关于Gronwall不等式的一个注记

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证明gronwall不等式

证明gronwall不等式首先，我们需要明确Gronwall不等式的定义。

Gronwall不等式是一种重要的微分不等式，它可用于估计函数在某个区间上的最大值。

该不等式以E.T. Gronwall的名字命名，他在1915年首次发表了这个不等式。

Gronwall不等式的形式如下：如果$y$是一个非负函数，并且在$[a, b]$区间上可微，那么对于所有在$[a, b]$区间的$t$，我们有：$y(t) \leq y(a) + \int_{a}^{t}f(s)y(s)ds$其中，$f(s)$是一个非负函数。

现在，我们将通过一个例子来证明Gronwall不等式。

假设我们有一个函数$y(t)$，它在$[a, b]$区间上可微，并且满足以下条件：$\frac{dy}{dt} \leq f(t)y(t)$其中，$f(t)$是一个非负函数。

我们将上述不等式两边同时乘以$e^{- \int_{a}^{t}f(s)ds}$，得到：$\frac{dy}{dt}e^{- \int_{a}^{t}f(s)ds} \leq f(t)y(t)e^{- \int_{a}^{t}f(s)ds}$将上述不等式的两边从$a$到$t$进行积分，我们得到：$y(t)e^{- \int_{a}^{t}f(s)ds} - y(a) \leq \int_{a}^{t}f(s)y(s)e^{- \int_{a}^{s}f(u)du}ds$由于$e^{- \int_{a}^{t}f(s)ds}$始终大于等于0，所以上述不等式的左边部分可以进一步简化：$y(t)e^{- \int_{a}^{t}f(s)ds} \leq y(a) + \int_{a}^{t}f(s)y(s)e^{- \int_{a}^{s}f(u)du}ds$然后对上述不等式两边取对数：$\ln y(t) - \int_{a}^{t}f(s)ds \leq \ln y(a) + \int_{a}^{t}\frac{f(s)}{y(s)}y(s)e^{-\int_{a}^{s}f(u)du}ds$然后我们可以利用对数的性质进一步简化上述不等式：$\ln y(t) - \int_{a}^{t}f(s)ds \leq \ln y(a) + \int_{a}^{t}\frac{f(s)}{y(s)}y(s)\left(\frac{1}{y(s)}e^{-\int_{a}^{s}f(u)du}\right)ds$即：$\ln y(t) - \int_{a}^{t}f(s)ds \leq \ln y(a) + \int_{a}^{t}\frac{f(s)}{y(s)}dy(s)$然后利用微积分的基本定理，我们可以得到：$\ln y(t) - \int_{a}^{t}f(s)ds \leq \ln y(a) + [y(t)-y(a)]\frac{f(t)}{y(t)}$即：$\ln y(t) - y(t)\frac{f(t)}{y(t)} \leq \ln y。

带有一个无穷求和的离散Gronwall不等式及其应用

＝１，Ｉｔ０
其中Ｎ。一（０，１，２， …）．利用数学归纳法和构造辅助不等式，我们给出了未知函数ｕ（ｍ，，）的上界，并将结果
收稿日期：２０１３一Ｏ３ —２７
作者简介：董海珊（１９９Ｏ一），女，广东惠州人，湛江师范学院数学与计算科学学院学生
的连续依赖性时提出了如下的积分不等式
ｏ ≤“ （） ≤ｆ（（ｆ）＋ｄ）ｄｒ， ∈［，ｔｏ＋ｈｉ，
Ｊｔｏ
其中ａ，ｂ为非负数＇贝４Ｏ ≤“ （） ≤ａｈｅｘｐ（ｂｈ），ｔ ∈［ｏ，ｔ。＋ｈｉ．
，
其中一１， …，ｋ，是给定的正常数，（）一（ “ ）．递归定义（，７２，ｓ，￡）如下
∞
１
ｒ／＋ｌ（，，ｓ，）一Ｗ（ｒ（，，０，））＋∑ ∑．ｆｉ（ｍ，，ｒ，７／）一
类型的多样化需要多样化的离散不等式．特别是，离散的Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式在验证微分方程与积分方程数值解的收敛性方面有着十分的重要作用．像连续的Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式一样，也有许多学者对它的推广进行研究，并取得了大量的成果口。．例如，一个变量，有个非线性项且带时滞口，两个变量ｎ，无穷求和形式¨ ２，含一个非线性项的无穷求和形式等等．目前它仍然是研究的热点之一．

