式相等..性质2 互换行列式的两行()↔i j r r 或列()↔i j c c ;行列式变号.. 推论 如果行列式有两行列完全相同成比例;则此行列式为零..性质3 行列式某一行列中所有的元素都乘以同一数()⨯j k r k ;等于用数k 乘此行列式；推论1D 的某一行列中所有元素的公因子可以提到D 的外面;推论2 D 中某一行列所有元素为零;则=0D ..性质4若行列式的某一列行的元素都是两数之和;则1112111212222212()()()i i ni i n n n ni ninna a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+1112111112112122222122221212i n i ni n i n n n ninnn nninna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+' 性质6 把行列式的某一列行的各元素乘以同一数然后加到另一列行对应的元素上去;行列式的值不变..算得行列式的值..4. 行列式按行列展开余子式 在n 阶行列式中;把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后;留下来的1n -阶行列式叫做元素ij a 的余子式;记作ij M ..代数余子式 ()1i jij ij A M +=-记;叫做元素ij a 的代数余子式..引理一个n 阶行列式;如果其中第i 行所有元素除i;j (,)i j 元外ij a 都为零;那么这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积;即ij ij D a A =..高阶行列式计算首先把行列上的元素尽可能多的化成0;保留一个非零元素;降阶定理n 阶行列式 111212122212=n n n n nna a a a a a D a a a 等于它的任意一行列的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和;即1122i i i i in in D a A a A a A =+++;(1,2,,)i n =1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++或;(1,2,,)j n =..第二章 矩阵1.矩阵111212122211n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭行列式是数值;矩阵是数表; 各个元素组成方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A .. 记作：A n.. 行列矩阵：只有一行列的矩阵..也称行列向量.. 同型矩阵：两矩阵的行数相等;列数也相等.. 相等矩阵：AB 同型;且对应元素相等..记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵不同型的零矩阵不同 对角阵：不在主对角线上的元素都是零..单位阵：主对角线上元素都是1;其它元素都是0;记作：E注意 矩阵与行列式有本质的区别;行列式是一个算式;一个数字行列式经过计算可求得其值;而矩阵仅仅是一个数表;它的行数和列数可以不同..2. 矩阵的运算矩阵的加法 111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎛⎫⎪+++⎪+= ⎪⎪+++⎝⎭说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时;才能进行加法运算.. 矩阵加法的运算规律()1A B B A +=+；()()()2A B C A B C ++=++()()1112121222113,()n n ij ij m nm n m m mn a a a a a a A a A a a a a ⨯⨯---⎛⎫⎪--- ⎪=-=-= ⎪⎪---⎝⎭设矩阵记;A -称为矩阵A 的负矩阵()()()40,A A A B A B +-=-=+-..数与矩阵相乘111212122211,n n m m mn a a a a a a A A A A A a a a λλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭数与矩阵的乘积记作或规定为数乘矩阵的运算规律设A B 、为m n ⨯矩阵;,λμ为数()()()1A A λμλμ=；()()2A A A λμλμ+=+；()()3A B A B λλλ+=+..矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算..矩阵与矩阵相乘 设(b )ij B =是一个m s ⨯矩阵;(b )ij B =是一个s n ⨯矩阵;那么规定矩阵A 与矩阵B的乘积是一个m n⨯矩阵(c )ij C =;其中()12121122j j i i is i j i j is sj sj b b a a a a b a b a b b ⎛⎫⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1sik kj k a b ==∑;()1,2,;1,2,,i m j n ==;并把此乘积记作C AB = 注意1..A 与B2..矩阵的乘法不满足交换律;即在一般情况下;AB BA ≠;而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵..3..对于n 阶方阵A 和B;若AB=BA;则称A 与B 是可交换的..矩阵乘法的运算规律()()()1AB C A BC =； ()()()()2AB A B A B λλλ==()()3A B C AB AC +=+;()B C A BA CA +=+ ()4m n n n m m m n m n A E E A A ⨯⨯⨯⨯⨯==()5若A 是n 阶方阵;则称 A k 为A 的k 次幂;即kk A A AA =个;并且mk m kA A A+=;()km mk AA =(),m k 为正整数..规定：A 0＝E 只有方阵才有幂运算注意 矩阵不满足交换律;即AB BA ≠;()kk k AB A B ≠但也有例外转置矩阵把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵;叫做A 的转置矩阵;记作A T ;()()1TT A A =；()()2T T T A B A B +=+；()()3T T A A λλ=；()()4TT T AB B A =..方阵的行列式由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式;叫做方阵A 的行列式;记作A注意 矩阵与行列式是两个不同的概念;n 阶矩阵是n 2个数按一定方式排成的数表;而n 阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数..()1T A A =；()2n A A λλ=；(3)AB A B B A BA ===对称阵 设A 为n 阶方阵;如果满足A =A T ;那么A 称为对称阵.. 伴随矩阵行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵112111222212n n nnnn A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵A 的伴随矩阵.. 性质 AA A A A E **==易忘知识点总结1只有当两个矩阵是同型矩阵时;才能进行加法运算..2只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时;两个矩阵才能相乘;且矩阵相乘不满足交换律.. 3矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同..逆矩阵：AB ＝BA ＝E;则说矩阵A 是可逆的;并把矩阵B 称为A 的逆矩阵..1A B -=即..说明1 A ;B 互为逆阵; A = B -12 只对方阵定义逆阵..只有方阵才有逆矩阵 3.若A 是可逆矩阵;则A 的逆矩阵是唯一的..定理1矩阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠;并且当A 可逆时;有1*1AA A-=重要奇异矩阵与非奇异矩阵 当0A =时;A 称为奇异矩阵;当0A ≠时;A 称为非奇异矩阵..即0A A A ⇔⇔≠可逆为非奇异矩阵..求逆矩阵方法**1(1)||||021(3)||A A A A A A -≠=先求并判断当时逆阵存在；（）求；求。
