3.6-圆内接四边形ppt(浙教版)
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3.6 圆内接四边形 课件（8）浙教版九年级数学上册
证明 把A所对的弧记做B⌒CD，C所对的弧记做B⌒AD，
A
m
1
B⌒CD，C
m
1
⌒
BAD.
B⌒CD与B⌒A2 D的度数之和2是360，
A
C
m
1
B⌒CD
1
B⌒AD
1
(B⌒CD
⌒
BAD)
1
360
180.
2
2
2
2
同理可证B D 180.
巩固新知
已知圆内接四边形ABCD中，
∠A=50°, 求∠C的度数. ∠A:∠B:∠C=5:7:13, 求∠D的度数. 求∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比. ∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比可能是3:1:2:5吗？
3.6圆内接四边形
复习引入
圆上一点 圆上两点 圆上三点 圆上四点？
圆内接三角形 三角形的外接圆
概念新知
定义
如果一个四边形 的各个顶点在同 一个圆上，那么 这个四边形叫做 圆的内接四边形. 这个圆叫做 四边形的外接圆.
四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆.
概念新知
四边形DABC是⊙O 的内接四边形吗？
径，C是B⌒D的中点，AB与DC的延长线交于⊙O外
一点E.求证：BC=EC
课后作业
初中数学作业本3.6
谢谢大家！
收获总结
本节课学习了关于圆内接四边形的哪些知识？
四边形
圆内接 四边形
圆内接特殊四边形
定义
边为弦 角为圆周角
性质：对角互补
课内反馈
练习 已知：如图，以等腰三角 形ABC的底边BC为直径的⊙O分 别交两腰AB，AC于点D，E，连 结DE. 求证：DE∥BC.
36圆内接四边形课件-浙江省嘉兴市秀洲区高照实验学校浙教版九年级上册数学(共17张PPT)
课堂测评
3．在圆内接四边形 ABCD 中，ADB与ABC的比为3︰2． 求∠B，∠D的度数． 解：∠B＝108°，∠D＝72°．
4．已知四边形ABCD的内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之 比为3︰1︰2︰5，判断这个四边形是不是圆内接四边形，并 说明理由． 解：不是，因为对角不互补．
课堂测评
5．在圆内接四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的度数之比为1︰2︰3︰4． 求四边形ABCD各内角的度数． 解：90°，126°，90°，54°． 6．判断命题“圆内接平行四边形一定是矩形”的真假，并给出证明．
课堂小结
让大家与你分享收获！
课堂测评
1．在圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝50°，∠D－∠B＝40°． 求∠B，∠C，∠D的度数． 解：∠B＝70°，∠C＝130°，∠D＝110°．
2．已知：如图，以等腰三角形ABC的底边BC为直径的☉O分别 交两腰AB，AC于点D，E，连结 DE．求证：DE∥BC． 解：提示：由已知可得∠B＝∠C，∠C ＋∠BDE＝180°， ∴∠B＋∠BDE＝180°， ∴DE∥BC．
第3章 圆的基本性质
3.6 圆内接四边形
课堂导入
怎样把圆柱形原木锯成截面为正方形的木材，并使 截面正方形的面积尽可能地大？
合作探究
任意画一个圆，在圆上依次取四个点A，B，C，D，连
结AB，BC，CD，DA．用量角器量出四边形ABCD任
意一组对角的度数之和，你发现了什么？你的同伴是否
有同样的发现？
Ａ
四边形外接圆
圆内接四边形
Ｄ
Ｂ
Ｃ
合作探究
圆内接四边形有以下性质定理： 圆内接四边形的对角互补.
已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O. 求证：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.
新浙教版九年级上册初中数学 3-6 圆内接四边形 教学课件
第十五页，共十七页。
当堂小练
2.在如图所示的圆中，画出你喜欢的三个不同的圆内接 正多边形(画图工具不限，但要保留画图痕迹)．
解：如图所示．
(答案不唯一)
第十六页，共十七页。
拓展与延伸
一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这
个正多边形的半径是( ) A
A．2
B. 3 C．1
D. 1 2
分析：等边三角形是正三角形；各边相等，各角也相等的多边形是正多边形；当菱
形的四个角相等时才是正多边形(正方形)，所以菱形不一定是正多边形；D说 法不正确. 答案：D
第十一页，共十七页。
新课讲解
练一练
1.分别求出半径为6 cm的圆内接正三角形的边长和边心距.
