5 群论 群论的发展史
群论绪论
群论简介
一、历史：
群论源于十九世纪初，由高斯、柯栖、阿贝尔、哈密顿、伽罗 瓦、西勒维斯特等人初创。 二十世纪初，相对论和量子力学诞生，随后，群论被引进物理 学，成为物理学的一个重要研究工具。
二、群论与对称性
群论是研究系统对称性质的数学工具。 中国古代：殷商时期的“司母戊大方鼎”上的蟠龙纹和饕餮纹 。 河姆渡象牙雕刻件“双鸟朝阳”。 古埃及：金字塔。
还有 0 0,0,,0
1.1.2内积空间（inner product space）
1．内积公理 （两矢量乘积变成数的运算，称为矢量的内积）
令 a, b∈R，定义内积( a, b )，并满足
ⅱ) a , b = b , a
ⅰ) (a, a )是非负实数，( a, a )≥0, 且如果( a, a = 0，必有 a ) =0
2 a -------- a 的模（modulus） ** or a 的范数（norm） ** if a , b 0 ，称 a b --------orthogonal
a, a 0, a , a
基 v1 , v2 ,vn 的方法如下：
v2
：v2 C21v1 u2
u1 v1： v1 u1
;
令 v1 , v2 C21 v1 , v1 v1 , u2 C21 v1 , u2 0
2．物理学的根本问题：对称性？ 例： ①晶格平移不变性（周期为a） 能带理论 各种晶体、材料：导体、半导体、绝缘体等。 ②全同粒子交换对称性 玻色子、费米子、量子统计…… ③标度不变性 细胞繁殖、生命起源。 ④宇宙的时空平移不变性？ “人类”的起源和未来 …………
群论发展历程
群论发展历程
群论是数学中的一个分支，主要研究集合上的各种代数结构以及它们之间的关系和性质。
群论起源于19世纪，经过多年的
发展，已经成为数学的一门独立学科。
群论的历程可以追溯到1824年，当时法国数学家Galois首次
提出了群的概念，并应用到了求根式的可解性问题中。
此后，数学家们开始对群的性质和结构进行深入研究，并发现了许多重要的结果。
在20世纪初，数学家们开始将群论应用到其他领域，比如几
何学和物理学。
尤其是在量子力学中，群论成为了重要的工具，用来描述基本粒子之间的相互作用。
在20世纪的后半期，群论的发展进入了一个高潮。
数学家们
提出了许多重要的结论和定理，如尾群定理、Sylow定理和诺
特定理等。
这些结果不仅深化了对群的认识，也为其他数学分支提供了重要的工具。
随着计算机技术的发展，群论的应用也在不断扩大。
例如，密码学中的很多算法都基于群论的原理。
此外，群论还被广泛应用于代数方程的求解、图论、编码理论等领域。
至今为止，群论仍然是数学中一个活跃的研究领域。
数学家们在探索群的性质和结构的同时，也致力于将群论的方法和思想应用到更广泛的问题中。
通过不断发展和创新，群论在数学和其他学科中的作用将会变得更加重要和广泛。
群的基本概念
3、 (AB)-1 = B-1 A-1 证明: ∵ (AB)-1 = (AB)-1E = (AB)-1AA-1 E = (AB)-1 AEA-1 = (AB)-1A （BB-1）A-1
3, 单位元（不变元素）E,
EA = AE = A
4, 逆元A-1, A A-1 = A-1 A = E
二、 群的性质:
1、 E-1 = E ,
单位元 E 的逆元仍为E,
证：（1）E-1 E= E E-1 = E （令：A=E， 由A-1 A = A A-1 =E ） （2）E E-1 = E-1 E = E-1 （令：A= E-1 ， 由EA = A E= A ） 由（1）和（2） E = E-1
