广东省普宁市2020-2021 学年度第一学期期末质量测试高一数学试题 答案
2023-2024学年广东省高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省高一（上）期末数学试卷一、单选题1．已知集合A ＝{x |x ＞﹣1}，B ＝{x |x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，3）B ．（﹣∞，3）C ．（﹣1，+∞）D ．φ2．函数y ＝2x ﹣4的零点为（ ） A ．0B ．﹣4C ．2D ．（2，0）3．函数f(x)=√2x −3+1x−3的定义域为（ ） A ．[32，+∞)B ．（﹣∞，3）∪（3，+∞）C ．[32，3)∪(3，+∞)D ．(32，3)∪(3，+∞)4．若函数f （x ）＝x 2﹣x +m （2x +1）在（1，+∞）上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[12，+∞)B ．(−∞，12]C ．[−12，+∞)D ．(−∞，−12]5．已知sin(θ−π6)=13，则sin(2θ+π6)的值为（ ）A ．−79B ．79C ．−89D ．136．已知函数f(x)=cos(2x −3π4)，先将f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π4个单位长度，得到g （x ）的图象，则g （x ）的解析式为（ ）A ．g （x ）＝sin xB ．g （x ）＝﹣sin xC ．g （x ）＝﹣cos xD ．g(x)=cos(4x +π4)7．函数f （x ）＝﹣10x 3ln |x |的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．关于x 的方程x 2﹣ax +b ﹣1＝0有两个相等的正根，则3a+2b a+b（ ）A ．有最大值115B ．有最大值52C ．有最小值115D ．有最小值52二、多选题9．下列函数中为奇函数的是（ ） A ．f （x ）＝|x | B ．f(x)=x +1xC ．f （x ）＝x 3+2xD ．f （x ）＝x 2+x +110．2x 2﹣5x ﹣3＜0的必要不充分条件可以是（ ） A ．−12＜x ＜3B ．﹣1＜x ＜4C ．0＜x ＜2D ．﹣2＜x ＜311．已知函数f(x)=Acos(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图像如图所示，将f （x ）的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数g （x ）的图像，则（ ）A ．f(x)=2cos(2x −π3)B ．g(x)=2cos(2x −π12)+1 C ．g （x ）的图像关于点(π6，0)对称D ．g （x ）在[−π12+kπ，5π12+kπ](k ∈Z)上单调递减 12．已知α，β是锐角，cosα=√55，cos(α−β)=3√1010，则cos β＝（ ） A ．√22B ．7√210C ．√210D ．−√22三、填空题13．如果函数f （x ）=a⋅3x+4−a4(3x−1)是奇函数，则a ＝ ． 14．函数y =(13)1+2x−x 2的值域是 ．15．已知sin2θ＝a ，cos2θ＝b ，0＜θ＜π4，给出tan （θ+π4）值的五个答案：①b 1−a ；②a 1−b ；③1+b a；④1+a b；⑤a−b+1a+b−1．其中正确的是 ．（填序号）16．已知函数f （x ）＝a sin ωx ﹣cos ωx （a ＞0，ω＞0）的最大值为2，则a ＝ ，若函数f （x ）图象的一条对称轴为直线x =πm，m ∈N *，则当ω取最小整数时，函数f （x ）在（0，10）之间取得最大值的次数为 ． 四、大题17．（10分）求实数m 的取值范围，使关于x 的方程x 2﹣2x +m +1＝0有两个正根． 18．（12分）设函数f(x)=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)，其中0＜ω＜3，已知f(π6)=0．（1）求ω；（2）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）的单调递减区间．19．（12分）已知函数f （x ）＝4x ﹣2•2x +1+a ，其中x ∈[0，3]． （1）若f （x ）的最小值为1，求a 的值；（2）若存在x ∈[0，3]，使f （x ）≥33成立，求a 的取值范围．20．（12分）已知函数f(x)=sinωx(sinωx +cosωx)−12(ω＞0)的图象相邻对称轴之间的距离为2π．（1）当x ∈[﹣π，π]时，求f （x ）最大值与最小值及相应的x 的值； （2）是否存在锐角α，β，使a +2β=2π3，f(α+π2)⋅f(2β+3π2)=√38同时成立？若存在，求出角α，β的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f （x ）=√|x +1|+|x −3|−m 的定义域为R ． （Ⅰ）求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足23a+b +1a+2b=n 时，求7a +4b 的最小值．22．（12分）（1）已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＜0的解集是{x|x ＜−2或x ＞13}，求cx 2﹣bx +a ≥0的解集；（2）求关于x 的不等式ax 2﹣2x +a ＜0的解集．2023-2024学年广东省高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．已知集合A ＝{x |x ＞﹣1}，B ＝{x |x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，3）B ．（﹣∞，3）C ．（﹣1，+∞）D ．φ解：∵集合A ＝{x |x ＞﹣1}，B ＝{x |x ＜3}，∴A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜3}＝（﹣1，3）． 故选：A ．2．函数y ＝2x ﹣4的零点为（ ） A ．0B ．﹣4C ．2D ．（2，0）解：令y ＝2x ﹣4＝0，解得x ＝2． 故选：C ．3．函数f(x)=√2x −3+1x−3的定义域为（ ） A ．[32，+∞)B ．（﹣∞，3）∪（3，+∞）C ．[32，3)∪(3，+∞)D ．(32，3)∪(3，+∞)解：由题意得：{2x −3≥0x −3≠0，解得：x ≥32且x ≠3，故函数的定义域是[32，3）∪（3，+∞）．故选：C ．4．若函数f （x ）＝x 2﹣x +m （2x +1）在（1，+∞）上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[12，+∞)B ．(−∞，12]C ．[−12，+∞)D ．(−∞，−12]解：函数f(x)=x 2+(2m −1)x +m =(x +2m−12)2+m −(2m−1)24的单调增区间为(−2m−12，+∞)，∴−2m−12⩽1，∴m ⩾−12．故实数m 的取值范围为[−12，+∞)． 故选：C ．5．已知sin(θ−π6)=13，则sin(2θ+π6)的值为（ ）A ．−79B ．79C ．−89D ．13解：由sin(θ−π6)=13，得sin （π6−θ）=−13，∴sin(2θ+π6)=cos （π3−2θ）＝cos2（π6−θ）=1−2sin2(π6−θ)=1−2×(−13)2=79．故选：B．6．已知函数f(x)=cos(2x−3π4)，先将f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π4个单位长度，得到g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A．g（x）＝sin x B．g（x）＝﹣sin xC．g（x）＝﹣cos x D．g(x)=cos(4x+π4)解：先将f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cos(x−3π4)的图象，再向左平移π4个单位长度，则g(x)=cos(x−3π4+π4)=sinx．故选：A．7．函数f（x）＝﹣10x3ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．解：因为f（﹣x）＝10x3ln|x|＝﹣f（x），所以函数为奇函数，故排除A、D；当x→+0时，f（x）→0，故排除B，故选：C．8．关于x的方程x2﹣ax+b﹣1＝0有两个相等的正根，则3a+2ba+b（）A．有最大值115B．有最大值52C．有最小值115D．有最小值52解：因为关于x 的方程x 2﹣ax +b ﹣1＝0有两个相等的正根， 所以{a ＞0b −1＞0Δ=a 2−4(b −1)=0，故b ＝1+a 24，a ＞0， 则3a+2b a+b=2+a a+b =2+a 1+a+a24=2+11+1a +a 4≤1+2√a 4⋅1a2=52， 当且仅当a ＝b ＝2时取等号，所以3a+2ba+b 有最大值52． 故选：B ． 二、多选题9．下列函数中为奇函数的是（ ） A ．f （x ）＝|x | B ．f(x)=x +1xC ．f （x ）＝x 3+2xD ．f （x ）＝x 2+x +1解：对于A ，f （x ）＝|x |的定义域为R ，关于原点对称，而f （﹣x ）＝|﹣x |＝f （x ），为偶函数， 对于B ，f(x)=x +1x 的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，且f(−x)=−x −1x=−f(x)，为奇函数，对于C ，f （x ）＝x 3+2x 的定义域为R ，关于原点对称，且f （﹣x ）＝（﹣x ）3+2（﹣x ）＝﹣f （x ），为奇函数，对于D ，f （x ）＝x 2+x +1的定义域为R ，关于原点对称，而f （﹣x ）＝x 2﹣x +1≠﹣f （x ），不是奇函数， 故选：BC ．10．2x 2﹣5x ﹣3＜0的必要不充分条件可以是（ ） A ．−12＜x ＜3B ．﹣1＜x ＜4C ．0＜x ＜2D ．﹣2＜x ＜3解：2x 2−5x −3＜0⇔(2x +1)(x −3)＜0⇔−12＜x ＜3，即2x 2﹣5x ﹣3＜0的充要条件是−12＜x ＜3，其必要不充分条件必须满足，其集合的一个真子集是充要条件的集合， 观察选项发现{x|−12＜x ＜3}是{x |﹣2＜x ＜3}，{x |﹣1＜x ＜4}的真子集．故选：BD ．11．已知函数f(x)=Acos(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图像如图所示，将f （x ）的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数g （x ）的图像，则（ ）A ．f(x)=2cos(2x −π3)B ．g(x)=2cos(2x −π12)+1 C ．g （x ）的图像关于点(π6，0)对称D ．g （x ）在[−π12+kπ，5π12+kπ](k ∈Z)上单调递减 解：由图象可知函数f （x ）的最大值为2，最小值为﹣2，所以A ＝2，T 2=2π3−π6=π2，故T ＝π；又T =2πω⇒ω=2，又f(π6)=2⇒2cos(2×π6+φ)=2，所以π3+φ=2kπ(k ∈Z)，φ=2kπ−π3，(k ∈Z)；又|φ|＜π2，所以φ=−π3，所以f(x)=2cos(2x −π3)，故A 正确，将f （x ）的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得g(x)=2cos(2x +π6)+1，故B项错误． 由2x +π6=π2+kπ(k ∈Z)，x =π6+kπ2，(k ∈Z)；所以g （x ）的图像关于点(π6，1)对称，故C 错误． 由2kπ≤2x +π6≤2kπ+π，(k ∈Z)，即−π12+kπ≤x ≤5π12+kπ，(k ∈Z)； 故选项D 正确． 故选：AD ．12．已知α，β是锐角，cosα=√55，cos(α−β)=3√1010，则cos β＝（ ） A ．√22B ．7√210C ．√210D ．−√22解：由α是锐角，cosα=√55，则sinα=√1−cos 2α=2√55， 又α，β是锐角，则−β∈(−π2，0)，得α−β∈(−π2，π2)，又cos(α−β)=3√1010，则sin(α−β)=±√1010， 则cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cos αcos （α﹣β）+sin αsin （α﹣β）=√55×3√1010±2√55×√1010=3√2±2√210得cos β=√22或cos β=√210．故选：AC ． 三、填空题13．如果函数f （x ）=a⋅3x+4−a4(3x−1)是奇函数，则a ＝ 2 ． 解：函数f （x ）=a⋅3x +4−a4(3x−1)是奇函数，则f （﹣x ）+f （x ）＝0， 即有a⋅3−x +4−a4(3−x −1)+a⋅3x +4−a4(3x −1)=0，则a 2+13−x −1+13x −1=0，化简得到，a2+3x1−3x +13x −1=0，即a 2=1，故a ＝2．故答案为：214．函数y =(13)1+2x−x 2的值域是 [19，+∞） ．解：∵t ＝1+2x ﹣x 2＝﹣（x ﹣1）2+2≤2，且y =(13)t 为定义域内的减函数，∴y =(13)1+2x−x 2≥(13)2=19．即函数y =(13)1+2x−x 2的值域是[19，+∞）．故答案为：[19，+∞）．15．已知sin2θ＝a ，cos2θ＝b ，0＜θ＜π4，给出tan （θ+π4）值的五个答案：①b 1−a ；②a 1−b ；③1+b a ；④1+a b；⑤a−b+1a+b−1．