线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结第一章 行列式 二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n nn nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ奇偶排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换,其值不变.转置行列式T D D = ②行列式中某两行列互换,行列式变号.推论：若行列式中某两行列对应元素相等,则行列式等于零. ③常数k 乘以行列式的某一行列,等于k 乘以此行列式. 推论：若行列式中两行列成比例,则行列式值为零； 推论：行列式中某一行列元素全为零,行列式为零. ④行列式具有分行列可加性⑤将行列式某一行列的k 倍加到另一行列上,值不变 行列式依行列展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零.克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时,则只有零解逆否：若方程组存在非零解,则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:3331222113121100a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零,..化为三角形行列式⑤上下三角形行列式: 行列式运算常用方法主要行列式定义法二三阶或零元素多的 化零法比例化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：n m A *零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵矩阵的运算：加法同型矩阵---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA,不满足消去律；由AB=0,不能得A=0或B=0转置A A T T =)( T T T B A B A +=+)( T T kA kA =)( T T T A B AB =)(反序定理 方幂：2121k k k k A A A +=2121)(k k k kA A +=几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵,k 是数,则kA 、A+B 、 AB 都是n 阶对角阵 数量矩阵：相当于一个数若…… 单位矩阵、上下三角形矩阵若…… 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0 分块矩阵：加法,数乘,乘法：类似,转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵,若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的, B A =-1非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵 初等变换1、交换两行列 2.、非零k 乘某一行列3、将某行列的K 倍加到另一行列初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的对换阵 倍乘阵 倍加阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r矩阵的秩rA ：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆,则满秩 若A 是非奇异矩阵,则rAB=rB 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样,矩阵不一样；行列式最终是一个数,只要值相等,就相等,矩阵是一个数表,对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=,行列式n ij nn ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆,则其逆矩阵是唯一的.矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的,且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的,且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置T A 也是可逆的,且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的,且111)(---=A B AB 但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆,即使可逆,但11)(--+≠+B A B AA 为N 阶方阵,若|A|=0,则称A 为奇异矩阵,否则为非奇异矩阵. 5、若A 可逆,则11--=A A伴随矩阵：A 为N 阶方阵,伴随矩阵：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211*A A A A A 代数余子式 特殊矩阵的逆矩阵：对1和2,前提是每个矩阵都可逆1、分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O B A D 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----11111C O BC A AD 2、准对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A A A A A , 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-----141312111A A A A A 3、 I A A A AA ==** 4、1*-=A A A A 可逆 5、1*-=n A A 6、()()A AA A 1*11*==--A 可逆7、()()**T TA A = 8、()***AB AB =判断矩阵是否可逆：充要条件是0≠A ,此时*11A AA =- 求逆矩阵的方法：定义法I AA =-1伴随矩阵法AA A *1=-初等变换法()()1||-=A I I A n n 只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系： 设()nm ij aA *=是mn 阶矩阵,则对A 的行实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同等的m 阶初等矩阵左乘以A ：对A 的列实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同种n 阶初等矩阵右乘以A 行变左乘,列变右乘第三章 线性方程组消元法 非齐次线性方程组：增广矩阵→简化阶梯型矩阵rAB=rB=r 当r=n 时,有唯一解；当n r ≠时,有无穷多解 rAB ≠rB,无解齐次线性方程组：仅有零解充要rA=n 有非零解充要rA<n 当齐次线性方程组方程个数<未知量个数,一定有非零解 当齐次线性方程组方程个数=未知量个数,有非零解充要|A|=0齐次线性方程组若有零解,一定是无穷多个N 维向量：由n 个实数组成的n 元有序数组.