行列式优秀课件
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基础考试高等数学之行列式精品PPT课件
性质6：把行列式的某一行（列）的各元 素乘以同一数然后加到另一行（列）上 去，行列式不变。
※ 行列式的性质，主要是用来计算行列 式。其具体做法是：先将行列式化成上 （下）三角行列式，再直接计算即得。
1110 例2、计算行列式 1 1 0 1
1011 0111
提示：直接化成上三角行列式。
§1.6 行列式按行（列）展开
a22
a2n
0
an1 an2 ann
则方程组有唯一解。且
x1D D 1,x2D D 2, ,xnD D n
其中，Di是将D中的第 j 列换成bi 所得。
例1、解线性方程组：
x1 x2 x3 x4 1
2x1 3x2 x3 4x4 4x1 9x2 x3 16x4
5 25
8x1 27x2 x3 64xn 125
相应的有主对角线（实线）
副对角线（虚线） 。
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
a1a 12a 233a1a 22a 331a1a 32a 132 a1a 12a 332a1a 22a 133a1a 32a 231
主对角元：a1、 1 a22、a33
副对角元：a13、a22、a31
1、余子式： 在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行、第 j 列划去后，留下的 n－1阶行列式叫做元素的余子式，记为 Mij ※ 余子式实际上是一个数。 2、代数余子式： Aij (1)ijMij
引理：一个 n 阶行列式，如果其中第 i
行所有元素除 aij 外都为零，那么此行
列式等于 aij 与它的代数余子式的乘积，
推论：行列式某一行（列）的所有元素 的公因子可以提到行列式符号的外面。
线性代数-行列式PPT课件
矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。
线性代数第一章行列式课件
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
线性代数PPT行列式
行列式的计算公式是n阶行列式的展开式， 即用代数余子式表示n阶行列式的公式。
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性，可以方便地 计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式，将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1，其他元素都是0，则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合，即行列式值 等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时，三个向量共面，即它们之间存在线性关 系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零，从而判断三个向 量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0， 然后利用代数余子式求出方程组 的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组，通 过将系数行列式展开，得到一系 列递推关系式，从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列 式解线性方程组的方法，其 基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列 式不为0，否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解 的情况，也可以用来求解方程组 的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程 组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式，我们可以确定平面上的一个点。例如，给 定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，我们可以 使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性，可以方便地 计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式，将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1，其他元素都是0，则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合，即行列式值 等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时，三个向量共面，即它们之间存在线性关 系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零，从而判断三个向 量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0， 然后利用代数余子式求出方程组 的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组，通 过将系数行列式展开，得到一系 列递推关系式，从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列 式解线性方程组的方法，其 基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列 式不为0，否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解 的情况，也可以用来求解方程组 的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程 组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式，我们可以确定平面上的一个点。例如，给 定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，我们可以 使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。
