因子分析模型

2 2 以后， 计算出 A 以后，可由用 Σ − AA′ 的对角元作为各特殊因子方差 σ 12 , σ 2 ,L , σ p 的
(
)
估计。 估计 。 估计出因子负荷后， 估计出因子负荷后，对 F j 作出解释的依据是因子负荷矩阵 A 中第
j 列元素的大
小与符号， 之间的相关性强弱。 小与符号，因为它们分别度量了 F j 与可观测变量 X 1 , X 2 ,L , X p 之间的相关性强弱。 相关性最强的若干个可观测变量，对它们的含义和共性加以提炼， 找出与 F j 相关性最强的若干个可观测变量，对它们的含义和共性加以提炼，并与 其它变量的含义进行对比、衬托 ，就有可能归纳、 其它变量的含义进行对比、衬托，就有可能归纳、提炼出潜在因子 F j 的合理解释与命 名。 难于给出合理的解释（ 如果基于所得到的因子负荷矩阵 A 难于给出合理的解释（ 表现为 A 中第 j 列元素 在量值上较为均衡） ，则需要对负荷矩阵 施以正交变换。 在量值上较为均衡 ） 则需要对负荷矩阵 A 施以正交变换。变换的目的是使 ， 两极分化。 从而利于对公共因子的解释， 元素都能呈现向 0 和 1 两极分化 。 从而利于对公共因子的解释 ，
这意味着我们试图通过 这意味着我们 试图通过 m 个潜在的公共因子 ( F1 , F2 ,L , Fm ) 来对第 i 小题的测试分 线性地加以解释。 数 X i 线性地加以解释 。 称因子负荷， 其中系数 ai1 , ai 2 ,L , aim 称因子负荷 ，用来表达第 i 小题的测试分数 X i 反映出的各 公共因子方面的能力 ； 公共因子方面 的能力； 的能力
−1
F11 F21 因子得分矩阵 F = L F n1
则有简洁表达式
F = XA ( A′A )
Spss软件实现
1．心血管疾病的因子分析：spss 数据 ：13-02 ．心血管疾病的因子分析： 关注：数据格式、结果解读 关注：数据格式、 2．抑郁症测试的因子分析：spss 数据 ：抑郁症资料 ．抑郁症测试的因子分析：
引入矩阵记号 :
X1 a11 X2 a21 X= ， A= M L Xp a p1
则 ， 模型可表达为
a12 a22 L ap2
L a1m ε1 F1 1m L a2 m F2 ε2 ，F = ，ε = M L L L F ε p L a pm m
xi1 = a11 Fi1 + a12 Fi 2 + L + a1m Fim + ε i1 x = a F + a F +L + a F + ε i2 21 i1 22 i 2 2 m im i2 LL xip = a p1 Fi1 + a p 2 Fi 2 + L + a pm Fim + ε ip
2 i
作为特殊因子的方差， 作为特殊因子的方差，
根据前述的思路， 给出因子分析的数学模型： 根据前述的思路 ， 给出因子分析的数学模型 ：
X 1 = a11 F1 + a12 F2 + L + a1m Fm + ε1 X = a F + a F +L + a F + ε 2 21 1 22 2 2m m 2 LL X p = a p1 F1 + a p 2 F2 + L + a pm Fm + ε p
X = AF + ε
其中矩阵称因子负荷矩阵。 其中矩阵称因子负荷矩阵 。
因子分析的任务是： 因子分析的任务是 ： （ 1） 估计因子负荷 a 的存在； 的存在 ； （ 2） 通过较少的 m 个潜在的公共因子 ( F , F ,L, F ) 不可能完全解释
1 2 m
i1
, ai 2 ,L , aim , 并由此推测潜在公共因子 ( F1 , F2 ,L , Fm )
个公共因子， 由于它们是潜在且不可观测的， 设有 m 个公共因子， 由于它们是潜在且不可观测的 ，形式上记为 ( F1 , F2 ,L , Fm ) 。 假设第 i ( i = 1, 2,L ,50 ) 小题的测试分数 X i 可表示为
X i = ai1 F1 + ai 2 F2 + L + aim Fm + ε i ， ( i = 1, 2,L , p )
这里， 项可观测指标； 这里 ， xi1 ,L , xip 是第 i 个样品 x( i ) 的 p 项可观测指标 ； 是已经估计出的因子负荷 估计出的因子负荷； {a , i = 1,L , p; j = 1,L , m} 是已经估计出的因子负荷； ε
ij i1
,L , ε ip 是第i 个样品x( i )
p 次试验观测中随机波动项的取值， 可观测指 次试验观测中随机波动项的取值， 将