解：设正六边形DFHKGE的中心为O，连接OH，OK，则
∴ △COD为等边三角形.
∴ CD = OC = 4.
在 Rt △ COG中，OC = 4，CG= BC1= ×14=2,
2
2
∴ OG = OC2 CG2 42 22 2 3.
∴正六边形的中心角为60°，边长为4,边心距为
2 3.
第八页，共十七页。
新课讲解
典例分析
例 如图所示，三角形AOB 是正三角形，以点O 为圆心， OA 为半径作⊙ O，直径FC ∥ AB，AO，BO 的延长线分别交⊙ O于 点D，E，求证：六边形ABCDEF 为圆内接正六边形.
第十三页，共十七页。
课堂小结
1. 正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做
正多边形. 2. 把一个圆n(n≥3)等分，顺次连接各等分点，就得
到一个正n边形. 我们把这个正n边形叫做圆的内 接正n边形.
第十四页，共十七页。
当堂小练
2.在如图所示的圆中，画出你喜欢的三个不同的圆内接 正多边形(画图工具不限，但要保留画图痕迹)．
解：如图所示．
(答案不唯一)
第十六页，共十七页。
拓展与延伸
一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这
个正多边形的半径是( ) A
A．2
B. 3 C．1
D. 1 2
分析：等边三角形是正三角形；各边相等，各角也相等的多边形是正多边形；当菱
形的四个角相等时才是正多边形(正方形)，所以菱形不一定是正多边形；D说 法不正确. 答案：D
第十一页，共十七页。
新课讲解
练一练
1.分别求出半径为6 cm的圆内接正三角形的边长和边心距.
解：设正六边形DFHKGE的中心为O，连接OH，OK，则
∴ △COD为等边三角形.
∴ CD = OC = 4.
在 Rt △ COG中，OC = 4，CG= BC1= ×14=2,
2
2
∴ OG = OC2 CG2 42 22 2 3.
∴正六边形的中心角为60°，边长为4,边心距为
2 3.
第八页，共十七页。
新课讲解
典例分析
例 如图所示，三角形AOB 是正三角形，以点O 为圆心， OA 为半径作⊙ O，直径FC ∥ AB，AO，BO 的延长线分别交⊙ O于 点D，E，求证：六边形ABCDEF 为圆内接正六边形.
第十三页，共十七页。
课堂小结
1. 正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做
正多边形. 2. 把一个圆n(n≥3)等分，顺次连接各等分点，就得
到一个正n边形. 我们把这个正n边形叫做圆的内 接正n边形.
第十四页，共十七页。
新浙教版九年级上3.6圆的内接四边形(共20张PPT)
求证：CE=DF
D
A
C
O1
O2
F
B E
例题讲解
例1 如图,ΔABC的外角平分线AD交外
接圆于Dபைடு நூலகம்求证:DB=DC.
解：∵ AD是∠EAC的平分线
E
A D
∴∠DAC=∠DAE
四边形ABCD内接于⊙O ∴∠BAD+∠BCD=180°
O
B
（圆内接四边形的对角互补）
C
又∵ ∠BAD+∠DAE=180°
∴∠BCD=∠DAE( ? )
而∠DBC=∠DAC ( ? ) ∠DAC=∠DAE
• 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
6、求证：圆内接平行四边形是矩形。
已知：如图，四边形ABCD是圆的内接四 边形并且ABCD是平行四边形。
求证：四边形ABCD 是矩形。
A
B
O
D
C
例 ：如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，经过点 A的直线CD与⊙O1 交于点C，与⊙O2 交于点D。 经过点B的直线EF与⊙O1 交于点E，与⊙O2 交 于点F。
复习回顾：
什么是三角形的外接圆？什么是 圆的内接三角形？
什么是圆的内接四角形？什么是四边形的外接圆？
定义：如果一个四边形的所有顶点都在一
个圆上,那么这个四边形叫做圆的内接四 边形,这个圆叫做四边形的外接圆.
3.6+圆内接四边形(教学课件)-2023-2024学年九年级数学上册(浙教版)
∠ADB=________。
75
°
D
解：∵∠BAC=∠BDC，
C
∴A、B、C、D四点共圆【选择、填空可用判定2】，
A
B
，
∵=
∴∠ADB=∠ACB=75°。
当堂检测
6、 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.
求证：
∠ACB=2∠BAC.