《工学行列式》课件
在展开过程中，需要注意正负号 的选取，以保证行列式的值不变
。
展开法适用于二阶或三阶行列式 ，对于高阶行列式，需要多次展
开才能得到结果。
递推法
递推法是通过递推关系式来计 算行列式的值的方法。
递推关系式是根据行列式的 定义和性质，将一个高阶行 列式表示为若干个低阶行列
式的乘积或加减。
使用递推法计算行列式的值时 ，需要先求出低阶行列式的值 ，再根据递推关系式逐步求出
2
代数余子式是去掉一个元素后，剩下的元素构成 的子行列式与去掉元素所在行和列元素的代数余 子式的乘积之和。
3
使用代数余子式法计算行列式的值时，需要先计 算所有代数余子式的值，然后根据代数余子式的 定义计算出行列式的值。
展开法
展开法是将行列式按某一行或某 一列展开，将其化为简单的二阶 或三阶行列式，然后
行列式可以用于求解常系数线性微分方程， 通过构造相应的行列式，可以方便地求解微 分方程。
详细描述
在求解常系数线性微分方程时，可以利用行 列式的性质和递推关系，构造相应的行列式 ，从而方便地求解微分方程。例如，欧拉方 法、龙格库塔方法等都是利用行列式来求解 微分方程的常用方法。
向量场的求解
总结词
行列式可以用于求解向量场的雅可比矩阵和 向量场的变化率，从而研究向量场的性质和 行为。
详细描述
在向量场中，行列式可以用来计算雅可比矩 阵，从而研究向量场的变化率和方向。通过 分析行列式的值和符号变化，可以进一步研 究向量场的性质和行为，例如判断奇点、分
析流线等。
05
行列式的历史与发展
行列式的起源与早期发展
高阶行列式的值。
分块法
分块法是将一个大的行列式分成若干 个小行列式，然后分别计算小行列式 的值，最后根据小行列式的值求出大 行列式的值。
《行列式按行展开》课件
对于任意n阶方阵A，其第i 行第j列的代数余子式Aij可 以表示为去掉第i行第j列后 的(n-1)阶子矩阵的行列式值 乘以(-1)^(i+j)。
行列式的性质还包括拉普拉 斯展开定理和克拉默法则等 。
拉普拉斯展开定理指出，一 个n阶行列式等于它的任意 一行的所有元素与其对应的 代数余子式的乘积之和；克 拉默法则则指出，如果线性 方程组的系数行列式不为0 ，则方程组有唯一解，且解 可以通过系数行列式和常数 项的代数余子式计算得出。
应的代数余子式相乘，得到最终结果。
行列式按行展开的
04
运算技巧
代数余子式的计算
代数余子式定义
在行列式中，去掉某行和某列后所得到的$n-1$阶行列式，乘以$(-1)^{i+j}$，其中$i$和$j$分别是去 掉的行号和列号，得到的项称为代数余子式。
代数余子式的计算方法
根据代数余子式的定义，可以通过递归的方式计算代数余子式。具体来说，可以将$n$阶行列式拆分 成若干个$n-1$阶子行列式，然后分别计算这些子行列式的代数余子式，最后将它们相加得到原$n$ 阶行列式的代数余子式。
03
总结词
行列式的值可以通过对角线元素计算得出。
05
02
详细描述
行列式是n阶方阵A的行列式，记作det(A)或 |A|，是一个标量，由n!项组成，每一项都是 n个不同行元素的代数余子式。
04
详细描述
行列式的值是由其对应的n阶方阵唯 一确定的，与矩阵的表示方式无关。
06
详细描述
对于一个n阶方阵A，其行列式的值可以通过 对角线元素计算得出，即 det(A)=a11*a22*...*ann。
《行列式按行展开》 ppt课件
目录
行列式的性质.pptx
1 1 c2
1
b
b 1
13
c
c
11
1 d2 d
d
1
1 a2
1 a
11 1 b2 b
11 1 c2 c
11 1 d2 d
0.
第21页/共41页
三、余子式与代数余子式 1 、引例 三阶行列式可用三个相应的 二阶行列式的线性组合表示：
例如 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
其中 1i jn 为自然排列,
t为排列 p1 pi pj pn 的逆序数.
设排列 p1 pi pj pn 的逆序数为t1, 则有
第4页/共41页
1t 1 t1 ,
故 D1 1 t1a1 p1 aipj a jpi anpn D.证毕
例如 1 7 5 1 7 5 17 5 715 6 6 2 3 5 8 , 6 6 2 6 6 2. 3 5 8 6 6 2 35 8 538
证 明 对 D1 作运算 ri krj，把 D1 化为下三角形行列式
p11
0
设为 D1
p11 pkk ;
pk1 pkk
对 D2 作运算 ci kc j ,把 D2 化为下三角形行列式
q11
0
设为 D2
q11 qnn .
qn1 pnk
第17页/共41页
对
D
的前
k
行作运算
ri
第2页/共41页
故 D DT .
证毕
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
1
b
b 1
13
c
c
11
1 d2 d
d
1
1 a2
1 a
11 1 b2 b
11 1 c2 c
11 1 d2 d
0.
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三、余子式与代数余子式 1 、引例 三阶行列式可用三个相应的 二阶行列式的线性组合表示：
例如 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
其中 1i jn 为自然排列,
t为排列 p1 pi pj pn 的逆序数.