关于Gronwall不等式证明的注记

关于Gronwall不等式证明的注记
孙莉
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2007(10)1
【摘要】个别文献关于Gronwall不等式的证明过程存有疏误,通过补充修改,可使之严格完整.
【总页数】2页(P69-70)
【作者】孙莉
【作者单位】徐州师范大学数学系,江苏徐州,221116
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.关于Gronwall不等式的注记 [J], 梁绍君
2.关于Gronwall不等式的一个注记 [J], 赵云
3.关于随机Gronwall不等式的一点注记 [J], 李杰民
4.广义Gronwall不等式及相关注记 [J], 孔志宏;
5.关于Gronwall不等式的一个注记 [J], 王世祥;杨丽贤
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Gronwall不等式的几个推广及其在微分方程中的应用

ＺＨＥＮＧＬ－ａｇ．ＷＵＺｅ－ｉｇｉｆｎ。ｈｎｙｎ２
（１Ｎｏ１ｄｌｃｏｌｏＰｔｎｕｉｎ３１０，Ｃｈｎ；．．ＭｉｄｅＳｈｏｆｕｉ，Ｐｔ５０ａａ１ｉａ
２Ｍａｅｔｓ＆ＡｐｌｄＭａｅｔｓＤｐｒｎ，ｕｉｎｖｒｔ，ｕｉ５０ｈａ．ｔｍａｃｈｉｐｅｔｍａｉｅａｔｔＰｔｎＵｉｅｓｙＰｔｎ３，Ｃｉ）ｉｈｃｍｅａｉａ１０１ｎ
用

摘要：对经典的Ｇｏｗｌｒｎａ不等式进行了ｌ推广，得到了Ｂｈｒ型、ｉｉ带奇性型的Ｇｏｗｌ不等式和一种多维空ａｒｎａｌ
间中Ｇｏｗａ型不等式，并用实例说明了各种类型的Ｇｏｗｌ不等式在获得微分方程解的一些基本估计中的ｒｎｌｌｒｎａｌ
作用。
关键词：ｒｎａ不等式；Ｇｏｗｌｌ奇性；微分方程；估计
ＳｍｅｏＧｅｅａｉｅＧｒｎｌｌＩｅｕｌｉｓｎｎｒｌｄｚｏｗａ ’ ｎｑａｉｅａｄＳｔＴｈｉＡｐｌａｉｎｎｅｒｐｃｔｉＤｉｅｅｔＥｑａｉｎｉｏｆｒｎｉｌａｕｔｏｓ
维普资讯
第ｌ４卷第２期
２００７年４月
莆田学院学报
ＪｕｎａｏＰｉｎｏｒｌｆｕｔａＵｎｖｒｉｉｅｓｔｙ
中图分类号：７Ｏ１５
Ｖ０．４１Ｎｏ２１．
Ａｐｒ２０．０７

可积情形下的Gronwall不等式

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%
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负常数E 若 UV % 则 , ’ 6 J2 $) E 定理的证明
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无界, 这与 & ’ ( ) * (
故 UK % 也即 & ’ ( ) * ( + $ 矛盾E , ’ 6 )J % , #&
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W R R 是单调不增的设因为 R 所以并且显然 = ’ 6 ) KS T @ = ’ ( ) , = ’ 6 ) D= ’ 6 ) , = ’ 6 ) E X
( ) 事实上对 ( ) 而然对 7# 对 .1 & " # $ ?! " # $ 2 6 - 7# .1 / & " # $ ? - ! " # $ %0 @ 22 4 +’ , +’ , ( ) 由对 7# # . /按定义 & " # $% ! " # $2 6 " A $ 8 0有 +’ , # = ( ) ( ) & " # $? ( " # $2 : " # ’; $ " ! " ; $2 $ < ; 2 > " ; $ " ! " # 2; $2 $ < ; 6 0 0 +’ , +’ , ( ) 及上式知对# 由& ./ " # $% ! " # $% +’ , # = ( ) ( ) ( ) ! " # $2 ?( " # $2 : " # ’; $ " ! " ; $2 $ < ; 2 > " ; $ " ! " # 2; $2 $ < ; 0 0 +’ , +’ , +’ ,

gronwall-bellman积分不等式

标题：探究gronwall-bellman积分不等式在数学分析领域中，gronwall-bellman积分不等式是一种重要的不等式，它在许多领域的研究和应用中都起着重要作用。