1
证明： ACB AOB,
∴∠D=90°。
练一练
讲授新课
1、如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，
。若∠C=110°，则∠
=
ABC的度数等于________。
55°
解：连接AC，
∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，
∴∠DAB=180°-∠DCB=70°，
∵AB是直径，
，
∵=
∴∠ACB=90°，
∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠ADC＝60°.
讲授新课
2、如图，在⊙O的内接四边形 ABCD 中，∠BOD＝120°，那么
∠BCD是
(A )
A．120°
B．100°
C．80°
D．60°
解析：∵∠BOD＝120°，
∴∠A＝60°，
∴∠C＝180°－60°＝120°.
故选A.
讲授新课
知识点二 圆的内接四边形性质
性质1：圆内接四边形的对角互补。
D
A
C
B
eg：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。
除了这个性质，还有什么其他性质呢？
讲授新课
【思考】如下图，四边形ABCD是⨀O的内接四边形，∠BAE是∠BAD
75
°
D
解：∵∠BAC=∠BDC，
C
∴A、B、C、D四点共圆【选择、填空可用判定2】，
A
B
，
∵=
∴∠ADB=∠ACB=75°。
当堂检测
6、 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.
求证：
∠ACB=2∠BAC.
1
证明： ACB AOB,
∴∠D=90°。
练一练
讲授新课
1、如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，
。若∠C=110°，则∠
=
ABC的度数等于________。
55°
解：连接AC，
∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，
∴∠DAB=180°-∠DCB=70°，
∵AB是直径，
，
∵=
∴∠ACB=90°，
∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠ADC＝60°.
讲授新课
2、如图，在⊙O的内接四边形 ABCD 中，∠BOD＝120°，那么
∠BCD是
(A )
A．120°
B．100°
C．80°
D．60°
解析：∵∠BOD＝120°，
∴∠A＝60°，
∴∠C＝180°－60°＝120°.
故选A.
讲授新课
知识点二 圆的内接四边形性质
性质1：圆内接四边形的对角互补。
D
A
C
B
eg：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。
除了这个性质，还有什么其他性质呢？
讲授新课
【思考】如下图，四边形ABCD是⨀O的内接四边形，∠BAE是∠BAD
九级数学上册(浙教版)课件：3.6 圆内接四边形 (共22张PPT)
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︵ ︵ 9．如图，⊙O 是四边形 ABCD 的外接圆，CB＝CD，CE⊥AB 于点 E.求证：AB＝AD＋2BE.
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12
︵ ︵ 解：过点 C 作 CF⊥AD 交 AD 的延长线于点 F.∵CB＝CD，∴CB ＝CD，∠CAB＝∠DAC.又∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴CF＝CE.∴Rt △ACF≌Rt△ACE，Rt△CDF≌Rt△CBE，∴AF＝AE，DF＝BE， ∴AD＋DF＝AB－BE，∴AB＝AD＋DF＋BE＝AD＋2BE，即 AB＝ AD＋2BE
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10．如图，⊙O1和⊙O2相交于A，B，且⊙O2的圆心在圆⊙O1上，P 是⊙O2上一点，已知∠AO1B＝60°，那么∠APB的度数是( A ) A．75° B．65° C．70° D．60°
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谢谢观看！
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14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA与CB的延长线相交于
点P，且AD＝CB，求证：AB∥CD.
︵ ︵ ︵ ︵ 解： ∵AD＝BC， ∴DAB＝CBA， ∴∠D＝∠C， 又∵四边形 ABCD 内接于⊙O，∴∠PBA＝∠D，∴∠PBA＝∠C，∴AB∥CD
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13．如图，已知⊙O的直径AB和弦CD，且AB⊥CD于E，F为DC延
长线上一点，连结AF交⊙O于M.求证：∠AMD＝∠FMC.
解：连结AD，AC，∵四边形ADCM内接于⊙O，
九年级数学上册 3.6 圆内接四边形导学课件浙教浙教级上册数学课件
内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．圆内接四边形的对角
_______互_．补
12/8/2021
第三页，共十五页。
3.6 圆内接四边形
1．如图3－6－1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝70°，
则∠C的度数(dù shu)是B(
)
A．100° B．110° C．120° D．130°
[解析(jiě xī)] ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠C＋∠A＝180°， ∴∠C＝180°－70°＝110°
[解析(jiě xī)] ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠C＝180°， ∠B＋∠D＝180°. ∵∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶6， 设∠A＝2a，∠B＝3a，∠C＝6a， 则2a＋6a＝180°， ∴a＝22.5°，∴∠B＝3a＝67.5°， ∴∠D＝180°－∠B＝112.5°. 故选C.