希腊字母表示加法数乘 特殊的向量：行列向量,零向量θ,负向量,相等向量,转置向量 向量间的线性关系: 线性组合或线性表示向量组间的线性相关无：定义179P向量组的秩：极大无关组定义P188定理：如果rj j j ααα,.....,21是向量组s ααα,.....,21的线性无关的部分组,则它是 极大无关组的充要条件是：s ααα,.....,21中的每一个向量都可由rj j j ααα,.....,21线性表出.秩:极大无关组中所含的向量个数.定理：设A 为mn 矩阵,则r A r =)(的充要条件是：A 的列行秩为r.现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系线性组合或线性表示注：两个向量αβ,若βαk =则α是β线性组合单位向量组任意向量都是单位向量组的线性组合 零向量是任意向量组的线性组合任意向量组中的一个都是他本身的线性组合 向量组间的线性相关无注： n 个n 维单位向量组一定是线性无关 一个非零向量是线性无关,零向量是线性相关 含有零向量的向量组一定是线性相关 若两个向量成比例,则他们一定线性相关向量β可由n ααα,..,21线性表示的充要条件是)...()...(2121T Tn TTTnTTr r βαααααα=判断是否为线性相关的方法：1、定义法：设n k k k ....21,求n k k k ....21适合维数低的2、向量间关系法183P ：部分相关则整体相关,整体无关则部分无关3、分量法n 个m 维向量组180P ：线性相关充要n r Tn T T <⇒)....(21ααα 线性无关充要n r T n T T =⇒)....(21ααα推论①当m=n 时,相关,则0321=T T T ααα；无关,则0321≠T T T ααα ②当m<n 时,线性相关推广：若向量s ααα,...,21组线性无关,则当s 为奇数时,向量组13221,...,αααααα+++s 也线性无关；当s 为偶数时,向量组也线性相关.定理：如果向量组βααα,,...,21s 线性相关,则向量β可由向量组s ααα,...,21线性表出,且 表示法唯一的充分必要条件是s ααα,...,21线性无关. 极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的,但他们所含向量的个数是确定的；不全为零的向量组的极大无关组一定存在； 无关的向量组的极大无关组是其本身； 向量组与其极大无关组是等价的. 齐次线性方程组I 解的结构：解为...,21αα I 的两个解的和21αα+仍是它的解； I 解的任意倍数αk 还是它的解；I 解的线性组合s s c c c ααα+++....2211也是它的解,s c c c ,...,21是任意常数.非齐次线性方程组II 解的结构：解为...,21μμII 的两个解的差21μμ-仍是它的解；若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的一个解,则u+v 是II 的一个解. 定理：如果齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(,则该方程组的基础解系存在,且在每个基础解系中,恰含有n-r 个解.若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的全部解,则u+v 是II 的全部解.第四章 向量空间向量的内积 实向量定义：α,β=n n T b a b a b a +++=....2211αβ 性质：非负性、对称性、线性性 α,k β=k α,β; k α,k β=2k α,β;α+β,δγ+=α,γ+α,δ+β,γ+β,δ;),(),(1111j i sj j ri i j sj j ri i i l k l k βαβα∑∑∑∑===== n R ∈δγβα,,,,向量的长度),(ααα=0=α的充要条件是α=0；α是单位向量的充要条件是α,α=1单位化 向量的夹角正交向量：αβ是正交向量的充要条件是α,β=0 正交的向量组必定线性无关 正交矩阵：ｎ阶矩阵Ａ I A A AA T T ==性质：1、若A 为正交矩阵,则Ａ可逆,且T A A =-1,且1-A 也是正交矩阵；２、若A 为正交矩阵,则1±=A ；３、若A 、Ｂ为同阶正交矩阵,则ＡＢ也是正交矩阵； ４、ｎ阶矩阵Ａ＝ij a 是正交矩阵的充要条件是Ａ的列行向量组是 标准正交向量；第五章 矩阵的特征值和特征向量 特征值、特征向量A 是N 阶方阵,若数λ使AX=λX,即λI-A=0有非零解,则称λ为A 的一 个特征值,此时,非零解称为A 的属于特征值λ的特征向量. |A|=n λλλ...**21 注： 1、AX=λX2、求特征值、特征向量的方法0=-A I λ 求i λ 将i λ代入λI-AX=0求出所有非零解 3、对于不同的矩阵,有重根、单根、复根、实根主要学习的特殊：n I )(λ的特征向量为任意N 阶非零向量或)(21不全为零i n c c c c ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4、特征值： 若)0(≠λλ是A 的特征值则1-A --------λ1 则m A --------m λ则kA --------λk若2A =A 则-----------λ=0或1若2A =I 则-----------λ=-1或1若k A =O 则----------λ=0迹trA ：迹A=nn a a a +⋯⋯++2211性质：1、N 阶方阵可逆的充要条件是A 的特征值全是非零的2、A 与1-A 有相同的特征值3、N 阶方阵A 的不同特征值所对应的特征向量线性无关4、5、P281相似矩阵定义P283：A 、B 是N 阶矩阵,若存在可逆矩阵P,满足B AP P =-1,则矩阵A 与B 相似,记作A~B性质1、自身性：A~A,P=I2、对称性：若A~B 则B~A B AP P =-1 1-=PBP A A BP P =---111)(3、传递性：若A~B 、B~C 则A~C B AP P =-111 C BP P =-212---C P P A P P =-)()(211214、若AB,则A 与B 同不可逆5、若A~B,则11~--B A B AP P =-1两边同取逆,111---=B P A P6、若A~B,则它们有相同的特征值. 特征值相同的矩阵不一定相似7、若A~B,则)()(B r A r = 初等变换不改变矩阵的秩例子：B AP P =-1则1100100-=P PB AO AP P =-1 A=OI AP P =-1 A=II AP P λ=-1 A=I λ矩阵对角化定理：N 阶矩阵A 与N 阶对角形矩阵相似的充要条件是A 有N 个线性无关的特征向量注：1、P 与^中的i i x λ与顺序一致2、A~^,则^与P 不是唯一的推论：若n 阶方阵A 有n 个互异的特征值,则~^A P281定理：n 阶方阵~^A 的充要条件是对于每一个i K 重特征根i λ,都有i i K n A I r -=-)(λ注：三角形矩阵、数量矩阵I λ的特征值为主对角线.约当形矩阵约当块：形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλ111J 的n 阶矩阵称为n 阶约当块； 约当形矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n J J J J 21i J 是约当块称为约当形矩阵. 定理：任何矩阵A 都相似于一个约当形矩阵,即存在n 阶可逆矩阵J AP P =-1.第六章 二次型二次型与对称矩阵只含有二次项的n 元多项式f 称为一个n 元二次型,简称二次型. 标准型：形如 的二次型,称为标准型.规范型：形如 的二次型,称为规范型.线性变换矩阵的合同：设AB 是n 阶方阵,若存在一个n 阶可逆矩阵C,使得 则称A 与B 是合同的,记作A B.合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、化二次型为标准型：配方法、做变换二次型中不含有平方项。