其中正确的是 ①④⑤ ．（填序号）解：∵tan （θ+π4）=sinθ+cosθcosθ−sinθ=1+sin2θcos2θ=cos2θ1−sin2θ=b 1−a =1+ab，∴①④是正确的，将sin2θ＝a ，cos2θ＝b 代入⑤验证知，此代数式也是正确的答案． 故答案为：①④⑤．16．已知函数f （x ）＝a sin ωx ﹣cos ωx （a ＞0，ω＞0）的最大值为2，则a ＝ √3 ，若函数f （x ）图象的一条对称轴为直线x =πm，m ∈N *，则当ω取最小整数时，函数f （x ）在（0，10）之间取得最大值的次数为 3 ．解：由已知，函数f （x ）＝a sin ωx ﹣cos ωx =√a 2+1sin （ωx ﹣φ），其中tan φ=1a（a ＞0，ω＞0），由于f （x ）的最大值为2，所以√a 2+1=2，得a =√3（a =−√3舍去）； tanφ=13，取φ=π6，则f （x ）＝2sin （ωx −π6），由ωx −π6=kπ+π2（k ∈Z ），得ωm π=kπ+2π3（k ∈Z ），即ω=m(k +23)，k ∈Z ， 由于m ∈N *，则正数ω的最小整数值为2，从而f(x)=2sin(2x −π6)，当2x −π6=π2+2kπ，k ∈Z ，即x =π3+kπ，k ∈Z 时， 函数f （x ）取得最大值， 若k ＝0，则x =π3∈(0，10)， 若k ＝1，则x =4π3∈(0，10)， 若k ＝2，则x =7π3∈(0，10)， 若k ＝3，则x =10π3＞10， 从而有3次取得最大值． 故答案为：√3，3． 四、大题17．（10分）求实数m 的取值范围，使关于x 的方程x 2﹣2x +m +1＝0有两个正根． 解：设两个实根分别是x 1，x 2，则有两个正根的条件是：{Δ=4−4(m +1)≥0x 1+x 2=2＞0x 1x 2=m +1＞0解得﹣1＜m ≤0．18．（12分）设函数f(x)=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)，其中0＜ω＜3，已知f(π6)=0．（1）求ω；（2）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）的单调递减区间．解：（1）由f(x)=sin(ωx −π6)+sin(ωx −π2)得：f(x)=√32sinωx −12cosωx −cosωx =√32sinωx −32cosωx =√3(12sinωx −√32cosωx)=√3sin(ωx −π3)．由f(π6)=0知(sin π6ω−π3)=0，则ωπ6−π3=kπ，k ∈Z ，故ω＝6k +2，k ∈Z ， 又0＜ω＜3，所以ω＝2．（2）由（1）知f(x)=√3sin(2x−π3)，将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得y=√3sin（x−π3）的图象；再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y＝g（x）=√3sin（x−π12）的图象．由π2+2kπ≤x−π12≤3π2+2kπ，k∈Z解得7π12+2kπ≤x≤19π12+2kπ，k∈Z，所以g（x）的单调递减区间为[7π12+2kπ，19π12+2kπ]（k∈Z）．19．（12分）已知函数f（x）＝4x﹣2•2x+1+a，其中x∈[0，3]．（1）若f（x）的最小值为1，求a的值；（2）若存在x∈[0，3]，使f（x）≥33成立，求a的取值范围．解：（1）因为f（x）＝4x﹣2•2x+1+a，其中x∈[0，3]，令t＝2x，则t∈[1，8]，原式化为g（t）＝t2﹣4t+a＝（t﹣2）2+a﹣4，当t＝2时，g（t）min＝a﹣4＝1，解得a＝5；（2）若存在x∈[0，3]，使f（x）≥33成立，即f（x）max≥33，由（1）可知g（t）＝（t﹣2）2+a﹣4，t∈[1，8]，即g（t）max≥33，当t＝8时，g（t）max＝a+32≥33，解得a≥1，即a∈[1，+∞）．20．（12分）已知函数f(x)=sinωx(sinωx+cosωx)−12(ω＞0)的图象相邻对称轴之间的距离为2π．（1）当x∈[﹣π，π]时，求f（x）最大值与最小值及相应的x的值；（2）是否存在锐角α，β，使a+2β=2π3，f(α+π2)⋅f(2β+3π2)=√38同时成立？若存在，求出角α，β的值；若不存在，请说明理由．解：（1）因为f(x)=sin2ωx+sinωxcosωx−12=1−cos2ωx2+12sin2ωx−12=12sin2ωx−12cos2ωx=√22sin(2ωx−π4)，∵f（x）图象相邻对称轴之间的距离为2π，∴T=4π=2π2ω，ω=14，f(x)=√22sin(12x−π4)，∵﹣π≤x≤π，∴−3π4≤12x−π4≤π4，∴−1≤sin(12x−π4)≤√22，∴f(x)min=−√22，此时12x−π4=−π2，x=−π2，f(x)max=12，此时12x−π4=π4，x＝π；（2）存在，理由如下：∵f(α+π2)=√22sinα2，f(2β+3π2)=√22sin(β+π2)=√22cosβ，∴f(α+π2)⋅f(2β+3π2)=12sinα2cosβ=√38，∴sin α2cosβ=√34，又∵α+2β=2π3，α=2π3−2β，∴sinα2cosβ=sin(π3−β)cosβ=√34，∴(√32cosβ−12sinβ)cosβ=√34，∴√32cos2β−12sinβcosβ=√34，∴√32×1+cos2β2−14sin2β=√34，即√3cos2β−sin2β=0，∴tan2β=√3，又∵β为锐角，0＜2β＜π，∴2β=π3，β=π6，从而α=2π3−2β=π3．21．（12分）已知函数f（x）=√|x+1|+|x−3|−m的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足23a+b +1a+2b=n时，求7a+4b的最小值．解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）＝|x+1|+|x﹣3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|＝4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n＝4，∴7a+4b=14(6a+2b+a+2b)(23a+b+1a+2b)=14(5+2(3a+b)a+2b+2(a+2b)3a+b)≥14(5+2×2√3a+ba+2b⋅a+2b3a+b)=94，当且仅当a+2b＝3a+b，即b＝2a=310时取等号．∴7a+4b的最小值为9 4．22．（12分）（1）已知关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是{x|x＜−2或x＞13}，求cx2﹣bx+a≥0的解集；（2）求关于x的不等式ax2﹣2x+a＜0的解集．解：（1）由题意知{−2+13=−ba−2×13=caa＜0，则有{b=53ac=−23aa＜0，代入不等式cx2﹣bx+a≥0，得−23ax2−53ax+a≥0(a＜0)，即﹣2x2﹣5x+3≤0，解得x≤﹣3或x≥1 2，所以所求不等式的解集为{x|x≤−3或x≥12 }；（2）①当a＝0时，不等式为﹣2x＜0，解得x＞0，则此时解集为（0，+∞），②当a＞0时，令ax2﹣2x+a＝0，Δ＝4﹣4a2，（i）若Δ＝4﹣4a2≤0，即a≥1时，此时不等式解集为∅，（ii）若Δ＝4﹣4a2＞0，即0＜a＜1时，ax2﹣2x+a＜0，解得1−√1−a2a＜x＜1+√1−a2a，则此时不等式解集为(1−√1−a2a＜x＜1+√1−a2a)，③当a＜0时，（i）若Δ＝4﹣4a2＜0，即a＜﹣1时，此时不等式解集为R，（ii）若Δ＝4﹣4a2＝0，即a＝﹣1时，此时不等式为﹣x2﹣2x﹣1＜0，解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），（iii）若Δ＝4﹣4a2＞0，即﹣1＜a＜0时，则不等式解集为(−∞，1+√1−a2a)∪(1−√1−a2a，+∞)．综上所述，当a＜﹣1时，不等式解集为R；当﹣1≤a＜0时，则不等式解集为(−∞，1+√1−a2a)∪(1−√1−a2a，+∞)；当a＝0时，则不等式解集为（0，+∞）；当0＜a＜1时，则不等式解集为(1−√1−a2a＜x＜1+√1−a2a)；当a≥1时，此时不等式解集为∅．。
广东省普宁市2020-2021学年高一上学期期中质量测评数学试题 Word版含答案
普宁市2020-2021学年度第一学期期中高中一年级质量测试数学科试题本识题共4页，满分150分，考试时间120分钟说明：1.答题前，专生身必用黑色宇迷的签字笔将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上，并在“考场号”､“座位号”栏内填涂考场号､座位号.2.选择题每小题选由答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试题卷上.3.非选择题必须用黑色宇迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡整洁，考试结束后，将答题卡交回，试题卷自己保存.一､单项选择题(8小题，每小题5分，共40分；在每小题提供的4个选项中，只有一项符合题目要求)1.若集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N ⋂等于（ ）A.{0,1}B.{1,0,1}-C.{0,1,2}D.{1,0,1,2}- 2.命题"2,210x R x x ∀∈-+≥"的否定是（ ）A.2,210x R x x ∃∈-+≤B.2,210x R x x ∃∈-+≥C.2,210x R x x ∃∈-+<D.2,210x R x x ∀∈-+< 3.设()f x 是定义在R 上的函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-，则(1)f =（ ）A.3-B.1-C.1D.3 4.设,a b R ∈，则"2()0a b a -⋅<"是"a b <"的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若命题2:,20p x R x x m ∀∈-+≠是真命题，则实数m 的取值范围是（ ）A.1m ≥B.1m >C.1m <D.1m ≤ 6.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）A.1y x =+B.2y x =-C.1y x =D.||y x x = 7.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是（ ）A. B.C. D.8.当函数2,1()66,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，取得最小值时，x =（ ）B.6D.6 二､不定项选择题(4小题，每小题5分，共20分；在每小题提供的4个选项中，有不少于一项符合题目要求)9.已集合{2M x R x a π=∈≤+=∣有下列四个式子，其中正确的是（ ） A.a M ∈B.{}a M ⊆C.a M ⊆D.{}a M ∈10.下列函数中，满足(2)2()f x f x =的是（ ）A.()|2|f x x =B.()f x x =C.()f x =D.()||f x x x =-11.已知幂函数()f x k x α=⋅，下列说法正确的有（ ）A.1k =B.如果()f x 是偶函数，则α一定是偶数C.()f x 的图像恒经过定点(0,0)和(1,1)D.()f x 的图像与x 轴正半轴没有交点12.已知2()f x ax bx c =++，不等式()0f x >的解集是{13}xx <<∣，下列说法正确的是（ ） A.0a >B.0a b c ++=C.关于x 的不等式20cx bx a ++>的解集是113xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣D.如果()0f m >，则(2)0f m +< 二､填空题(4小题，每小题5分，共20分：第16题第一空2分，第二空3分)13.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为__________.14.函数y x=的定义域为__________. 15.已知12,24a b a b ≤-≤≤+≤，则42a b -的取值范围是__________.16.设函数221(1)()2(1)x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩，则1(2)f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦__________：如果()1f a =，则a __________. 三､解答题(6道大题，共70分)17.(本小题满分10分)设()f x 为定义在R 上的偶函数，当01x ≤≤时，3y x =；当1x >时，24y x x =-+，直线3y x =与抛物线24y x x =-+的一个交点为A ，如图所示.（1）当0x >时，写出()f x 的递增区间(不需要证明)；（2）补全()f x 的图像，并根据图像写出不等式()0f x <的解集，18.(本小题满分12分)已知集合2(4,21,},{5,1,9}A m m B m m =--=--，若{}9A B ⋂=，求实数m 的值.19.(本小题满分12分)（1）已知2x <，求142x x +-的最大值： （2）已知x ，y 均为正实数，若45x y xy ++=，求xy 的最大值.20.(本小题满分12分)已知函数2()1ax b f x x +=+，()f x 为R 上的奇函数且1(1)2f = （1）求,a b ； （2）判断()f x 在[1,)∞+上单调性，并证明.21.