年迈的泊松感到难于理解
• 由于论文中出现了“置换群”等崭新的数 学概念和方法，泊松感到难于理解。几个 月后，他将论文退还给伽罗瓦；嘱咐写一 份详尽的阐述送来，可是，伽罗瓦已经没 有时间了。
• 在大学里，伽罗瓦由于积极参加资产阶级 革命活动，被学校开除了。
伽罗瓦预感到死亡即将来临
• 1831年5月和7月，他又因参加游行示威活动两次被 捕入狱，遭受路易--菲利浦王朝的迫害，直到1832 年4月29日，由于监狱里流行传染病，伽罗瓦才得 以出狱。
他盯上了著名的世界数学难题
• 不久，伽罗瓦的眼睛盯上了：高次方程的求根公 式问题。
• 16世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人， 发现了三次方程的求根公式。这个公式公布后没 两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求 根公式。当时，数学家们非常乐观，以为马上就 可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程 的求根公式了。然而，时光流逝了几百年，谁也 找不出一个这样的求根公式。
代数学（群论）
代数学（群论）群论在数学和抽象代数中,群论研究名为群的代数结构。
群在抽象代数中具有基本的重要地位:许多代数结构,包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。
群的概念在数学的许多分支都有出现,而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。
群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中,因为许多不同的物理结构,如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。
于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。
目录1 基本概念2 历史3 群的例子1基本概念群的定义设是一个非空集合,是它的一个二元运算,如果满足以下条件:(1)封闭性:若,则存在唯一确定的使得;(2)结合律成立,即对中任意元素都有;(3)单位元存在:存在,对任意,满足。
称为单位元,也称幺元;(4)逆元存在:任意,存在,(为单位元),则称与互为逆元素,简称逆元。
记作;则称对构成一个群。
通常称上的二元运算为“乘法”,称为与的积,并简写为。
若群中元素个数是有限的,则称为有限群。
否则称为无限群。
有限群的元素个数称为有限群的阶。
定义运算对于,对于的子集,定义,简写为;,简写为。
对于的子集,,定义,简写为。
对于的子集,记。
群的替换定理若是群,则对于任一,。
子群若是群,是的非空子集并且也是群,那么称为的子群。
这条定理可以判定的子集是否为一个子群:且是的子群2历史群论是法国数学家伽罗瓦(Galois)的发明。
伽罗瓦是一个极具传奇性的人物,年仅21岁就英年早逝于一场近乎自杀的决斗中。
他用该理论,具体来说是伽罗瓦群,解决了五次方程问题。
在此之前柯西(Augustin-LouisCauchy),阿贝尔(NielsHenrikAbel)等人也对群论作出了贡献。
最先产生的是n个文字的一些置换所构成的置换群,它是在研究当时代数学的中心问题即五次以上的一元多项式方程是否可用根式求解的问题时,经由J.-L.拉格朗日、P.鲁菲尼、N.H.阿贝尔和E.伽罗瓦引入和发展,并有成效地用它彻底解决了这个中心问题。