线性代数公式总结大全
线性代数公式1、行列式1.n 行列式共有n 2个元素，展开后有n !项，可分解为2n 行列式；2.代数余子式的性质：①、A ij和a ij的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ；3.代数余子式和余子式的关系：M ij=(-1)i +j Aij4.设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D 1，则D 1=(-1)n (n -1)2A ij=(-1)i +j MijD ；D ；将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D 2，则D 2=(-1)将D 主副角线翻转后，所得行列式为D 4，则D 4=D ；5.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积⨯(-1)n (n -1)2n (n -1)2将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为D 3，则D 3=D ；；③、上、下三角行列式（◥=◣）：主对角元素的乘积；④、◤和◢：副对角元素的乘积⨯(-1)⑤、拉普拉斯展开式：n (n -1)2；A O A C C A O A==A B 、==(-1)m n A BC B O B B O B C⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；6.对于n 阶行列式A ，恒有：λE -A =λn +∑(-1)k S kλn -k ，其中S k为k 阶主子式；k =1n7.证明A =0的方法：①、A =-A ；②、反证法；③、构造齐次方程组Ax =0，证明其有非零解；④、利用秩，证明r (A )<n ；⑤、证明0是其特征值；2、矩阵8.A 是n 阶可逆矩阵：⇔A ≠0（是非奇异矩阵）；⇔r (A )=n （是满秩矩阵）⇔A 的行（列）向量组线性无关；⇔齐次方程组Ax =0有非零解；⇔∀b ∈R n ，Ax =b 总有唯一解；⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；⇔A 的特征值全不为0；⇔A T A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是R n 的一组基；⇔A 是R n 中某两组基的过渡矩阵；9.对于n 阶矩阵A ：AA *=A *A =A E 无条件恒成立；10.(A -1)*=(A *)-1(AB )T =B T A T(A -1)T =(A T )-1(AB )*=B *A *(A *)T =(A T )*(AB )-1=B -1A -111.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；12.关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：⎛A 1若A =⎝A2⎫⎪⎪，则：⎪⎪A s⎭A s；-1A 2Ⅰ、A =A 1A2⎛A 1-1 -1Ⅱ、A =⎝-1⎫⎪⎪；⎪⎪A s-1⎪⎭O ⎫⎪；（主对角分块）B -1⎭B -1⎫⎪；（副对角分块）O ⎭⎛A -1⎛A O ⎫②、 ⎪=O B ⎝⎭⎝O ⎛O ⎛O A ⎫③、 ⎪= -1⎝B O ⎭⎝A-1⎛A -1⎛A C ⎫④、 ⎪=O B ⎝⎭⎝O -1-1-A -1CB -1⎫⎪；（拉普拉斯）B -1⎭O ⎫；（拉普拉斯）-1⎪B ⎭⎛A -1⎛A O ⎫⑤、 ⎪= -1-1C B ⎝⎭⎝-B CA3、矩阵的初等变换与线性方程组13.一个m ⨯n 矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F = r⎝O 对于同型矩阵A 、B ，若r (A )=r (B )⇔A B ；14.行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；15.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(A ,E )(E ,X )，则A 可逆，且X =A -1；②、对矩阵(A ,B )做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成A B ，即：(A ,B )~(E ,A -1B )；-1c r⎛E O ⎫⎪；O ⎭m ⨯n等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax =b ，如果(A ,b )(E ,x )，则A 可逆，且x =A -1b ；16.初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；⎛λ1λ2②、Λ=⎝⎫⎪⎪，左乘矩阵A ，λ乘A 的各行元素；右乘，λ乘A 的各列元素；i i ⎪⎪λn⎭-1r⎛1⎫⎛1⎫⎪ ⎪③、对调两行或两列，符号E (i ,j )，且E (i ,j )-1=E (i ,j )，例如： 1⎪= 1⎪； 1⎪1⎪⎝⎭⎝⎭-1⎛1⎛1⎫11 ⎪-1④、倍乘某行或某列，符号E (i (k ))，且E (i (k ))=E (i ())，例如： k ⎪= k k ⎪1 ⎝⎭⎝-1⎫⎪⎪(k ≠0)；⎪1⎪⎭k ⎫-k ⎫⎛1⎛1 ⎪ ⎪=1⑤、倍加某行或某列，符号E (ij (k )),且E (ij (k ))-1=E (ij (-k ))，如： 1⎪ ⎪(k ≠0)；1⎪1⎪⎝⎭⎝⎭17.矩阵秩的基本性质：①、0≤r (A m ⨯n)≤min(m ,n )；②、r (A T )=r (A )；③、若AB ，则r (A )=r (B )；④、若P 、Q 可逆，则r (A )=r (PA )=r (AQ )=r (PAQ )；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max(r (A ),r (B ))≤r (A ,B )≤r (A )+r (B )；（※）⑥、r (A +B )≤r (A )+r (B )；（※）⑦、r (AB )≤min(r (A ),r (B ))；（※）⑧、如果A 是m ⨯n 矩阵，B 是n ⨯s 矩阵，且AB =0，则：（※）Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组AX =0解（转置运算后的结论）；Ⅱ、r (A )+r (B )≤n⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则r (AB )≥r (A )+r (B )-n ；18.