本篇文章将从简单的概念开始，逐步深入探讨gronwall-bellman积分不等式，以帮助读者更全面地理解这一概念。

1. 什么是gronwall-bellman积分不等式？gronwall-bellman积分不等式是一种关于函数在积分方程中的性质的不等式。

简单来说，它描述了一个函数与其在积分方程中的积分之间的关系，通常被用来研究微分方程、泛函分析等领域的问题。

2. gronwall-bellman积分不等式的数学表达gronwall-bellman积分不等式通常可以用以下形式表示：设函数$u(t)$在区间$[a, b]$上满足不等式：\[u(t) \leq K + \int_a^t g(s)u(s)ds\]其中$K$为常数，$g(t)$为区间$[a, b]$上的已知函数，则有：\[u(t) \leq K \exp \left( \int_a^t g(s)ds\right)\]3. gronwall-bellman积分不等式的应用领域gronwall-bellman积分不等式在微分方程、泛函分析、控制论等领域都有广泛的应用。

在微分方程的稳定性分析中，gronwall-bellman积分不等式常常被用来证明解的存在性和唯一性，以及解的收敛性和稳定性。

在控制论中，它也被用于研究系统的稳定性和收敛性问题。

4. 个人观点与总结回顾个人观点上，gronwall-bellman积分不等式是一种非常有用的数学工具，它不仅能够帮助我们理解和分析微分方程、泛函分析等问题，还能够指导实际问题的求解和分析。

总结回顾来说，gronwall-bellman积分不等式是一种重要的数学工具，它在许多领域都有广泛的应用。

通过对该不等式的深入研究，我们可以更好地理解和掌握微分方程、泛函分析等领域的理论和方法，从而为实际问题的求解和分析提供有力的支持。

带有一个无穷求和的离散Gronwall不等式及其应用

ｔ１－
珘（（）非负，且ａ（非正，关于ｎ单调递减；Ｃａ（ｍ，ｎ）０ａｍ，ｎ） ∞，＞０； Δ １）１（，，）（ …，对于任意的ｍ，非负；Ｃｎ，ｓｔｍ，ｎ，ｓｔｉ＝１，２，ｋ） ∈Ｎ０，ｆ２）ｉ（（（ …，在［上，连续并且单调递增，在（上恒为正，且满足关系ｗ１ ∝ｗ２ ∝ Ｃ０，ｗｕ）ｉ＝１，２，ｋ）０， ∞） ∞）３）ｉ（
２主要结果
），定理２．成立，并且对ｍ，是一个非负函数且满足（则有１假设（Ｃ－（Ｃｎ∈Ｎ０，ｕ（ｍ，ｎ）１．１１）３）
１－珘（）ｕ（ｍ，ｎ）≤ ＷｋＷｋ（ａｎ） ∞，＋
［
∞
ｎ１－ｋ
ｓ１ｔ＝ｍ＋＝０
珟（，）ｍ，ｎ，ｓｔ－ ∑ ∑ｆ
第３４卷
，），）故Δ 关于ｍ单调递增．假设当ｉ关于ｍ单调递增，那么ｒｍ，ｎ，ｓｔ＝ｌ时，ｒｍ，ｎ，ｓｔ Δ ３２（３ｌ（
ｔ１－
珟，），）＝－ｒｍ＋１，ｎ，ｓｔｒｍ，ｎ，ｓｔｍ＋１，ｎ，ｓ＋１， Δ －Δ ＋３ｌ１（３ｌ１（ｌ（＋＋ η） ∑ｆ
（）断言：中的ｕ（满足２．３ｍ，ｎ）
ｉ＝１ｓ１ｔ＝ｍ＋＝０
珟（珦，珘，，），））ｍｎｓｔｗ（ｕ（ｓｔ． ∑ ∑ｆ
（）２．３
∞ １－珦，珘，）ｕ（ｍ，ｎ）≤ ＷｋＷｋ（ｒｍｎｎ）［＋ ∞，１（

