卡尔曼滤波器分类及基本公式
卡尔曼滤波算法含详细推导
求式(3)所示状态向量的一步预测误差向量的相关矩阵，容易证明：
3、kalman滤波算法
K (n 1, n) E{e(n 1, n)]e H (n 1, n)} [ F (n 1, n) G (n)C (n)]K (n, n 1)[F (n 1, n)
式中使用了e(n+1,n)，v1(n)，v2(n)彼此不相关的事实，以及E{v1 (n)v1 (n)} Q1 (n) H 和 E{v2 (n)v2 (n)} Q2 (n) 等关系式。 对式(31)的右边进行展开，然后代入式(28)和(29)，可以证明：状态向量预测误差的 相关矩阵的递推公式为：
这就是新息过程的实际计算公式，条件是：一步预测的状态 向量估计 x1 (n) 业已求出。 定义向量的一步预测误差：
e(n 1, n) x(n) x1 (n)......... .(14)
def
2、新息过程
将此式代入式（13），则有
(n) C(n)e(n, n 1) v2 (n)......... (15)
e(n 1, n) F (n 1, n)[x(n) x1 (n)] G (n)[ y (n) C (n) x1 (n)] v1 (n)
将观测方程(2)代入上式，并代入 e(n,n - 1) x(n) x1 (n) ，则有：
e(n 1, n) [ F (n 1, n) G(n)C (n)]e(n,n 1) v1 (n) G(n)v2 (n)......... .........( 30)
在新息过程的相关矩阵定义式（10）中代入式（14），并注 意到观测矩阵C（n）是一已知的确定矩阵，故有
卡尔曼滤波器分类及基本公式
以 时刻的最优估计 为准，预测 时刻的状态变量 ，同时又对该状态进行观测，得到观测变量 ，再在预测与观测之间进行分析，或者说是以观测量对预测量进行修正，从而得到 时刻的最优状态估计 。
卡尔曼滤波思想
卡尔曼滤波的由来
卡尔曼滤波的由来
卡尔曼滤波理论作为最优估计的一种，它的创立是科学技术和社会需要发展到一定程度的必然结果。在1795年，高斯为测定行星运动轨道而提出最小二乘估计法。为了解决火力控制系统精度跟踪问题，维纳于1942年提出了维纳滤波理论，利用有用信号和干扰信号的功率谱确定线性滤波器的频率特性，首次将数理统计理论与线性理论有机的联系在一起，形成了对随机信号做平滑、估计或者预测的最优估计新理论。但是采用频域设计法是造成维纳滤波器设计困难的根本原因。于是，人们逐渐转向寻求在时域内直接设计最优滤波器的方法，而卡尔曼研究的卡尔曼滤波理论很好的解决了这个问题
卡尔曼滤波的基本方程
例子
卡尔曼滤波的基本方程
现在，我们用于估算K时刻房间的实际温度有两个温度值：估计值23度和测量值25度。究竟实际温度是多少呢？是相信自己还是相信温度计？究竟相信谁多一点？我们需要用他们的均方误差来判断。因为， （*公式三），所以我们可以估算出K时刻的最优温度值为： 度（*公式四）。 得到了K时刻的最优温度，下一步就是对K+1时刻的温度值进行最优估算，需要得到K时刻的最优温度（24.56）的偏差，算法如下： （*公式五） 就这样，卡尔曼滤波器就不断的把均方误差递归，从而估算出最优的温度值，运行速度快，且只保留上一时刻的协方差。
卡尔曼滤波的由来
卡尔曼，全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们在现代控制理论中要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。
卡尔曼滤波器分类及基本公式
式上，卡尔曼滤波器是5条公式。
对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至 是最有用的。他的广泛应用已经超过了30年，包括机器人 导航、控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统 以及导弹追踪等等。而近年来更被应用于计算机图像处理，