三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；⎛1a c ⎫⎪②、型如 01b ⎪的矩阵：利用二项展开式； 001⎪⎝⎭二项展开式：(a +b )=C a +C a b +注：Ⅰ、(a +b )n 展开后有n +1项；n (n -1)(n -m +1)n !=123m m !(n -m )!m nn -mnnnn1nn -11+C am nn -mb +m +Cn -11n -1na b m m n -m ；+C b=∑Cna b n nnm =0n Ⅱ、C nm=0n C n=C n=1Ⅲ、组合的性质：C =C Cm n +1=C +Cm nm -1n∑Cr =0n r n=2nr r -1rC n=nC n -1；③、利用特征值和相似对角化：19.伴随矩阵：⎧n⎪①、伴随矩阵的秩：r (A *)=⎨1⎪0⎩r (A )=n r (A )=n -1；r (A )<n -1②、伴随矩阵的特征值：③、A *=A A -1、A *=A Aλ(AX =λX ,A *=A A -1⇒A *X =AλX )；n -120.关于A 矩阵秩的描述：①、r (A )=n ，A 中有n 阶子式不为0，n +1阶子式全部为0；（两句话）②、r (A )<n ，A 中有n 阶子式全部为0；③、r (A )≥n ，A 中有n 阶子式不全为0；21.线性方程组：Ax =b ，其中A 为m ⨯n 矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax =b 有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax =b 为n 元方程；22.线性方程组Ax =b 的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得；23.由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：⎧a 11x 1+a 12x 2++a 1n x n =b 1⎪a x +a x ++a x =b ⎪2n n 2①、⎨211222；⎪⎪⎩a m 1x 1+a m 2x 2++a nm x n =b n⎛a 11a 12 a a 22②、 21 ⎝a m 1am 2a 1n⎫⎛x 1⎫⎛b 1⎫⎪⎪ ⎪a 2n ⎪x 2⎪ b 2⎪=⇔Ax =b （向量方程，A 为m ⨯n 矩阵，m 个方程，n 个未知数）⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪a mn ⎭⎝x m ⎭⎝b m ⎭⎛x 1⎫⎛b 1⎫ ⎪ ⎪x b 2a n ) ⎪=β（全部按列分块，其中β= 2⎪）； ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝x n ⎭⎝b n ⎭③、(a1a2④、a 1x 1+a 2x 2++a nx n=β（线性表出）⑤、有解的充要条件：r (A )=r (A ,β)≤n （n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性24.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：α1,α2,,αm构成n ⨯m 矩阵A =(α1,α2,,αm)；T m 个n 维行向量所组成的向量组B ：β1T ,β2,⎛β1T ⎫T ⎪βT ,βm构成m ⨯n 矩阵B = 2⎪； ⎪ βT ⎪⎪⎝m ⎭含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；25.①、向量组的线性相关、无关⇔Ax =0有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出（线性方程组）⇔Ax =b 是否有解；③、向量组的相互线性表示（矩阵方程）⇔AX =B 是否有解；26.矩阵A m ⨯n与B l ⨯n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax =0和Bx =0同解；(P101例14)27.r (A T A )=r (A )；(P 101例15)28.n 维向量线性相关的几何意义：⇔α=0；①、α线性相关②、α,β线性相关⇔α,β坐标成比例或共线（平行）；③、α,β,γ线性相关⇔α,β,γ共面；29.线性相关与无关的两套定理：若α1,α2,,αs 线性相关，则α1,α2,,αs,αs +1必线性相关；若α1,α2,,αs线性无关，则α1,α2,,αs -1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n -r 个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；30.向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r ≤s (二版P 74定理7)；向量组A 能由向量组B 线性表示，则r (A )≤r (B )；（P 86定理3）向量组A 能由向量组B 线性表示⇔AX =B 有解；⇔r (A )=r (A ,B )（P 85定理2）向量组A 能由向量组B 等价⇔r (A )=r (B )=r (A ,B )（P 85定理2推论）,P l，使A =P 1P2P l；31.方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵P 1,P 2,r①、矩阵行等价：A ~B ⇔PA =B （左乘，P 可逆）⇔Ax =0与Bx =0同解②、矩阵列等价：A ~B ⇔AQ =B （右乘，Q 可逆）；③、矩阵等价：A ~B ⇔PAQ =B （P 、Q 可逆）；对于矩阵A m ⨯n 与B l ⨯n：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则Ax =0与Bx =0同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；④、矩阵A 的行秩等于列秩；若A m ⨯s B s ⨯n =C m ⨯n，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，A T 为系数矩阵；（转置）齐次方程组Bx =0的解一定是ABx =0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、ABx =0只有零解⇒Bx =0只有零解；②、Bx =0有非零解⇒ABx =0一定存在非零解；设向量组B n ⨯r:b 1,b 2,,b r可由向量组A n ⨯s :a 1,a 2,,a s线性表示为：（P 110题19结论）(b 1,b 2,,b r)=(a 1,a 2,,a s)K （B =AK ）c 32.33.34.35.其中K 为s ⨯r ，且A 线性无关，则B 组线性无关⇔r (K )=r ；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：r =r (B )=r (AK )≤r (K ),r (K )≤r ,∴r (K )=r ；充分性：反证法）注：当r =s 时，K 为方阵，可当作定理使用；36.①、对矩阵A m ⨯n，存在Q n ⨯m，AQ =E m⇔r (A )=m 、Q 的列向量线性无关；（P 87）②、对矩阵A m ⨯n ，存在P n ⨯m ，PA =E n⇔r (A )=n 、P 的行向量线性无关；37.