(本小题满分12分)已知a R ∈，奇函数()f x 与偶函数()g x 的定义域均为(,0)(0,)∞∞-⋃+，且满足()()2a f x g x x x-=+-. （1）分别求()f x 和()g x 的解析式：（2）若对任意[1,),()()0x f x g x ∞∈++>恒成立，试求实数a 的取值范围.22.(本小题满分12分)为迎接2020年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p 万件与促销费用x 万元满足：231p x =-+(其中0x a ≤≤，a 为正常数)，已知生产该产品还需投入成本(102)p +万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为204p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求（1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数：（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值.2020-2021学年度第一学期期中高中一年级质量测试数学科试卷参考答案一､选择题三､填空题13.12 14.{10}xx x ≥-≠∣且 15.54210a b ≤-≤16.1516；0或12四､解答题17.解：（1）由图象观察可知()f x 的单调增区间为(0,2]（2）函数()f x 图象如图所示：()0f x <的解集为(,4)(4,)∞∞--⋃+18.解：因为{9}A B ⋂=，故9A ∈且9B ∈，所以219m -=，或者29m =解得5m =，或者3=±当5m =时，{4,9,25},{0,4,9},{4,9}A B A B =-=-⋂=-，不合题意； 当3m =时，{2,2,9}B =--，与集合元素的互异性矛盾；当3m =-时，{4,7,9},{8,4,9},{9}A B A B =--=-⋂=，符合题意； 综上所述，3m =-19.解：（1）已知2x <，20x ∴-<1144(2)822x x x x ∴+--++-- 14(2)42x x ∴-->- 当且14(2)2x x --=--∣，即32x =时等号成立 14(2)42x x ∴-+≤- 1144(2)8422x x x x ∴+=-++≤-- 142x x ∴+-的最大值为4 （2）解：45x y xy ++=54xy x y ∴-=+≥=当且仅当4x y =，45x y xy ++= 即12,2x y ==时，等号成立.50xy ∴+≤xy ∴的最大值为120.解：（1）()f x 为R 上的奇函数(0)0f ∴=，得0b = 又1(1),122a b f a +==∴=2()1x f x x ∴=+ （2）()f x 在[1,)∞+上为减函数证明如下：在[1,)∞+上任取1x 和2x ，且12x x <()()()()()()221221212122222112111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++ ()()()()()()22121222121222121211111x x x x x x x x x x x x x x ---+-==++++ 2122121,10,0x x x x x x >≥->-<()()210f x f x ∴-<，即()()21f x f x ≤∣()f x ∴)在[1,)∞+上为减函数21.解：（1）油已知条件()()2a f x g x x x-=+-——① ①式中以x -代替x ，得()()2a f x g x x x ---=---——① 因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，故()(),()()f x f x g x g x -=--=①可化为()()2a f x g x x r --=---——① ①-①，得22()2a f x x x =+故(),()2,(,0)(0,)a f x x g x x x∞∞=+=∈-⋃+ （2）由（1）知，()()2,[1,)a f x g x x x x∞+=++∈+ 当0a ≥时，函数()()f x g x +的值恒为正；当0a <时，函数()()2a f x g x x x+=++在[1,)∞+上为增函数 故当1x =时，()f x 有最小值3a +故只需30a +>，解得30a -<<.综上所述，实数a 的取值范围是(3,)∞-+法二：由（1）知，()()2a f x g x x x+=++ 当[1,)x ∞∈+时，()()0f x g x +>恒成立，等价于()22a x x >-+ 而二次函数()222(1)1y x x x =-+=-++在[1,)∞+上单调递减 1x =时，max 3y =-故3a >-22.解：（1）由题意知204(102)y p x p p ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭将231p x =-+代入化简得416(0)1y x x a x =--≤≤+（2）当]a ≥时，417117131y x x ⎛⎫=-++≤-=⎪+⎝⎭ 当且仅当411x x =++，即1x =时，上式取等号 所以当1a ≥时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大为13万元. 当01a <<时，4161y x x =--+在(0,1)上单调递增。
广东省2020-2021学年高一数学上册期末模拟试卷汇编(含答案)
'x 'y 'A 'O'B广东省高一数学上册期末模拟试卷（含答案）一、选择题（单选题，每小题5分，共60分，请将答案填在答题卷上） 1．设集合12345{,,,,}U =，123{,,}A =，234{,,}B =，则()U C A B ⋂=（ ）A ．145{,,}B ．23{,}C ．45{,}D ．15{,}2．下列各式正确的是（ ）A ．3334<B . 6log 4log 5.05.0<C . 33) 21() 21 (>-D .4.1lg 6.1lg <3．在空间直角坐标系中，点(2,1,5)-关于x 轴的对称点的坐标为（ ） A ．(2,1,5)-- B ．(2,1,5)--- C ．(2,1,5)- D ．(2,1,5)-4．如图所示的直观图中，''''2O A O B ==，则其平面图形的面积是（ ） Ａ ４ Ｂ 42 Ｃ 22 Ｄ ８5．圆0144:0882:222221=---+=-+++y x y x C y x y x C 与圆的位置关系是（ ） A 外离B 外切C 相交D 内含6．如图，正方体111ABCD AB C D -中，异面直线11BD 与A D 所成角等于（ ） A ．030 B ．045 C ．060 D ．0907．下列命题中正确的是（ ）A ．过三点确定一个平面B ．四边形是平面图形C ．三条直线两两相交则确定一个平面D ．两个相交平面把空间分成四个区域8．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则与故事情节相吻合是（ ）9.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A.①②B.②④C.①③D.①④10．若偶函数)(x f 在[)1,+∞上是减函数，则下列关系式中成立的是（ ）A ．)1()23()2(-<-<f f fB ． )2()1()23(f f f <-<-C ．)23()1()2(-<-<f f fD ．)2()23()1(f f f <-<-11．由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为（ ）A 17B 32C 19D 512．直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于（ ） A ．20πB ．10πC ．5πD ．55π二、填空题（每小题5分，共20分，请将答案填在答题卷上）13．已知函数22233x x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩()()()ln () 2 ，则))2((-f f = ．14．函数()f x 是3x y =的反函数，则函数()1f =_____ ___．15．两条直线022=++y x 与024=-+y ax 互相垂直，则a = .16．如图，在正方形1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于E ，交1CC 于F ，① 四边形1BFD E 一定是平行四边形 ② 四边形1BFD E 有可能是正方形③ 四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形1BFD E 有可能垂直于平面1BB D以上结论正确的为 ．（写出所有正确结论的编号）三、解答题（本大题共6小题，共70分，请将答案填在答题卷上）17．（本小题满分10分）已知集合A 是函数()()12log 1f x x =-的定义域，集合B 是函数()[]2,1,2x g x x =∈-的值域． （1）求集合A ； （2）求集合B ．EPDCBA18．（本小题满分12分）已知直线l 经过两条直线0243:1=-+y x l 与022:2=++y x l 的交点P ，且垂直于直线012:3=--y x l ． （1）求直线l 的方程；（2）求直线l 与两坐标轴围成三角形的面积．19．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD 中，AD ⊥平面,2,ABE AE EB BC ===F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ，BD （1）求证：AE ⊥平面BCE ； （2）求三棱锥E ADC -的体积．20．（本小题满分12分）如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==,点E 在棱PC 上。
2020-2021学年高一上数学期末考试试卷及答案解析
2020-2021学年高一上数学期末考试试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．幂函数f (x )＝x a 的图象经过点(2,4)，则f ⎝⎛⎭⎫－12等于( ) A.12 B.14 C ．－14D ．2 2．计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.323．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |x ≥0}，则A ∩B 等于( ) A ．(－1,3) B ．[0,3) C ．(－1,0] D ．(－1,2] 4．函数f (x )＝x (x －1)－ln x 的定义域为( ) A ．{x |x >0} B ．{x |x ≥1} C ．{x |x ≥1或x <0}D ．{x |0<x ≤1}5．命题“∀x ∈R ，sin x ＋1≥0”的否定是( ) A ．∃x ∈R ，sin x ＋1<0 B ．∀x ∈R ，sin x ＋1<0 C ．∃x ∈R ，sin x ＋1≥0 D ．∀x ∈R ，sin x ＋1≤06．已知sin α＝35，π2<α<3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫5π2－α等于( ) A ．－45 B.45 C ．－35 D.357．已知a ，b ∈R ，条件甲：a >b >0；条件乙：1a <1b ，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x <0，22x －1，x ≥0，则f (－3)＋f (log 23)等于( )A.112B.132C.152 D ．109．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0≤φ≤2π)的部分图象如图所示，则f (x )满足( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6 B ．f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6 C ．f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋56π D ．f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π610．已知x ∈(0，π)，则f (x )＝cos 2x ＋2sin x 的值域为( ) A.⎝⎛⎦⎤－1，12 B.⎣⎡⎦⎤1，32 C.⎝⎛⎭⎫22，2D ．(0,22)11．内接于半径为R 的圆的矩形的周长的最大值为( ) A ．22R B ．2R C ．42R D ．4R12．已知f (x )＝log a |x ＋b |是偶函数，则f (b －2)与f (a ＋1)的大小关系为( ) A ．f (b －2)＝f (a ＋1) B ．f (b －2)>f (a ＋1) C ．f (b －2)<f (a ＋1)D ．不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，则f (3)的值是________． 14．e ln 2＋138＋lg 20－lg 2＝________.15．已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )，若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝________.16．