边形？
【答案】矩形或正方形．
12/8/2021
第十四页，共十五页。
内容(nèiróng)总结
第3章 圆的基本性质。则∠C的度数是( )。[解析] ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，。∴∠C＋∠A＝180°，。＝2∶3∶6， 则∠D等于( )。∠B＋∠D＝180°.。[解析] 先根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的一半，求得∠A＝60°，再根据
12/8/2021
第六页，共十五页。
3.6 圆内接四边形
筑方法
类型一 运用(yùnyòng)圆内接四边形的性质进行计算
例1 [教材补充例题(lìtí)] 如图3－6－3，四边形ABCD内接于⊙O，点E 在弦DC的延长线上，若∠BOD＝120°，求∠BCE的度数． [全品导学号：63422070]
12/8/2021
_______互_．补
12/8/2021
第三页，共十五页。
3.6 圆内接四边形
1．如图3－6－1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝70°，
则∠C的度数(dù shu)是B(
)
A．100° B．110° C．120° D．130°
[解析(jiě xī)] ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠C＋∠A＝180°， ∴∠C＝180°－70°＝110°
[解析(jiě xī)] ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠C＝180°， ∠B＋∠D＝180°. ∵∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶6， 设∠A＝2a，∠B＝3a，∠C＝6a， 则2a＋6a＝180°， ∴a＝22.5°，∴∠B＝3a＝67.5°， ∴∠D＝180°－∠B＝112.5°. 故选C.
边形？
【答案】矩形或正方形．
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第十四页，共十五页。
内容(nèiróng)总结
第3章 圆的基本性质。则∠C的度数是( )。[解析] ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，。∴∠C＋∠A＝180°，。＝2∶3∶6， 则∠D等于( )。∠B＋∠D＝180°.。[解析] 先根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的一半，求得∠A＝60°，再根据
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第六页，共十五页。
3.6 圆内接四边形
筑方法
类型一 运用(yùnyòng)圆内接四边形的性质进行计算
例1 [教材补充例题(lìtí)] 如图3－6－3，四边形ABCD内接于⊙O，点E 在弦DC的延长线上，若∠BOD＝120°，求∠BCE的度数． [全品导学号：63422070]
12/8/2021
《圆内接四边形》PPT课件 (公开课获奖)2022年浙教版 (1)
3．6 圆内接四边形
1．(4分) ,四边形ABCD是⊙O的内接四边形 ,∠D＝50° ,那么 ∠ABC等于 ( D ) A．100° B．110° C．120° D．130° 2．(4分)如图 ,四边形ABCD是圆内接四边形 ,E是BC延长线上一点 , 假设∠BAD＝105° ,那么∠DCE的大小是 ( B) A．115° B．105° C．100° D．95°
夹在两条平行线间的垂线段相等
4.平行四边形的判定: 定义: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 定理1: 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
推论1:有一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形 .
∠PAB＝70°
11．(4分)四边形ABCD内接于圆 ,∠A ,∠B ,∠C ,∠D的度数比可 能是 ( ) C
A．1∶3∶2∶4 B．7∶5∶10∶8 C．13∶1∶5∶17 D．1∶2∶3∶4 12．(4分)如图 ,四边形ABCD是圆内接四边形 ,∠BAD＝ 108° ,E是BC延长线上一点 ,假设CF平分∠DCE ,那么∠DCF的大 小是 ( B ) A．52° B．54° C．56° D．60°
A.AD＞1
B.AD＜9
C.1＜AD＜9 D.AD＞0
)
A
D
O
B
C
12、判断题: 〔1〕邻角互补的四边形是平行四边形. 〔2〕一组对边平行,另一组对边相等的四边形是 平行四边形. 〔3〕一组对边平行, 一组对角相等的四边形是 平行四边形. 〔4〕对角线相等的四边形是平行四边形.
13、某人到瓷砖商店去购置一种多边形形状的瓷砖 ,用
1．(4分) ,四边形ABCD是⊙O的内接四边形 ,∠D＝50° ,那么 ∠ABC等于 ( D ) A．100° B．110° C．120° D．130° 2．(4分)如图 ,四边形ABCD是圆内接四边形 ,E是BC延长线上一点 , 假设∠BAD＝105° ,那么∠DCE的大小是 ( B) A．115° B．105° C．100° D．95°
夹在两条平行线间的垂线段相等
4.平行四边形的判定: 定义: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 定理1: 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
推论1:有一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形 .