gronwall不等式证明

gronwall不等式证明Gronwall不等式是数学中常用于证明估计问题的一种方法。

它在分析和概率论中被广泛应用，常被用于证明一些重要的不等式和定理。

本文将以人类的视角，用简洁流畅的语言描述Gronwall不等式的应用和证明过程。

我们来了解一下Gronwall不等式的基本形式。

它的表达式如下：设函数f(t)和g(t)在区间[a,b]上连续，且满足不等式f(t) ≤ A + ∫[a, t] g(s)f(s)ds, t∈[a,b]其中，A是常数，g(t)是已知函数。

根据Gronwall不等式的基本形式，我们可以推导出一些重要的结论。

例如，当g(t)为非负常数时，Gronwall不等式可表示为：f(t) ≤ Aexp(∫[a, t] g(s)ds), t∈[a,b]这个结论告诉我们，如果我们能够估计出g(t)的积分，就可以得到f(t)的上界。

这在实际问题中非常有用，特别是在求解微分方程中。

接下来，我们将用一个具体的例子来说明Gronwall不等式的应用。

假设我们要证明一个关于函数f(t)的性质，但是直接证明比较困难。

这时，我们可以利用Gronwall不等式来进行间接证明。

假设我们要证明的性质是：对于任意t∈[a,b]，函数f(t)满足不等式f(t) ≤ Cexp(∫[a, t] g(s)ds)，其中C是常数。

我们假设存在一个函数u(t)满足不等式u(t) ≤ Cexp(∫[a, t] g(s)ds)，且对于任意t∈[a,b]，有f(t) ≤ u(t)。

接下来，我们考虑函数v(t) = ∫[a, t] g(s)u(s)ds。

根据Gronwall不等式的基本形式，我们有：v(t) ≤ ∫[a, t] g(s)Cexp(∫[a, s] g(u)du)ds= ∫[a, t] Cg(s)exp(∫[a, s] g(u)du)ds然后，我们可以利用积分的性质和指数函数的性质，进一步化简不等式：v(t) ≤ Cexp(∫[a, t] g(s)ds) ∫[a, t] g(s)ds≤ Cexp(∫[a, t] g(s)ds) ∫[a, b] g(s)ds= Cexp(∫[a, t] g(s)ds) ∫[a, b] g(s)ds我们可以得到：v(t) ≤ Cexp(∫[a, t] g(s)ds) ∫[a, b] g(s)ds根据我们的假设，对于任意t∈[a,b]，有f(t) ≤ u(t)，因此也有v(t) ≤ u(t)。