函数f (x )＝sin 2x －3(cos 2x －sin 2x )的图象为C ，如下结论正确的有________． ①f (x )的最小正周期为π；②对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋f ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝0；③f (x )在⎝⎛⎭⎫－π12，5π12上是增函数；④由y ＝2sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x>1}．(1)分别求A∩B，(∁R B)∪A；(2)已知集合C＝{x|1<x<a}，若C⊆A，求实数a的取值集合．18．(12分)已知函数f(x)＝sin2x＋3sin x cos x，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期与对称中心；(2)求函数f(x)的单调递增区间．19．(12分)已知函数f(x)＝log3(3x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k 的值；(2)若不等式f (x )－12x －a ≥0对x ∈(－∞，0]恒成立，求实数a 的取值范围．20．(12分)已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3.(1)若f (x )≤－3的解集为[b,3]，求实数a ，b 的值；(2)当x ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞时，若关于x 的不等式f (x )≥1－x 2恒成立，求实数a 的取值范围．21．(12分)为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2018年在其扶贫基地投入100万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长10%.(1)写出第x年(2019年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式，并指出函数的定义域；(2)该企业从第几年开始(2019年为第一年)，每年投入的资金数将超过200万元？(参考数据lg 0.11≈－0.959，lg 1.1≈0.041，lg 11≈1.041，lg 2≈0.301)22．(12分)已知函数f(x)＝2sin ωx·(cos ωx＋3sin ωx)－3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0,5π]上零点的和．2020-2021学年高一上数学期末考试试卷答案解析(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．幂函数f (x )＝x a 的图象经过点(2,4)，则f ⎝⎛⎭⎫－12等于( ) A.12 B.14 C ．－14 D ．2 答案 B解析 幂函数f (x )＝x a 的图象经过点(2,4)， 则2a ＝4，解得a ＝2， ∴f (x )＝x 2，∴f ⎝⎛⎭⎫－12＝⎝⎛⎭⎫－122＝14. 2．计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.32 答案 B解析 由余弦的二倍角公式得 1－2sin 222.5°＝cos 45°＝22. 3．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |x ≥0}，则A ∩B 等于( ) A ．(－1,3) B ．[0,3) C ．(－1,0] D ．(－1,2] 答案 B解析 因为A ＝{x |x 2－2x －3<0}＝(－1,3)， 所以A ∩B ＝[0,3)．4．函数f (x )＝x (x －1)－ln x 的定义域为( ) A ．{x |x >0} B ．{x |x ≥1} C ．{x |x ≥1或x <0} D ．{x |0<x ≤1}答案 B解析 因为f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)≥0，x >0，解得x ≥1，所以f (x )的定义域为{x |x ≥1}．5．命题“∀x ∈R ，sin x ＋1≥0”的否定是( ) A ．∃x ∈R ，sin x ＋1<0 B ．∀x ∈R ，sin x ＋1<0C ．∃x ∈R ，sin x ＋1≥0D ．∀x ∈R ，sin x ＋1≤0 答案 A解析 全称量词命题的否定是把全称量词改为存在量词，并否定结论，则原命题的否定为“∃x ∈R ，sin x ＋1<0”．6．已知sin α＝35，π2<α<3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫5π2－α等于( ) A ．－45 B.45 C ．－35 D.35答案 A解析 sin α＝35，π2<α<3π2，∴π2<α<π，则sin ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α＝－1－sin 2α＝－45. 7．已知a ，b ∈R ，条件甲：a >b >0；条件乙：1a <1b ，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 条件乙：1a <1b ，即为1a －1b <0⇔b －a ab<0，若条件甲：a >b >0成立则条件乙一定成立；反之，当条件乙成立，则b >0>a 也可以，但是此时不满足条件甲：a >b >0， 所以甲是乙成立的充分不必要条件．8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x <0，22x －1，x ≥0，则f (－3)＋f (log 23)等于( )A.112B.132C.152 D ．10 答案 B解析 根据题意，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x <0，22x －1，x ≥0，f (－3)＝log 24＝2，f (log 23)＝22log 312－＝92， 则f (－3)＋f (log 23)＝2＋92＝132.9．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0≤φ≤2π)的部分图象如图所示，则f (x )满足( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6 B ．f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6 C ．f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋56π D ．f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6 答案 D解析 由函数的图象可得A ＝5， 周期T ＝2πω＝11－(－1)＝12，∴ω＝π6.再由五点法作图可得π6×(－1)＋φ＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，∵0≤φ≤2π，∴φ＝π6，故函数f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6.10．已知x ∈(0，π)，则f (x )＝cos 2x ＋2sin x 的值域为( ) A.⎝⎛⎦⎤－1，12 B.⎣⎡⎦⎤1，32 C.⎝⎛⎭⎫22，2D ．(0,22)答案 B解析 因为x ∈(0，π)，所以sin x ∈(0,1]， 由f (x )＝cos 2x ＋2sin x ，得f (x )＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32， 所以f (x )∈⎣⎡⎦⎤1，32. 11．内接于半径为R 的圆的矩形的周长的最大值为( ) A ．22R B ．2R C ．42R D ．4R 答案 C解析 设矩形对角线与某一边的夹角为θ，由题意可得矩形的边长分别为：2R cos θ，2R sin θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π2， 则矩形的周长为l ＝2×(2R cos θ＋2R sin θ)＝42R sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， 结合三角函数的性质可知， 当sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1，即θ＝π4， 即矩形为正方形时， 周长取得最大值：l max ＝42R .12．已知f (x )＝log a |x ＋b |是偶函数，则f (b －2)与f (a ＋1)的大小关系为( ) A ．f (b －2)＝f (a ＋1) B ．f (b －2)>f (a ＋1) C ．f (b －2)<f (a ＋1) D ．不能确定答案 C解析 ∵函数f (x )是偶函数，∴b ＝0， 此时f (x )＝log a |x |.当a >1时，函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上是增函数， ∴f (a ＋1)>f (2)＝f (b －2)；当0<a <1时，函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上是减函数， ∴f (a ＋1)>f (2)＝f (b －2)． 综上可知f (b －2)<f (a ＋1)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，则f (3)的值是________． 答案 －8解析 因为f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＝8， 又函数f (x )是奇函数， 所以f (3)＝－f (－3)＝－8.14．e ln 2＋138＋lg 20－lg 2＝________. 答案 5解析 根据指数和对数的运算公式得到： 原式＝2＋2＋lg 10＝5.15．已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )，若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝________. 答案 0解析 由f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，可得f (－x )＝－f (x )，f (1－x )＝f (1＋x )即有f (x ＋2)＝f (－x )，即f (x ＋2)＝－f (x )，进而得到f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )为周期为4的函数，若f (1)＝2，可得f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，f (2)＝f (0)＝0，f (4)＝f (0)＝0，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0－2＋0＝0，可得f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝504×0＋2＋0－2＝0.16．函数f (x )＝sin 2x －3(cos 2x －sin 2x )的图象为C ，如下结论正确的有________．①f (x )的最小正周期为π；②对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋f ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝0；③f (x )在⎝⎛⎭⎫－π12，5π12上是增函数；④由y ＝2sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C . 答案 ①②③解析 f (x )＝sin 2x －3(cos 2x －sin 2x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ①f (x )的最小正周期为2π2＝π，故①正确； ②f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝2sin 0＝0， 即函数关于⎝⎛⎭⎫π6，0对称，即对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋f ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝0成立，故②正确； ③x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，5π12时，2x ∈⎝⎛⎭⎫－π6，5π6，2x －π3∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，此时函数为增函数，即f (x )在⎝⎛⎭⎫－π12，5π12上是增函数，故③正确； ④由y ＝2sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，故④错误，故正确的是①②③.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x >1}．(1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值集合．解 (1)因为3≤3x ≤27，即31≤3x ≤33，所以1≤x ≤3，所以A ＝{x |1≤x ≤3}，因为log 2x >1，即log 2x >log 22，所以x >2，所以B ＝{x |x >2}，所以A ∩B ＝{x |2<x ≤3}．∁R B ＝{x |x ≤2}，所以(∁R B )∪A ＝{x |x ≤3}．