例如头脸识别、图像分割、图像边缘检测等等。
卡尔曼滤波的特点
卡尔曼滤波的特点
你从温度计那里得到了 k时刻的温度值，假设是25 度，同时该
值的偏差是 4 度。
卡尔曼滤波的基本方程
例子
现在，我们用于估算K时刻房间的实际温度有两个温度值：估计值
23度和测量值25度。究竟实际温度是多少呢？是相信自己还是相信 温度计？究竟相信谁多一点？我们需要用他们的均方误差来判断。
52 因为， 2 2 H 0.78（*公式三），所以我们可以估算出K时 H 5 4 刻的最优温度值为：23 0.78* (25 23) 24.56 度（*公式四）。
度。
卡尔曼滤波的基本方程
例子
假如我们要估算 k 时刻的实际温度值。首先你要根据 k-1 时刻
的温度值，来预测 k 时刻的温度（K时刻的经验温度）。因为 你相信温度是恒定的，所以你会得到 k 时刻的温度预测值是跟 k-1 时刻一样的，假设是 23 度（*公式一），同时该值（预测 值）的高斯噪声的偏差是 5 度（5 是这样得到的：如果 k-1 时 刻估算出的最优温度值的偏差是 3，你对自己预测的不确定度 是 4 度，他们平方相加再开方，就是 5（*公式二）） 。然后，
Qk
为过程噪声的协方差，其为非负定阵； 为测量噪声的协方差，其为正定阵。
Rk
1 基于离散系统模型的卡尔曼滤波的基本公式 1.3 离散型卡尔曼滤波方程的一般形式
卡尔曼滤波器的原理与应用
卡尔曼滤波器的原理与应用1. 什么是卡尔曼滤波器？卡尔曼滤波器（Kalman Filter）是一种用于估计系统状态的数学算法，它通过将系统的测量值和模型预测值进行加权平均，得到对系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波器最初由卡尔曼（Rudolf E. Kálmán）在20世纪60年代提出，广泛应用于航天、航空、导航、机器人等领域。
2. 卡尔曼滤波器的原理卡尔曼滤波器的原理基于贝叶斯滤波理论，主要包括两个步骤：预测步骤和更新步骤。
2.1 预测步骤预测步骤是根据系统的动力学模型和上一时刻的状态估计，预测出当前时刻的系统状态。
预测步骤的过程可以用以下公式表示：x̂k = Fk * x̂k-1 + Bk * ukP̂k = Fk * Pk-1 * Fk' + Qk其中，x̂k为当前时刻的状态估计，Fk为状态转移矩阵，x̂k-1为上一时刻的状态估计，Bk为输入控制矩阵，uk为输入控制量，Pk为状态协方差矩阵，Qk为过程噪声的协方差矩阵。
2.2 更新步骤更新步骤是根据系统的测量值和预测步骤中的状态估计，通过加权平均得到对系统状态的最优估计。
更新步骤的过程可以用以下公式表示：Kk = P̂k * Hk' * (Hk * P̂k * Hk' + Rk)^-1x̂k = x̂k + Kk * (zk - Hk * x̂k)Pk = (I - Kk * Hk) * P̂k其中，Kk为卡尔曼增益矩阵，Hk为测量矩阵，zk为当前时刻的测量值，Rk 为测量噪声的协方差矩阵，I为单位矩阵。
3. 卡尔曼滤波器的应用卡尔曼滤波器广泛应用于以下领域：3.1 导航与定位卡尔曼滤波器在导航与定位领域的应用主要包括惯性导航、GPS定位等。
通过融合惯性测量单元（Inertial Measurement Unit）和其他定位信息，如GPS、罗盘等，卡尔曼滤波器可以提高导航与定位的准确性和鲁棒性。
3.2 机器人控制卡尔曼滤波器在机器人控制领域的应用主要包括姿态估计、移动定位、目标跟踪等。
卡尔曼滤波器介绍
卡尔曼滤波器介绍摘要在1960年，R.E.Kalman发表了关于递归解决线性离散数据滤波器的著名论文，从那时间起，由于在数字计算的大部分提高，Kalman滤波器已成为广泛研究和应用的学科，尤其是自动或辅助导航系统。
Kalman滤波器是一套数学等式，它提供了一种有效的以最小均方误差来估计系统状态的计算(递归的)方法。
它在以下几方面是非常强大的：它支持过去、现在、甚至将来估计，甚至在系统准确模型也未知的情况下。
本文的目的是提供一种对离散的Kalman滤波器的实用介绍。