α1,α2,,αs线性相关⇔存在一组不全为0的数k 1,k 2,,k s，使得k 1α1+k 2α2++k s αs=0成立；（定义）⎛x 1⎫ ⎪x ,αs ) 2⎪=0有非零解，即Ax =0有非零解； ⎪ ⎪⎝x s ⎭⇔(α1,α2,⇔r (α1,α2,,αs)<s ，系数矩阵的秩小于未知数的个数；38.设m ⨯n 的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组Ax =0的解集S 的秩为：r (S )=n -r ；39.若η*为Ax =b 的一个解，ξ1,ξ2,,ξn -r为Ax =0的一个基础解系，则η*,ξ1,ξ2,,ξn -r线性无关；（P111题33结论）5、相似矩阵和二次型40.正交矩阵⇔A T A =E 或A -1=A T （定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即a i T a j=⎨⎧1⎩0i =j i ≠j(i ,j =1,2,n )；②、若A 为正交矩阵，则A -1=A T 也为正交阵，且A =±1；③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；41.施密特正交化：(a 1,a 2,,a r)b 1=a 1；b 2=a 2-[b 1,a 2]b 1[b 1,b 1]b r =a r -[b 1,a r ][b ,a ]b 1-2r b 2-[b 1,b 1][b 2,b 2]-[b r -1,a r ]b r -1;[b r -1,b r -1]42.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；43.①、A 与B 等价⇔A 经过初等变换得到B ；⇔PAQ =B ，P 、Q 可逆；⇔r (A )=r (B )，A 、B 同型；②、A 与B 合同⇔C T AC =B ，其中可逆；⇔x T Ax 与x T Bx 有相同的正、负惯性指数；③、A 与B 相似⇔P -1AP =B ；44.相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则C T AC =B ⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；45.A 为对称阵，则A 为二次型矩阵；46.n 元二次型x T Ax 为正定：⇔A 的正惯性指数为n ；⇔A 与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使C T AC =E ；⇔A 的所有特征值均为正数；⇔A 的各阶顺序主子式均大于0；⇒a ii>0,A >0；(必要条件)。
线性代数总结
线性代数总结线性代数总结1. 引言线性代数是现代数学中的一个重要分支，它研究向量空间及其上的线性映射、线性方程组和线性变换等内容。
在计算机科学、物理学、工程学等领域中都有着广泛的应用。
本文以总结的方式回顾了线性代数的基本概念和常用方法。
2. 向量与矩阵2.1 向量在线性代数中，向量是一个有序数组，通常表示为一列数，它可以表示空间中的一个点或者有方向的线段。
向量可以进行加法、数乘和内积等运算。
常见的向量类型包括行向量和列向量，它们之间可以相互转置。
2.2 矩阵矩阵是由若干个数按照矩形排列形成的表格，通常用大写字母表示。
矩阵可以表示线性方程组、二维坐标变换等问题。
矩阵的运算包括加法、数乘、乘法等，其中乘法是矩阵运算中最为重要的一种运算。
3. 线性方程组3.1 定义与解法线性方程组由多个线性方程组成，其中每个方程的未知数是相同的。
解一个线性方程组就是找到满足所有方程的未知数的取值。
常见的解法包括高斯消元法、矩阵求逆法和克拉默法则等。
3.2 矩阵表示线性方程组可以用矩阵表示，其中系数矩阵表示方程组的系数，向量表示方程组的未知数，常数向量表示方程组的常数项。
通过矩阵运算，可以将线性方程组的解法转化为矩阵的运算。
4. 矩阵的特征值与特征向量4.1 定义与性质矩阵的特征值是指对于一个矩阵，存在一个非零向量与这个矩阵相乘后仍然得到该向量本身的倍数。
这个非零向量称为特征向量。
特征值和特征向量可以通过求解矩阵特征方程得到。
4.2 应用领域特征值和特征向量在物理学、工程学中有着广泛的应用。
在物理学中，特征值和特征向量可以用来描述量子力学中的能量和态。
在工程学中，特征值和特征向量可以用来分析结构的稳定性。
5. 线性变换5.1 定义与性质线性变换是指在向量空间中，保持加法运算和数乘运算不变的变换。
线性变换可以用矩阵表示，并且可以通过矩阵的乘法进行求解。
线性变换在计算机图形学、数据压缩等领域有着广泛的应用。
5.2 变换矩阵变换矩阵是表示线性变换的矩阵，它可以将一个向量映射到另一个向量。
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结1 行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。
（6）两行成比例，行列式的值为0。
（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A|（2）|AB|=|A|·|B|（3）|A T|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。
2 矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。
完整版线性代数知识点总结
完整版线性代数知识点总结线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。
它在各个领域中都有广泛的应用，包括物理学、计算机科学、工程学等。
以下是线性代数的一些重要知识点总结：1.向量和向量空间：向量是有方向和大小的量，可以用来表示力、速度、位移等。
向量空间是向量的集合，具有加法和标量乘法运算，同时满足一定的性质。
2.线性方程组和矩阵：线性方程组是一组线性方程的集合，研究其解的性质和求解方法。
矩阵是一个由数构成的矩形数组，可以用来表示线性方程组中的系数和常数。
3.矩阵的运算：包括矩阵的加法、减法和乘法运算。
矩阵乘法是一种重要的运算，可以用来表示线性变换和复合变换。
4.行列式和特征值：行列式是一个标量，表示矩阵的一些性质，如可逆性和面积/体积的变换。
特征值是矩阵对应的线性变换中特殊的值，表示该变换在一些方向上的伸缩程度。
5.向量的内积和正交性：向量的内积是一种二元运算，可以用来表示向量之间的夹角和长度。
正交向量是指内积为零的向量，可以用来表示正交补空间等概念。
6.向量的投影和正交分解：向量的投影是一个向量在另一个向量上的投影，可以用来表示向量的分解。
正交分解是将一个向量分解为与另一个向量正交和平行的两个向量之和。
7.线性变换和线性映射：线性变换是指保持向量加法和标量乘法运算的变换。
线性映射是向量空间之间的函数，具有保持线性运算的性质。
8.特征值和特征向量：特征值和特征向量是线性变换或矩阵中一个重要的概念，用于描述变换的性质和方向。
9.正交矩阵和对称矩阵：正交矩阵是一个方阵，其列向量组成的矩阵是正交的。
对称矩阵是一个方阵，其转置等于自身。
10.奇异值分解：奇异值分解（SVD）是一种矩阵的分解方法，用来将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。
SVD在数据压缩、图像处理和机器学习等领域有广泛的应用。
11.最小二乘法：最小二乘法是一种数学优化方法，用来找到一条曲线或超平面，使得这些数据点到该曲线或超平面的距离平方和最小。
线性代数公式总结大全
线性代数公式总结大全在线性代数中，有许多重要的公式被广泛应用于向量、矩阵和线性方程组的求解。
下面将对这些公式进行一个全面的总结，并说明它们的应用。