近世代数发展简史
近世代数发展简史引言概述：近世代数是数学中一个重要的分支，它的发展可以追溯到16世纪。
近世代数的发展不仅对数学本身产生了深远的影响，也在其他科学领域中发挥了重要作用。
本文将介绍近世代数的发展历程，分为五个部份，分别是：1. 代数基础的奠定；2. 方程论的发展；3. 群论的兴起；4. 环论的发展；5. 近世代数的应用。
一、代数基础的奠定：1.1 古希腊代数的起源：古希腊数学家毕达哥拉斯和欧几里得等人奠定了代数的基础，提出了平方数和立方数的概念，并研究了它们的性质。
1.2 文艺复兴时期的代数发展：文艺复兴时期，数学家卡尔丹诺和维埃塔等人开始研究代数方程，并提出了求解一元二次方程的方法。
1.3 笛卡尔的坐标系：17世纪，笛卡尔引入了坐标系的概念，将代数问题转化为几何问题，为代数的发展开辟了新的道路。
二、方程论的发展：2.1 代数方程的分类：18世纪，数学家拉格朗日将代数方程分为代数方程和超越方程，并研究了它们的性质和解法。
2.2 高次方程的解法：19世纪初，数学家阿贝尔和伽罗瓦等人独立地证明了五次及以上的代数方程无法用根式解出，这一结果被称为“阿贝尔-伽罗瓦定理”。
2.3 线性代数的发展：19世纪，数学家凯莱和哈密尔顿等人提出了线性代数的概念，研究了线性方程组和线性变换等内容。
三、群论的兴起：3.1 群的定义与性质：19世纪，数学家狄利克雷和凯莱等人提出了群的定义，并研究了群的性质，如封闭性、结合律和逆元等。
3.2 群论的应用：群论不仅在代数中有广泛应用，还在物理学、化学和密码学等领域中发挥了重要作用。
3.3 群论的扩展：20世纪，数学家冯·诺伊曼和埃米·诺特等人进一步发展了群论，提出了正规子群、商群和群同态等概念。
四、环论的发展：4.1 环的定义与性质：20世纪初，数学家费罗和诺特等人提出了环的定义，并研究了环的性质，如加法和乘法的封闭性、结合律和分配律等。
4.2 环论的应用：环论在代数几何、代数编码和数论等领域中有广泛应用，为解决实际问题提供了有力的工具。
群论基础-第1章 群的基本知识
其中的元素左乘或右乘仍为该群 G. ( 群中群论无顺序 )
Ak G = G Ak = G
*
五 子群和陪集
P.12
1 子群 (subgroup)
(1) 定义：群 G 中集合 S 在相同的群乘下构成的群，为 G
的子群
( 2) 显然子群：（1）E， （2）G
(3) 子群 S 的条件和检验: （1）不变元素；
σˆv σˆv σˆv σˆ v Ĉ32 Ê Ĉ31 σˆv σˆv σˆ v σˆv Ĉ31 Ĉ32 Ê
P.8 5 列表
群的名称 数群 置换群 矩阵群 对称群
群元
群乘
数 运算(加、乘等)
置换
相继置换
矩阵
矩阵乘法
对称操作 相继操作
举例 例(1) Z3群 d3群 D3群
*
七 不变子群
P.19
1 定义：有子群 N G
若 XNX- 1 = N 或 XN = NX （X 为 G 中的任一元素）
则 N为不变子群
2 性质
(1)不变子群必包括一个或几个完整的类
（即不变子群由完整的类构成）
证明：若 群元 C N ( 注意 群元 C 与类 C 不同)
则 X C X- 1 N （∵ XNX- 1 = N, C N ）
= (YX)A(YX)-1 = ZAZ-1 ( Z = YX G )
故 C 与 A 共轭
(3) 相似矩阵
矩阵群中彼此共轭的元为彼此相似的矩阵
*
2 类: 群 G 中彼此共轭的群元构成类
P.17
对于类 C, 自然有 XCX-1 = C ( X为群 G 中任一群元)
[提问: 为什么?]