∠PAB＝70°
11．(4分)四边形ABCD内接于圆 ,∠A ,∠B ,∠C ,∠D的度数比可 能是 ( ) C
A．1∶3∶2∶4 B．7∶5∶10∶8 C．13∶1∶5∶17 D．1∶2∶3∶4 12．(4分)如图 ,四边形ABCD是圆内接四边形 ,∠BAD＝ 108° ,E是BC延长线上一点 ,假设CF平分∠DCE ,那么∠DCF的大 小是 ( B ) A．52° B．54° C．56° D．60°
A.AD＞1
B.AD＜9
C.1＜AD＜9 D.AD＞0
)
A
D
O
B
C
12、判断题: 〔1〕邻角互补的四边形是平行四边形. 〔2〕一组对边平行,另一组对边相等的四边形是 平行四边形. 〔3〕一组对边平行, 一组对角相等的四边形是 平行四边形. 〔4〕对角线相等的四边形是平行四边形.
13、某人到瓷砖商店去购置一种多边形形状的瓷砖 ,用
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概念辨析： 1、圆心角与所对的弧的关系 2、圆周角与所对的弧的关系 3、同弧所对的圆心角与圆周角的关系 4、如何判断一条弦是直径
复习提问：
1、如图(1)，△ABC叫⊙O的_内__接__三角形，⊙O叫 △ABC的 外__接__ 圆。 2、 如上图(1),若弧BC的度数为1000, 则∠BOC=_1_00º
C
D
C
O
B
E
若一个多边形各顶点都在同一个圆上， 那么，这个多边形叫做圆内接多边形， A 这个圆叫做这个多边形的外接圆。
圆内接四边形ABCD中，对角有什么数量关系？
如果延长BC到E，那么∠A与∠DCE 会有怎样的关系呢？
D
A
A O
B
CE
B
D
O
C
用语言概括你所得到的结论
D
A
1E
O
B
C
几何表达式：
∵ 四边形ABCD内接于⊙O ∴ ∠A+∠C=180°，∠B=∠1
探究四点共圆的条件
在四边形ABCD中，若∠B+∠ADC=180º，试猜C想A
、B、C、D四点共圆吗？为什么？ D
解： A、B、C、D四点可以共圆
B
过A、B、C点作圆，假设D点在圆内
延长AD与圆交于点E，连接CE。
A
则：∠B+∠E=180º ∵∠ADC >∠E
∴∠B+∠ADC >180º
E
C
这与已知条件∠B+∠ADC=180º矛盾，故
圆的内接四边形
反馈练习：
1、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四 边形，已知∠BOD=100°，
则∠BADபைடு நூலகம் 50º ∠BCD= 130º B
A
O D
C
2、圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=
2:3:4,则∠A= 60º∠B= 90º∠C= 120∠ºD=
3、如图，四边形ABCD内接于⊙O， ∠DCE=75º，则∠BOD= 150º
AF
2021
B
90º
A
O D
C
E
例1
E
A
D
已知：如图，AD是△ABC外角
∠EAC的平分线，与△ABC的外接 B
C
圆交于点D, 求证：DB=DC
课堂小结:
1、圆内接四边形------顶点在圆上的四边形,该圆叫四边形的外 接圆。
2、圆内接四边形
对角互补 外角等于它的内对角
3、解题时应注意观察图形，分清四边形的外角和它的内对角 的位置，不要受背景的干扰。
假设不成立，原结论正确，A、B、C、
D
B
D四点共圆。
另一种D点在圆外的情况证明同理可证
A
如图1，正方形ABCD，将BAD以点A为旋转中心进行旋 转，角的两边分别交CD于点E，交CB的延长线于点F. 证明：AF=AE.
课堂小结:
对角互补或外角等于内对角
四点共圆
n点到一点的距离相等
n点共圆
如图，将正方形改为矩形，且AB=a，BC=b，其它条 件不变， 请猜想 AE 的值，并进行证明.