这些介绍包括对基本离散kalman滤波器、起源和与之相关的简单(有形)的带有真实数字和结果的描述和讨论。
1、离散的kalman滤波器在1960年，R.E.Kalman发表了关于递归解决线性离散数据滤波器的著名论文，从那时间起，由于在数字计算的大部分提高，Kalman滤波器已成为广泛研究和应用的学科，尤其是自动或辅助导航系统。
关于kalman滤波器一般方法的友好介绍可以在〔maybeck79〕的Chapter.1中找到，但是更完整部分的讨论能在〔Sorenson70〕中发现，它还包括许多有趣的历史解释。
在〔Gelb74；Grewal93；Maybeck79；Lewis86；Brown92；jacobs93〕中有更多参考。
估值过程Kalman滤波器解决估计离散时间控制过程的状态X∈R n的一般性问题，定义线性随机差分方程其中，测量值Z∈R m，定义为随机变量W K和V K各自表示系统噪声和测量噪声，我们假定它们为相互独立的、白噪声且为正常概率分布在实际中，系统噪声协方差矩阵Q和测量噪声协方差矩阵R可能随过程和测量时间而改变，无论怎样，我们在这里假定它们是常量。
在差分方程（1.1）中，n×n阶矩阵A与前一时刻（K－1）和当前时刻K相关，这里缺少传递函数或系统噪声。
注意的是，在实际中，A可能随各自时刻改变，但这里我们假定其为常量，n×l阶矩阵R与非强制性输入U∈R l和状态x有关，在测量公式（1.2）中，m×n阶矩阵H 与状态及测量值Z K有关，在实际中，H可能随各自过程或测量时刻而改变，这里假定它们是常数。
卡尔曼滤波计算举例全
卡尔曼滤波计算举例⏹计算举例⏹卡尔曼滤波器特性假设有一个标量系统，信号与观测模型为[1][][]x k ax k n k +=+[][][]z k x k w k =+其中a 为常数，n [k ]和w [k ]是不相关的零均值白噪声，方差分别为和。
系统的起始变量x [0]为随机变量，其均值为零，方差为。
2nσ2σ[0]x P （1）求估计x [k ]的卡尔曼滤波算法；（2）当时的卡尔曼滤波增益和滤波误差方差。
220.9,1,10,[0]10nx a P =σ=σ==1. 计算举例根据卡尔曼算法，预测方程为:ˆˆ[/1][1/1]xk k ax k k -=--预测误差方差为:22[/1][1/1]x x nP k k a P k k -=--+σ卡尔曼增益为:()1222222[][/1][/1][1/1][1/1]x x x nx n K k P k k P k k a P k k a P k k -=--+σ--+σ=--+σ+σˆˆˆ[/][/1][]([][/1])ˆˆ[1/1][]([][1/1])ˆ(1[])[1/1][][]xk k x k k K k z k x k k axk k K k z k ax k k a K k xk k K k z k =-+--=--+---=---+滤波方程:()()2222222222222[/](1[])[/1][1/1]1[1/1][1/1][1/1][1/1]x x x nx n x n x nx nP k k K k P k k a P k k a P k k a P k k a P k k a P k k =--⎛⎫--+σ=---+σ ⎪--+σ+σ⎝⎭σ--+σ=--+σ+σ滤波误差方差起始：ˆ[0/0]0x=[0/0][0]x x P P =k [/1]x P k k -[/]x P k k []K k 012345689104.76443.27012.67342.27652.21422.18362.16832.16089.104.85923.64883.16542.94752.84402.79352.76870.47360.32700.26730.24040.22770.22140.21840.2168ˆ[0/0]0x=[0/0]10x P =220.9110na =σ=σ=2. 卡尔曼滤波器的特性从以上计算公式和计算结果可以看出卡尔曼滤波器的一些特性：（1）滤波误差方差的上限取决于测量噪声的方差，即()2222222[1/1][/][1/1]x nx x na P k k P k k a P k k σ--+σ=≤σ--+σ+σ2[/]x P k k ≤σ这是因为（2）预测误差方差总是大于等于扰动噪声的方差，即2[/1]x nP k k -≥σ这是因为222[/1][1/1]x x n nP k k a P k k -=--+σ≥σ（3）卡尔曼增益满足，随着k 的增加趋于一个稳定值。