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￣ｐ：），［］ｅ（（ｓ ∈口．ｘｆ１，ｇｄｔ６
那么，根据不等式（）有１，
见文献Ｅ－和１］其中文献［３修正了之前一些教ＩＩ－，２２
材和文献中关于Ｇｒｎｌ不等式证明的一些疏误ｏｗａｌ之处．文将给出一个新的证明并得到一个更为有本趣的结果．命题１Ｇｒｎｌ不等式）设Ｋ为非负常数，（ｏｗａｌ厂（）和ｇ都是区间［，］上的连续非负函数，（）口６且
［］赵玉萍．Ｇｏｗｌ不等式的应用及微分方程的奇解［］１ｒｎａｌＪ．
青海师专学报：自然科学版。２０，２５：０２．０２２（）２—１．
中的唯一性给出一薪证明．我们把他写成一个推
论的形式．
［３孙莉．于Ｇｏｗａ不等式证明的注记［］２关ｒｎｌｌＪ．高等数学研
因此由函数Ｇ的定义可知（）
Ｆ（）０ ∈ ［，］￡ ≤ ，Ｖｔ口６，
从而命题结论得证．
证明２不妨令
证明１命题的后一结论暗含着前一结论，
而前一结论正是经典的Ｇｒｎｌ不等式所包含ｏｗａｌ的内容．在利用数学分析中证明不等式的常用现方法，即构造辅助函数法，证明后一不等式．来
Ｊ
ＩＬＩ（一（￡ｄ））Ｉ
分别把Ｉ（）ｚ一（）ｌＬ和常数Ｏ，当作命题中的函数，ｚ，（）常数Ｋ，由命题我们可得（）ｇｚ和则
了讨论常数Ｋ，函数厂￡，（）为零时的特殊情形，（）ｇｔ
第１４卷第４期
２１０１年７月
高等数学研究
ＳＴＵＤＩＳＩＣ０ＬＬＥＥＮＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ
Ｖｏ４．Ｏ．Ｌ１Ｎ４Ｊ１ｕ．，２１０１
关于Ｇｒｎｌ不等式的一个注记ｏｗａｌ
赵云
在ｚ。≤ ｚ≤ ｚ＋ｈ上存在唯一的解，中。其
ｈ— ｍｉｎ，ｂ）ｎ（
，
（）２
Ｋ∽ｅ（（）ｇｘ一ｇ．ｐｓ
在上述不等式两边从ｎ到ｔ分，得积可
Ｒｘ一㈦ｄ ≤ ∽ｅ（ｐｓ）
一
Ｍ — ｍａ｛ｆｘ，ｘＩ（）１（Ｙ：ｚ，）∈ Ｒ）．证明方程（）的存在性可参见文［］以２解３．
作者简介ｔ云（９９－）男，苏溧阳人，士，教授，要从事动赵１７－，江博副主力系统研究．Ｅｍａｌｚａｙｎｓｄ．ｄ．ｎｉｈｏｕ＠ｕａｅｕｃ．：
在述等两同以ｘ一ｇ））得上不式边乘ｅ（（ｄ，ｐｓｓ可
究．２０１１０７．０（）：６ —０９７．
推论Ｉ设，，）在矩形域
Ｒ：Ｉｚ— Ｘ ≤ ａｏｌ，ｆＹ一ｌｂ ≤
［］王高雄，之铭，恩铭，．常微分方程［．北京：３周朱等Ｍ］高等教育出版社，０６８ —４２０：２８．
区间Ｉ。。ｉ上的两个解，ｘ，＋ｈ则
１（）ｚ一（）ｌｚ ≤ 厂（） — 厂（，）Ｉ（，） — （） ≤ ｄ
ｒ
Ｋｐｓ）Ｖ∈ｎ．ｅ（（ｓ［］ｘＪ），．ｄｇ，６
命题获证．注１值得注意的是：述两种证明方法避免上
而关于这种特殊情形的证明正是文献［］的主要内２
容．此外，还有一个有趣的结论，即在命题的条件下，我们事实上证明了一个新的不等式
ｒ￡
。））。ｅ（）。 ≤ 一Ｉ・一 ≤ 冲
（ｏ≤ Ｘ≤ Ｘｏ＋）．因此（ｚ）＝（（＝ｚ）ｚ０≤ Ｘ≤ Ｘ＋＾．：０）
满足不等式
（：（（一ｅ（ｓ）￡厂）￡Ｋ（ｇ）））冲）（一ｇ
［Ｋｐｓ）（≤ 厂一ｅ（（ｓ（ｘＪ）］））＿ｄｇｇ