1. 向量的加法和减法- 向量加法：给定两个向量A和B，其加法可以表示为A + B = C，其中C的每个分量等于A和B对应分量的和。
- 向量减法：给定两个向量A和B，其减法可以表示为A - B = C，其中C的每个分量等于A和B对应分量的差。
2. 向量的数量积和向量积- 数量积：给定两个向量A和B，其数量积可以表示为A · B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示两个向量的夹角。
- 向量积：给定两个向量A和B，其向量积可以表示为A × B = |A| |B| sinθ * n，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示两个向量的夹角，n是垂直于A和B所在平面的单位向量。
3. 矩阵的基本运算- 矩阵加法：给定两个矩阵A和B，其加法可以表示为A + B = C，其中C的每个元素等于A和B对应元素的和。
- 矩阵减法：给定两个矩阵A和B，其减法可以表示为A - B = C，其中C的每个元素等于A和B对应元素的差。
- 矩阵数乘：给定一个矩阵A和一个标量k，其数乘可以表示为kA = B，其中B的每个元素等于A对应元素乘以k。
4. 矩阵的乘法- 矩阵乘法：给定两个矩阵A和B，其乘法可以表示为AB = C，其中矩阵C的元素等于A的行向量与B的列向量的数量积。
- 矩阵转置：给定一个矩阵A，其转置可以表示为A^T，其中A^T的第i行第j列元素等于A的第j行第i列元素。
- 矩阵的逆：给定一个可逆矩阵A，其逆可以表示为A^−1，其中AA^−1 = I，I是单位矩阵。
5. 线性方程组的解法- 列主元消去法：通过消去矩阵A的部分元素，将其转化为上三角矩阵，然后通过回代法求解线性方程组的解。
- 伴随矩阵法：利用矩阵的伴随矩阵和行列式的性质求解线性方程组的解。
线性代数课程教学总结8篇
线性代数课程教学总结8篇篇1一、引言线性代数是高等教育中非常重要的数学课程，对于培养学生的逻辑思维、空间想象和计算能力具有不可替代的作用。
本学期线性代数课程的教学工作已经圆满结束，为了更好地提高教学质量和效果，现对本学期的教学工作进行全面的总结和反思。
二、教学内容与方法本学期线性代数课程的教学内容包括矩阵与行列式、向量与空间解析几何、线性方程组、特征值与矩阵对角化等章节。
1. 教学内容在教学内容上，我们严格按照教学大纲的要求，注重基础知识的讲解和巩固。
同时，根据学生的学习情况，适度调整教学进度和难度，确保大多数学生能够跟上课程的进度。
2. 教学方法在教学方法上，我们采用了讲授、讨论、练习相结合的方法。
课堂上，老师通过讲解、演示和互动，帮助学生理解和掌握基本概念和方法。
课后，学生通过完成作业和参加讨论，加深对所学知识的理解和运用。
三、教学效果与反思1. 教学效果通过本学期的教学，大多数学生对线性代数的基本概念和方法有了较为深刻的理解，能够熟练掌握矩阵运算、向量运算、线性方程组求解等基本技能。
同时，学生的逻辑思维能力和空间想象力也得到了较好的培养。
2. 反思在教学过程中，我们也发现了一些问题。
首先，部分学生对线性代数的概念和方法的掌握不够扎实，需要加强对基础知识的巩固和练习。
其次，部分学生的学习态度不够积极，需要加强对学生的学习引导和激励。
最后，教师的教学方法和手段还需要不断改进和创新，以适应学生的学习需求和特点。
四、改进措施与建议针对以上问题，我们提出以下改进措施与建议：1. 加强基础知识的巩固和练习。
可以通过增加课堂互动、布置适量的课后作业、组织定期的复习和测试等方式，帮助学生巩固所学知识。
2. 加强对学生的学习引导和激励。
可以通过组织小组讨论、开展课外科技活动、设置奖学金等方式，激发学生的学习兴趣和动力。
3. 改进教学方法和手段。
可以采用线上教学与线下教学相结合的方式，利用现代化的教学手段，提高教学效果和效率。
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线性代数总结 [转贴 2008-05-04 13:04:49]字号：大中小线性代数总结一、课程特点特点一：知识点比较细碎。
如矩阵部分涉及到了各种类型的性质和关系，记忆量大而且容易混淆的地方较多。
特点二：知识点间的联系性很强。
这种联系不仅仅是指在后面几章中用到前两章行列式和矩阵的相关知识，更重要的是在于不同章节中各种性质、定理、判定法则之间有着相互推导和前后印证的关系。
复习线代时，要做到“融会贯通”。
“融会”——设法找到不同知识点之间的内在相通之处；“贯通”——掌握前后知识点之间的顺承关系。
二、行列式与矩阵第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。
行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和阶两种类型；主要方法是应用行列式的性质及按行\列展开定理化为上下三角行列式求解。
对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于、、等的相关性质，及性质（其中为矩阵的特征值）。
矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、、、的性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。
三、向量与线性方程组向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。
相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节；后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。
向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。
复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。
解线性方程组可以看作是出发点和目标。
线性方程组（一般式）还具有两种形式：（Ⅰ）矩阵形式，其中，，（Ⅱ）向量形式，其中,向量就这样被引入了。
1）齐次线性方程组与线性相关、无关的联系齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当时等式一定成立；印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。
齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解；②有非零解。
当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的只能全为0才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为0的使上式成立；但向量部分中判断向量组是否线性相关\无关的定义也正是由这个等式出发的。
故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。
可以设想线性相关\无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。
2）齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。
秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”，向量组组成的矩阵有说明向量组的极大线性无关组中有个向量，即线性无关，也即等式只有零解。
所以，经过“秩→线性相关\无关→线性方程组解的判定”的逻辑链条，由就可以判定齐次方程组只有零解。
