第五章 线、面相对位置

第五章直线与平面的相对位置两平面的相对位置§5-1 直线与平面平行• 两平面平行§5-2 直线与平面的交点• 两平面的交线§5-3 直线与平面垂直• 两平面垂直本章重点讨论的三个问题：1、在投影图上如何绘制及判断直线与平面和两平面的平行问题。

2、如果直线与平面及两平面不平行，在投影图上如何求其交点或交线。

3、在投影图上如何绘制及判断直线与平面和两平面的垂直问题。

§5-1 直线与平面平行• 两平面平行一、直线与平面平行二、两平面平行一、直线与平面平行PACD B若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行例题1 试判断直线AB是否平行于定平面f g’f’gb’a’abc’e’d’ed（直线AB不平行于定平面）b ’a ’例题2 试过点K 作水平线AB 平行于ΔCDE 平面c ’e ’d ’edk ’kaf ’fb二、两平面平行若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直线，则此两平面平行PSEFDACBf ’e ’d ’edfc’a’acb’例题1 试判断直线AB 是否平行于定平面m’n’m n r’rss’例题2 已知定平面由平行两直线AB 和CD 给定。

试过点K 作一平面平行于已知平面。

em’n’mn f ’e ’fsr’s’d ’dc’a’ac b’b k’kr例题3 试判断两平面是否平行。

e f ’e ’fsr’s’d ’dc’a’acb’brP HS H§5-2 直线与平面的交点• 两平面的交线一、直线与平面相交只有一个交点二、两平面的交线是直线三、直线与特殊位置平面相交四、一般位置平面与特殊位置平面相交五、直线与一般位置平面相交六、两个一般位置平面相交一、直线与平面相交P直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。

BKAMBC A二、平面与平面相交FKNL两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有xb’ba’acc’m’mnn’三、直线与特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交点可直接求出。

VHP HPoABCacb kNKMkk’VHP HPoA BCacb kNKMxb’ba’acc’m’mnn’kk’判断直线的可见性VMmnlPABCacbkfFKNL四、一般位置平面与特殊位置平面相交VHMmnlPAB CacP Hk f FKNL一般位置平面与特殊位置平面相交nlmm’l’n’bacc’a’b’f kf’k’由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。

b’bacnlmc’m’a’l’n’f kVHMmnlPAB CacP Hk f FKNL判断平面的可见性f’k’C五、直线与一般位置平面相交ABNM例题1例题2判别可见性f’e’fb a’ab’c’1’2’例题1 求直线EF与一般位置平面ΔABC的交点K。

Q V21kk’步骤：1、过EF作正平面Q。

2、求Q平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。

3、求交线ⅠⅡ与EF的交点K。

见示意图ABC过MN 作Q 平面垂直于V 投影面MNK EF12例题2 求直线EF 与一般位置平面ΔABC 的交点K 。

f ’e ’efbc ’a ’ab ’P H2’1’kk’步骤：1、过EF 作铅垂面P 。

2、求P 平面与ΔABC 的交线ⅠⅡ。

3、求交线ⅠⅡ与EF 的交点K 。

见示意图CAB过MN 作P 平面垂直于H 投影面NMEFKHVa’b’c’c eaABbCFEf’f k’Kke’直线EF 与平面ΔABC 相交，判别可见性。

ⅠⅡⅢⅣ1’(2’)(4)3判别可见性的原理是利用重影点。

f’e’fb a’ab’c’例题3 直线EF与平面ABC相交，判别可见性。

1kk’判别可见性的原理是利用重影点。

24’3’2’1’( )34（）六、两一般位置平面相交两一般位置平面相交求交线的方法例题1例题2两一般位置平面相交求交线的方法用直线与平面求交点的方法求两平面的共有点。

MBCAF KNLb acc’b’a’ll’mm’n’PV QV1’2’21kee’k’两一般位置平面相交，求交线步骤：用直线与平面求交点的方法求两平面的共有点。

例题1 求两平面的交线b acc’b’a’ll’mm’n’21( )3’4’( )ke3 4 1’2’e’k’判别可见性的原理是利用重影点。

判别可见性ac ’ba ’b ’f ’e ’efk ’kF例题2试过K 点作一直线平行于已知平面ΔABC ，并与直线EF 相交。

CABEKH例题2 试过K 点作一直线平行于已知平面ΔABC ，并与直线EF 相交。

m ’n ’h ’hnm f ’ac ’ba ’cb ’e ’efk’kP V1’12’2例题2 试过K 点作一直线平行于已知平面∆ABC ，并与直线EF 相交。

解题步骤：1、过点K 作平面KEF//∆ABC 平面。

2、过直线EF 作正垂平面P 。

3、求平面P 与平面KEF 的交线ⅠⅡ。

4、求交线ⅠⅡ与EF 的交点H 。

5、连接KH ，KH 即为所求。

ac ’ba ’cb ’m ’n ’h ’hnm f ’e ’efk ’kP V1’12’2一、直线与平面垂直若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。

VADCBE定理1定理2定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。

VADCBEa’ad’c’b’dcbe’ek’l’kl定理2（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。

VADCBEa’cac’l’lkf’d’b’dbfk’例题1：平面由 BDF 给定，试过定点K 作平面的法线。

ha’c a c’h’kf’d’b’dbfk’h’h例题2：试过定点K 作特殊位置平面的法线。

h’hh’hkk’S Vk’kP Vk’kQ H例题3：平面由两平行线AB 、CD 给定，试判断直线MN 是否垂直于定平面。

e’f’em’nmn’c’a’ad’b’c db f直径任取NM例题4 试过点N 作一平面，使该平面与V 面的夹角为60 °，与H 面的夹角为45 °。

|Y M -N ||Z M -N |m ’h ’m nmk|Z M -N ||Y M -N |30°45°m nm ’n ’k ’hn ’n平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹角互为补角A DCBEαυⅡ二、两平面垂直若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。

AD反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。

ADⅠⅡ两平面垂直两平面不垂直ⅡⅠADg’例题1：平面由 BDF 给定，试过定点K 作平面的法线。

ha’c a c’h’kk’f ’d’b’dbfg例题2 试判断 ABC 与相交两直线KG 和KH 所给定的平面是否垂直。

g’h’a’cc’kk’b’bgf ’fd’dE例题3 试过定点A 作直线与已知EF 正交。

（分析）a’efaf ’e’FAK2’例题3 试过定点A 作直线与已知EF 正交。

（解题步骤）P Va’e faf ’e’1’22’a’efaf ’e’1’2k’k。