『＋（ｄ．ｆ（ｇ）一Ｋ厂）
Ｋｐ＇）∽一 ∽ ．ｅ（（］Ｆ）ｘｆｓ．ｇｇ
ＡｂｔａｔＩｈｉｎｅ，ａｅｓｒｃ：ｎｔｓｏｔｎｗｐｏｆｆｒｏｏＧｒｗａｌｎｅａｉｙｓｉｎｏｎｌｉｑｕｌｔｉｇｖｅｂｙｏｔｕｃｉｇｎｃｎｓｒｔｎａ
ａｘｌｒｕｃｉｎ，ａｄａｎｗｎｑａｉｓｏｔｉｅ．ＵｓｎｏｗａｌｉｅｕｌｙｒｏｆｔｅｕｉａｙｆｎｔｉｏｎｅｉｅｕｌｙｉｂａｎｄｔｉｇＧｒｎｌｎｑａｉ．ａｐｏｆｏｈｔ
在述等两同以ｘ一ｇｓｓ并上不式边乘ｅ（（ｄ，令ｐ））ＧＦｘ一（） ∽一 ∽ｅ（ｓｐ，
则可得
．
， ≤ Ｋ＋ｌ（）（）ｓ ∈［，］１（）ｓｇｓｄ，Ｖｆ口６，（）
则有
厂ｅ（（ｓＶ∈ｎ］（ｘ－ｓ）［６￡ｐ），）Ｋｆｄｇ，．
Ｋ＋Ｉ（ｇｓｓｓ（ｄ≤ ｆ））
Ｊ口
唯一性得证．
参考文献
￣ｐ：ｓ１Ｖ［］ｅ（（ｓ口．ｘｆ），ｔ，ｇｄ ∈ ６
文［］。给出了一定条件下方程解的存在唯一３。性定理．在，现我们利用上述Ｇｒｎｌ不等式，ｏｗａｌ就其
１８
高等数学研究
２１年７月０１
∽ｅ（（）ｘ一ｓｐ一
上连续且关于ｙ足Ｌｐｈｔ条件（满ｉｓｉｚＬ为Ｌｐｃｉ常ｉｓｈｔｚ数）则下述积分方程，
ｒ
Ｒ）ｐ㈤ｅ（ｘ一
ｄ≤ ｓ）
Ｙ— Ｙ＋Ｊ０厂）ｏＩ（，ｄ
进一步，我们有
Ｇ（）≤ ｏ．
由此可见函数Ｇ（）区间ａ６在，］上是单调递减的，
从而
Ｋ＋Ｉｇｓｄ，（）（）ｘ≤
Ｇ（）≤ Ｇ（）一０￡ｎ，Ｖ￡∈ ［，］口６．
Ｋｘｅ（ｐ
ｄ， ∈［．ｓＶ］）
从而根据条件不等式（）可得１
Ｒ（）一Ｒ（）￡ｇ（）一
基金项目；国家自然科学基金（１０１１，江苏省高校自然科学基１０１９）
金（９Ｂ１０７．０ＫＪ１００）
Ｆ（）尺（）ｇ￡ｆｔ一￡］（）≤ Ｋｇ（）．
ＡｔｎＧｒｎｗａｌＩｑｕｌｔＮｏｅｏｏｌｎｅａｉｙ
ＺＨＡＯｎＹｕ
（ｐｒｍｅｔｏａｈｍａｉｓｏｃｏＵｎｖｒｉｙｕｈｕ２５０，ＰＤｅａｔｎｆＭｔｅｔ，Ｓｏｈｗｉｅｓｔ，Ｓｚｏ１０６ｃＲＣ）
．
（州大学数学科学学院．苏苏州２５０）苏江１０６
摘
要通过构造辅助函数的方法，出Ｇｏｗｌ不等式的一个新证明，由此得到一个新不等式，后利给ｒｎａｌ并最
用Ｇｒｎｌ不等式证明一阶微分方程解的唯一性．ｏｗａｌ关键词Ｇｒｎａｌ等式；一性；分ｏｗｌ不唯微
中圈分类号０１５ＩＯ１８７．ｌ７，文献标识码Ａ文章编号１０ —３９２１）４０１－２０８１９（０１０。０７０
在常微分方程的教学中，ｏｗａｌ等式是非Ｇｒｎｌ不常重要的一个不等式，相关的推广形式也得到众其多的研究．于Ｇｏｗａｌ等式的证明有好几种，关ｒｎｌ不
下给出唯一性的另一种证明．
￣ｘ一ｇ））Ｋｏ（（＋，ｐ
所以
假设函数（）ｚ和（）ｚ分别是积分方程（）在２
Ｒ）Ｋｐｔ）Ｋ（≤ ｅ（（）．ｘｆｇ
结合条件不等式（）可得１，
－（）≤ Ｒ（）＋Ｋ ≤ 厂￡￡
不妨令
Ｒ一Ｉ（ｇｓ（） ‘ ５（，厂））
那么有
Ｒ（）一厂ｇ￡，￡（）（）
Ｆｔ一Ｋ＋ｌ（）（）ｓ（）厂ｓｇｓｄ一
收稿日期；０９— １２００— ２；改日期：０１— ０３修２１５— １．Ｚ
ｕｉｕｎｓｆｓｌｔｎｏｉｓｒｅｉｅｅｔｌｑａｉｎｓｐｏｉｅｎｑｅｅｓｏｏｕｉｓｆｒｆｔｏｄｒｄｆｒｎｉｕｔｏｓｉｒｖｄｄｏｒｆａｅ