(2)由(1)知A ＝{x |1≤x ≤3}，若C ⊆A ，则①当C 为空集时，a ≤1.②当C 为非空集合时，可得1<a ≤3.综上所述，a 的取值集合为{a |a ≤3}．18．(12分)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期与对称中心；(2)求函数f (x )的单调递增区间．解 (1)函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x＝1－cos 2x 2＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 所以函数的最小正周期为2π2＝π， 令2x －π6＝k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )， 所以函数的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π12，12(k ∈Z )．(2)由于f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )， 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π(k ∈Z )， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z )． 19．(12分)已知函数f (x )＝log 3(3x ＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数．(1)求k 的值；(2)若不等式f (x )－12x －a ≥0对x ∈(－∞，0]恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)因为y ＝f (x )为偶函数，且定义域为R ，所以∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )，即log 3(3－x ＋1)－kx ＝log 3(3x ＋1)＋kx 对∀x ∈R 恒成立．于是2kx ＝log 3(3－x ＋1)－log 3(3x ＋1)＝log 33－x ＋13x ＋1＝log 33－x ＝－x 恒成立， 而x 不恒为零，所以k ＝－12. (2)因为不等式f (x )－12x －a ≥0在区间(－∞，0]上恒成立， 即a ≤log 3(3x ＋1)－x 在区间(－∞，0]上恒成立，令g (x )＝log 3(3x ＋1)－x ＝log 3⎝⎛⎭⎫1＋13x ，x ∈(－∞，0]， 因为1＋13x ≥2， 所以g (x )＝log 3⎝⎛⎭⎫1＋13x ≥log 32，所以a ≤log 32， 所以a 的取值范围是(－∞，log 32]．20．(12分)已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3.(1)若f (x )≤－3的解集为[b,3]，求实数a ，b 的值；(2)当x ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞时，若关于x 的不等式f (x )≥1－x 2恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)因为f (x )≤－3即x 2－ax ＋6≤0的解集为[b,3]，所以b ,3是一元二次方程x 2－ax ＋6＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋3＝a ，3b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝2. (2)当x ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞时，若关于x 的不等式f (x )≥1－x 2恒成立，即a ≤2x ＋2x在x ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞时恒成立， 令g (x )＝2x ＋2x ，x ≥12，则a ≤g (x )min ， ∵2x ＋2x ≥22x ·2x＝4， 当且仅当x ＝1时取等号．故a ≤4.21．(12分)为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2018年在其扶贫基地投入100万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长10%.(1)写出第x 年(2019年为第一年)该企业投入的资金数y (万元)与x 的函数关系式，并指出函数的定义域；(2)该企业从第几年开始(2019年为第一年)，每年投入的资金数将超过200万元？(参考数据lg 0.11≈－0.959，lg 1.1≈0.041，lg 11≈1.041，lg 2≈0.301)解 (1)第一年投入的资金数为100(1＋10%)万元，第二年投入的资金数为100(1＋10%)＋100(1＋10%)10%＝100(1＋10%)2万元，第x 年(2019年为第一年)该企业投入的资金数y (万元)与x 的函数关系式y ＝100(1＋10%)x 万元， 其定义域为{x ∈N *|x ≤10}．(2)由100(1＋10%)x >200，可得1.1x >2，即x >lg 2lg 1.1≈0.3010.041≈7.3， 即企业从第8年开始(2019年为第一年)，每年投入的资金数将超过200万元．22．(12分)已知函数f (x )＝2sin ωx ·(cos ωx ＋3sin ωx )－3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0,5π]上零点的和．解 (1)∵函数f (x )＝2sin ωx (cos ωx ＋3sin ωx )－3＝sin 2ωx ＋23·1－cos 2ωx 2－ 3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3(ω>0)的最小正周期为2π2ω＝π， ∴ω＝1，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 求得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ， 可得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度， 可得y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π3＝2sin 2x 的图象； 再向上平移2个单位长度，得到函数g (x )＝2sin 2x ＋2的图象．令g (x )＝0，求得sin 2x ＝－1，即2x ＝2k π－π2，k ∈Z ， 即x ＝k π－π4，k ∈Z . 函数g (x )在区间[0,5π]上零点的和为3π4＋7π4＋11π4＋15π4＋19π4＝55π4.。
2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案
2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案1.集合A和B分别表示y=x+1和y=2两个函数的图像上所有的点，求A和B的交集。
答案：A={(-∞,1]}。
B={2}。
A∩B=A={(-∞,1]}2.已知函数y=(1-x)/(2x^2-3x-2)，求函数的定义域。
答案：分母2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)，所以函数的定义域为x∈(-∞,-1/2]∪(2,∞)。
3.如果直线mx+y-1=0与直线x-2y+3=0平行，求m的值。
答案：两条直线平行，说明它们的斜率相等，即m=2.4.如果直线ax+by+c=0经过第一、第二，第四象限，求a、b、c应满足的条件。
答案：第一象限中x>0.y>0，所以ax+by+c>0；第二象限中x0，所以ax+by+c0.y<0，所以ax+by+c<0.综上所述，应满足ab<0.bc<0.5.已知两条不同的直线m和n，两个不同的平面α和β，判断下列命题中正确的是哪个。
答案：选项A是正确的。
因为如果m与α垂直，n与β平行，那么m和n的夹角就是α和β的夹角，所以m和n垂直。
6.已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面半径。
答案：设底面半径为r，侧面的母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl。
根据题意，πrl=6π，所以l=6/r。
而侧面展开图是一个半圆，所以底面周长为2πr，即底面直径为2r，所以侧面母线长l=πr。
将上述两个式子代入公式S=πr^2+πrl中，得到r=2.7.已知两条平行线答案：两条平行线的距离等于它们的任意一点到另一条直线的距离。
我们可以先求出l2上的一点，比如(0,7/8)，然后带入l1的方程，得到距离为3/5.8.已知函数y=ax-1/(3x^2+5)，如果它的图像经过定点P，求点P的坐标。
答案：点P的坐标为(1,2)。
因为当x=1时，y=a-1/8，所以a=17/8.又因为当x=2时，y=1/13，所以17/8×2-1/13=2，解得a=17/8，所以y=17x/8-1/(3x^2+5)，当x=1时，y=2.9.已知a=3/5，b=1/3，c=4/3，求a、b、c的大小关系。
2023-2024学年广东省高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年广东省高一上册期末数学试题一、单选题1．已知角2022,Z 180k k α-⋅∈= ，则符合条件的最大负角为（）A ．–42B ．–220C ．–202D ．–158【正确答案】A【分析】直接代入k 的值即可求解.【详解】依题意，2022,Z 180k k α-⋅∈= ，取11k =时，有最大负角01118420222α-=⋅=- .故选：A.2．若函数243x y a +=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则3πsin 2θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．B ．CD 【正确答案】C【分析】求出点A 的坐标，利用三角函数的定义以及诱导公式可求得3πsin 2θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】当240x +=，即2x =-时，4y =，所以()2,4A -，所以cos 5θ=-，由诱导公式可得3πsin cos 2θθ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故选：C.3．已知12cos(),cos()33αβαβ+=-=，则cos cos αβ的值为（）A ．0B ．12-C ．12D ．0或±12【正确答案】C【分析】利用两角和差的余弦公式结合条件即得.【详解】因为()1cos cos cos sin sin 3αβαβαβ+=-=()2cos cos cos sin sin 3αβαβαβ-=+=两式相加可得2cos cos 1αβ=，即1cos cos 2αβ=.故选：C.4．设集合{}2|42A y y x x a ==-+，{}2|sin 2sin B y y x x ==-+，若A B A ⋃=，则a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(],1-∞D ．[)7,+∞【正确答案】A【分析】分别求出集合A 、B 的范围，利用A B A ⋃=的性质即可求解.【详解】依题意，对于A 集合：()224222424y x x a x a a =-+=-+-≥-，所以{}|24A y y a =≥-；对于B 集合：()22sin 2sin sin 11y x x x =-+=--+，因为1sin 1x -≤≤，所以31y -≤≤，所以{}|31B y y =-≤≤；因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，所以243a -≤-，解得12a ≤，故选：A.5．已知函数()2log f x x =，()2sin g x a x =-，若[]11,2x ∃∈，[]20,2πx ∃∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是（）A ．()(),23,-∞-⋃+∞B ．(][),23,-∞-+∞C ．()2,3-D ．[]2,3-【正确答案】D【分析】求出函数()f x 在[]1,2上的值域为[]0,1，求出函数()g x 在[]0,2π上的值域为[]2,2a a -+，分析可知，[][]0,12,2a a -+≠∅ ，结合补集思想可求得实数a 的取值范围.【详解】当[]11,2x ∈时，()[]121log 0,1f x x =∈，当[]20,2πx ∈时，()[]222sin 2,2g x a x a a =-∈-+，因为[]11,2x ∃∈，[]20,2πx ∃∈，使得()()12f x g x =，所以，[][]0,12,2a a -+≠∅ ，考查[][]0,12,2a a -+=∅ 的情形，则20a +<或21a ->，解得2a <-或3a >，故当[][]0,12,2a a -+≠∅ 时，23a -≤≤.故选：D.6．已知5πsi 2n 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．2125-B ．1725-C ．D 【正确答案】B【分析】利用诱导公式和倍角公式即可求解.