设排列 p1 pi pj pn 的逆序数为t1, 则有
第4页/共41页
1t 1 t1 ,
故 D1 1 t1a1 p1 aipj a jpi anpn D.证毕
例如 1 7 5 1 7 5 17 5 715 6 6 2 3 5 8 , 6 6 2 6 6 2. 3 5 8 6 6 2 35 8 538
证 明 对 D1 作运算 ri krj，把 D1 化为下三角形行列式
p11
0
设为 D1
p11 pkk ;
pk1 pkk
对 D2 作运算 ci kc j ,把 D2 化为下三角形行列式
q11
0
设为 D2
q11 qnn .
qn1 pnk
第17页/共41页
对
D
的前
k
行作运算
ri
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故 D DT .
证毕
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
线性代数行列式课件
行列式与空间向量的关系
总结词
行列式可以用来表示空间向量的方向和大小。
详细描述
在三维空间中，行列式可以用来表示向量的 方向和大小。通过行列式，我们可以计算出 向量的模长以及向量的方向余弦值，从而确 定向量的方向和大小。此外，行列式还可以 用来表示向量的外积和混合积，进一步揭示 了行列式与空间向量的关系。
END
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PART 05
行列式的应用实例
在线性方程组中的应用
总结词
行列式在解决线性方程组问题中起到关键作 用，通过克拉默法则，我们可以利用行列式 值来求解线性方程组的解。
详细描述
在解决线性方程组问题时，克拉默法则是一 个重要的工具。该法则指出，如果一个线性 方程组中的系数行列式不为零，则该方程组 有唯一解。通过计算系数行列式和将系数行 列式设置为零，我们可以找到使方程组无解
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线性代数行列式课件
目 录
• 行列式的定义与性质 • 行列式的展开定理 • 行列式的计算技巧 • 行列式在几何中的应用 • 行列式的应用实例
PART 01
行列式的定义与性质
行列式的定 义
总结词
行列式是n阶方阵所有可能的二阶子 方阵的行列式之积。
详细描述
行列式是由n阶方阵的元素构成的，按 照一定的排列顺序形成的n阶方阵，其 值是一个标量，表示n阶方阵的线性变 换对单位体积的改变量。
行列式的性 质
总结词
行列式的性质包括转置、交换、代数余子式等。
详细描述
行列式的一个重要的性质是转置，即把行列式的行变为列，得到的新的行列式的值与原行列式的值互为转置。交 换行列式的两行，行列式的值变号。代数余子式是去掉一个子行列式后剩下的元素构成的行列式，其值等于原行 列式值的负一倍。
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同理得
x a12b2 a22b1 . a11a22 a12a21
为便于记忆和推广，引进记号
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
这个记号称为二阶行列式。利用这个记号，二元一
次方程组的求解公式写成
b1 x b2
a11 a21
a12
a11
a22 , y a21
a12
a11
a22
a21
第一个方程乘以阿a21,，第一个方程乘以a11
aa1111aa2211xx aa1121aa2221yy aa1211bb12
(1) (2)
（2-1）得
( a 1 1 a 2 2 a 1 2 a 2 1 ) y a 1 1 b 2 a 2 1 b 1
如果 a11a22a12a210，则
y a11b2 a21b1 . a11a22 a12a21
三阶行列式符号记忆法
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
主对角线
副对角线
令
b1 a12 a13
D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
a11 b1 a13
a11 a12 b1
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
为了看出乘积前正负号的规律，行号按自然顺序 书写,我们写出每一项的列号：
123，231，312，321，213，132。
解线性方程组的基本工具是行列式和矩阵.
第一章 行列式
§1 行列式定义 §2 行列式性质 §3 行列式按一行（列）展开 §4 克莱姆法则
§1 行列式定义 一、 二阶和三阶行列式 二、 排列及其逆序数 三、n阶行列式定义
一、 二阶和三阶行列式
考虑二元一次联立方程组：
a11xa12y b1 (1) a21xa22y b2 (2)
这是1，2，3的六个排列。第一个保持1，2，3原 来的次序，其余的或多或少打乱了原来的次序。
如何测量一个排列 p1 p2 p3次序打乱的程度呢？
定义我们任取两个数字，
pi , pj ,i j
如果
pi p j
就说这两个数字有一个逆序。一个排列 p1p2 pn
的逆序总数称为这个序列的逆序数，记作
(p1p2 pn)
a11 x1 a21 x1
a12 x2 , a22 x2 .