,∠A= 50_º_
3、如图(2)四边形ABCD中, ∠A与∠C互补,AD的延长线 与DC所夹∠2=600 , 则∠1=___ 12,∠0ºB=___ 6.0º
A
A
O
1
D
2
E
B
C B
C
图1
图2
D
如图，A,B,C,D四点在圆上 定义：四边形ABCD为圆内接四边形； A
⊙O为四边形ABCD外接圆。
O
B
思维拓展:
1、对角相等的圆内接四边形一定是 矩形 2、一组对边平行的圆内接四边形一定是 等腰梯形 3、一组邻边相等的圆内接平行四边形一定是 正方形
如何作矩形的外接圆？ 过四点一定能做圆吗？
探究四点共圆的条件
探究四点共圆的条件
猜想：对角互补的四边形的四个顶点共圆
1 2
3 4
5 6
∠1+∠2=180° ∠3+∠4=180° ∠5+∠6=180° 发现：这三个四边形的对角都互补
复习提问：
1、如图(1)，△ABC叫⊙O的_内__接__三角形，⊙O叫 △ABC的 外__接__ 圆。 2、 如上图(1),若弧BC的度数为1000, 则∠BOC=_1_00º
C
D
C
O
B
E
若一个多边形各顶点都在同一个圆上， 那么，这个多边形叫做圆内接多边形， A 这个圆叫做这个多边形的外接圆。
圆内接四边形ABCD中，对角有什么数量关系？
如果延长BC到E，那么∠A与∠DCE 会有怎样的关系呢？
D
A
A O
B
CE
B
D
O
C
用语言概括你所得到的结论
D
A
1E
O
B
C
几何表达式：
∵ 四边形ABCD内接于⊙O ∴ ∠A+∠C=180°，∠B=∠1
探究四点共圆的条件
在四边形ABCD中，若∠B+∠ADC=180º，试猜C想A
、B、C、D四点共圆吗？为什么？ D
解： A、B、C、D四点可以共圆
B
过A、B、C点作圆，假设D点在圆内
延长AD与圆交于点E，连接CE。
A
则：∠B+∠E=180º ∵∠ADC >∠E
∴∠B+∠ADC >180º
E
C
这与已知条件∠B+∠ADC=180º矛盾，故
圆的内接四边形
反馈练习：
1、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四 边形，已知∠BOD=100°，
则∠BADபைடு நூலகம் 50º ∠BCD= 130º B
A
O D
C
2、圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=
2:3:4,则∠A= 60º∠B= 90º∠C= 120∠ºD=
3、如图，四边形ABCD内接于⊙O， ∠DCE=75º，则∠BOD= 150º
AF
2021
B
90º
A
O D
C
E
例1
E
A
D
已知：如图，AD是△ABC外角
∠EAC的平分线，与△ABC的外接 B
C
圆交于点D, 求证：DB=DC
课堂小结:
1、圆内接四边形------顶点在圆上的四边形,该圆叫四边形的外 接圆。
2、圆内接四边形
对角互补 外角等于它的内对角
3、解题时应注意观察图形，分清四边形的外角和它的内对角 的位置，不要受背景的干扰。
假设不成立，原结论正确，A、B、C、
D
B
D四点共圆。
另一种D点在圆外的情况证明同理可证
A
如图1，正方形ABCD，将BAD以点A为旋转中心进行旋 转，角的两边分别交CD于点E，交CB的延长线于点F. 证明：AF=AE.
课堂小结:
对角互补或外角等于内对角
四点共圆
n点到一点的距离相等
n点共圆
如图，将正方形改为矩形，且AB=a，BC=b，其它条 件不变， 请猜想 AE 的值，并进行证明.
,∠A= 50_º_
3、如图(2)四边形ABCD中, ∠A与∠C互补,AD的延长线 与DC所夹∠2=600 , 则∠1=___ 12,∠0ºB=___ 6.0º
A
A
O
1
D
2
E
B
C B
C
图1
图2
D
如图，A,B,C,D四点在圆上 定义：四边形ABCD为圆内接四边形； A
⊙O为四边形ABCD外接圆。
O
B
思维拓展:
1、对角相等的圆内接四边形一定是 矩形 2、一组对边平行的圆内接四边形一定是 等腰梯形 3、一组邻边相等的圆内接平行四边形一定是 正方形
如何作矩形的外接圆？ 过四点一定能做圆吗？
探究四点共圆的条件
探究四点共圆的条件
猜想：对角互补的四边形的四个顶点共圆
1 2
3 4
5 6
∠1+∠2=180° ∠3+∠4=180° ∠5+∠6=180° 发现：这三个四边形的对角都互补