【详解】依题意，πππcos 2cos 2πcos 2333ααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22π21712135252sin α=⎛⎫⎛⎫--=⨯-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B.7．函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+>对任意实数x ，都有()8πf x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则ϕ的最小值为（）A ．πB ．π3C ．π4D ．π6【正确答案】C【分析】由已知()8πf x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭得π8f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是最大值或最小值，π8x =是函数图象的对称轴，利用正弦函数的对称轴可得结论．【详解】解：由()8πf x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭知π8f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是最大值或最小值，所以，π8x =是()f x 的一条对称轴的方程，所以，满足ππ2π82k ϕ⨯+=+，Z k ∈，所以()ππZ 4k k ϕ=+∈，因为0ϕ>，所以最小值为π4.故选：C.8．已知定义在R 上的奇函数，满足()()20f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，若函数()()()sin πF x f x x =-，在区间[]1,m -上有10个零点，则m 的取值范围是（）A ．[)3.5,4B ．(]3.5,4C ．(]5,5.5D ．[)5,5.5【正确答案】A【分析】根据题意可知()f x 和()sin πx 都是周期为2的周期函数，因此可将()()()sin πF x f x x =-的零点问题转换为()f x 和()sin πx 的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而m 的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间.【详解】由()()()()()2022f x f x f x f x f x -+=⇒=--=-得()f x 是一个周期为2的奇函数，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，因此211log 122f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()10f =因为()f x 是奇函数，所以()00f =，112⎛⎫-=- ⎪⎝⎭f ，()10f -=且()()sin πg x x =的周期为2π2πT ==，且()10g -=，112g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()00g =，112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10g =求()()()sin πF x f x x =-的零点，即是()f x 与()g x 的交点，如图：为()f x 与()g x 在[]1,1-区间的交点图形，因为()f x 与()g x 均为周期为2的周期函数，因此交点也呈周期出现，由图可知()F x 的零点周期为12，若在区间[]1,m -上有10个零点，则第10个零点坐标为()3.5,0，第11个零点坐标为()4,0，因此3.54m ≤<故选：A二、多选题9．下列函数中，既为偶函数又在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减的是（）A ．sin y x =B ．sin y x=C ．πcos 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．tan cos y x x=-【正确答案】AB【分析】逐项研究函数的奇偶性与单调性即可.【详解】对于A ，∵sin sin x x -=，且函数sin y x =的定义域为R ，∴函数sin y x =为偶函数，又0x >时，sin sin x x =，且函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，∴函数sin y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故A 符合题意；对于B ，∵()sin sin x x -=，且函数sin y x =定义域为R ，∴函数sin y x =为偶函数，当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，sin sin y x x ==-，且函数sin y x =-在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，∴函数sin y x =在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故B 符合题意；对于C ，∵πcos sin 2y x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴函数πcos 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故C 不符合题意；对于D ，记()tan cos y f x x x ==-，则()()()tan cos tan cos f x x x x x -=---=--，∴()()f x f x -≠，∴函数tan cos y x x =-不是偶函数，故D 不符合题意.故选：AB.10．已知0log 2022log 2022a b <<，则下列说法正确的是（）A ．1b a >>B ．22a b --<C ．222b a a b+>D ．若0m >，则b b ma a m+<+【正确答案】BCD【分析】根据题干条件得到1a b >>判断A ；由2y x -=在()0,∞+上单调性判断B ；由基本不等式得到222b a a b+>判断C ；作差法比较出b b m a a m +<+ D.【详解】解：因为0log 2022log 2022a b <<，所以1,1a b >>，不妨令0log 2022log 2022a b m <<=，则2022,2022m m a b >=，故1a b >>，故A 错误，因为2y x -=在()0,∞+上单调递减，故22a b --<，B 正确；因为22b a a b +>2>，故C 正确；若0m >，因为()()()()()0b a m a b m b a m b b m a a m a a m a a m +-+-+-==<+++，故b b ma a m+<+，D 正确.故选：BCD11．若函数()f x ，()g x 分别是R 上的偶函数、奇函数，且()()()2sin cos f x g x x x +=+，则（）A ．()cos 2f x x =B ．()sin 2g x x =C ．()()()()f g x g f x <D ．()()()()f g x g f x >【正确答案】BD【分析】根据函数的奇偶性列出方程组即可分别求出()f x ，()g x 即可求解.【详解】依题意，因为函数()f x ，()g x 分别是R 上的偶函数、奇函数，所以()()=f x f x -，()()g x g x -=-，因为()()()2sin cos 1sin 2f x g x x x x +=+=+，所以()()1sin 2f x g x x -+-=-，所以()()1sin 2f x g x x -=-，由()()()()1sin 21sin 2f x g x x f x g x x ⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩，解得()1f x =，()sin 2g x x =，所以A 选项错误，B 选项正确；因为()()()sin 21f g x f x ==，()()()1sin 21g f x g ==<，所以()()()()f g x g f x >，所以C 选项错误，D 选项正确；故选：BD.12．下列说法正确的是（）A ．()lg ,f x x =且()(),f m f n =则10m n ⋅=B ．πcos 34πlog 3,sin ,23a b c -===的大小关系为b a c>>C ．请你联想或观察黑板上方的钟表：八点二十分，时针和分针夹角的弧度数为13π8D ．函数2()ln(1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是(,2)(1,)-∞-+∞ 【正确答案】BD【分析】根据函数()lg ,f x x =的图象性质可求解A ，根据对数函数的性质结合三角函数的定义可比较B ，结合钟表图形可判断C ，利用函数的单调性和奇偶性解不等式可判断D.【详解】由()(),f m f n =可得lg lg m n =，不妨设m n <，则有lg lg m n -=，所以1⋅=m n ，A 错误；π1cos 32πsin 223b c --=====所以b c >，因为3223<=，所以44log log 32=<，所以c a <，因为02<<，所以2>，所以2444log log log32b ==>=，所以b a >，所以b a c >>，B 正确；八点二十分，如图，1812π25π32π,2π331218AOB AOC ∠=⨯=∠=⨯=,所以25π2π13π18318BOC ∠=-=，C 错误；2()ln(1)22x x f x x -=-++中，令210x ->解得1x <-或1x >，所以定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，2()ln(1)22()x x f x x f x --=-++=，所以函数为偶函数，当1x >时，设22x t =>，此时122x xy t t-=+=+单调递增，再结合复合函数单调性可知2ln(1)y x =-单调递增，所以2()ln(1)22x x f x x -=-++在(1,)+∞单调递增，则在(),1-∞-单调递减，所以由(1)(2)f x f x +<可得112x x <+<即22321020x x x x ⎧-->⎨+>⎩，解得<2x -或1x >，故D 正确，故选:BD.三、填空题13．πtan8=______．1-##1-【分析】利用同角三角函数的商数关系及二倍角的正弦余弦公式，结合特殊角的三角函数值即可求解.【详解】ππππsin2sin sin1cos1π8884tan1ππππ8cos2cos s4in sin8882⋅-===-⋅.故答案为114．e 2.71828= 为自然对数的底数，则2ln sin30e︒=____________．【正确答案】14##0.25【分析】根据对数运算求解即可.【详解】解.2111ln2ln ln2ln sin302241e e e e4⎛⎫⎪︒⎝⎭====故1415．已知,αβ∈R，且满足22sin1αβ-=，则4sinαβ+的值域为______.【正确答案】1⎡-+⎣【分析】根据已知条件22sin1αβ-=，运用三角函数的有界性，可得α，再结合三角函数的单调性，即可求解值域．【详解】解：22sin1αβ-=，则22si1nαβ=-∴21112α--，可得α，2114sin422αβαα+=+-，α，设211()422fααα=+-，α()fα的对称轴为4α=-，()fα∴在区间⎡⎣上单调递增，∴()(1min f f α==-，()1max f f α==+4sin αβ∴+的值域为1⎡-+⎣．故1⎡-+⎣．16．鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.它的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来.如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧 AB 的长度为2π，则该鲁洛克斯三角形的面积为______.【正确答案】(18π【分析】由弧长公式可求得等边ABC 的边长，再根据该鲁洛克斯三角形的面积等于三个扇形的面积减去2个ABC 的面积，结合扇形和三角形的面积公式即可得解.【详解】解：由题意可知π3ABC ACB BAC ∠=∠=∠=，设AB r =，则弧 AB 的长度为π2π3r =，所以6r =，设弧 AB 所对的扇形的面积为S ，1πsin23ABC S AB AC =⋅⋅⋅=则该鲁洛克斯三角形的面积为(21π3236218π23ABC S S -=⨯⨯⨯-⨯= .故答案为.(18π四、解答题17．已知ABC 为斜三角形．(1)证明：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；(2)若1sin cos 2A A +=，求tan A 的值．【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）直接利用诱导公式与正切函数的和差公式即可求解.（2）式子1sin cos 2A A +=两边同时平方，求出3sin cos 8A A =-，再求出sin cosA A -=.【详解】（1）依题意，证明：180ABC +=- ，所以()tan tan A B C +=-．因为90C ≠ ，所以tan tan 1A B ≠，所以()tan tan tan 1tan tan A B A B A B ++=-．由tan tan tan 1tan tan A B C A B+=--，可得tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=．