卡尔曼滤波器
模糊逻辑AKF
• 卡尔曼滤波器通常要求系统动态过程和 噪声都是确定的，且系统噪声和量测噪 声都是零均值白噪声，如果系统存在模 型误差或噪声不确定就有可能导致卡尔 曼滤波器发散。模糊逻辑自适应卡尔曼 滤波器o，它能够连续调整滤波器模型 中的噪声力度，从而防止滤波器发散。
卡尔曼滤波器应用举例
• 现代汽车中的悬架分为从动悬架和主动 悬架两种。从动悬架即传统式的悬架， 是由弹簧、减震器、导向机构等组成， 它的功能是减弱路面传给车身的冲击力， 衰减由冲击力而引起的承载系统的震动。 其中弹簧主要起减缓冲击力的左右，减 震器的作用是衰减震动。从动悬架是由 外力驱动而起作用的。
多模型AKF
• 它由一组卡尔曼滤波器组成，每一个卡 尔曼滤波器使用不同的系统模型，各个 卡尔曼滤波器并行运行，根据观测向量 估计各自的状态。随着时间的不断增加， 系统会选出最优的一个滤波器并将其权 值增大，而其它权值相应减小。多模型 AKF性能最优的前提条件是所用的模型 集包含了系统所有可能的模式，但是这 个前提条件往往是很难满足的。
基于信息的AKF
• 基于信息的AKF主要是通过调整噪 声统计特性达到自适应的目的，解 决了因为噪声统计特性不明确或噪 声发生变化的情况。但是对于系统 其它模型发生变化不能达到自适应 的目的。
神经网络AKF
• 神经网络作为人工智能技术中的一个领 域，其主要优点在于它对系统的模型没 有特别要求，只要有足够的用于训练的 先验数据，就可以用训练的神经网络近 似代替原系统。神经网络AKF可以满足 系统其它模型不正确或者发生变化的问 题。
卡尔曼滤波器基本公式
• （1）X(k|k-1)=AX(k-1|k-1)+BU(k) • （2）P(k|k-1)=AP(k-1|k-1)A’+Q • （3）X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-
卡尔曼滤波器的五个公式
卡尔曼滤波器的五个公式
卡尔曼滤波器主要有两个公式，分别是状态预测公式和状态更新公式。
而状态预测公式又可以细分为系统状态预测公式和状态协方差预测公式。
因此，卡尔曼滤波器总共有五个公式，具体如下：
1. 系统状态预测公式（状态方程）：
x(k) = F * x(k-1) + B * u(k-1) + w(k-1)
其中，x(k)为当前时刻的状态向量，F为状态转移矩阵，x(k-1)为上一时刻的状态向量，B为控制输入矩阵，u(k-1)为控制输入向量，w(k-1)为过程噪声向量。
2. 状态协方差预测公式（协方差方程）：
P(k) = F * P(k-1) * F^T + Q(k-1)
其中，P(k)为当前时刻的状态协方差矩阵，Q(k-1)为过程噪声协方差矩阵。
3. 状态更新公式（测量方程）：
z(k) = H * x(k) + v(k)
其中，z(k)为当前时刻的测量向量，H为测量矩阵，v(k)为测量噪声向量。
4. 估计协方差更新公式：
S(k) = H * P(k) * H^T + R(k)
其中，S(k)为当前时刻的估计协方差矩阵，R(k)为测量噪声协方差矩阵。
5. 状态修正公式：
K(k) = P(k) * H^T * (H * P(k) * H^T + R(k))^-1
其中，K(k)为卡尔曼增益矩阵。
通过以上五个公式的迭代运算，可以实现卡尔曼滤波器的状态预测和状态更新，从而提高状态估计的准确性。
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