要问 方程
( y1 , y2 ) 能否取值 (b1 , b2 ) 就是要看
aa1211xx11
a12x2 a22x2
b1, b2.
是否有解.研究线性函数的一个基本问题就是要
解类似的线性方程.实际问题中的自变量和因变
量可能很多,就需要有效的工具解线性方程组.
1 2 16 x 1 5 5 5 1 1 ,x 2 2 5 0 4 ,x 3 5 1 5 3 .
> with(linalg):A:=matrix([[3,-1,1],[2,-4,1],[1,2,1]]);det(A);
A
:=
3 2 1
-1 -4 2
-111
5
例3 求解方程
11 1 2 3 x 0. 4 9 x2
引进记号 a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
D2 a21 b2 a23 ,D3 a21 a22 b2
a31 b3 a33
a31 a32 b3
如果 D 0 , 则方程有解
x1D D 1,x2D D 2,x3D D 3.
例求值 解
1 2 4 D 2 2 1
3 4 2
D12(2)21(3)(4)(2)4 (4)2(3)2(2)(2)114 46322484 14.
解 方程左端
D 3x2 4x 18 9x 2x2 12 x2 5x 6
(x 2)(x 3) 0,
x1 2, x2 3.
二、 排列及其逆序数
定义行列式的一个关键概念是排列 定义 自然数 1,2, ,n 的有序数组 p1p2 pn 称为一个排列. n 个自然数的排列总数是n!
我们考察考察三阶行列式
行列式
数学解决实际问题往往通过函数。函数 形形色色，其中最简单者为线性函数和二次 函数。它们是研究其它函数的基础。
线性代数就是专门研究一次函数和二次 函数的数学学科。尤其以线性函数为主。
最简单的线性函数是
y ax.
复杂些的是
x ( x1, x2 ), y ( y1, y2 )
y1 y2
1.
例 解方程组
3x1 2 2x1
x2 x2
12 1
因为
3 2
D
3(4)70
2112 2D1 来自112 (2) 14, 1
3 12
D2 2
3 24 21, 1
x 1D D 11 7 42 ,x 2D D 2 7 2 1 3 .
我们考虑三元一次联立方程组
a11x1 a12x2 a13x3 b1 (1) a21x1 a22x2 a23x3 b2 (2) a31x1 a32x2 a33x3 b2 (3)
例解线形方程组
3 x1
2
x
1
x2 x3 26, 4 x2 x5 9,
解
x1
2 x2
x3
16.
3 1 1
D 2 4 1 5 0.
12 1
26 1 1
3 26 1
D1 9 4 1 55, D2 2 9 1 20,
16 2 1
1 16 1
3 1 26 D3 2 4 9 15.
b1 b2 . a12 a22
例解方程组
x 4
1
x
1
3
x 3
2
x
2
5
, 5
.
1 3
D
3 (3) 4 15 0.
43
5 3
D1 5
(5) 3 (3) (5) 30, 3
1 5
D2 4
1 (5) (5) 4 15. 5
x1
D1 D
30 15
2, x2
D2 D
15 15
x a12b2 a22b1 . a11a22 a12a21
为便于记忆和推广，引进记号
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
这个记号称为二阶行列式。利用这个记号，二元一
次方程组的求解公式写成
b1 x b2
a11 a21
a12
a11
a22 , y a21
a12
a11
a22
a21
第一个方程乘以阿a21,，第一个方程乘以a11
aa1111aa2211xx aa1121aa2221yy aa1211bb12
(1) (2)
（2-1）得
( a 1 1 a 2 2 a 1 2 a 2 1 ) y a 1 1 b 2 a 2 1 b 1
如果 a11a22a12a210，则
y a11b2 a21b1 . a11a22 a12a21
三阶行列式符号记忆法
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
主对角线
副对角线
令
b1 a12 a13
D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
a11 b1 a13
a11 a12 b1
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
为了看出乘积前正负号的规律，行号按自然顺序 书写,我们写出每一项的列号：
123，231，312，321，213，132。
解线性方程组的基本工具是行列式和矩阵.