当时，的列向量组线性相关，此时齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过个线性无关的解向量（基础解系）线性表示。
3）非齐次线性方程组与线性表示的联系非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由的列向量组线性表示，即使等式成立的一组数就是非齐次线性方程组的解。
当非齐次线性方程组满足时，它有唯一解。
这一点也正好印证了一个重要定理：“若线性无关，而线性相关，则向量可由向量组线性表示，且表示方法唯一”。
性质1.对于方阵有：方阵可逆óó的行\列向量组均线性无关óó可由克莱姆法则判断有唯一解，而仅有零解对于一般矩阵则有：ó的列向量组线性无关ó仅有零解，有唯一解（如果有解）性质2．齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关，而非齐次线性方程组是否有解对应于是否可以由的列向量组线性表出。
以上两条性质可视为是将线性相关、行列式、秩、线性方程组几部分知识联系在一起的桥梁。
应记住的一些性质与结论1．向量组线性相关的有关结论：1）向量组线性相关ó向量组中至少存在一个向量可由其余个向量线性表出。
2）向量组线性无关ó向量组中没有一个向量可由其余的向量线性表出。
3）若线性无关，而线性相关，则向量可由向量组线性表示，且表示法唯一。
2．向量组线性表示与等价的有关结论：1）一个线性无关的向量组不可能由一个所含向量个数比它少的向量组线性表示。
2）如果向量组可由向量组线性表示，则有3）等价的向量组具有相同的秩，但不一定有相同个数的向量；4）任何一个向量组都与它的极大线性无关组等价。
3．常见的线性无关组：1）齐次线性方程组的一个基础解系；2）、、这样的单位向量组；3）不同特征值对应的特征向量。
4．关于秩的一些结论：1）；2）；3）；4）；5）若有、满足，则；6）若是可逆矩阵则有；7）若可逆则有；8）。
4．线性方程组的解：1）非齐次线性方程组有唯一解则对应齐次方程组仅有零解；2）若有无穷多解则有非零解；3）若有两个不同的解则有非零解；4）若是矩阵而则一定有解，而且当时有唯一解，当时有无穷多解；5）若则没有解或有唯一解。
四、特征值与特征向量相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。
其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”。
本章知识要点如下：1．特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式如、、和。
常用到下列性质：若阶矩阵有个特征值，则有；若矩阵有特征值，则、、、、、分别有特征值、、、、、，且对应特征向量等于所对应的特征向量；2．相似矩阵及其性质定义式为，此时满足、、，并且、有相同的特征值。
需要区分矩阵的相似、等价与合同：矩阵与矩阵等价（）的定义式是，其中、为可逆矩阵，此时矩阵可通过初等变换化为矩阵，并有；当中的、互逆时就变成了矩阵相似（）的定义式，即有；矩阵合同的定义是，其中为可逆矩阵。
由以上定义可看出等价、合同、相似三者之间的关系：若与合同或相似则与必等价，反之不成立；合同与等价之间没有必然联系。
3．矩阵可相似对角化的条件包括两个充要条件和两个充分条件。
充要条件1是阶矩阵有个线性无关的特征向量；充要条件2是的任意重特征根对应有个线性无关的特征向量；充分条件1是有个互不相同的特征值；充分条件2是为实对称矩阵。
4．实对称矩阵及其相似对角化阶实对称矩阵必可正交相似于对角阵，即有正交矩阵使得，而且正交矩阵由对应的个正交的单位特征向量组成。
可以认为讨论矩阵的相似对角化是为了方便求矩阵的幂：直接相乘来求比较困难；但如果有矩阵使得满足（对角矩阵）的话就简单多了，因为此时而对角阵的幂就等于，代入上式即得。
引入特征值和特征向量的概念是为了方便讨论矩阵的相似对角化。
因为，不但判断矩阵的相似对角化时要用到特征值和特征向量，而且中的、也分别是由的特征向量和特征值决定的。
五、二次型本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵存在正交矩阵使得可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在为实对称矩阵时的应用。
本章知识要点如下：1．二次型及其矩阵表示。
2．用正交变换化二次型为标准型。
3．正负定二次型的判断与证明。
标签: 线性代数总结.学习线性代数总结2009年06月14日星期日上午 11:12学习线性代数总结线性代数与数理统计已经学完了，但我认为我们的学习并没有因此而结束。
我们应该总结一下这门课程的学习的方法，并能为我们以后的学习和工作提供方法。
这门课程的学习目标：《线性代数》是物理系等专业的一门重要的基础课，其主要任务是使学生获得线性代数的基本思想方法和行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换等方面的系统知识，它一方面为后继课程（如离散数学、计算方法、等课程）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力等重要作用。
同时随着计算机及其应用技术的飞速发展，很多实际问题得以离散化而得到定量的解决。
作为离散化和数值计算理论基础的线性代数，为解决实际问题提供了强有力的数学工具。
我总结了《线性代数》的一些学习方法，可能有的同学会认为这已经为时过晚，但我不这么认为。
从这门课程中，我们学会的不仅仅是线性代数的一些相关知识（行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换等方面的系统知识），更重要的是，从这门课程中我们应该掌握一种很重要的思想——学习如何去使用工具的方法。
这个工具狭隘的讲是线性代数这门数学知识，但从广义地说：这个工具应该是生活中的一切工具（如电脑软件的学习方法、机器的操作方法、科学调查方法等）。
在这门课程给我的感触就是：这门课告诉我们如何去学知识的方法。
我认为：学习任何一门知识的方法是：一、明确我们要学习什么知识或者要掌握哪些方面的技能。
只能我们明白我们自己要学习什么之后，我们才会有动力去学习，在我们的大学里，有些同学不明白学习课本知识有何作用，认为学习与不学习没有什么区别，或者认为学习课本知识没有多大的作用，就干脆不学（当然我在这里没有贬低任何人的意思）。
不过我认为学习好自己的专业的知识，掌握专业技能是每个大学生的天职。
二、知道知识是什么，了解相关知识的概念和定义。
这是学习的一切学习的基础，只有把握这个环节，我们的学习实践活动才能得以开展，知识是人类高度概括、总结的经验，不可能像平常说话那么通俗易懂。
所以我们要想把知识学好，就得在概念上下功夫。
例《线性代数》这门课程中的实二次型，那我们首先得非常清楚的知到，什么叫做实二次型。
否则这一块的知识没有办法开展。
三、要知到我们学的知识可以用到何处，或者能帮我们解决什么问题。
其实这一点和第一点有点重复。
但是对于我们的课本知识非常得有用，因为我们现在所学的课本知识。
说句实在话，我们确实不知到能为我们生活中能解决什么问题，但如果我们知到它能用到何处，相信将来一定会有用。
有一句话说得好，书到用时方恨少，说得是这个道理。
总之，我们现在要为以后遇到问题而积累解决问题的方法，我们现在是在为以后的人生在打基础。
四、学习相关概念后，要学会如何去操作。
像《线性代数》这门课程，在这一点就体现得很突出。
如在我们学习正交矩阵这个概念后，我们得要学会如何去求正交矩阵；再如，当我们认识了矩阵的对角化定义之后，我们得掌握如何去将一个矩阵对角化。
其实，就是学会如何去操作，这是我们掌握数学工具的使用方法的重要途径，所以这部分的工作是我们的学习中心和重点。