视为响应变量的取值， 视为解释 标 xi1 ,L , xip 视为响应变量的取值， 将因子负荷 aij , j = 1,L , m; i = 1,L , p 视为解释 变量的取值 ， 视为回归系数， 变量的取值，而将因子得分 Fi1 ,L , Fim 视为回归系数 ，按最小二乘法使残差平方和达 的取值 到最小的估计思路， 因子得分估计式： 到最小的估计思路 ， 可得第 i 个样品 x( i ) 的 因子得分估计式 ：
的特殊因子分量。 未知且不可观测， 的特殊因子分量。由于 ε i1 ,L , ε ip 未知且不可观测 ，所以第 i 个样品 x( i ) 的 因子得分
Fi1 不能从方程组解出。 只能进行估计。
因子得分的估计方法有多种， 一种较为直接的处理方法如下。 因子得分的估计方法有多种 ， 一种较为直接的处理方法如下 。 将特殊因子分量 ε i1 ,L , ε ip 视为
F
A=
(
λ1 e1 ,K , λm em
列元素
)
λj ej 是
Σ 的第 j 大特征
A 作为一个 p 行 m 列的矩阵， 列的矩阵， 其第 j
根 λ j 所对应的单位长度特征向量e j 的 λ j 倍，也正好是主成分分析中第
j 主成分的系数向量的 λ j 倍，因此这种给出因子负荷矩阵 A 初步估计的
方法也称为主成分方法。 方法也称为主成分方法 。
{
}
xi1 Fi1 Fi 2 −1 xi 2 = ( A′A) A′ M M F x im ip
或等价地
( Fi1
Fi 2 L Fim ) = ( xi1
xi 2 L xip ) A ( A′A)
( X1 , X 2 ,L, X 50 ) 的取值 。 的取值。
每道题上的得分是表面现象，应试者在语言表达能力、 逻辑思维能力、 每道题上的得分是表面现象 ，应试者在语言表达能力、 逻辑思维能力、对事物的 敏锐程度、 思想修养、 兴趣爱好、 生活常识等方面（称公共因子） 敏锐程度、 思想修养、 兴趣爱好、 生活常识等方面 （称公共因子） 的能力大小才是本 质的， 但是这每个公共因子都比较抽象， 是潜在的， 难以直接加以观测或度量。 质的 ， 但是这每个公共因子都比较抽象 ， 是潜在的 ， 难以直接加以观测或度量 。 信息， 我们希望充分利用应试者在各题上的得分 ( xi1 , xi 2 ,L , xi50 ) 信息 ， 分析计算出应聘者在 每个公共因子方面的水平高低 。 这就是因子分析要解决的问题。 每个公共因子方面的水 平高低。 这就是因子分析要解决的问题 。 平高低
ε i 表达了第 i 小题的测试分数 X i 不能被 m 个公共因子线性解释的部分，称为特殊 个公共因子线性解释的部分，
因子。 特殊因子也不可观测。 通常假定 ε i 因子。 特殊因子也不可观测。 可理解为特殊因子的强度的度量。 可理解为特殊因子的强度的度量 。
~ N 0, σ i2
(
) ，这里的 σ
p 个可观测变量 ( X , X
1
2
所表达的信息， ,L , X p ) 所表达的信息 ，不能表达的部分
是通过特殊因子来承载， 是通过特殊因子来承载， 为此需推断不能被解释部分的强 度 ， 即估计 {σ
2 i
, i = 1, 2,L , p} ;
1 2 m
都是潜在的， （ 3） m 个公共因子 ( F , F ,L, F ) 都是潜在的 ，如果推测出它们的存 就希望能对它们的实际含义作出适当的解释； 在 ， 就希望能对它们的实际含义作出适当的解释 ； 依据样品（应聘者） （ 4） 依据样品 （应聘者）的 p 项可观测指标值 ( x
(
)
A 的各列
在 各 公共 因子 的含 义明 确 以后 ，进 一步 希望 知 道每 个样品
′ x (i ) = (xi1 , xi 2 , L , xip ) ， 在各 方面的能力或水平如何 ， 这就是所谓因子得分 。 在各方面的能力或水平如何 这就是所谓因子得分。 方面的能力或水平如何，
上的得分， 它们应满足方程： 用 Fij 表示第 i 个样品 x( i ) 在 公共因子 F j 上的得分 ， 它们应满足方程 ：
−1
对于 n 个 p 维样品 x( i ) = xi1
(
xi 2 L xip ) ， i = 1, 2,L , n ， 记
x11 x21 样品矩阵 X = L x n1
x12 L x1 p x22 L x2 p ， L L L xn 2 L xnp F12 L F1m F22 L F2 m L L L Fn 2 L Fnm
因子分析模型
p) 因子分析与主成分分析不同的是它试图将 p 个可观测变量 ( 1 2 通过数量较 来加以解释。从形式上看， 少的 m 个潜在且不可观测的公共因子 ( F1 , F2 ,L , Fm ) 来加以解释。从形式上看，它也是多元