第一章 行列式
§1 行列式定义 §2 行列式性质 §3 行列式按一行（列）展开 §4 克莱姆法则
§1 行列式定义 一、 二阶和三阶行列式 二、 排列及其逆序数 三、n阶行列式定义
一、 二阶和三阶行列式
考虑二元一次联立方程组：
a11xa12y b1 (1) a21xa22y b2 (2)
这是1，2，3的六个排列。第一个保持1，2，3原 来的次序，其余的或多或少打乱了原来的次序。
如何测量一个排列 p1 p2 p3次序打乱的程度呢？
定义我们任取两个数字，
pi , pj ,i j
如果
pi p j
就说这两个数字有一个逆序。一个排列 p1p2 pn
的逆序总数称为这个序列的逆序数，记作
(p1p2 pn)
a11 x1 a21 x1
a12 x2 , a22 x2 .
要问 方程
( y1 , y2 ) 能否取值 (b1 , b2 ) 就是要看
aa1211xx11
a12x2 a22x2
b1, b2.
是否有解.研究线性函数的一个基本问题就是要
解类似的线性方程.实际问题中的自变量和因变
量可能很多,就需要有效的工具解线性方程组.
1 2 16 x 1 5 5 5 1 1 ,x 2 2 5 0 4 ,x 3 5 1 5 3 .
> with(linalg):A:=matrix([[3,-1,1],[2,-4,1],[1,2,1]]);det(A);
A
:=
3 2 1
-1 -4 2
-111
5
例3 求解方程
11 1 2 3 x 0. 4 9 x2
引进记号 a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
D2 a21 b2 a23 ,D3 a21 a22 b2
a31 b3 a33
a31 a32 b3
如果 D 0 , 则方程有解
x1D D 1,x2D D 2,x3D D 3.
例求值 解
1 2 4 D 2 2 1
3 4 2
D12(2)21(3)(4)(2)4 (4)2(3)2(2)(2)114 46322484 14.
解 方程左端
D 3x2 4x 18 9x 2x2 12 x2 5x 6
(x 2)(x 3) 0,
x1 2, x2 3.
二、 排列及其逆序数
定义行列式的一个关键概念是排列 定义 自然数 1,2, ,n 的有序数组 p1p2 pn 称为一个排列. n 个自然数的排列总数是n!
我们考察考察三阶行列式
行列式
数学解决实际问题往往通过函数。函数 形形色色，其中最简单者为线性函数和二次 函数。它们是研究其它函数的基础。
线性代数就是专门研究一次函数和二次 函数的数学学科。尤其以线性函数为主。
最简单的线性函数是
y ax.
复杂些的是
x ( x1, x2 ), y ( y1, y2 )
y1 y2
1.
例 解方程组
3x1 2 2x1
x2 x2
12 1
因为
3 2
D
3(4)70
2112 2D1 来自112 (2) 14, 1
3 12
D2 2
3 24 21, 1
x 1D D 11 7 42 ,x 2D D 2 7 2 1 3 .
我们考虑三元一次联立方程组
a11x1 a12x2 a13x3 b1 (1) a21x1 a22x2 a23x3 b2 (2) a31x1 a32x2 a33x3 b2 (3)
例解线形方程组
3 x1
2
x
1
x2 x3 26, 4 x2 x5 9,
解
x1
2 x2
x3
16.
3 1 1
D 2 4 1 5 0.
12 1
26 1 1
3 26 1
D1 9 4 1 55, D2 2 9 1 20,
16 2 1
1 16 1
3 1 26 D3 2 4 9 15.
b1 b2 . a12 a22
例解方程组
x 4
1
x
1
3
x 3
2
x
2
5
, 5
.
1 3
D
3 (3) 4 15 0.
43
5 3
D1 5
(5) 3 (3) (5) 30, 3
1 5
D2 4
1 (5) (5) 4 15. 5
x1
D1 D
30 15
2, x2
D2 D
15 15