3 类的性质
(1) 单位元自成一类 （XEX-1= E）
群论思想的产生,发展和意义
群论思想的产生,发展和意义
群论思想是一种重要的社会学理论，它是以群体为研究对象，探讨群体内部的
关系，以及群体与社会其他部分的关系，从而把社会现象归结为群体行为的一种学说。
群论思想的产生，发展和意义，对于社会学研究有着重要的作用。
群论思想可以追溯到19世纪末，当时哲学家和社会学家对社会性质的研究开
始发展起来，他们开始思考社会的本质是什么，以及社会的发展过程如何影响人们的行为。
群论思想的先驱者之一是英国社会学家威廉·马克思，他提出了“群体”的概念，认为群体是社会的基本单位，是构成社会的基本元素。
随着社会学的发展，群论思想也逐渐发展壮大，群论思想的提出者们以不同的
视角来探讨群体的性质、群体的形成和发展、群体的特性和行为等问题。
其中，威廉·马克思的“群体”理论强调群体的集体行为，认为群体的行为不仅受到个人意志的影响，还受到社会环境的影响；马克斯·韦伯的“社会网络”理论强调群体内部的关系，认为群体的行为受到群体内部关系的影响；马克斯·韦伯的“社会角色”理论强调群体与社会其他部分的关系，认为群体的行为受到社会角色的影响。
群论思想的发展对社会学研究具有重要意义，它不仅丰富了社会学的理论，而
且提供了一种更加精确和系统的方法来研究社会现象，更好地理解社会的发展变化，从而更好地指导社会发展。
此外，群论思想还可以用来研究社会中的组织结构、社会关系和社会文化等，为社会学研究者提供了更多的可能性。
总之，群论思想是社会学研究的重要理论，它的产生、发展和意义对社会学研
究具有重要的意义。
它不仅丰富了社会学的理论，而且为社会学研究者提供了一种更加精确和系统的方法，用以更好地理解社。
绪论-群论的起源与发展
Galois在方程论中引出→群的概念
Baron Augustin Galois Caucky（1789－1857 ）继研究，首创了置换群理论。
Arthur Cayley (1821-1895) 定义了广义抽象论， 发展了矩阵理论
George Ferdinand Frobenius(1849-1917) 发 展了群表示理论和群的特征标概念
绪 论
一、群论的起源与发展
群是数学中一个重要概念，有关群的性质及 结构的理论称群论，是抽象代数重要组成部分之 一. 群论是法国传奇式人物伽罗瓦（Galois）的发 明。他用该理论，具体来说是伽罗瓦群，解决了 五次方程问题。在此之后柯西（Cauchy)，阿贝 尔（Abel）等人也对群论作出了发展。
Evariste Galois
Louis Philipple国王而被捕。起初被释放，但又因非 法穿军装和携带武器，再一次被捕六个月监禁。
在20岁（1831年）时，因与情敌争风吃醋而决斗 受伤，于次年逝世。据说是君主主义者一派的奸细 怂恿的。
决斗前夕，Galois带着死亡的预兆为后代写 出了他当时未发表的最重要的手稿。全部著作不 到60页。
五、考试与考查方式
初定:
平时讲课（20分）
报告（20分） 课程论文（60分）
群论是法国 Evariste Galois 伽罗华 (18111832)提出的，伽罗华一生短暂，但是当时作出重大 发现的最年轻的数学家。 1811年生于巴黎近郊 Bourg-La-Reine 16岁已通晓大数学家的著作 尽管是数学方面的天才，但两次都未考取Ecole工 艺学院(法国数学家的圣地)
1830年终于被该校录取了，但因在同一年一份涉 及校长在七月革命中活动的通讯稿而被开除。 Galois 是一位坚定的共和主义者,并强烈憎恨暴政。 在1831年，因提议向国王敬酒而被解释为威胁
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1 群论在化学中的应用
2 科学家
若尔当（1838～1922）Jordan 法国数学家(2013-03-16 06:29:35)
若尔当（1838～1922）
Jordan，Marie Ennemond Camille
法国数学家。
又译约当。
1838年1月5日生于里昂。
若尔当的主要工作是在分析和群论方面。
他的《分析教程》是19世纪后期分析学的标准读本。
他指出简单闭曲线将平面分成两个区域，现称若尔当定理。
30岁时他已系统地发展了有限群论并应用到E.伽罗瓦开创的方向上，是使伽罗瓦理论显著增色的第一个人。
他研究了有限可解群。
他在置换群方面的工作收集在《置换论》一书中，这是此后30年间群论的权威著作。
他最深入的代数工作是群论中的一系列有限性定理。
他的著名的学生有F.克莱因和M.S.李等。
恩格尔(Christian Engel)和基令(Wilhelm Killing) 3 事件。