（2）因为1sin cos 2A A +=，所以221sin cos 2sin cos 4A A A A ++=，则3sin cos 8A A =-，又0πA <<，所以sin 0,cos 0A A ><，所以sin cos 2A A -=则sin ,cos tan A A A =⇒=18．已知函数()e cos 0x f x =-，e 为自然对数的底数e 2.71828= ．(1)写出()f x 的单调区间；(2)若()()()1212f x f x x x =≠时，证明：120x x +<．【正确答案】(1)单调减区间为(,0)-∞，单调增区间为(0,)+∞(2)证明见解析【分析】根据()e 1,01e ,0x x x f x x ⎧-≥=⎨-<⎩，结合指数函数单调性求解即可；（2）不妨设12x x <，进而根据12e 1e 1x x t -=-=，结合指对互化得()()12ln 1,ln 1x t x t =-=+，01t <<，再结合t 的范围即可得答案.【详解】（1）解：因为函数()e 1,0e cos 0e 11e ,0x x xx x f x x ⎧-≥=-=-=⎨-<⎩所以，根据指数函数的单调性得，当0x ≥时，()f x 单调递增；当0x <时，()f x 单调递减；所以，()f x 的单调减区间为(,0)-∞，单调增区间为(0,)+∞（2）解：由（1）知，当0x <时，()()0,1f x ∈，当0x ≥时，()[)0,f x ∈+∞()()12f x f x = ，不妨设12x x <，∴120x x <<∴12e 1e 1x x t -=-=，01t <<，∴121e e 1x x t -=-=，即12e 1,e 1x x t t =-=+，∴两边取以e 为底的对数得()()12ln 1,ln 1x t x t =-=+，()212ln 1x x t ∴+=-01t << ，()2ln 10t-<，∴120x x +<19．已知函数()2ππ2cos cos 33f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R ．(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)若12π,,,3x x m ⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦()()12122()f x f x x x ==≠，求m 的最小值．【正确答案】(1)π(2)4π3【分析】（1）根据倍角公式、和差公式化简，代入周期公式即可求解.（2）利用整体换元思想，代入正弦函数最大值的相关性质即可求解.【详解】（1）依题意，由已知2π()cos 21)3f x x x =++2π2πcos 212coscos 2sin33x x x =++1π2cos 21sin(2)126x x x -+=-+，所以最小正周期是2ππ2T ==；（2）π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，12π,,,3x x m ⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦()()12122()f x f x x x ==≠，等价于()f x 在区间π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的有两最大值为2，则ππ22π62m -≥+，4π3m ≥，所以m 的最小值是4π3．20．已知函数()212x xf x a =++(1)若(1cos10tan10sin 50a ︒=︒︒，证明()f x 为奇函数；(2)若()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立，求a 的取值范围．【正确答案】(1)证明见解析(2)1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据三角恒等变换得12a =-，()11212x f x =-+，再判断函数奇偶性即可；（2）由题知()min 0f x ≥，再令2x t =，进而得111y a t -=+++，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，再根据单调性求最值即可得答案.【详解】（1）解：(()a 1sin10cos10t n10tan 60sin 50sin n 5ta 100a ︒︒︒︒︒︒-⋅=-= sin10sin 60sin10cos10cos 60sin 50︒︒︒︒︒︒⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭sin10cos 60sin 60cos10cos10cos 60cos10sin 50︒︒︒︒︒︒︒︒-=⋅sin(6010)cos1012cos 60cos10sin 50cos 60︒︒︒︒︒︒︒-=-⋅=-=-．所以，12a =-，即()21211111122122212x x x x xf x +-=-==-+++，定义域为R ，所以，()()2111122122x x x f x f x ---=-=-=-++，所以，()f x 为奇函数.（2）解：∵()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立，∴()min 0f x ≥．令2x t =，因为[]1,1x ∈-，所以1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以，1111t y a a t t -=+=++++，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为111y a t -=+++在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以min 1111312y a a -=++=++，即()min 13f x a =+，所以103a +≥，解得13a ≥-，所以a 的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．21．已知函数ππ()sin sin(π)4242x x f x x ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线π4x =对称．(1)若R θ∃∈，使得()2cos g x θ<成立，求x 的集合；(2)若存在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使等式2[()]()20g x mg x -+=成立，求实数m 的最大值和最小值【正确答案】(1)π|2π(Z)3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭(2)最小值为.3【分析】（1）根据对称性求得()π2sin 6y g x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，进而将问题转化为πsin 16x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭求解即可；（2）令()π2sin 6y g x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，进而将问题转换为方程2m y y =+，[]1,2y ∈有解,再结合基本不等式求解即可.【详解】（1）π()sin 2f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭sin x x =+π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．函数()y g x =的图象上取点(,)x y ，其关于直线π4x =对称点的坐标为π,2x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得()5πππ2sin 2sin π2sin 666y g x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=--=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为R θ∃∈，使得()2cos g x θ<成立，所以，()2g x <，即πsin 16x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，故πsin 16x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，所以，ππ2π,Z 62x k k +≠+∈，解得π2π(Z)3x k k ≠+∈所以，x 的集合为π|2π(Z)3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭（2）解：因为()π2sin 6y g x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以，ππ2π,,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦[]1,2y ∈，所以，等式2[()]()20g x mg x -+=，可化为2m y y =+，[]1,2y ∈，所以，存在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使等式2[()]()20g x mg x -+=成立时，方程2m y y=+，[]1,2y ∈有解,所以，由基本不等式的性质知，当y m 的最小值为1y =或2时，m 的最大值为3；所以，实数m 的最大值为3，最小值为.22．已知函数()ln f x x =，以下证明可能用到下列结论：(0,1)x ∈时，①sin tan <<x x x ；②ln 1x x <-．(1)(0,1)x ∈，求证：1ln1x x <-；(2)证明：()111sin sin sin ln 2,N 23n n n n+++<≥∈ ．【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用(0,1)x ∈时，ln 1x x <-，通过多次代换即可证明；（2）首先（1）得1sin ln 1x x x <<-，令12x =，13x =L 1x n=得到一系列不等式，相加即可.【详解】（1）由已知(0,1)x ∈时，ln 1x x <-，用1x +代换x 得()ln 1x x +<，再以x -代换x 得()ln 1x x -<-，即()ln 1x x -->，即1ln 1x x>-，得证1ln .1x x <-（2）由（1）可知(0,1)x ∈时，1sin ln 1x x x<<-则1sin ln ,1(0,1)x x x <-∈，令12x =得11sin ln ln 21212<=-，令13x =得113sin ln ln 13213<=-，令x n =得11sin ln ln 111n n n n<=--，相加得111111sin sin sin ln ln ln 1112311123n n +++<+++--- 33ln 2ln ln ln 2ln 2121n n n n n =+++=⨯⨯⨯=-- ，（2,N n n ≥∈）。
广东省揭阳市普宁城东中学2020-2021学年高一数学理期末试卷含解析
广东省揭阳市普宁城东中学2020-2021学年高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 是边上的中点，记，，则向量（）A．B．C．D．参考答案：C由题意得，∴．选C．2. 如图是求的乘积S的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( )．A．S＝S×(n＋1)B．S＝S×C．S＝S×nD．S＝S×参考答案：D3. 设全集，集合，集合，则（）A． B．C． D．参考答案：C4. 设集合A＝{x|a－1＜x＜a＋1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，若A∩B＝，则实数a的取值范围是( )A．{a|0≤a≤6} B．{a}a≤2或a≥4}[ C．{a|a≤0或a≥6} D．{a|2≤a≤4}参考答案：C5. 已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是()A．命题﹁p是真命题B．命题p是存在量词命题C．命题p是全称量词命题D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题参考答案：C解析：命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故﹁p是假命题，命题p是全称量词命题．故选C.6. 设a=20.2，b=ln2，c=log0.32，则a、b、c的大小关系是( )A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b参考答案：B【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=20.2＞1，0＜b=ln2＜1，c=log0.32＜0，则a、b、c的大小关系是a＞b＞c．故选：B．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7. 若，则()A．B．C．D．1参考答案：B略8. （10）两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个参考答案：C略9. 设,则下列不等式成立的是( )A. B.C. D.参考答案：C；；；,所以选C.10. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15 B．105C．245 D．