物理光学与应用光学--光在各向异性介质中的传播 ppt课件

4.1.2 晶体的介电张量
介电常数 是表征介质电学特性的参量。
D 在各向同性介质中，电位移矢量 与电场矢量 满足关系：
E
D0rE
= 0r 是标量， 与
D 的方向相E同，即
D 的每个分量只与 的相应分量线性相关。
E
对于各向异性介质 ( 如晶体 ) :
D 0rE
介电常数
是二0阶张r量。其分量形式为：
D E i
0 ij j i, j =1, 2, 3
即 D 的每个分量均与
DE
E 的各个分量线性相关。在一般情况下， 与 的方向不同。
晶体的介电张量 三个非零对角分量：
是对称张量，有六个独立分量。 经主轴变换后为对角张量，只有
1 0 0, 3 称为主介电系数。
第4章 光在各向异性介质中的传播
4.1 晶体的光学各向异性 4.2 理想单色平面光波在晶体中的传播 4.3 平面光波在晶体表面上的反射与折射 4.4 晶体光学元器件
4.1 晶体的光学各向异性
4.1.1 张量的基础知识 4.1.2 晶体的介电张量
4.1.1 张量的基础知识
1. 张量的概念 2. 张量的变换 3. 对称张量
ij
ik jl kl i, j, k, l=1, 2, 3
——张量变换定律。
逆变换:
T a a T'
ij
ki lj kl i, j, k, l=1, 2, 3
如果是矢量，则新坐标系矢量表示式 A 与原坐标系表示式 A 间的矩阵变换关系:
A1' A2'
a11 a21
A3'
a31
a12 a22 a32
标量可看作是零阶张量；矢量可看作是一阶张量。 标记方法：
标量无下标； 矢量有一个下标； 二阶张量有两个下标； 三阶张量有三个下标。 因此，下标的数目等于张量的阶数。
2.
由于张量的分量与坐标有关，所以当坐标系发生变化时，张量表示式也将发生变化。
若在原坐标系中，某张量表示式为[Tij]，在新坐标系中，该张量表示式为[Tij ]，则当 原坐标系O-x1x2x3与新坐标系O-x1x2x3 的坐标变换矩阵为[aij]时，[Tij ]与 [Tij]的关系为
T1'1T1'2T1'3 a11a12 a13T11T12T13a11a21a31
T2' 1T2' 2
T2' 3a21
a22
a23T21T22 T23a12
a22
a32
T3' 1T3' 2T3' 3 a31a32 a33T31T32T33a13 a23 a33
其分量表示形式为:
T a a T '
晶系 三斜
单斜
正交
三方 四方 六方
立方
七大晶系的光学性质简介
主轴坐标系
11 0 0
0
22
0
0 0 33
11 0 0
0
11
0
0 0 33
11 0 0
由麦克斯韦关系式：
n r
可相应定义三个主折射率 n1, n2 , n3。
在主轴坐标系，电位移矢量的分量形式：
Di 0iEi i1,2,3
此外，由固体物理学知道，不同晶体的结构 具有不同的空间对称性，自然界中存在的晶体按 其空间对称性的不同，分为七大晶系：
立方晶系；四方晶系；六方晶系；三方晶系；正 方晶系；单斜晶系；三斜晶系。
a13 a23 a33
A1 A2 A3
其分量变换公式:
Ai' aijAj
i, j =1, 2, 3
3. 对称张量
一个二阶张量［Tij］，如果有Tij=Tji，则称为对称张量，只有六个独立分量。
与任何二次曲面一样，二阶对称张量存在着一个主轴坐标系，在该主轴坐标系中， 张量只有三个对角分量非零。于是，当坐标系进行主轴变换时，二阶对称张量可对角化。
p T :u v
分量表示式为：
pi=Tijkujvk i, j, k =1, 2, 3
T为三阶张量，包含 27 个张量元素，其矩阵形式为：
T111T122T133T123T132T131T113T112T121
TijkT211T222T233T223T232T231T213T212T221
T311T322T333T323T332T331T313T312T321
例如一对称张量:
T
11
T 12
T 13
T 12 T 22 T 23
T 13 T 23 T 33
经主轴变换 可表示为:
T1' 1T1, T2' 2T2, T3' 3T3 T1' 2T2' 1T1' 3T3' 1T2' 3T3' 20,
T
1
0
0
0
T2
0
0 0 T 3
张量与矩阵的区别：张量代表一种物理量，因此在坐标变 换时，改变的只是表示方式，其物理量本身并不变化；而 矩阵则只有数学意义。因此，有时把张量写在方括号内， 把矩阵写在圆括号内，以示区别。
pi Tijqj i, j1,2,3
j
按照爱因斯坦求和规则：若在同一项中下标重复两次，则可自动地按该下标求和，上 式简化为
pi =Tij qj i,j =1, 2, 3
T p 可以看出：如果 是张量，则 矢量的某坐标分量不仅与 q 还与其另外两个分量有关。
矢量同一坐标分量有关，
p u v 如果矢量 与两个矢量 和 相关，其一般关系式为：
张量就是使一个矢量（或者标量）与另一个及多个
其它矢量（或者张量）相关联的物理量，张量又称为并矢。
p q 例如，矢量 与矢量 有关，则其一般关系应为：
p Tq
T p q 式中， 是关联 和 的二阶张量。
在直角坐标系 O - x1x2x3 中，
可p 表示为T 矩阵形q 式 ：
p1 p2 p3
T11 T21 T31
T12 T22 T32
T13 T23 T33
q1 q2 q3
二阶张量有九个分量，每个分量都与一对坐标(按一定顺序)相关。
分量形式：
p1 T11q1 T12q2 T13q3
p2
T21q1
T22q2
T23q3
p3 T31q1 T32q2 T33q3
一般形式：
1. 张量的概念
（1）把一个标量与一个或者多个矢量以等式的形式关 联起来，等式的关联因子就是张量。
（2）把一个标量与一个张量以等式的形式关联起来， 其中的关联因子就是张量。
（3）把一个矢量与一个或者多个矢量以等式的形式关 联起来，其中的关联因子就是张量。
（4）把一个矢量与一个张量以等式的形式关联起来， 其中的关联因子就是张量。