945参考答案：B运行程序框图中的程序，可得：第一次：，不满足条件，继续运行；第二次：，不满足条件，继续运行；第三次：．满足条件，停止运行，输出105．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若关于x的不等式的解集为{x|0＜x＜2}，则m＝．参考答案：112. 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱锥A1﹣ABCD的体积与长方体的体积之比为．参考答案：考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：由棱锥A1﹣﹣ABCD的体积，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积V ABCD﹣A1B1C1D1=S ABCD×AA1，，能求出棱锥A1﹣﹣ABCD的体积与长方体的体积之比．解答：解：∵棱锥A1﹣﹣ABCD的体积，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积V ABCD﹣A1B1C1D1=S ABCD×AA1，∴棱锥A1﹣ABCD的体积与长方体的体积之比==．故答案为：．点评：本题考查棱柱和棱锥的体积的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．13. 过点A(－3,1)的直线中，与原点距离最远的直线方程为________________．参考答案：3x－y＋10＝0设原点为O，则所求直线过点A(－3,1)且与OA垂直，又k OA＝－，∴所求直线的斜率为3，故其方程为y－1＝3(x＋3)．即3x－y＋10＝0.14. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是________.参考答案：15. 按如图所示的算法框图运算，若输入x＝8，则输出k＝__________；若输出k＝2，则输入x的取值范围是__________．参考答案：4，(28,57].16. 已知集合A={0，1，log3（x2+2），x2﹣3x}，若﹣2∈A，则x= ．参考答案：2【考点】元素与集合关系的判断．【分析】由已知集合A={0，1，log3（x2+2），x2﹣3x}，﹣2∈A，只能得到x2﹣3x=﹣2，解不等式得到x；关键元素的互异性得到x值．【解答】解：因为集合A={0，1，log3（x2+2），x2﹣3x}，﹣2∈A，所以x2﹣3x=﹣2，解得x=2或者x=1（舍去）故答案为：2．【点评】本题考查了元素与集合的关系以及集合运算的性质；属于基础题．17. 若等比数列{a n}的各项均为正数，且，则等于__________．参考答案：50由题意可得，=，填50.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
广东省普宁市2020-2021学年高一上学期期中质量测评数学试题
普宁市2020-2021学年度第一学期期中高中一年级质量测试数学科试题本识题共4页，满分150分，考试时间120分钟说明：1.答题前，专生身必用黑色宇迷的签字笔将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上，并在“考场号”､“座位号”栏内填涂考场号､座位号.2.选择题每小题选由答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试题卷上.3.非选择题必须用黑色宇迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡整洁，考试结束后，将答题卡交回，试题卷自己保存.一､单项选择题(8小题，每小题5分，共40分；在每小题提供的4个选项中，只有一项符合题目要求)1.若集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N ⋂等于（ ） A.{0,1} B.{1,0,1}-C.{0,1,2}D.{1,0,1,2}-2.命题"2,210x R x x ∀∈-+≥"的否定是（ ） A.2,210x R x x ∃∈-+≤ B.2,210x R x x ∃∈-+≥C.2,210x R x x ∃∈-+<D.2,210x R x x ∀∈-+<3.设()f x 是定义在R 上的函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-，则(1)f =（ ） A.3- B.1-C.1D.34.设,a b R ∈，则"2()0a b a -⋅<"是"a b <"的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若命题2:,20p x R x x m ∀∈-+≠是真命题，则实数m 的取值范围是（ ）A.1m ≥B.1m >C.1m <D.1m ≤6.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A.1y x =+B.2y x =-C.1y x=D.||y x x =7.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是（ ）A. B.C. D.8.当函数2,1()66,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，取得最小值时，x =（ ）B.6D.6二､不定项选择题(4小题，每小题5分，共20分；在每小题提供的4个选项中，有不少于一项符合题目要求)9.已集合{2M x R x a π=∈≤+=∣有下列四个式子，其中正确的是（ ）A.a M ∈B.{}a M ⊆C.a M ⊆D.{}a M ∈10.下列函数中，满足(2)2()f x f x =的是（ ）A.()|2|f x x =B.()f x x =C.()f x =D.()||f x x x =-11.已知幂函数()f x k x α=⋅，下列说法正确的有（ ） A.1k =B.如果()f x 是偶函数，则α一定是偶数C.()f x 的图像恒经过定点(0,0)和(1,1)D.()f x 的图像与x 轴正半轴没有交点12.已知2()f x ax bx c =++，不等式()0f x >的解集是{13}xx <<∣，下列说法正确的是（ ） A.0a >B.0a b c ++=C.关于x 的不等式20cx bx a ++>的解集是113xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣D.如果()0f m >，则(2)0f m +<二､填空题(4小题，每小题5分，共20分：第16题第一空2分，第二空3分)13.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为__________.14.函数y =__________. 15.已知12,24a b a b ≤-≤≤+≤，则42a b -的取值范围是__________.16.设函数221(1)()2(1)x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩，则1(2)f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦__________：如果()1f a =，则a __________. 三､解答题(6道大题，共70分)17.(本小题满分10分)设()f x 为定义在R 上的偶函数，当01x ≤≤时，3y x =；当1x >时，24y x x =-+，直线3y x =与抛物线24y x x =-+的一个交点为A ，如图所示.（1）当0x >时，写出()f x 的递增区间(不需要证明)；（2）补全()f x 的图像，并根据图像写出不等式()0f x <的解集，18.(本小题满分12分)已知集合2(4,21,},{5,1,9}A m m B m m =--=--，若{}9A B ⋂=，求实数m 的值. 19.(本小题满分12分)（1）已知2x <，求142x x +-的最大值： （2）已知x ，y 均为正实数，若45x y xy ++=，求xy 的最大值.20.(本小题满分12分)已知函数2()1ax b f x x +=+，()f x 为R 上的奇函数且1(1)2f = （1）求,a b ；（2）判断()f x 在[1,)∞+上单调性，并证明.21.(本小题满分12分)已知a R ∈，奇函数()f x 与偶函数()g x 的定义域均为(,0)(0,)∞∞-⋃+，且满足()()2af xg x x x-=+-. （1）分别求()f x 和()g x 的解析式：（2）若对任意[1,),()()0x f x g x ∞∈++>恒成立，试求实数a 的取值范围.22.(本小题满分12分)为迎接2020年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p 万件与促销费用x 万元满足：231p x =-+(其中0x a ≤≤，a 为正常数)，已知生产该产品还需投入成本(102)p +万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为204p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求（1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x万元的函数：（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值.2020-2021学年度第一学期期中高中一年级质量测试数学科试卷参考答案一､选择题三､填空题 13.1214.{10}xx x ≥-≠∣且 15.54210a b ≤-≤16.1516；0或12四､解答题17.解：（1）由图象观察可知()f x 的单调增区间为(0,2] （2）函数()f x 图象如图所示：()0f x <的解集为(,4)(4,)∞∞--⋃+18.解：因为{9}A B ⋂=，故9A ∈且9B ∈，所以219m -=，或者29m = 解得5m =，或者3=±当5m =时，{4,9,25},{0,4,9},{4,9}A B A B =-=-⋂=-，不合题意； 当3m =时，{2,2,9}B =--，与集合元素的互异性矛盾；当3m =-时，{4,7,9},{8,4,9},{9}A B A B =--=-⋂=，符合题意； 综上所述，3m =-19.解：（1）已知2x <，20x ∴-<1144(2)822x x x x ∴+--++-- 14(2)42x x ∴-->-当且14(2)2x x --=--∣，即32x =时等号成立14(2)42x x ∴-+≤-1144(2)8422x x x x ∴+=-++≤--142x x ∴+-的最大值为4（2）解：45x y xy ++=54xy x y ∴-=+≥=当且仅当4x y =，45x y xy ++= 即12,2x y ==时，等号成立.50xy ∴+≤xy ∴的最大值为120.解：（1）()f x 为R 上的奇函数(0)0f ∴=，得0b =又1(1),122a b f a +==∴=2()1xf x x ∴=+ （2）()f x 在[1,)∞+上为减函数证明如下：在[1,)∞+上任取1x 和2x ，且12x x <()()()()()()221221212122222112111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++ ()()()()()()22121222121222121211111x x x x x x x x x x x x x x ---+-==++++ 2122121,10,0x x x x x x >≥->-<()()210f x f x ∴-<，即()()21f x f x ≤∣()f x ∴)在[1,)∞+上为减函数21.解：（1）油已知条件()()2af xg x x x-=+-——① ①式中以x -代替x ，得()()2af xg x x x---=---——①因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，故()(),()()f x f x g x g x -=--=①可化为()()2af xg x x r--=---——① ①-①，得22()2a f x x x=+ 故(),()2,(,0)(0,)af x xg x x x∞∞=+=∈-⋃+ （2）由（1）知，()()2,[1,)af xg x x x x∞+=++∈+当0a ≥时，函数()()f x g x +的值恒为正； 当0a <时，函数()()2af xg x x x+=++在[1,)∞+上为增函数 故当1x =时，()f x 有最小值3a + 故只需30a +>，解得30a -<<. 综上所述，实数a 的取值范围是(3,)∞-+法二：由（1）知，()()2a f x g x x x+=++ 当[1,)x ∞∈+时，()()0f x g x +>恒成立，等价于()22a x x >-+ 而二次函数()222(1)1y x x x =-+=-++在[1,)∞+上单调递减1x =时，max 3y =-故3a >-22.解：（1）由题意知204(102)y p x p p ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭将231p x =-+代入化简得416(0)1y x x a x =--≤≤+（2）当]a ≥时，417117131y x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪+⎝⎭当且仅当411x x =++，即1x =时，上式取等号 所以当1a ≥时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大为13万元. 当01a <<时，4161y x x =--+在(0,1)上单调递增。